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江苏省扬州市2025年中考数学真题试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2025·扬州）下列温度中，比﹣3℃低的温度是（　　）
A．﹣5℃ B．﹣2℃ C．0℃ D．2℃
2．（2025·扬州）窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·扬州）下列说法不正确的是（　　）
A．明天下雨是随机事件
B．调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式
C．描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图
D．若甲组数据的方差S甲2＝0.13，乙组数据的方差S乙2＝0.04，则乙组数据更稳定
4．（2025·扬州）关于一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列结论正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断根的情况
5．（2025·扬州）如图，数轴上点A表示的数可能是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·扬州）在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是（　　）
A．∠ADB=∠ADC B．∠B＝∠C C．BD=CD D．AD平分∠BAC
7．（2025·扬州）如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G．若∠ABE＝130°，∠CDF＝150°，则∠EGF的度数是（　　）
A．60° B．70° C．80° D．90°
8．（2025·扬州）已知m2025+2025m＝2025，则一次函数y＝（1﹣m）x+m的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（2025·扬州）2025年3月30日，扬州鉴真半程马拉松暨大运河马拉松系列赛在市民中心广场鸣枪开跑，约30000名跑者用脚步丈量千年古城，用拼搏诠释无限热爱．将数据30000用科学记数法表示为　 　 ．
10．（2025·扬州）分解因式：a2﹣4=　 　．
11．（2025·扬州）计算：（1）　 　 ．
12．（2025·扬州）若a2﹣2b+1＝0，则代数式2a2﹣4b+3的值是　 　 ．
13．（2025·扬州）若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为 　 　 ．
14．（2025·扬州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝50°，则∠OBC＝　 　 °．
15．（2025·扬州）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°．若AC＝4，BC＝8，则DF的长是　 　 ．
16．（2025·扬州）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41； 根据上述规律，写出第⑤组勾股数为　 　 ．
17．（2025·扬州）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM＝7cm．将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图如图2所示，则tanα＝ 　 　 ．
18．（2025·扬州）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，点E是BC边上的动点，将△ABE沿直线AE翻折得到△APE，过点P作PF⊥AD，垂足为F，点Q是线段AP上一点，且AQPF．当点E从点B运动到点C时，点Q运动的路径长是　 　 ．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2025·扬州）计算：
（1）2cos30°+（π+1）0；
（2）a（a+2）﹣a3÷a．
20．（2025·扬州）解不等式组，并写出它的所有负整数解．
21．（2025·扬州）为角逐市校园“音乐达人”大赛，小红和小丽参加了校内选拔赛，10位评委的评分情况如下（单位：分）．
表1评委评分数据
选手 评委评分
小红 7 8 7 8 7 7 7 8 7 9
小丽 7 7 6 8 8 8 8 8 7 8
表2评委评分数据分析
选手 平均数 中位数 众数
小红 7.5 b 7
小丽 a 8 c
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表2中a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ；
（2）你认为小红和小丽谁的成绩较好？请说明理由．
22．（2025·扬州）为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动．
（1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是　 　 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率．
23．（2025·扬州）某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个．求这两款书签的单价．
24．（2025·扬州）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（﹣1，6），B（m，﹣2）．
（1）求反比例函数、一次函数的表达式；
（2）求△OAB的面积．
25．（2025·扬州）如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB＝3，BC＝5，CE平分∠ACD，求DE的长．
26．（2025·扬州）材料的疏水性
扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质．
【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N）所作的气﹣液界线的切线与固﹣液界线的夹角，图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
（2）材料的疏水性随着接触角的变大而　 　 （选填“变强”“不变”“变弱”）．
（3）【实践探索】
实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC（BC⊥AC），求出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数（如图3）．
请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说明理由．
（4）【创新思考】
材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化．
27．（2025·扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象（记为G1）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象（记为G2）经过点A，C．直线x＝t与两个图象G1，G2分别交于点M，N，与x轴交于点P．
（1）求b，c的值．
（2）当点P在线段AO上时，求MN的最大值．
（3）设点M，N到直线AC的距离分别为m，n．当m+n＝4时，对应的t值有　 　 个；当m﹣n＝3时，对应的t值有　 　 个；当mn＝2时，对应的t值有　 　 个；当1时，对应的t值有　 　 个．
28．（2025·扬州）问题：如图1，点P为正方形ABCD内一个动点，过点P作EF∥AD，GH∥AB，矩形PHCF的面积是矩形PGAE面积的2倍，探索∠FAH的度数随点P运动的变化情况．
【从特例开始】
（1）小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2），请你仅用无刻度的直尺连接一条线段，由此可得此图形中∠FAH＝ 　 　 °．
（2）小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3），其中PE＝PF＝6，PG＝4，PH＝8，求此图形中∠FAH的度数；
（3）【一般化探索】
利用图1，探索上述问题中∠FAH的度数随点P运动的变化情况，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】根据正数大于0，负数小于零，负数比较大小，数值大的反而小，解答即可.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的的定义“一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”逐项判断解题.
3．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查；折线统计图；事件的分类；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：A：明天下雨是随机事件，说法正确，不符合题意；
B：调查长江中现有鱼的种类，适宜采用抽样的方式，原说法错误，符合题意；
C：描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图，说法正确，不符合题意；
D：若甲组数据的方差S甲2＝0.13，乙组数据的方差S乙2＝0.04，则乙组数据更稳定，说法正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据时件的分类、调查方式、统计图和方差的定义逐项判断解答.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A.
【分析】根据方程求出，得到方程根的情况解答即可.
5．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴ 数轴上点A表示的数可能是，
故答案为：C.
【分析】根据无理数的估算解答即可.
6．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵点D在BC上，保存进入下一题
∴∠ADB+∠ADC =180°，
∵∠ADB=∠ADC，
∴2∠ADC=180°，
∴∠ADC =90°，
∴AD⊥BC，
故A不符合题意；
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠B=∠C与点D所在的位置没有关系，
∴由∠B=∠C不能说明AD⊥BC，故B符合题意；
∵AB= AC， BD=CD，
∴AD⊥BC，
故C不符合题意；
∵AB= AC， AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
故D不符合题意，
故答案为： B.
【分析】由∠ADB+∠ADC=180°， 且∠ADB=∠ADC， 求得∠ADC =90°， 则AD⊥BC， 可判断A不符合题意； 由AB = AC，得∠B=∠C， 可知由∠B =∠C不能说明AD⊥BC， 可判断B符合题意； 由AB= AC，BD=CD，根据等腰三角形的“三线合一”得AD⊥BC， 可判断C不符合题意； 由AB = AC，AD平分∠BAC，根据等腰三角形的“三线合一”得AD⊥BC，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案.
7．【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：由题意可知： AB∥PQ∥CD，
∵AB∥PQ，
∴∠ABE+∠BGP=180°，
∵∠ABE=130°，
∴∠BGP=180°-130°=50°，
∵PQ∥CD，
∴∠PGD+∠CDF =180°，
∵∠CDF=150°，
∴∠PGD=180°-150°= 30°，
∴∠BGD=∠BGP+∠PGD=50°+30°=80°，
∴∠EGF =∠BGD=80°，
故答案为：C.
【分析】根据物理学原理可知：AB∥PQ∥CD，再根据平行线的性质求出∠BGP和∠PGD， 从而求出∠BGD，最后根据对顶角相等求出答案即可.
8．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；一次函数的图象；估计方程的解；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：，
且
∴一次函数 的图象经过第一、二、三象限， 不经过第四象限，
故答案为：D.
【分析】先根据 判断m的取值范围，再根据一次函数的性质判断其图象经过的象限.
9．【答案】3×104
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】将一个数表示成的形式，其中 ，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案.
10．【答案】（a+2）（a﹣2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：a2﹣4=（a+2）（a﹣2）．
【分析】有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．
11．【答案】x﹣2
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：x﹣2.
【分析】先运算括号内的分式，然后把除法化为乘法约分化简解答即可.
12．【答案】1
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a2﹣2b+1＝0，
∴a2﹣2b=-1，
∴ 2a2﹣4b+3=2(a2-2b)+3=2×(-1)+3=1，
故答案为：1.
【分析】先得到a2﹣2b=-1，然后把代数式化为2(a2-2b)+3，整体代入计算解题.
13．【答案】9
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵多边形的每个内角都是
∴多边形的每个外角都是
∴这个多边形的边数为：
故答案为： 9.
【分析】先根据多边形的一个内角与它相邻的外角的和为 求出多边形的每个内角的度数，然后根据多边形的外角和为 求出边数即可.
14．【答案】40
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：，
故答案为：40.
【分析】根据圆周角定理求得 的度数，然后利用三角形内角和定理及等边对等角即可求得答案.
15．【答案】6
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点D， E分别是边AB， BC的中点，
∴ DE是 的中位线，
在 中，E是斜边BC的中点，
则
故答案为：6.
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出FE，进而求出DF.
16．【答案】11，60，61
【知识点】勾股数；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：通过观察得：
第①组勾股数分别为：
第②组勾股数分别为：
第③组勾股数分别为：
第④组勾股数为： ；
所以第⑤组勾股数为：2×5+1=11，
故答案为： 11， 60， 61.
【分析】通过观察，得出规律：这类勾股数分别为 由此可写出第⑤组勾股数.
17．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：
如图，延长AN，交直线BC于点E，
由题意得： ，
设 则
∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为α的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为α的斜坡上时，水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为 的长方体的体积与长为9cm、宽为9cm、高为 xcm的长方体的体积的一半之和，
解得
即
故答案为：.
【分析】延长AN，交直线BC于点E， 设. 则 先根据水的体积不变建立方程，解方程可得x的值，再根据平行线的性质可得 然后根据正切的定义计算即可得.
18．【答案】
【知识点】矩形的性质；弧长的计算；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=90°，
∵将△ABE沿直线AE翻折得到△APE，
∴AP=AB=4，
当点P在矩形内部时，作HQ⊥AP，交AB于点H，则： ∠AQH =90°=∠BAD，
∠AHQ =∠PAF=90°-∠HAQ，
∵PF⊥AD，
∴∠PFA=90°=∠AQH，
∴△AQH∽△PFA，
，
∴点Q在以AH为直径的圆上运动，
∴当点E从点B开始运动直至点P落在AD上时，点Q的运动轨迹为半圆AH，
∴点Q的运动路径长为：
当点P在矩形ABCD的外部时，作交AB的延长线于点K，
同法可得： 点Q在以AK为直径的⊙O上运动，
连接OQ，
当点E运动到点C时，如图：
∵将 沿直线AE翻折得到
∴点Q的运动轨迹为圆心角为 的 路径长为
∴点Q的运动路径总长为：
故答案为：
【分析】分点P在矩形内部和点P在矩形外部，两种情况进行讨论求解，当点P在矩形内部时，作 交AB于点H，证明 进而得到 进而得到点Q在以AH为直径的圆上运动，得到当点E从点B开始运动直至点P落在AD上时，点Q的运动轨迹为半圆AH，当点P在矩形外部时，同法可得，点Q在以AK为直径的圆上，得到当点E运动到点C时，点Q的运动轨迹是圆心角为 的 求出两段路径的和即可得出结果.
19．【答案】（1）解：原式＝221
＝21
1
（2）解：原式＝a2+2a﹣a2
＝2a．
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先运算二次根式、零指数次幂，代入特殊角的三角函数值，然后合并解答即可；
（2）先运算单项式乘以多项式，同底数幂的除法，然后合并解答即可.
20．【答案】解：，
由①得，x≤1，
由②得，x＞﹣3，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤1．
负整数解有：﹣2、﹣1．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先分别求出不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的到公共部分，取非负整数解即可.
21．【答案】（1）7.5；7；7
（2）解：小丽的成绩较好，理由如下：
因为两个人的平均数相同，但小丽的成绩的中位数和众数均高于小红，所以小丽的成绩较好．
【知识点】统计表；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）解：a=，
把小丽得平分从小到大排列，居于中间的两个数为8和8，故b=，
小丽评分中8出现的次数最多，故c=8，
故答案为：7.5，8，8；
【分析】(1)分别根据平均数，中位数和众数的定义解答即可；
(2)根据平均数、众数和中位数的意义解答即可.
22．【答案】（1）
（2）解：树状图如下所示：
由上可得，一共有16种等可能性，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的可能性有4种，
∴小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】(1)由题意可得，小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是
故答案为：
【分析】(1)根据题意和题目中的数据，可以得到小明在这4种体育活动中随机选择，选中“乒乓球”的概率；
(2)根据题意可以画出相应的树状图，然后求出相应的概率即可.
23．【答案】解：设乙款书签的单价是x元，则甲款书签的单价是x元，
根据题意得：3，
解得：x＝16，
经检验，x＝16是所列方程的解，且符合题意，
∴x16＝20（元）．
答：甲款书签的单价是20元，乙款书签的单价是16元．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设乙款书签的单价是x元，则甲款书签的单价是 元，利用数量=总价÷单价，结合用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，可列出关于x的分式方程，解之可得出x的值 (即乙款书签的单价)，再将其代入 中，即可求出甲款书签的单价.
24．【答案】（1）解：由题意得：将点A（﹣1，6）代入，得：k＝﹣1×6＝﹣6，
所以反比例函数的表达式为，
将点B（m，﹣2）代入可得：，
∴B（3，﹣2），
将点A（﹣1，6），B（3，﹣2）代入y＝ax+b 得：，
解得，
所以一次函数的表达式为y＝﹣2x+4；
（2）解：如图，设一次函数的图象与x轴的交点为点C，
将y＝0代入一次函数y＝﹣2x+4得：﹣2x+4＝0，解得x＝2，
∴C（2，0），
∴OC＝2，
由（1）已得：A（﹣1，6），B（3，﹣2），
∴△AOC的OC边上的高为|6|＝6，△BOC的OC边上的高为|﹣2|＝2，
∴△OAB 的面积为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】(1)将点 代入可得反比例函数的解析式，再求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式即可得；
(2)设一次函数的图象与x轴的交点为点C，先求出点C的坐标，再根据 的面积等于 与 的面积之和即可得.
25．【答案】（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，FA＝FC，OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△OAE≌△OCF（ASA），
∴EA＝FC，
∴EA＝EC＝FA＝FC，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）解：过点B作BP⊥AC于点P，在AP上截取PQ＝PA，连接BQ，如图所示：
设PA＝x，∠ACB＝α，
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝3，BC＝5，
∴AD＝BC＝5，AB∥CD，OA＝OCAC
∵四边形AFCE是菱形，
∴∠ACB＝∠ACE＝α，AE＝CF，EF⊥AC，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE＝α，
∴∠ACD＝2α，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝2α，
∵BP⊥AC，PQ＝PA＝x，
∴BP是AQ的垂直平分线，
∴BQ＝AB＝3，
∴∠BQA＝∠BAC＝2α，
∵∠BQA是△QBC的外角，
∴∠BQA＝∠QBC+∠ACB，
∴2α＝∠QBC+α，
∴∠QBC＝α，
∴∠QBC＝∠ACB＝α，
∴BQ＝CQ＝3，
∴CP＝CQ+PQ＝3+x，
在Rt△ABP和Rt△CBP中，由勾股定理得：BP2＝AB2﹣AP2＝BC2﹣CP2，
∴32﹣x2＝52﹣（3+x）2，
解得：x，
∴AP＝x，CP＝3+x，
∴AC＝AP+PC，
∴OCAC，
∴BP，
∵EF⊥AC，BP⊥AC，
∴EF∥BP，
∴△OCF∽△PCB，
∴，
∴CP OF＝OC BP，
∴，
∴OF，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：CF，
∴AE＝CF，
∴DE＝AD﹣AE．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到EA＝EC，FA＝FC，然后利用AS证明△OAE≌△OCF，即可得到EA＝FC，证明结论；
（2）过点B作BP⊥AC于点P，在AP上截取PQ＝PA，连接BQ，设PA＝x，∠ACB＝α，即可得到∠ACD＝2α，根据垂直平分线得到BQ＝AB＝3，即可得到∠BQA＝∠BAC＝2α，进而利用外角得到2α＝∠QBC+α，进而求出∠QBC＝α，然后在Rt△ABP和Rt△CBP中，由勾股定理BP2＝AB2﹣AP2＝BC2﹣CP2求出x值，然后证明△OCF∽△PCB，根据对应边成比例求出OF长，再根据勾股定理解答即可.
26．【答案】（1）解：①圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M，N，连接MC，NC；
②分别作MC，NC的中垂线，交于点O，则点O为圆弧的圆心；
③连接OM，过点M作PM⊥OM，则PM为圆O的切线，故∠PMN即为所求；
（2）变强
（3）解：∠CAD＝2∠BAC，理由如下：
连接OA，则：OA＝OB，
∴∠ABC＝∠OAB，
∵AD为切线，
∴OA⊥AD，
∴∠OAB+∠BAD＝90°，
∵BC⊥AC，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∵∠ABC＝∠OAB，
∴∠BAD＝∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD+∠BAC＝2∠BAC；
（4）解：∵水滴弧的长度为：，
∴，
∴可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）．
【知识点】切线的性质；弧长的计算；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】(2)由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，
故材料的疏水性随着接触角的变大而变强，
故答案为：变强；
【分析】(1)圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M，N， 连接MC， NC， 分别作MC， NC的中垂线， 交于点O，则点O为圆弧的圆心，连接OM，过点M作 则PM为圆O的切线， 即为所求；
(2)根据题意，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，进行作答即可；
(3)连接OA，等边对等角，得到 ，切线的性质，结合等角的余角相等，得到进而得到即可；
(4)可以根据 进行判断，根据 越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强进行作答即可.
27．【答案】（1）解：∵二次函数y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+3）（x﹣1），
∴令y＝0，可得x＝﹣3或1，
即A（﹣3，0），B（1，0），
把A（﹣3，0），C（0，3）代入y＝x2+bx+c中，可得
，解得，
故b的值为4，c的值为3；
（2）解：由（1）知G2的表达式为y＝x2+4x+3，
设P（t，0）（﹣3≤t≤0），则M（t，﹣t2﹣2t+3），N（t，t2+4t+3），
故MN＝﹣t2﹣2t+3﹣t2﹣4t﹣3＝﹣2t2﹣6t＝﹣2（t）2，
即MN的最大值为；
（3）2；0；4；无数
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）作MS⊥AC于点S，RN⊥AC于点R，设MN交AC于点E，如图1所示，
由待定系数法可知直线AC的表达式为y＝x+3，
∴∠CAB＝45°，
∴∠MES＝∠NER ＝45°，
∵MS＝m，RN＝n，
∴ME，RN，
∵E（t，t+3），
∴ME，NE，
即ME＝NE，
进而可得m＝n，
①当m+n＝4时，
即m＝n＝2，故MN，
当﹣3≤t≤0时，MNmax，
那么由图可知当t＜﹣3时或t＞1时，共2种情况满足题意，
故对应的t值有2个；
②当m﹣n＝3时，即m＝n+3，这与m＝n相矛盾，故不成立，对应的t值有0个；
③当mn＝2时，由m＝n可知，m＝n，
故ME＝2，
∴2，即t2+3t＝±2，
解得t＝﹣2或﹣1或或，
故对应的t值有4个；
④当1时，
∵m＝n恒成立，
∴对应的t值有无数个．
故答案为：2，0，4，无数．
【分析】（1）运用待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）设点P的坐标为（t，0），得到点M和N的坐标，表示MN的长，配方得到顶点式即可得到最值；
（3）作MS⊥AC于点S，RN⊥AC于点R，设MN交AC于点E，求出直线AC的解析式，即可得到∠MES＝∠NER ＝45°，得到ME＝NE，即可得到m＝n，然后根据m、n的各种情况求出t值解答即可.
28．【答案】（1）45
（2）解：延长CB至点T，使得BT＝DF，连接AT，FH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABT＝90°，
∴△ABT≌△ADF（SAS），
∴AT＝AF，∠TAB＝∠FAD，
∴∠FAD+∠BAH＝90°﹣∠HAF＝∠TAB+∠BAH＝∠TAH，
∵EF∥AD，GH∥AB，
∴四边形AEPG是平行四边形，
∵∠BAD＝90°，
∴四边形AEPG是矩形，
同理可得四边形PEBH，PGDF，PHCF为矩形，
∴PE＝BH＝6，PG＝DF＝TB＝4，∠HPF＝90°，
∴TH＝TB+BH＝4+6＝10，，
∴HT＝HF，
∴在△AHT和△AHF中，
，
∴△AHT≌△AHF（SSS），
∴∠TAH＝∠HAF，
∵∠TAH＝90°﹣∠HAF，
∴90°﹣∠HAF＝∠HAF，
∴∠HAF＝45°，即∠FAH＝45°；
（3）解：随点P的运动，∠FAH的度数不变，且为45°，理由如下：
延长CB至点T，使得BT＝DF，连接AT，FH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABT＝90°，
∴△ABT≌△ADF（SAS），
∴BT＝DF，AT＝AF，∠TAB＝∠FAD，
∴∠FAD+∠BAH＝90°﹣∠HAF＝∠TAB+∠BAH＝∠TAH，
同（2）可得四边形AEPG是矩形，四边形PEBH，PGDF，PHCF为矩形，
设正方形的边长为x，AG＝a，PG＝b，
∴AG＝PE＝BH＝a，PG＝DF＝BT＝b，
∴CH＝BC﹣BH＝x﹣a，CF＝CD﹣DF＝x﹣b，
∴HT＝BH+BT＝a+b，
∴∵S矩形PHCF＝2S矩形PGAE，
∴（x﹣a）（x﹣b）＝2ab，
整理得x2＝ab+ax+bx，
∵在Rt△CHF中，CH2+CF2＝HF2，
∴HF2＝（x﹣a）2+（x﹣b）2
＝2x2﹣2ax+a2﹣2bx+b2
＝2ab+2ax+2bx﹣2ax+a2﹣2bx+b2
＝（a+b）2，
∴HF＝a+b（舍负），
∴HF＝HT，
∴在△AHT和△AHF 中，
，
∴△AHT≌△AHF（SSS），
∴∠TAH＝∠HAF，
∵∠TAH＝90°﹣∠HAF，
∴90°﹣∠HAF＝∠HAF，
∴∠HAF＝45°，即∠FAH＝45°．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理的逆定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）如图，MN即为所求：
连接AH，AF与格线的交点记为M，N，
由网格可得，EM∥BH，
∴△AEM∽△ABH，
∴，
∵BH＝2，
∴EM＝1，
∴M为格点，同理N为格点，
∵，MN，，
∴AM2+MN2＝AN2，AM＝MN，
∴∠AMN＝90°，
∴△AMN为等腰直角三角形，
∴∠FAH＝45°
故答案为：45；
【分析】(1)连接AH，AF与格线的交点记为M，N，先确定点M，N为格点，然后由勾股定理以及逆定理证明△AMN为等腰直角三角形，即可求解∠FAH的度数；
(2)延长CB至点T， 使得BT = DF， 连接AT，FH， 先证明△ABT≌△ADF(SAS)，则AT= AF， ∠TAB=∠FAD， 那么∠FAD+∠BAH =90°-∠HAF=∠TAB+∠BAH=∠TAH，可得四边形AEPG是矩形， 四边形PEBH，PGDF， PHCF为矩形， 求出TH=TB+BH =10， 由勾股定理得HF=10， 则HT= HF， 即可得到△AHT≌△AHF(SSS)，则∠TAH =∠HAF， 即可求解∠FAH =45°；
(3)延长CB至点T， 使得BT = DF， 连接AT，FH， 同理△ABT≌△ADF(SAS)，同 (2) 可得四边形AEPG是矩形， 四边形PEBH， PGDF，PHCF为矩形， 设正方形的边长为x， AG=a，PG=b， 则CH = BC-BH =x-a，CF=CD-DF=x-b，HT=BH+BT =a+b， 由 得到 ，在Rt△CHF中，由勾股定理得 求出HF=a+b，则HF= HT， 再证明△AHT≌△AHF(SSS)即可.
1 / 1江苏省扬州市2025年中考数学真题试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2025·扬州）下列温度中，比﹣3℃低的温度是（　　）
A．﹣5℃ B．﹣2℃ C．0℃ D．2℃
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】根据正数大于0，负数小于零，负数比较大小，数值大的反而小，解答即可.
2．（2025·扬州）窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的的定义“一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”逐项判断解题.
3．（2025·扬州）下列说法不正确的是（　　）
A．明天下雨是随机事件
B．调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式
C．描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图
D．若甲组数据的方差S甲2＝0.13，乙组数据的方差S乙2＝0.04，则乙组数据更稳定
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查；折线统计图；事件的分类；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：A：明天下雨是随机事件，说法正确，不符合题意；
B：调查长江中现有鱼的种类，适宜采用抽样的方式，原说法错误，符合题意；
C：描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图，说法正确，不符合题意；
D：若甲组数据的方差S甲2＝0.13，乙组数据的方差S乙2＝0.04，则乙组数据更稳定，说法正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据时件的分类、调查方式、统计图和方差的定义逐项判断解答.
4．（2025·扬州）关于一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列结论正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断根的情况
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A.
【分析】根据方程求出，得到方程根的情况解答即可.
5．（2025·扬州）如图，数轴上点A表示的数可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴ 数轴上点A表示的数可能是，
故答案为：C.
【分析】根据无理数的估算解答即可.
6．（2025·扬州）在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是（　　）
A．∠ADB=∠ADC B．∠B＝∠C C．BD=CD D．AD平分∠BAC
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵点D在BC上，保存进入下一题
∴∠ADB+∠ADC =180°，
∵∠ADB=∠ADC，
∴2∠ADC=180°，
∴∠ADC =90°，
∴AD⊥BC，
故A不符合题意；
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠B=∠C与点D所在的位置没有关系，
∴由∠B=∠C不能说明AD⊥BC，故B符合题意；
∵AB= AC， BD=CD，
∴AD⊥BC，
故C不符合题意；
∵AB= AC， AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
故D不符合题意，
故答案为： B.
【分析】由∠ADB+∠ADC=180°， 且∠ADB=∠ADC， 求得∠ADC =90°， 则AD⊥BC， 可判断A不符合题意； 由AB = AC，得∠B=∠C， 可知由∠B =∠C不能说明AD⊥BC， 可判断B符合题意； 由AB= AC，BD=CD，根据等腰三角形的“三线合一”得AD⊥BC， 可判断C不符合题意； 由AB = AC，AD平分∠BAC，根据等腰三角形的“三线合一”得AD⊥BC，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案.
7．（2025·扬州）如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G．若∠ABE＝130°，∠CDF＝150°，则∠EGF的度数是（　　）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：由题意可知： AB∥PQ∥CD，
∵AB∥PQ，
∴∠ABE+∠BGP=180°，
∵∠ABE=130°，
∴∠BGP=180°-130°=50°，
∵PQ∥CD，
∴∠PGD+∠CDF =180°，
∵∠CDF=150°，
∴∠PGD=180°-150°= 30°，
∴∠BGD=∠BGP+∠PGD=50°+30°=80°，
∴∠EGF =∠BGD=80°，
故答案为：C.
【分析】根据物理学原理可知：AB∥PQ∥CD，再根据平行线的性质求出∠BGP和∠PGD， 从而求出∠BGD，最后根据对顶角相等求出答案即可.
8．（2025·扬州）已知m2025+2025m＝2025，则一次函数y＝（1﹣m）x+m的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；一次函数的图象；估计方程的解；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：，
且
∴一次函数 的图象经过第一、二、三象限， 不经过第四象限，
故答案为：D.
【分析】先根据 判断m的取值范围，再根据一次函数的性质判断其图象经过的象限.
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（2025·扬州）2025年3月30日，扬州鉴真半程马拉松暨大运河马拉松系列赛在市民中心广场鸣枪开跑，约30000名跑者用脚步丈量千年古城，用拼搏诠释无限热爱．将数据30000用科学记数法表示为　 　 ．
【答案】3×104
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】将一个数表示成的形式，其中 ，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案.
10．（2025·扬州）分解因式：a2﹣4=　 　．
【答案】（a+2）（a﹣2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：a2﹣4=（a+2）（a﹣2）．
【分析】有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．
11．（2025·扬州）计算：（1）　 　 ．
【答案】x﹣2
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：x﹣2.
【分析】先运算括号内的分式，然后把除法化为乘法约分化简解答即可.
12．（2025·扬州）若a2﹣2b+1＝0，则代数式2a2﹣4b+3的值是　 　 ．
【答案】1
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a2﹣2b+1＝0，
∴a2﹣2b=-1，
∴ 2a2﹣4b+3=2(a2-2b)+3=2×(-1)+3=1，
故答案为：1.
【分析】先得到a2﹣2b=-1，然后把代数式化为2(a2-2b)+3，整体代入计算解题.
13．（2025·扬州）若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为 　 　 ．
【答案】9
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵多边形的每个内角都是
∴多边形的每个外角都是
∴这个多边形的边数为：
故答案为： 9.
【分析】先根据多边形的一个内角与它相邻的外角的和为 求出多边形的每个内角的度数，然后根据多边形的外角和为 求出边数即可.
14．（2025·扬州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝50°，则∠OBC＝　 　 °．
【答案】40
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：，
故答案为：40.
【分析】根据圆周角定理求得 的度数，然后利用三角形内角和定理及等边对等角即可求得答案.
15．（2025·扬州）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°．若AC＝4，BC＝8，则DF的长是　 　 ．
【答案】6
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点D， E分别是边AB， BC的中点，
∴ DE是 的中位线，
在 中，E是斜边BC的中点，
则
故答案为：6.
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出FE，进而求出DF.
16．（2025·扬州）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41； 根据上述规律，写出第⑤组勾股数为　 　 ．
【答案】11，60，61
【知识点】勾股数；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：通过观察得：
第①组勾股数分别为：
第②组勾股数分别为：
第③组勾股数分别为：
第④组勾股数为： ；
所以第⑤组勾股数为：2×5+1=11，
故答案为： 11， 60， 61.
【分析】通过观察，得出规律：这类勾股数分别为 由此可写出第⑤组勾股数.
17．（2025·扬州）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM＝7cm．将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图如图2所示，则tanα＝ 　 　 ．
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：
如图，延长AN，交直线BC于点E，
由题意得： ，
设 则
∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为α的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为α的斜坡上时，水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为 的长方体的体积与长为9cm、宽为9cm、高为 xcm的长方体的体积的一半之和，
解得
即
故答案为：.
【分析】延长AN，交直线BC于点E， 设. 则 先根据水的体积不变建立方程，解方程可得x的值，再根据平行线的性质可得 然后根据正切的定义计算即可得.
18．（2025·扬州）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，点E是BC边上的动点，将△ABE沿直线AE翻折得到△APE，过点P作PF⊥AD，垂足为F，点Q是线段AP上一点，且AQPF．当点E从点B运动到点C时，点Q运动的路径长是　 　 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；弧长的计算；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=90°，
∵将△ABE沿直线AE翻折得到△APE，
∴AP=AB=4，
当点P在矩形内部时，作HQ⊥AP，交AB于点H，则： ∠AQH =90°=∠BAD，
∠AHQ =∠PAF=90°-∠HAQ，
∵PF⊥AD，
∴∠PFA=90°=∠AQH，
∴△AQH∽△PFA，
，
∴点Q在以AH为直径的圆上运动，
∴当点E从点B开始运动直至点P落在AD上时，点Q的运动轨迹为半圆AH，
∴点Q的运动路径长为：
当点P在矩形ABCD的外部时，作交AB的延长线于点K，
同法可得： 点Q在以AK为直径的⊙O上运动，
连接OQ，
当点E运动到点C时，如图：
∵将 沿直线AE翻折得到
∴点Q的运动轨迹为圆心角为 的 路径长为
∴点Q的运动路径总长为：
故答案为：
【分析】分点P在矩形内部和点P在矩形外部，两种情况进行讨论求解，当点P在矩形内部时，作 交AB于点H，证明 进而得到 进而得到点Q在以AH为直径的圆上运动，得到当点E从点B开始运动直至点P落在AD上时，点Q的运动轨迹为半圆AH，当点P在矩形外部时，同法可得，点Q在以AK为直径的圆上，得到当点E运动到点C时，点Q的运动轨迹是圆心角为 的 求出两段路径的和即可得出结果.
三、解答题（本大题共有10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2025·扬州）计算：
（1）2cos30°+（π+1）0；
（2）a（a+2）﹣a3÷a．
【答案】（1）解：原式＝221
＝21
1
（2）解：原式＝a2+2a﹣a2
＝2a．
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先运算二次根式、零指数次幂，代入特殊角的三角函数值，然后合并解答即可；
（2）先运算单项式乘以多项式，同底数幂的除法，然后合并解答即可.
20．（2025·扬州）解不等式组，并写出它的所有负整数解．
【答案】解：，
由①得，x≤1，
由②得，x＞﹣3，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤1．
负整数解有：﹣2、﹣1．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先分别求出不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的到公共部分，取非负整数解即可.
21．（2025·扬州）为角逐市校园“音乐达人”大赛，小红和小丽参加了校内选拔赛，10位评委的评分情况如下（单位：分）．
表1评委评分数据
选手 评委评分
小红 7 8 7 8 7 7 7 8 7 9
小丽 7 7 6 8 8 8 8 8 7 8
表2评委评分数据分析
选手 平均数 中位数 众数
小红 7.5 b 7
小丽 a 8 c
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表2中a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ；
（2）你认为小红和小丽谁的成绩较好？请说明理由．
【答案】（1）7.5；7；7
（2）解：小丽的成绩较好，理由如下：
因为两个人的平均数相同，但小丽的成绩的中位数和众数均高于小红，所以小丽的成绩较好．
【知识点】统计表；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）解：a=，
把小丽得平分从小到大排列，居于中间的两个数为8和8，故b=，
小丽评分中8出现的次数最多，故c=8，
故答案为：7.5，8，8；
【分析】(1)分别根据平均数，中位数和众数的定义解答即可；
(2)根据平均数、众数和中位数的意义解答即可.
22．（2025·扬州）为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动．
（1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是　 　 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率．
【答案】（1）
（2）解：树状图如下所示：
由上可得，一共有16种等可能性，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的可能性有4种，
∴小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】(1)由题意可得，小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是
故答案为：
【分析】(1)根据题意和题目中的数据，可以得到小明在这4种体育活动中随机选择，选中“乒乓球”的概率；
(2)根据题意可以画出相应的树状图，然后求出相应的概率即可.
23．（2025·扬州）某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个．求这两款书签的单价．
【答案】解：设乙款书签的单价是x元，则甲款书签的单价是x元，
根据题意得：3，
解得：x＝16，
经检验，x＝16是所列方程的解，且符合题意，
∴x16＝20（元）．
答：甲款书签的单价是20元，乙款书签的单价是16元．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设乙款书签的单价是x元，则甲款书签的单价是 元，利用数量=总价÷单价，结合用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，可列出关于x的分式方程，解之可得出x的值 (即乙款书签的单价)，再将其代入 中，即可求出甲款书签的单价.
24．（2025·扬州）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（﹣1，6），B（m，﹣2）．
（1）求反比例函数、一次函数的表达式；
（2）求△OAB的面积．
【答案】（1）解：由题意得：将点A（﹣1，6）代入，得：k＝﹣1×6＝﹣6，
所以反比例函数的表达式为，
将点B（m，﹣2）代入可得：，
∴B（3，﹣2），
将点A（﹣1，6），B（3，﹣2）代入y＝ax+b 得：，
解得，
所以一次函数的表达式为y＝﹣2x+4；
（2）解：如图，设一次函数的图象与x轴的交点为点C，
将y＝0代入一次函数y＝﹣2x+4得：﹣2x+4＝0，解得x＝2，
∴C（2，0），
∴OC＝2，
由（1）已得：A（﹣1，6），B（3，﹣2），
∴△AOC的OC边上的高为|6|＝6，△BOC的OC边上的高为|﹣2|＝2，
∴△OAB 的面积为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】(1)将点 代入可得反比例函数的解析式，再求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式即可得；
(2)设一次函数的图象与x轴的交点为点C，先求出点C的坐标，再根据 的面积等于 与 的面积之和即可得.
25．（2025·扬州）如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB＝3，BC＝5，CE平分∠ACD，求DE的长．
【答案】（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，FA＝FC，OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△OAE≌△OCF（ASA），
∴EA＝FC，
∴EA＝EC＝FA＝FC，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）解：过点B作BP⊥AC于点P，在AP上截取PQ＝PA，连接BQ，如图所示：
设PA＝x，∠ACB＝α，
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝3，BC＝5，
∴AD＝BC＝5，AB∥CD，OA＝OCAC
∵四边形AFCE是菱形，
∴∠ACB＝∠ACE＝α，AE＝CF，EF⊥AC，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE＝α，
∴∠ACD＝2α，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝2α，
∵BP⊥AC，PQ＝PA＝x，
∴BP是AQ的垂直平分线，
∴BQ＝AB＝3，
∴∠BQA＝∠BAC＝2α，
∵∠BQA是△QBC的外角，
∴∠BQA＝∠QBC+∠ACB，
∴2α＝∠QBC+α，
∴∠QBC＝α，
∴∠QBC＝∠ACB＝α，
∴BQ＝CQ＝3，
∴CP＝CQ+PQ＝3+x，
在Rt△ABP和Rt△CBP中，由勾股定理得：BP2＝AB2﹣AP2＝BC2﹣CP2，
∴32﹣x2＝52﹣（3+x）2，
解得：x，
∴AP＝x，CP＝3+x，
∴AC＝AP+PC，
∴OCAC，
∴BP，
∵EF⊥AC，BP⊥AC，
∴EF∥BP，
∴△OCF∽△PCB，
∴，
∴CP OF＝OC BP，
∴，
∴OF，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：CF，
∴AE＝CF，
∴DE＝AD﹣AE．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到EA＝EC，FA＝FC，然后利用AS证明△OAE≌△OCF，即可得到EA＝FC，证明结论；
（2）过点B作BP⊥AC于点P，在AP上截取PQ＝PA，连接BQ，设PA＝x，∠ACB＝α，即可得到∠ACD＝2α，根据垂直平分线得到BQ＝AB＝3，即可得到∠BQA＝∠BAC＝2α，进而利用外角得到2α＝∠QBC+α，进而求出∠QBC＝α，然后在Rt△ABP和Rt△CBP中，由勾股定理BP2＝AB2﹣AP2＝BC2﹣CP2求出x值，然后证明△OCF∽△PCB，根据对应边成比例求出OF长，再根据勾股定理解答即可.
26．（2025·扬州）材料的疏水性
扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质．
【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N）所作的气﹣液界线的切线与固﹣液界线的夹角，图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
（2）材料的疏水性随着接触角的变大而　 　 （选填“变强”“不变”“变弱”）．
（3）【实践探索】
实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC（BC⊥AC），求出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数（如图3）．
请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说明理由．
（4）【创新思考】
材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化．
【答案】（1）解：①圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M，N，连接MC，NC；
②分别作MC，NC的中垂线，交于点O，则点O为圆弧的圆心；
③连接OM，过点M作PM⊥OM，则PM为圆O的切线，故∠PMN即为所求；
（2）变强
（3）解：∠CAD＝2∠BAC，理由如下：
连接OA，则：OA＝OB，
∴∠ABC＝∠OAB，
∵AD为切线，
∴OA⊥AD，
∴∠OAB+∠BAD＝90°，
∵BC⊥AC，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∵∠ABC＝∠OAB，
∴∠BAD＝∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD+∠BAC＝2∠BAC；
（4）解：∵水滴弧的长度为：，
∴，
∴可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）．
【知识点】切线的性质；弧长的计算；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】(2)由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，
故材料的疏水性随着接触角的变大而变强，
故答案为：变强；
【分析】(1)圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M，N， 连接MC， NC， 分别作MC， NC的中垂线， 交于点O，则点O为圆弧的圆心，连接OM，过点M作 则PM为圆O的切线， 即为所求；
(2)根据题意，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，进行作答即可；
(3)连接OA，等边对等角，得到 ，切线的性质，结合等角的余角相等，得到进而得到即可；
(4)可以根据 进行判断，根据 越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强进行作答即可.
27．（2025·扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象（记为G1）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象（记为G2）经过点A，C．直线x＝t与两个图象G1，G2分别交于点M，N，与x轴交于点P．
（1）求b，c的值．
（2）当点P在线段AO上时，求MN的最大值．
（3）设点M，N到直线AC的距离分别为m，n．当m+n＝4时，对应的t值有　 　 个；当m﹣n＝3时，对应的t值有　 　 个；当mn＝2时，对应的t值有　 　 个；当1时，对应的t值有　 　 个．
【答案】（1）解：∵二次函数y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+3）（x﹣1），
∴令y＝0，可得x＝﹣3或1，
即A（﹣3，0），B（1，0），
把A（﹣3，0），C（0，3）代入y＝x2+bx+c中，可得
，解得，
故b的值为4，c的值为3；
（2）解：由（1）知G2的表达式为y＝x2+4x+3，
设P（t，0）（﹣3≤t≤0），则M（t，﹣t2﹣2t+3），N（t，t2+4t+3），
故MN＝﹣t2﹣2t+3﹣t2﹣4t﹣3＝﹣2t2﹣6t＝﹣2（t）2，
即MN的最大值为；
（3）2；0；4；无数
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）作MS⊥AC于点S，RN⊥AC于点R，设MN交AC于点E，如图1所示，
由待定系数法可知直线AC的表达式为y＝x+3，
∴∠CAB＝45°，
∴∠MES＝∠NER ＝45°，
∵MS＝m，RN＝n，
∴ME，RN，
∵E（t，t+3），
∴ME，NE，
即ME＝NE，
进而可得m＝n，
①当m+n＝4时，
即m＝n＝2，故MN，
当﹣3≤t≤0时，MNmax，
那么由图可知当t＜﹣3时或t＞1时，共2种情况满足题意，
故对应的t值有2个；
②当m﹣n＝3时，即m＝n+3，这与m＝n相矛盾，故不成立，对应的t值有0个；
③当mn＝2时，由m＝n可知，m＝n，
故ME＝2，
∴2，即t2+3t＝±2，
解得t＝﹣2或﹣1或或，
故对应的t值有4个；
④当1时，
∵m＝n恒成立，
∴对应的t值有无数个．
故答案为：2，0，4，无数．
【分析】（1）运用待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）设点P的坐标为（t，0），得到点M和N的坐标，表示MN的长，配方得到顶点式即可得到最值；
（3）作MS⊥AC于点S，RN⊥AC于点R，设MN交AC于点E，求出直线AC的解析式，即可得到∠MES＝∠NER ＝45°，得到ME＝NE，即可得到m＝n，然后根据m、n的各种情况求出t值解答即可.
28．（2025·扬州）问题：如图1，点P为正方形ABCD内一个动点，过点P作EF∥AD，GH∥AB，矩形PHCF的面积是矩形PGAE面积的2倍，探索∠FAH的度数随点P运动的变化情况．
【从特例开始】
（1）小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2），请你仅用无刻度的直尺连接一条线段，由此可得此图形中∠FAH＝ 　 　 °．
（2）小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3），其中PE＝PF＝6，PG＝4，PH＝8，求此图形中∠FAH的度数；
（3）【一般化探索】
利用图1，探索上述问题中∠FAH的度数随点P运动的变化情况，并说明理由．
【答案】（1）45
（2）解：延长CB至点T，使得BT＝DF，连接AT，FH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABT＝90°，
∴△ABT≌△ADF（SAS），
∴AT＝AF，∠TAB＝∠FAD，
∴∠FAD+∠BAH＝90°﹣∠HAF＝∠TAB+∠BAH＝∠TAH，
∵EF∥AD，GH∥AB，
∴四边形AEPG是平行四边形，
∵∠BAD＝90°，
∴四边形AEPG是矩形，
同理可得四边形PEBH，PGDF，PHCF为矩形，
∴PE＝BH＝6，PG＝DF＝TB＝4，∠HPF＝90°，
∴TH＝TB+BH＝4+6＝10，，
∴HT＝HF，
∴在△AHT和△AHF中，
，
∴△AHT≌△AHF（SSS），
∴∠TAH＝∠HAF，
∵∠TAH＝90°﹣∠HAF，
∴90°﹣∠HAF＝∠HAF，
∴∠HAF＝45°，即∠FAH＝45°；
（3）解：随点P的运动，∠FAH的度数不变，且为45°，理由如下：
延长CB至点T，使得BT＝DF，连接AT，FH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABT＝90°，
∴△ABT≌△ADF（SAS），
∴BT＝DF，AT＝AF，∠TAB＝∠FAD，
∴∠FAD+∠BAH＝90°﹣∠HAF＝∠TAB+∠BAH＝∠TAH，
同（2）可得四边形AEPG是矩形，四边形PEBH，PGDF，PHCF为矩形，
设正方形的边长为x，AG＝a，PG＝b，
∴AG＝PE＝BH＝a，PG＝DF＝BT＝b，
∴CH＝BC﹣BH＝x﹣a，CF＝CD﹣DF＝x﹣b，
∴HT＝BH+BT＝a+b，
∴∵S矩形PHCF＝2S矩形PGAE，
∴（x﹣a）（x﹣b）＝2ab，
整理得x2＝ab+ax+bx，
∵在Rt△CHF中，CH2+CF2＝HF2，
∴HF2＝（x﹣a）2+（x﹣b）2
＝2x2﹣2ax+a2﹣2bx+b2
＝2ab+2ax+2bx﹣2ax+a2﹣2bx+b2
＝（a+b）2，
∴HF＝a+b（舍负），
∴HF＝HT，
∴在△AHT和△AHF 中，
，
∴△AHT≌△AHF（SSS），
∴∠TAH＝∠HAF，
∵∠TAH＝90°﹣∠HAF，
∴90°﹣∠HAF＝∠HAF，
∴∠HAF＝45°，即∠FAH＝45°．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理的逆定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）如图，MN即为所求：
连接AH，AF与格线的交点记为M，N，
由网格可得，EM∥BH，
∴△AEM∽△ABH，
∴，
∵BH＝2，
∴EM＝1，
∴M为格点，同理N为格点，
∵，MN，，
∴AM2+MN2＝AN2，AM＝MN，
∴∠AMN＝90°，
∴△AMN为等腰直角三角形，
∴∠FAH＝45°
故答案为：45；
【分析】(1)连接AH，AF与格线的交点记为M，N，先确定点M，N为格点，然后由勾股定理以及逆定理证明△AMN为等腰直角三角形，即可求解∠FAH的度数；
(2)延长CB至点T， 使得BT = DF， 连接AT，FH， 先证明△ABT≌△ADF(SAS)，则AT= AF， ∠TAB=∠FAD， 那么∠FAD+∠BAH =90°-∠HAF=∠TAB+∠BAH=∠TAH，可得四边形AEPG是矩形， 四边形PEBH，PGDF， PHCF为矩形， 求出TH=TB+BH =10， 由勾股定理得HF=10， 则HT= HF， 即可得到△AHT≌△AHF(SSS)，则∠TAH =∠HAF， 即可求解∠FAH =45°；
(3)延长CB至点T， 使得BT = DF， 连接AT，FH， 同理△ABT≌△ADF(SAS)，同 (2) 可得四边形AEPG是矩形， 四边形PEBH， PGDF，PHCF为矩形， 设正方形的边长为x， AG=a，PG=b， 则CH = BC-BH =x-a，CF=CD-DF=x-b，HT=BH+BT =a+b， 由 得到 ，在Rt△CHF中，由勾股定理得 求出HF=a+b，则HF= HT， 再证明△AHT≌△AHF(SSS)即可.
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