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四川省广安市2025年中考数学真题试题
1．（2025·广安） 中国是世界上首先使用负数的国家.如果把收入50元记作+50元，那么支出50元记作（　　）
A．+50元 B．0元 C．-50元 D．-100元
【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵收入50元记作+50元，
∴支出50元记作-50元.
故答案为：C .
【分析】利用收入记为“﹢”，则支出记为“-”，据此可求解.
2．（2025·广安） 下列各式运算结果为的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A符合题意
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：A .
【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对A作出判断；利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，可对B作出判断；利用合并同类项的法则，可对C作出判断；然后利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对D作出判断.
3．（2025·广安） 若，则的余角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】余角
【解析】【解答】解：∵∠A=25°，
∴∠A的余角为90°-25°=65°.
故答案为：B .
【分析】利用∠A的余角等于90°-∠A，代入计算即可.
4．（2025·广安） 公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数.他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”.请估计的值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴.
故答案为：A.
【分析】利用估算无理数的大小的方法，可知，据此可得答案.
5．（2025·广安） 下列实验仪器的平面示意图中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A，此图形不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、此图形不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、此图形不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、此图形是轴对称图形，故D符合题意；
故答案为：D .
【分析】轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.
6．（2025·广安） 下列说法正确的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．正六边形的每个内角为
C．数据2，4，5，5，5，4，3的众数是4
D．方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小
【答案】D
【知识点】正多边形的性质；方差；众数；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A，相等的角不一定是对顶角，故A不符合题意；
B、正六边形的每一个内角为120°，故B不符合题意；
C、数据2，4，5，5，5，4，3中，5出现了3次，是出现次数最多的数，因此这组数据的众数是5，故C不符合题意；
D、方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小，故D符合题意.
故答案为：D .
【分析】相等的角不一定是对顶角，可对A作出判断；利用正多边形的性质，可求出正六边形的每一个内角的度数，可对B作出判断；利用众数的定义，可对C作出判断；然后根据方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小，可对D作出判断.
7．（2025·广安） 关于x的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵b2-4ac=9-4=5＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根.
故答案为：B .
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）当b2-4ac＞0，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0，方程没有实数根，据此可作出判断.
8．（2025·广安）《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，益三；人出七，不足四. 问：人数、物价各几何？”译文是：“假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱. 问：人数、物价各多少？”设人数为x，物价为y，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设人数为x，物价为y，根据题意得
故答案为：B .
【分析】抓住题中关键已知条件：每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱，据此列方程即可.
9．（2025·广安） 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为 5， 则该圆锥的底面圆的半径为（　　）
A． B． C． D．5
【答案】A
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设该圆锥底面圆的半径为r，
∵圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，
∴
解之：.
故答案为：A .
【分析】设该圆锥底面圆的半径为r，利用圆锥展开扇形的弧长等于底面圆的周长，可得到关于r的方程，解方程求出r的值.
10．（2025·广安） 如图，二次函数 (a，b，c 为常数，) .的图象交 x 轴于 A，B 两点，点 A 的坐标是 (-1，0)，点 B 的坐标是 (n，0)，有下列结论：①；②；③ 关于 x 的方程的解是，；④.其中正确的有（　　）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧，与y轴的交点在x轴的上方，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵当x=-2时y＜0，
∴4a-2b+c＜0即4a+c＜2b，故②错误；
∵抛物线与x轴的两个交点坐标为A（-1，0），B（n，0）
∴ 关于 x 的方程的解是，，故③正确；
∴抛物线的对称轴为直线，故④正确；
∴正确结论有3个.
故答案为：C .
【分析】抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧，与y轴的交点在x轴的上方，可得到a、b、c的取值范围，可对①作出判断；当x=-2时y＜0，可对②作出判断；利用抛物线与x轴的两个交点坐标，可对③④作出判断；综上所述，可得到正确结论的个数.
11．（2025·广安） 一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是　 　元.
【答案】0.8a
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是0.8a.
故答案为：0.8a.
【分析】利用售价等于标价×折数，即可求解.
12．（2025·广安） 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射. 由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的. 如图，a，b为两条平行的光线，，则的度数为　 　.
【答案】45°
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图
∵ 光线从水中射向空气时，要发生折射. 由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，
∴c∥d，
∴∠1=∠2=45°.
故答案为：45° .
【分析】抓住关键已知条件：光线从水中射向空气时，要发生折射. 由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的，可知c∥d，利用两直线平行，同位角相等可求出∠2的度数.
13．（2025·广安） 在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(a，b)，且a，b满足，则点A在第　 　象限.
【答案】四
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴a-2=0，b+3=0
解之：a=2，b=-3
∴点A（2，-3），
∴点A在第四象限.
故答案为：四 .
【分析】利用几个非负数之和为0，则每一个都为0，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a、b的值，可得到点A的坐标，即可知道点A所在的象限.
14．（2025·广安） 如图，在等腰中，，，D是BC边上的一个动点，连接AD，则AD的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】三角形-动点问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∴，
∴，
∵ D是BC边上的一个动点，垂线段最短
∴当AD⊥BC时，AD最短，
∴，
∴AD的最小值为.
故答案为： .
【分析】利用已知条件可证得△ABC是等腰直角三角形，利用解直角三角形求出BC的长；再根据垂线段最短，可知当AD⊥BC时，AD最短，由此可求出AD的最小值.
15．（2025·广安）（1）计算：.
（2）先化简，再求值：，其中.
【答案】（1）解： 原式
（2）解：原式=
当x=-4时，原式=
【知识点】实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先算乘方运算，同时代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，然后合并即可.
（2）先将括号里的分式通分计算，同时将分式除法转化为乘法运算，约分化简，然后将x的值代入进行计算.
16．（2025·广安） 某校开展“共享阅读·向上人生”的读书活动，为了解学生对四类书籍（A体育类，B科技类，C文学类，D艺术类）的喜爱情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行了问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四类书籍中选择一类），并将数据进行统计和整理，绘制了两幅不完整的统计图，根据图中信息，请回答下列问题：
（1） 本次抽取调查的学生共有　 　人，估计该校2000名学生喜爱“B科技类”书籍的人数约为　 　人.
（2） 请将条形统计图补充完整.
（3） 在活动中，甲、乙、丙三名学生表现优秀，决定从这三名学生中随机选取两名学生参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲和乙的概率.
【答案】（1）200；800
（2）解：C组的人数为200-20-80-40=60人，
补全条形统计图如下
（3）解：画树状图如下：
或列表如下：
甲 乙 丙
甲 　 （乙，甲） （丙，甲）
乙 （甲，乙） 　 （丙，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙） 　
共有6种等可能结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种
∴P(恰好选中甲和乙)=.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次抽取调查的学生人数为：40÷20％=200人；
估计该校2000名学生喜爱“B科技类”书籍的人数约为人
故答案为：200；800.
【分析】（1）利用两统计图可求出本次抽取调查的学生人数；再求出该校2000名学生喜爱“B科技类”书籍的人数.
（2）先求出C组的人数，再补全条形统计图.
（3）根据题意可知，此事件是抽取不放回，列出树状图或列表，可得到所有等可能的结果数及 恰好选中甲和乙的 情况数，然后利用概率公式进行计算.
17．（2025·广安） 随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛. 如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为24m. 无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为. 求无人机从A点到B点的上升高度AB（结果精确到0.1m）. （点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，)
【答案】解：由题意得：，，，.
在中，，.
∴
在中，
∴
∴
答：无人机从A点到B点的上升高度AB为3.6m
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】在Rt△AOC中，利用解直角三角形IQUC胡AO的长，再在Rt△BOC中，利用解直角三角形求出BO的长，然后根据AB=BO-AO，代入计算求出AB的长.
18．（2025·广安） 如图，一次函数 为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象交于 A，B 两点，点 A 的坐标是 (-8，1)，点 B 的坐标是 (n，-4).
（1） 求一次函数和反比例函数的解析式.
（2） 根据函数图象直接写出关于 x 的不等式的解集.
【答案】（1）解： 把点A(-8，1)代入，得：，
∴反比例函数的解析式为，
把点B(n，-4)代入，得：，
∴B(2，-4)，
把A(-8，1)，B(2，-4)代入
得，
解得，
∴一次函数的解析式为
（2）解：或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为：或，
∴关于 x 的不等式的解集为或.
【分析】（1）将点A、B的坐标代入反比例函数解析式可求出m、n的值，可得到反比例函数解析式及点B的坐标，再将点A、B的坐标分别代入一次函数解析式，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到一次函数解析式.
（2）利用点A、B的横坐标，观察图象，可得到关于 x 的不等式的解集.
19．（2025·广安） 如图，是的外接圆，BC是的直径，点在BC的延长线上，连接AE，.
（1） 求证：AE是的切线.
（2） 过点作，垂足为，若的面积是的面积的 3 倍，，求AE的长.
【答案】（1）证明：连接 OA
是的直径
是 的半径
是的切线
（2）解：
的面积是的面积的3倍
设 CD = x
在 中，
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接OA，利用等边对等角可证得∠OAB=∠ABE，利用已知可推出∠OAB=∠CAE，利用圆周角定理可得到∠BAC=90°；再证明∠OAE=90°，利用切线的判定定理可证得结论.
（2）利用垂直的定义可证得∠ADC=∠BAC=90°，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△BAC∽△ADC，利用相似三角形的性质可证得，结合已知可得到AC与CD的比值，设CD = x，可表示出AC，BC，AO的长；再证明△OAE∽△CDE，利用相似三角形的性质可求出OE、OC的长，然后利用勾股定理求出AE的长.
20．（2025·广安） 已知一次函数，当时，y的值可以是　 　.（写出一个合理的值即可）
【答案】1
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵x＜-1，
当时，
故答案为：1 .
【分析】利用x＜-1，取合适的x的值代入函数解析式，可求出对应的y的值.
21．（2025·广安） 已知方程的两根分别为a和b，则代数式的值为　 　.
【答案】29
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵ 方程的两根分别为a和b，
∴a+b=5，a2=24+5a，
∴原式=24+5a-4a+b=24+a+b=24+5=29.
故答案为：29 .
【分析】将x=a代入方程，可表示出a2的值，利用一元二次方程根与系数可求出a+b的值，然后代入代数式进行计算.
22．（2025·广安） 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，⊙O的半径为6，则BD的长为　 　.
【答案】
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OB、OD，过点O作OH⊥BD于点H，
∴BD=2BH，BH=DH，
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A=180°-∠BCD=180°-120°=60°，
∵，
∴∠BOD=2∠A=120°，
∵OB=OD，
∴∠BOH=∠BOD=60°，
在Rt△BOH中，
∴
∴.
故答案为： .
【分析】连接OB、OD，过点O作OH⊥BD于点H，利用垂径定理可证得BD=2BH，BH=DH，利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠A的度数；再利用等腰三角形的性质可求出∠BOH的度数，在Rt△BOH中，利用解直角三角形求出BH的长，可得到BD的长.
23．（2025·广安） 如图，在中，按以下步骤作图：(1) 以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交BC于点D；(2) 分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；(3) 画射线AF交BC于点E. 若，，，则AE的长为　 　.
【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接AD，
由作图可知AF垂直平分CD，
∴AD=AC，∠AED=90°，CD=2DE，
∴∠C=∠ADC，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠C=2∠B，
∴∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠B=∠BAD，
∴BD=AD=13，
∴DC=BC-BD=23-13=10，
∴DE=5，
在Rt△ADE中
故答案为：12 .
【分析】连接AD，由作图可知AF垂直平分CD，可证得AD=AC，∠AED=90°，CD=2DE，利用等边对等角可推出∠C=∠ADC，利用三角形外角的性质及已知条件可推出∠B=∠BAD，利用等角对等边可求出AD，DC的长，即可得到DE的长；然后利用勾股定理求出AE的长.
24．（2025·广安） 已知的面积是1.
（1） 如图1，若D， E分别是边BC和AC的中点，AD与BE交于点F，则四边形CDFE的面积为　 　.
（2） 如图2，若M， N分别是边BC和AC上距离C点最近的6等分点，AM与BN相交于点G，则四边形CMGN的面积为　 　.
【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（1）连接DE，
∵ D， E分别是边BC和AC的中 点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，AB=2DE，
∴△CDE∽△CBA，△DEF∽△ABF，
∴，
∴BF=2EF即BE=3EF，
∴S△DEF=S△BDE，
∵△ABC的面积为1，
∴S△CDE=；
∵点D是BC的中点，
∴S△BDE=S△CDE=，
∴，
∴S四边形CDFE=S△DEF+S△CDE=
故答案为： .
（2）连接MN，
∵ M， N分别是边BC和AC上距离C点最近的6等分点，
∴AC=6NC，BC=6CM，
∴
∵∠C=∠C，
∴△MNC∽△ABC，
∴∠BAC=∠CNM，AB=6MN，
∴MN∥AB，，
∴△MNG∽△ABG，
∴，
∴，
∴S△GMN=S△BMN，S△CMN=S△BMN， ∴S△BMN= 536 ， ∴S△GMN=，
∴ S四边形CMGN=S△GMN+S△CMN=
故答案为：.
【分析】（1）连接DE，易证DE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可证得DE∥AB，AB=2DE，据此可得到△CDE∽△CBA，△DEF∽△ABF，利用相似三角形的性质可求出△CDE的面积，同时可得到△BDE的面积，即可求出△DEF的面积，然后求出四边形CDFE的面积即可.
（2）连接MN，利用已知可证得，利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△MNC∽△ABC，利用相似三角形的性质，可求出△CMN的面积，同时可证得NM∥AB，可推出△MNG∽△ABG，利用相似三角形的性质可得到NG与BG的比值，可求出△BMN和△GMN的面积，然后根据S四边形CMGN=S△GMN+S△CMN，可得到四边形CMGN的面积.
25．（2025·广安） 某景区需要购买A，B两种型号的帐篷. 已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元.
（1） 求A，B两种帐篷的单价各多少元？
（2） 若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？
【答案】（1）解： 设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为(x+400)元.
由题意得：
解得：
经检验：x=600符合题意
答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元
（2）解：设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷(20-m)顶，总费用为W元.
由题意得： ，解得：m≤15，
又∵两种型号的帐篷均需购买，
∴0W=600m+1000(20-m)=-400m+2000，
∵-400<0，
∴W随m的增大而减小
∴当m=15时，W取最小值，W最小=-400×15+20000=14000，
此时20-m=5，
答：当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：1800÷A种帐篷的单价=3000÷B种帐篷的单价； B种帐篷的单价=A种帐篷的单价+400，设未知数，列方程求解即可.
（2）设购买A种帐篷m顶，总费用为W元，根据题意可求出m的取值范围，同时可得到W关于x的函数解析式，利用一次函数的性质求解即可.
26．（2025·广安） 如图，E， F是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的两点，，，连接 AE，AF，CE，CF.
（1） 求证：.
（2） 若四边形 AECF 的周长为，求 EF 的长.
【答案】（1）证明： ∵四边形 ABCD 为正方形
∴，，
在 和 中，
（2）解： 连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为正方形，，
∴BD垂直平分AC，，
∴，，
由（1）知，
∴，，
∵四边形AECF的周长为，
∴，
在Rt△AOF中，，
∴，
∴，
答：EF的长为6
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得∠ADE=∠CBF=45°，AD=BC，再利用SAS可证得结论.
（2）连接AC交BD于点O，利用正方形的性质求出OA的长；利用全等三角形的性质可证得AE=CF=AE=CE，据此可求出AF的长，利用勾股定理可求出OF的长；然后求出BF的长，根据EF=BD-BF，代入计算求出EF的长.
27．（2025·广安） 如图，二次函数(b，c 为常数) 的图象交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，已知点 B的坐标为 (9，0)，点 C的坐标为 (0，-3)，连接 AC，BC.
（1） 求抛物线的解析式.
（2） 若点 P为抛物线上的一个动点，连接 PC，当时，求点 P 的坐标.
（3） 将抛物线沿射线 CA 的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点 E 在新抛物线上，点 F 是原抛物线对称轴上的一点，若以点 B，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点 E 的坐标.
【答案】（1）解：将 B（9，0）和 C（0，-3）代入 得
解得：
∴抛物线的解析式为
（2）解：（2）①当点 P 在 x 轴下方时（如图1），
∵
∴
∴点 P 的纵坐标等于 -3
将 代入 解得 ，
∴点 P 的坐标为 （8，-3）
②当点 P 在 x 轴上方时，PC 与 AB 相交于点 M（如图 2），
∵，
∴，
∵ B（9，0），C（0，-3），
∴，，
设 ，则 ，
在 中，，
∴，解得： ，
∴ 点 M 的坐标为（4，0），
设直线 CP 的解析式为 ，
将 M（4，0）和 C（0，-3）代入得，
，
解得：，
∴ 直线 CP 的解析式为 ，
由题意得：，解得 ，，
∴ 点 P 的坐标为 ，
综上所述，点 P 的坐标为 （8，-3）或
（3）(-5，14)或(5，)或(13，38)
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换；二次函数-角度的存在性问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）由（2）可知抛物线的对称轴为直线x=4，
∵点B（9，0），C（0，-3）
∴点A（4-5，0）即（-1，0），
∴OC=3，OA=1，
∴，
∵ 将抛物线沿射线 CA 的方向平移个单位长度后得到新抛物线，
∴平移后的点C的坐标为（2，3），
∵点C（0，-3）
∴将原抛物线向左平移2个单位，向上平移6个单位，
∵
∴新的抛物线的解析式为，
设点E，点F（4，n）
当BE，CF为对角线时，
解之：m=-5，
∴14，
∴点E的坐标为（-5，14）；
当BF，CE为对角线时，
解之：m=13，
∴，
∴点E（13，38）；
当BC，EF为对角线时，
解之：m=5，
∴，
∴点E(5，)，
综上所述，点E的坐标为(-5，14)或(5，)或(13，38)
【分析】（1）将点B、C的坐标代入函数解析式，可得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值，可得到二次函数解析式.
（2）分情况讨论：①当点 P 在 x 轴下方时（如图1），可证得CP∥AB，可得到点P的纵坐标，将点P的纵坐标代入函数解析式求出对应的x的值，可得到符合题意的点P的坐标；②当点 P 在 x 轴上方时，PC 与 AB 相交于点 M（如图 2），利用等角对等边可证得BM=CM，利用点B、C的坐标可求出OB、OC的长；设 ，可表示出CM的长，在Rt△COM种，利用勾股定理可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点M的坐标；利用待定系数法求出直线CP的函数解析式，将两函数解析式联立方程组，可求出方程组的解，即可得到符合题意的点P的坐标；综上所述，可得到点P的坐标.
（3）利用原抛物线的解析式可得到抛物线的对称轴，利用二次函数的对称性可得到点A的坐标，利用勾股定理求出AC的长；再根据平移可得到平移后的点C的坐标，结合点C的坐标，可知将原抛物线向左平移2个单位，向上平移6个单位，即可得到平移后的函数解析式，设点E，点F（4，n），分情况讨论：当BE，CF为对角线时；当BF，CE为对角线时；当BC，EF为对角线时；利用平行四边形的对角线互相平分，分别可得到关于m的方程，分别解方程求出m的值，可得到点E的坐标.
1 / 1四川省广安市2025年中考数学真题试题
1．（2025·广安） 中国是世界上首先使用负数的国家.如果把收入50元记作+50元，那么支出50元记作（　　）
A．+50元 B．0元 C．-50元 D．-100元
2．（2025·广安） 下列各式运算结果为的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·广安） 若，则的余角为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·广安） 公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数.他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”.请估计的值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
5．（2025·广安） 下列实验仪器的平面示意图中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·广安） 下列说法正确的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．正六边形的每个内角为
C．数据2，4，5，5，5，4，3的众数是4
D．方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小
7．（2025·广安） 关于x的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
8．（2025·广安）《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，益三；人出七，不足四. 问：人数、物价各几何？”译文是：“假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱. 问：人数、物价各多少？”设人数为x，物价为y，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·广安） 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为 5， 则该圆锥的底面圆的半径为（　　）
A． B． C． D．5
10．（2025·广安） 如图，二次函数 (a，b，c 为常数，) .的图象交 x 轴于 A，B 两点，点 A 的坐标是 (-1，0)，点 B 的坐标是 (n，0)，有下列结论：①；②；③ 关于 x 的方程的解是，；④.其中正确的有（　　）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
11．（2025·广安） 一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是　 　元.
12．（2025·广安） 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射. 由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的. 如图，a，b为两条平行的光线，，则的度数为　 　.
13．（2025·广安） 在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(a，b)，且a，b满足，则点A在第　 　象限.
14．（2025·广安） 如图，在等腰中，，，D是BC边上的一个动点，连接AD，则AD的最小值为　 　.
15．（2025·广安）（1）计算：.
（2）先化简，再求值：，其中.
16．（2025·广安） 某校开展“共享阅读·向上人生”的读书活动，为了解学生对四类书籍（A体育类，B科技类，C文学类，D艺术类）的喜爱情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行了问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四类书籍中选择一类），并将数据进行统计和整理，绘制了两幅不完整的统计图，根据图中信息，请回答下列问题：
（1） 本次抽取调查的学生共有　 　人，估计该校2000名学生喜爱“B科技类”书籍的人数约为　 　人.
（2） 请将条形统计图补充完整.
（3） 在活动中，甲、乙、丙三名学生表现优秀，决定从这三名学生中随机选取两名学生参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲和乙的概率.
17．（2025·广安） 随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛. 如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为24m. 无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为. 求无人机从A点到B点的上升高度AB（结果精确到0.1m）. （点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，)
18．（2025·广安） 如图，一次函数 为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象交于 A，B 两点，点 A 的坐标是 (-8，1)，点 B 的坐标是 (n，-4).
（1） 求一次函数和反比例函数的解析式.
（2） 根据函数图象直接写出关于 x 的不等式的解集.
19．（2025·广安） 如图，是的外接圆，BC是的直径，点在BC的延长线上，连接AE，.
（1） 求证：AE是的切线.
（2） 过点作，垂足为，若的面积是的面积的 3 倍，，求AE的长.
20．（2025·广安） 已知一次函数，当时，y的值可以是　 　.（写出一个合理的值即可）
21．（2025·广安） 已知方程的两根分别为a和b，则代数式的值为　 　.
22．（2025·广安） 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，⊙O的半径为6，则BD的长为　 　.
23．（2025·广安） 如图，在中，按以下步骤作图：(1) 以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交BC于点D；(2) 分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；(3) 画射线AF交BC于点E. 若，，，则AE的长为　 　.
24．（2025·广安） 已知的面积是1.
（1） 如图1，若D， E分别是边BC和AC的中点，AD与BE交于点F，则四边形CDFE的面积为　 　.
（2） 如图2，若M， N分别是边BC和AC上距离C点最近的6等分点，AM与BN相交于点G，则四边形CMGN的面积为　 　.
25．（2025·广安） 某景区需要购买A，B两种型号的帐篷. 已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元.
（1） 求A，B两种帐篷的单价各多少元？
（2） 若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？
26．（2025·广安） 如图，E， F是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的两点，，，连接 AE，AF，CE，CF.
（1） 求证：.
（2） 若四边形 AECF 的周长为，求 EF 的长.
27．（2025·广安） 如图，二次函数(b，c 为常数) 的图象交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，已知点 B的坐标为 (9，0)，点 C的坐标为 (0，-3)，连接 AC，BC.
（1） 求抛物线的解析式.
（2） 若点 P为抛物线上的一个动点，连接 PC，当时，求点 P 的坐标.
（3） 将抛物线沿射线 CA 的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点 E 在新抛物线上，点 F 是原抛物线对称轴上的一点，若以点 B，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点 E 的坐标.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵收入50元记作+50元，
∴支出50元记作-50元.
故答案为：C .
【分析】利用收入记为“﹢”，则支出记为“-”，据此可求解.
2．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A符合题意
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：A .
【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对A作出判断；利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，可对B作出判断；利用合并同类项的法则，可对C作出判断；然后利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对D作出判断.
3．【答案】B
【知识点】余角
【解析】【解答】解：∵∠A=25°，
∴∠A的余角为90°-25°=65°.
故答案为：B .
【分析】利用∠A的余角等于90°-∠A，代入计算即可.
4．【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴.
故答案为：A.
【分析】利用估算无理数的大小的方法，可知，据此可得答案.
5．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A，此图形不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、此图形不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、此图形不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、此图形是轴对称图形，故D符合题意；
故答案为：D .
【分析】轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.
6．【答案】D
【知识点】正多边形的性质；方差；众数；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A，相等的角不一定是对顶角，故A不符合题意；
B、正六边形的每一个内角为120°，故B不符合题意；
C、数据2，4，5，5，5，4，3中，5出现了3次，是出现次数最多的数，因此这组数据的众数是5，故C不符合题意；
D、方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小，故D符合题意.
故答案为：D .
【分析】相等的角不一定是对顶角，可对A作出判断；利用正多边形的性质，可求出正六边形的每一个内角的度数，可对B作出判断；利用众数的定义，可对C作出判断；然后根据方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小，可对D作出判断.
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵b2-4ac=9-4=5＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根.
故答案为：B .
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）当b2-4ac＞0，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0，方程没有实数根，据此可作出判断.
8．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设人数为x，物价为y，根据题意得
故答案为：B .
【分析】抓住题中关键已知条件：每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱，据此列方程即可.
9．【答案】A
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设该圆锥底面圆的半径为r，
∵圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，
∴
解之：.
故答案为：A .
【分析】设该圆锥底面圆的半径为r，利用圆锥展开扇形的弧长等于底面圆的周长，可得到关于r的方程，解方程求出r的值.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧，与y轴的交点在x轴的上方，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵当x=-2时y＜0，
∴4a-2b+c＜0即4a+c＜2b，故②错误；
∵抛物线与x轴的两个交点坐标为A（-1，0），B（n，0）
∴ 关于 x 的方程的解是，，故③正确；
∴抛物线的对称轴为直线，故④正确；
∴正确结论有3个.
故答案为：C .
【分析】抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧，与y轴的交点在x轴的上方，可得到a、b、c的取值范围，可对①作出判断；当x=-2时y＜0，可对②作出判断；利用抛物线与x轴的两个交点坐标，可对③④作出判断；综上所述，可得到正确结论的个数.
11．【答案】0.8a
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是0.8a.
故答案为：0.8a.
【分析】利用售价等于标价×折数，即可求解.
12．【答案】45°
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图
∵ 光线从水中射向空气时，要发生折射. 由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，
∴c∥d，
∴∠1=∠2=45°.
故答案为：45° .
【分析】抓住关键已知条件：光线从水中射向空气时，要发生折射. 由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的，可知c∥d，利用两直线平行，同位角相等可求出∠2的度数.
13．【答案】四
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴a-2=0，b+3=0
解之：a=2，b=-3
∴点A（2，-3），
∴点A在第四象限.
故答案为：四 .
【分析】利用几个非负数之和为0，则每一个都为0，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a、b的值，可得到点A的坐标，即可知道点A所在的象限.
14．【答案】
【知识点】三角形-动点问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∴，
∴，
∵ D是BC边上的一个动点，垂线段最短
∴当AD⊥BC时，AD最短，
∴，
∴AD的最小值为.
故答案为： .
【分析】利用已知条件可证得△ABC是等腰直角三角形，利用解直角三角形求出BC的长；再根据垂线段最短，可知当AD⊥BC时，AD最短，由此可求出AD的最小值.
15．【答案】（1）解： 原式
（2）解：原式=
当x=-4时，原式=
【知识点】实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先算乘方运算，同时代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，然后合并即可.
（2）先将括号里的分式通分计算，同时将分式除法转化为乘法运算，约分化简，然后将x的值代入进行计算.
16．【答案】（1）200；800
（2）解：C组的人数为200-20-80-40=60人，
补全条形统计图如下
（3）解：画树状图如下：
或列表如下：
甲 乙 丙
甲 　 （乙，甲） （丙，甲）
乙 （甲，乙） 　 （丙，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙） 　
共有6种等可能结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种
∴P(恰好选中甲和乙)=.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次抽取调查的学生人数为：40÷20％=200人；
估计该校2000名学生喜爱“B科技类”书籍的人数约为人
故答案为：200；800.
【分析】（1）利用两统计图可求出本次抽取调查的学生人数；再求出该校2000名学生喜爱“B科技类”书籍的人数.
（2）先求出C组的人数，再补全条形统计图.
（3）根据题意可知，此事件是抽取不放回，列出树状图或列表，可得到所有等可能的结果数及 恰好选中甲和乙的 情况数，然后利用概率公式进行计算.
17．【答案】解：由题意得：，，，.
在中，，.
∴
在中，
∴
∴
答：无人机从A点到B点的上升高度AB为3.6m
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】在Rt△AOC中，利用解直角三角形IQUC胡AO的长，再在Rt△BOC中，利用解直角三角形求出BO的长，然后根据AB=BO-AO，代入计算求出AB的长.
18．【答案】（1）解： 把点A(-8，1)代入，得：，
∴反比例函数的解析式为，
把点B(n，-4)代入，得：，
∴B(2，-4)，
把A(-8，1)，B(2，-4)代入
得，
解得，
∴一次函数的解析式为
（2）解：或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为：或，
∴关于 x 的不等式的解集为或.
【分析】（1）将点A、B的坐标代入反比例函数解析式可求出m、n的值，可得到反比例函数解析式及点B的坐标，再将点A、B的坐标分别代入一次函数解析式，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到一次函数解析式.
（2）利用点A、B的横坐标，观察图象，可得到关于 x 的不等式的解集.
19．【答案】（1）证明：连接 OA
是的直径
是 的半径
是的切线
（2）解：
的面积是的面积的3倍
设 CD = x
在 中，
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接OA，利用等边对等角可证得∠OAB=∠ABE，利用已知可推出∠OAB=∠CAE，利用圆周角定理可得到∠BAC=90°；再证明∠OAE=90°，利用切线的判定定理可证得结论.
（2）利用垂直的定义可证得∠ADC=∠BAC=90°，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△BAC∽△ADC，利用相似三角形的性质可证得，结合已知可得到AC与CD的比值，设CD = x，可表示出AC，BC，AO的长；再证明△OAE∽△CDE，利用相似三角形的性质可求出OE、OC的长，然后利用勾股定理求出AE的长.
20．【答案】1
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵x＜-1，
当时，
故答案为：1 .
【分析】利用x＜-1，取合适的x的值代入函数解析式，可求出对应的y的值.
21．【答案】29
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵ 方程的两根分别为a和b，
∴a+b=5，a2=24+5a，
∴原式=24+5a-4a+b=24+a+b=24+5=29.
故答案为：29 .
【分析】将x=a代入方程，可表示出a2的值，利用一元二次方程根与系数可求出a+b的值，然后代入代数式进行计算.
22．【答案】
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OB、OD，过点O作OH⊥BD于点H，
∴BD=2BH，BH=DH，
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A=180°-∠BCD=180°-120°=60°，
∵，
∴∠BOD=2∠A=120°，
∵OB=OD，
∴∠BOH=∠BOD=60°，
在Rt△BOH中，
∴
∴.
故答案为： .
【分析】连接OB、OD，过点O作OH⊥BD于点H，利用垂径定理可证得BD=2BH，BH=DH，利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠A的度数；再利用等腰三角形的性质可求出∠BOH的度数，在Rt△BOH中，利用解直角三角形求出BH的长，可得到BD的长.
23．【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接AD，
由作图可知AF垂直平分CD，
∴AD=AC，∠AED=90°，CD=2DE，
∴∠C=∠ADC，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠C=2∠B，
∴∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠B=∠BAD，
∴BD=AD=13，
∴DC=BC-BD=23-13=10，
∴DE=5，
在Rt△ADE中
故答案为：12 .
【分析】连接AD，由作图可知AF垂直平分CD，可证得AD=AC，∠AED=90°，CD=2DE，利用等边对等角可推出∠C=∠ADC，利用三角形外角的性质及已知条件可推出∠B=∠BAD，利用等角对等边可求出AD，DC的长，即可得到DE的长；然后利用勾股定理求出AE的长.
24．【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（1）连接DE，
∵ D， E分别是边BC和AC的中 点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，AB=2DE，
∴△CDE∽△CBA，△DEF∽△ABF，
∴，
∴BF=2EF即BE=3EF，
∴S△DEF=S△BDE，
∵△ABC的面积为1，
∴S△CDE=；
∵点D是BC的中点，
∴S△BDE=S△CDE=，
∴，
∴S四边形CDFE=S△DEF+S△CDE=
故答案为： .
（2）连接MN，
∵ M， N分别是边BC和AC上距离C点最近的6等分点，
∴AC=6NC，BC=6CM，
∴
∵∠C=∠C，
∴△MNC∽△ABC，
∴∠BAC=∠CNM，AB=6MN，
∴MN∥AB，，
∴△MNG∽△ABG，
∴，
∴，
∴S△GMN=S△BMN，S△CMN=S△BMN， ∴S△BMN= 536 ， ∴S△GMN=，
∴ S四边形CMGN=S△GMN+S△CMN=
故答案为：.
【分析】（1）连接DE，易证DE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可证得DE∥AB，AB=2DE，据此可得到△CDE∽△CBA，△DEF∽△ABF，利用相似三角形的性质可求出△CDE的面积，同时可得到△BDE的面积，即可求出△DEF的面积，然后求出四边形CDFE的面积即可.
（2）连接MN，利用已知可证得，利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△MNC∽△ABC，利用相似三角形的性质，可求出△CMN的面积，同时可证得NM∥AB，可推出△MNG∽△ABG，利用相似三角形的性质可得到NG与BG的比值，可求出△BMN和△GMN的面积，然后根据S四边形CMGN=S△GMN+S△CMN，可得到四边形CMGN的面积.
25．【答案】（1）解： 设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为(x+400)元.
由题意得：
解得：
经检验：x=600符合题意
答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元
（2）解：设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷(20-m)顶，总费用为W元.
由题意得： ，解得：m≤15，
又∵两种型号的帐篷均需购买，
∴0W=600m+1000(20-m)=-400m+2000，
∵-400<0，
∴W随m的增大而减小
∴当m=15时，W取最小值，W最小=-400×15+20000=14000，
此时20-m=5，
答：当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：1800÷A种帐篷的单价=3000÷B种帐篷的单价； B种帐篷的单价=A种帐篷的单价+400，设未知数，列方程求解即可.
（2）设购买A种帐篷m顶，总费用为W元，根据题意可求出m的取值范围，同时可得到W关于x的函数解析式，利用一次函数的性质求解即可.
26．【答案】（1）证明： ∵四边形 ABCD 为正方形
∴，，
在 和 中，
（2）解： 连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为正方形，，
∴BD垂直平分AC，，
∴，，
由（1）知，
∴，，
∵四边形AECF的周长为，
∴，
在Rt△AOF中，，
∴，
∴，
答：EF的长为6
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得∠ADE=∠CBF=45°，AD=BC，再利用SAS可证得结论.
（2）连接AC交BD于点O，利用正方形的性质求出OA的长；利用全等三角形的性质可证得AE=CF=AE=CE，据此可求出AF的长，利用勾股定理可求出OF的长；然后求出BF的长，根据EF=BD-BF，代入计算求出EF的长.
27．【答案】（1）解：将 B（9，0）和 C（0，-3）代入 得
解得：
∴抛物线的解析式为
（2）解：（2）①当点 P 在 x 轴下方时（如图1），
∵
∴
∴点 P 的纵坐标等于 -3
将 代入 解得 ，
∴点 P 的坐标为 （8，-3）
②当点 P 在 x 轴上方时，PC 与 AB 相交于点 M（如图 2），
∵，
∴，
∵ B（9，0），C（0，-3），
∴，，
设 ，则 ，
在 中，，
∴，解得： ，
∴ 点 M 的坐标为（4，0），
设直线 CP 的解析式为 ，
将 M（4，0）和 C（0，-3）代入得，
，
解得：，
∴ 直线 CP 的解析式为 ，
由题意得：，解得 ，，
∴ 点 P 的坐标为 ，
综上所述，点 P 的坐标为 （8，-3）或
（3）(-5，14)或(5，)或(13，38)
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换；二次函数-角度的存在性问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）由（2）可知抛物线的对称轴为直线x=4，
∵点B（9，0），C（0，-3）
∴点A（4-5，0）即（-1，0），
∴OC=3，OA=1，
∴，
∵ 将抛物线沿射线 CA 的方向平移个单位长度后得到新抛物线，
∴平移后的点C的坐标为（2，3），
∵点C（0，-3）
∴将原抛物线向左平移2个单位，向上平移6个单位，
∵
∴新的抛物线的解析式为，
设点E，点F（4，n）
当BE，CF为对角线时，
解之：m=-5，
∴14，
∴点E的坐标为（-5，14）；
当BF，CE为对角线时，
解之：m=13，
∴，
∴点E（13，38）；
当BC，EF为对角线时，
解之：m=5，
∴，
∴点E(5，)，
综上所述，点E的坐标为(-5，14)或(5，)或(13，38)
【分析】（1）将点B、C的坐标代入函数解析式，可得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值，可得到二次函数解析式.
（2）分情况讨论：①当点 P 在 x 轴下方时（如图1），可证得CP∥AB，可得到点P的纵坐标，将点P的纵坐标代入函数解析式求出对应的x的值，可得到符合题意的点P的坐标；②当点 P 在 x 轴上方时，PC 与 AB 相交于点 M（如图 2），利用等角对等边可证得BM=CM，利用点B、C的坐标可求出OB、OC的长；设 ，可表示出CM的长，在Rt△COM种，利用勾股定理可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点M的坐标；利用待定系数法求出直线CP的函数解析式，将两函数解析式联立方程组，可求出方程组的解，即可得到符合题意的点P的坐标；综上所述，可得到点P的坐标.
（3）利用原抛物线的解析式可得到抛物线的对称轴，利用二次函数的对称性可得到点A的坐标，利用勾股定理求出AC的长；再根据平移可得到平移后的点C的坐标，结合点C的坐标，可知将原抛物线向左平移2个单位，向上平移6个单位，即可得到平移后的函数解析式，设点E，点F（4，n），分情况讨论：当BE，CF为对角线时；当BF，CE为对角线时；当BC，EF为对角线时；利用平行四边形的对角线互相平分，分别可得到关于m的方程，分别解方程求出m的值，可得到点E的坐标.
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