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黑龙江省齐齐哈尔市2025届中考数学试卷
一、单选题
1．《九章算术》是我国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数．若收入元记作元，则支出元记作（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
2．社会规则营造良好的社会秩序，我们要了解并遵守社会规则．下列标志是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．将一个含角的三角尺和直尺按如图摆放，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．为了全面地反映物体的形状，生产实践中往往采用多个视图来反映同一物体不同方面的形状．下图中飞机的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
6．如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（ ）
A． B． C．或 D．且
7．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
9．如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；⑤关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．中国年水资源总量约为亿，人均占有水量相当于世界人均的四分之一，居世界第110位．将用科学记数法表示为 ．
12．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
13．若圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的圆心角为 度．
14．如图，在中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M，交于点N，若点N恰为的中点，则的长为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，若，则实数k的值为 ．
16．等腰三角形纸片中，，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交于点D，交直线于点E，连接，若，，则的面积为 ．
17．利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边作，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第1条弧；以为边，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第2条弧……按此规律，第2025条弧上与原点的距离最小的点的坐标为 ．
三、解答题
18．（1）计算：
（2）分解因式：
19．解方程：
20．国家卫生健康委员会宣布将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．某校响应号召，计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：__________；
(2)请补全条形统计图；
(3)扇形统计图中，“足球”对应扇形的圆心角为__________度；
(4)若该校有名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？
21．如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若点B是的中点，且，求的半径．
22．2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
(1)A，C两区相距__________米，__________；
(2)求线段所在直线的函数解析式；
(3)机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可）
23．综合与实践
在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”．
(1)【几何直观】如图1，中，，，在内部取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则与的数量关系是__________；与的数量关系是__________；
(2)【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形；
(3)【深度探究】如图3，矩形中，，，在其内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使，连接，延长交的延长线于点，连接，若，则__________；
(4)【拓展延伸】在矩形中，点为边上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，，则的最小值为__________．
24．综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线下方抛物线上的点，连接，，当时，求点的坐标；
(3)点是第四象限内抛物线上的一点，连接，若，则点的坐标为__________；
(4)如图2，作点关于轴的对称点，过点作轴的平行线l，过点作，垂足为点，动点，分别从点，同时出发，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动（当点到达点时，点，都停止运动），连接，过点作的垂线，垂足为点，连接，则的取值范围是__________．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A C A C D B A B
11．
12．且
13．160
14．
15．
16．或
17．
18．（1）；（2）
解：（1）原式；
（2）原式．
19．，
解：，
，
，
或，
∴，
20．(1)24
(2)见解析
(3)
(4)960人
（1）解：随机抽取部分学生的总人数为（人），
∴，
即，
故答案为：
（2）随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生数为：（人），补全条形统计图如下：
（3）“足球”对应扇形的圆心角为，
故答案为：
（4）（人）
答：估计该校最喜爱篮球运动的学生有人．
21．(1)见解析
(2)
（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，即，
．
为的半径，
是的切线．
（2）解：点B是的中点，
．
，
．
，
．
又，
．
．
在中．
．
即半径为．
22．(1)
(2)
(3)7分或11分或13分
（1）解：由题意可得，A，C两区相距为（米），
由题意可知，表示甲到达B区的时间，则，
故答案为：
（2）由题意可知，点E表示机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速到达了B区，
∴点E的横坐标为，
∴，
设直线的解析式为，把，代入得到，
，解得：，
∴线段所在直线的函数解析式为：；
（3）机器人乙行进的时间为x分时，甲和乙都未到达B区，相距30米，
则，
解得，
即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米；
机器人乙行进的时间为t分时，从B点返回，且甲仍在B区停留期间，相距30米，
则，
解得，
即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米；
机器人乙行进的时间为n分时，从B点返回途中，且甲离开B区向C区前进时，相距30米，
当时，甲机器人距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系为，把，代入得到，
，解得：，
∴线段所在直线的函数解析式为：；
则，
解得，
即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米；
综上可知，机器人乙行进的时间7分或11分或13分时，机器人甲、乙相距30米．
23．(1)相等（或）；相等（或）
(2)见解析
(3)
(4)
（1）；
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，
∵，
∴，即
又∵，
∴
∴；
故答案为：相等（或）；相等（或）．
（2）证明：∵四边形是正方形
∴，
∵绕点逆时针旋转得到线段，
∴
∵，
∴即
∴
∴，
∵
∴
∴
∴四边形是矩形
又∵
∴四边形是正方形；
（3）解：∵绕点逆时针旋转得到线段，
∴
∵，
∴
∵四边形是矩形，，，
∴，
∴
∴
∵，
∴即
∴
∴
∵
∴
∴
∴四边形是矩形，
如图，连接交于点，连接
∵是的中点，
在中，
∴
∴共圆，
∴，
∵
∴
∴，
在中，
∴
∵，
在中，
∴，
∵
∴
又
∴
∴，即
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
（4）解：如图，连接交于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴
∴
∴是等边三角形，则
∵线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，
∴
∴，即
又
∴，
∴
∴在上运动，且
∴当时，取得最小值，
∵
∴
又∵
∴
∴当时，
故答案为：．
24．(1)
(2)，
(3)
(4)
（1）解：∵抛物线与轴交于点，，
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为
（2）解：作，交轴于点，连接，
∵，
∴，
∴，
∵点，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设所在直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得，，
∴所在直线的解析式为，
∵，，
∴所在直线的解析式为，
又∵点在抛物线上，
∴，
解得，，，
∴，
（3）解：如图，将以点为中心，逆时针旋转，得到，连接，则为等腰直角三角形，
∴，
∵点是第四象限内抛物线上的一点，，
∴点为延长线与抛物线的交点，
由旋转可知，，，，，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
设所在直线的解析式为，则
，
解得，，
∴所在直线的解析式为，
由得，或，
∵点在第四象限，
∴点的横坐标为正数，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴
故答案为：
（4）解：如图，连接，交于点，连接，
∵点和点关于轴对称，点在轴上，，
∴点在轴上，，
∵过点，且平行于轴，，
∴，
又∵于点，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
根据题意可知，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
作于点，则，
∴，
∴，，
∴，
∴，
取中点记为，连接，则
又∵，
∴，
∴，
∴，当且仅当点、点、点共线时，取得最小值，
作于点，作于点，交于点，连接，则四边形为矩形，
∴，，
∵，点为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点到达点时，点、点、点重合，此时取得最大值，
∵，
∴，
∴的取值范围是，
故答案为：．

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