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浙江省杭州采荷中学2024-2025学年八年级下学期期中测试数学试卷
1．（2025八下·杭州期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·杭州期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·杭州期中）下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·杭州期中）用反证法证明 时，应假设（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·杭州期中）数据0，，6，1，的众数是，则这组数据的方差为（　　）
A．2 B． C． D．
6．（2025八下·杭州期中）菱形具有而矩形不具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．四条边都相等
C．对角相等 D．邻角互补
7．（2025八下·杭州期中）形如的方程，它的根是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·杭州期中）如图，为矩形对角线上的一点，过点作，分别交、于点、，若，，的面积为，的面积为，则（　　）
A．12 B．8 C．6 D．10
9．（2025八下·杭州期中）如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025八下·杭州期中）如图，在中，，分别以、为边向外作等腰和等腰，若要求的面积，只需知道哪个图形的面积（　　）
A． B． C． D．四边形
11．（2025八下·杭州期中）若二次根式有意义，则的取值范围是　 　．
12．（2025八下·杭州期中）现有数据：1，4，3，2，4，x．若该组数据的中位数是3，则x=　 　．
13．（2025八下·杭州期中）一个多边形的内角和是，则这个多边形是　 　边形．
14．（2025八下·杭州期中）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则常数　 　．
15．（2025八下·杭州期中）如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（4，0），（﹣1，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　 　．
16．（2025八下·杭州期中）如图1，在四边形 中，依次取四边中点E，F， H， G， 连结，．P是线段上的一点，连结， 作 交于点 Q．分别沿，，，将四边形 剪裁成五块，再将它们拼成四边形 ．
（1）　 　．
（2）如图2， 连结， 交于点O， 若， 则四边形的周长最小值是　 　．
17．（2025八下·杭州期中）计算：
（1）
（2）
18．（2025八下·杭州期中）解方程：
（1）
（2）
19．（2025八下·杭州期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点．线段的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上．
（1）如图1，画与关于点O的中心对称的图形；
（2）如图2，画一个以为边，且面积为12的平行四边形；
（3）如图3，画一个以为对角线，且面积为9的平行四边形．
20．（2025八下·杭州期中）学校广播台要招聘一名编辑，甲、乙、丙三位同学报名并参加了3项素质测试，成绩如下表（单位：分）．
语言文字能力 运用媒体能力 创意设计能力
甲 86 77 77
乙 76 87 74
丙 80 78 85
（1）计算得甲、乙的平均分分别为80分，79分，请求出丙的平均分，并根据三人的平均分从高到低进行排序；
（2）学校认为：①单项最低分不能低于75分；②三个项目的重要程度有所不同，每位应聘者的语言文字能力、运用媒体能力、创意设计能力的成绩应按的比例计算其成绩，请问谁能成功应聘？
21．（2025八下·杭州期中）如图，在中，对角线与相交于点，，点，，分别为的中点，连结．
（1）求证：．
（2）求证：四边形为平行四边形．
22．（2025八下·杭州期中）某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2022年每辆汽车的日租金为100元，到2024年每辆汽车的日租金上涨到144元．
（1）求2022年至2024年该款汽车日租金的年平均增长率．
（2）经市场调研发现，从2024年开始，当每辆汽车的日租金定为144元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆．
①设在每辆汽车日租金144元的基础上，上涨了x元，则每辆汽车的日租金为______元，实际能租出_______辆车．（均用含x的代数式表示）
②已知该汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用34元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元．当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达27400元？（日收益=总租金-各类费用）
23．（2025八下·杭州期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求的值，他是这样解答的：
∵，
∴，
∴，，
∴．
∴．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
（1）________；_______；
（2）化简：；
（3）若，求的值．
24．（2025八下·杭州期中）如图，在中，点E是边上一点，将沿折叠后，点B的对应点为点F．
（1）如图1，当点F恰好落在边上时，求证：四边形是菱形．
（2）如图2，当点F恰好落在上，且时，求的值．
（3）如图3，当，，时，连接，下列两个问题，对应的满分值为2分、4分，根据你的认知水平，选择其中一个问题求解．
①当时，求的长．
②当点F恰好落在上时，求的长．
25．（2025八下·杭州期中）边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程的两根，则该直角三角形的斜边长为　 　．
26．（2025八下·杭州期中）如图，平行四边形的每一个顶点都用线段与两条对边的中点相连．这些直线所围成图形（阴影部分）的面积与原平行四边形面积之比为　 　．
27．（2025八下·杭州期中）小明学习了韦达定理之后，发现若一元二次方程有两个实数根，，则方程可化为，将等式左边展开后可得，与原方程系数比较，就不难得到根与系数的等量关系．
小明接着思考，那么若一元三次方程有三个实数根，，，则这三个根之和、三个根之积与原方程系数之间是否存在类似的等量关系？
请你帮助小明解决问题：若方程的三个实数根为，，，则的值为　 　．
28．（2025八下·杭州期中）如图，P为正方形内一点，分别过P作两条直线，交，于E，F，交，于G，H．若，，且四边形的面积为9，则正方形的面积为　 　．（若和为锐角）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A不是中心对称图形，不符合题意；
B不是中心对称图形，不符合题意；
C不是中心对称图形，不符合题意；
D是中心对称图形，符合题意
故答案为：D
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、方程中含有两个未知数，是二元一次方程，故A错误；
B、方程中含有一个未知数，是一元一次方程，故B错误；
C、方程中含有一个未知数且未知数的次数为1，符合一元二次方程的定义，故C正确；
D、方程的分母中含有未知数，是分式方程，故D错误．
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，逐一进行分析即可．
3．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法；求算术平方根
【解析】【解答】解：A.、，故A错误；
B、，故B正确；
C、3与不是同类二次根式，不能相加减，故C错误；
D、，故D错误；
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的加法、乘法、除法运算法则以及求一个数的算术平方根的法则逐一进行判断即可．
4．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】用反证法证明“a＞b”时，应先假设a≤b.
故答案为：B.
【分析】用反证法证明命题的第一步是假设结论的反面，据此可解答。
5．【答案】B
【知识点】方差；众数
【解析】【解答】解：根据这组数据的众数是-1，则x=-1，
故这组数据为：0、-1、6、1、-1，由平均数的计算公式得这组数据的平均数=[0+（-1）+6+1+（-1））÷5=1，
由方差的计算公式得这组数据的方差s2= [（0-1）2+（-1-1）2+（6-1）2+（1-1）2+（-1-1）2]=．
故答案为：B．
【分析】根据这组数据的众数是-1，则x=-1，再根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，然后运用方差的计算公式S2=（其中n是样本容量，表示平均数）计算方差即可．
6．【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、对角线互相平分是平行四边形的基本性质，两者都具有，故A不选；
B、菱形四条边相等而矩形四条边不一定相等，只有矩形为正方形时才相等，故B符合题意；
C、平行四边形对角都相等，故C不选；
D、平行四边形邻角互补，故D不选．
故选：B．
【分析】与平行四边形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等．
7．【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】∵（x+m）2=n（n≥0），
∴x+m=，
∴x=-m，
故答案为：D．
【分析】根据直接开平方法的步骤和条件进行计算，即可得出答案．
8．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：作于点，交于点，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，EF∥BC，
∴四边形AEPM，四边形MPFD，四边形EPNB，四边形PNCF都是矩形，
∵BE=2，
∴PN=CF=BE=2，
∵FP=6，
∴S△PFC===6，
∵四边形AEPM，四边形MPFD，四边形EPNB，四边形PNCF都是矩形，
∴S△AEP=S△APM，S△PEB=S△BN，S△PDM=S△PFD，S△PCN=S△PFC，S△ABD=S△CBD，
∴S矩形AEPM=S矩形PNCF， ∴S△AEP=S△CFP，即S1=S2=6，
∴，
故答案为：A．
【分析】作于点，交于点，求出△PFC的面积，证明△APE得面积＝△PFC的面积即可.
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解∶ 设与墙垂直的一边长为，
∵篱笆的总长度为25m，则平行于墙的一边长为25+1-2x=（26-2x）m，
根据题意得：x（26-2x）=80.
故答案为：A．
【分析】根据题意设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为列出关于x的一元二次方程即可.
10．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作，交的延长线于点H，如图所示
设AC=b，BC=a，
根据题意可知：△ABD和△ACG是等腰直角三角形，
∴∠ABD=∠ACG=∠ACB=∠DHB=90°，AB=BD=，AC=CG，
∵∠BAC+∠ABC=90°，∠DBH+∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠DBH，
在△ABC和△BDH中，
，
∴△ABC≌△BDH（AAS），
∴AC=BH，BC=DH，
∴BH=b，DH=a，
∴S△ACD==，
，故A错误，
，故B正确，
，故C错误，
，故D错误，
故答案为：B.
【分析】
过点D作，交的延长线于点H，设AC=b，BC=a，首先根据已知条件证明，即可得出AC=BH，BC=DH，分别用a，b表示△ACD、△ABC、△ABG、△ABD、四边形ACBD的面积，相等面积的图形即为所求.
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件．根据被开方数大于或等于0列不等式式即可得求得x的取值范围．
12．【答案】3
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：数据1， 4， 3， 2， 4， x中共有6个数，
该组数据的中位数是3，
解得：
故答案为：3.
【分析】根据中位数的定义， 数据： 1， 4， 3， 2， 4， x共有6个数，最中间的数只能为x和3，然后根据它们的中位数为3， 即可求出x的值.
13．【答案】八
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，
由题意得，
解得，
∴这个多边形是八边形．
故答案为：八．
【分析】根据多边形内角和定理即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意可知：方程有两个相等的实数根，
∴，
即：，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据方程有两个相等的实数根可知：=0，求解即可得出答案.当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根.
15．【答案】（﹣5，3）
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（4，0），（﹣1，0），点D在y轴上，
∴AB＝AD＝5＝CD，
∴DO＝＝＝3，
∵CD∥AB，
∴点C的坐标是：（﹣5，3）．
故答案为（﹣5，3）．
【分析】根据菱形的性质、勾股定理求出DO的长，根据平移求出C点坐标解答即可．
16．【答案】；
【知识点】勾股定理；图形的剪拼；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：，
∴，
∴，MN=NE+EP+PG+GM=2EP+2PG=2EG，
∴；
（2）由（1）可得：MN=2EG，RS=2FH，
根据题意可知：是的中点，
∴，
∴MN=6，RS=6，
作，，则GP2+HP2=HG2，
∵GH∥AC，∠AOD=45°
∴∠1=∠AOD=45°，
∵EG∥FH，
∴∠GHP=∠1=45°，
∴PG=PH=HG=×4=，
∴RN、MS的最小值是，
∴四边形的周长最小值；
故答案为：；．
【分析】（1）直接根据全等三角形的性质求解即可；
（2）首先根据三角形中位线定理得出，即可得出RN、MS的最小值和四边形的周长最小值，最小值是PG的值，再根据勾股定理和等腰直角三角形的性质即可得出结论.
17．【答案】（1）解：
=
=.
（2）解：
=
=.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先把二次根式进行化简，再进行二次根式的加法计算即可得出答案；
（2）先将二次根式的进行乘法运算、化简，再进行二次根式的加减计算即可得出答案．
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
18．【答案】（1）解：对方程 ，
a=1，b=4，c=-1，
=，
∴x=，
∴，
（2）解：，
，
，
即9x2=1，
∴，.
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）直接利用公式法求一元二次方程的解即可；
（2）先将一元二次方程进行变形，再将3x+1看作一个整体利用完全平方公式进行求解即可．
（1）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（2），
∴，
∴，
∴，，
解得：，．
19．【答案】（1）解：连接AO、BO并延长使，则j即为所求，如图所示：
（2）解：作四边形ABCD，如图所示：
，则四边形ABCD即为所求.
（3）解：作四边形ACBD，如图所示：
，则四边形ACBD即为所求.
【知识点】平行四边形的性质；中心对称及中心对称图形；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】（1）根据中心对称图形的性质直接作图即可；
（2）以AB为一条边，以4个小正方形的边长为底边的平行四边形即可；
（3）以AB为一条边，以3个小正方形的边长为底边的平行四边形即可．
（1）解：如图所示：即为所求；
（2）如图所示：四边形即为所求；
∴；
（3）如图所示：四边形即为所求；
∴．
20．【答案】（1）解：，
三名应聘者的排名顺序为丙，甲，乙；
（2）由题意得：乙不符合条件①，
，
，
，
甲应聘成功．
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）利用平均数的公式求出丙的成绩，排序即可；
（2）利用加权平均数公式求出甲，丙的成绩，作出决策即可.
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2OB，
∵，
∴OB=AB，
∴△ABO是等腰三角形，
∵点E是AO的中点，
∴BE⊥AO.
（2）解：∵点G是BC的中点，
∴BG=，
∵点E、F分别是AO、DO的中点，
∴EF是△ADO的中位线，
∴EF=，EF∥AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC=AD，
∴BG∥EF，BG=EF，
∴四边形BEFG是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；等腰三角形的概念；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出BD=2OB，进而求得，求得△ABO是等腰三角形，再利用等腰三角形的三线合一即可得出结论；
（2）根据点E、F分别是AO、DO的中点，求得EF是△ADO的中位线，利用三角形的中位线定理得出EF=，EF∥AD，再根据平行四边形的性质得出BC∥AD，BC=AD，进而求得∴BG∥EF，BG=EF，即可得出结论．
（1）解：∵中，，，
∴，
∵是中点，
∴；
（2）解：∵点、是、的中点，
∴且，
∵中，，
∴且，
∵点是的中点，
∴且，
∴四边形为平行四边形．
22．【答案】（1）解：设2022年至2024年该款汽车日租金的年平均增长率为x，
根据题意可列方程为：100（1+x）2=144，
解得：x1=20%，x2=-2.2（不符合实际，舍去），
答：2022年至2024年该款汽车日租金的年平均增长率为20%.
（2）解：①；；
②根据题意可列方程为：（144+x）（300-2x）-34（300-2x）-10×2x=27400，
整理得：-2x2+60x-5600=0
解得：x1=70，x2=-40（不符合题意，舍去），
答：每辆汽车的日租金上涨70元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（2）①设在每辆汽车日租金144元的基础上，上涨了x元，
∴每辆汽车的日租金为元，
∵日租金每增加1元，就要少租出2辆，
∴实际能租出辆车，
故答案为：；；
【分析】（1）设平均增长率为，根据“ 2022年每辆汽车的日租金为100元，到2024年每辆汽车的日租金上涨到144元 ”列出方程求解即可；
（2）①根据“ 当每辆汽车的日租金定为144元时，汽车可全部租出，日租金每增加1元，就要少租出2辆 ”列出代数式即可；
②根据“日收益=总租金 各类费用”列出一元二次方程，求解即可得出结论．
（1）解：设平均增长率为，则，
，（舍）．
∴平均增长率为；
（2）①设在每辆汽车日租金144元的基础上，上涨了x元，则每辆汽车的日租金为元，实际能租出辆车，
故答案为：；；
②，
，（舍），
∴每辆汽车的日租金上涨70元．
23．【答案】（1）；
（2）解：原式=，
=（）+（）+（）+……+（），
=-1+13
12
（3）解：∵==，
∴a-2=，
∴（a-2）2=5，
∴，
∴
将代入得：
=
=
=1+3
=4.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；分母有理化
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；；
【分析】（1）将分母分别乘以和，利用分母有理化计算即可；
（2）先将分母有理化，然后合并同类二次根式即可；
（3）先根据分母有理化得到，将其变形为，进而得到，然后利用整体代入法进行计算即可．
（1）解：，
故答案为：，；
（2）解：
；
（3）解：
24．【答案】（1）证明：根据折叠的性质可知：，∠B=∠AFE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFE=∠FEC，
∴∠B=∠FEC，
∴AB∥EF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形.
（2）解：根据折叠性质可知：∠B=∠AFE，AB=AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，
∴∠ADF=∠DEC，∠B+∠C=180°，AF=CD，
∵∠AFD+∠AFE=180°，
∴∠AFD=∠C，
在△ADF和△DEC中，
，
∴△ADF≌△DEC（AAS），
∴DF=EC，
∵，
∴.
（3）解：①连接EF，设AF与BC交点为N，如图所示：
∵AF⊥BC，∠ABC=45°，AB=，
∴AN=BN=2，
由折叠得性质可知：AB=AF=，∠ABC=∠F=45°，
∴NF=EN=AF-AN=-2，
∴BE=BN-EN=2-（-2）=4-；
②过点B作BM⊥AD于M，过点A作AN⊥BC于N，过点F作FP⊥AD于P，交BC于Q，设AE与BD交于点O，如图所示：
∵BM⊥AD，FP⊥AD，
∴∠M=90°，∠APQ=90°，
根据题意可知：AD∥BC，AD=BC=4，
∴∠MBN=∠M=90°=∠ANB=∠APQ，
∴四边形ANBM是矩形，四边形APQN是矩形，
∵∠ABC=45°，AB=，
∴AM=BM=AN=PQ=2，
∴在Rt△BDM中，BD===，
∵将△ABE沿AE折叠后，点B的对应点为点F，
∴BO=FO，BE=FE，AE⊥BF，
∵S△ABD=BD·AO=AD·BM，
即×AO=×4×2，
∴AO=，
∴在Rt△AOB中，BO===，
∴BF=2BO=，
∴DF=BD-BF=，
∵S△ABD=S△ABF+S△AFD=AD·BM，
即BF·AO+AD·PF=AD·BM，
∴×+4PF=4×2，
∴PF=，
∴FQ=PQ-PF=2-=，
在Rt△BQF中，BQ==，
在Rt△EQF中，EF2==，
∵BE=EF，
∴BE2=，
∴BE=.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由折叠的性质可知，∠B=∠AFE，再根据平行线的性质得出AD∥BC，推出∠AFE=∠FEC，进一步得出∠B=∠FEC，可得AB∥EF，可得四边形ABEF是平行四边形，结合AB=AF，即可得出四边形ABEF是菱形；
（2）根据平行四边形的性质可以得出∠ADF=∠DEC，AF=CD，再结合∠AFD=∠C，由“”证明△ADF≌△DEC（AAS），得出DF=EC，即可得出结论；
（3）①连接EF，设AF与BC交点为N，结合已知条件可知△ABN是等腰三角形可得AN=BN=2，由折叠的性质得出AB=AF=，∠ABC=∠F=45°，即可得出结论；
②过点B作BM⊥AD于M，过点A作AN⊥BC于N，过点F作FP⊥AD于P，交BC于Q，设AE与BD交于点O，根据勾股定理得BD=，再由S△ABD=BD·AO=AD·BM，S△ABD=S△ABF+S△AFD，求得的长，的长，再由勾股定理计算即可得出答案．
（1）证明：∵将沿折叠后，点的对应点为点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵将沿折叠后，点的对应点为点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：①如图，连接，设与交点，
∵，，，
∴，
∵将沿折叠后，点的对应点为点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②设与交于点，过点作直线于，过点作于，过点作于，交于，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，
∵将沿折叠后，点的对应点为点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
25．【答案】13或10
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；三角形三边关系；勾股定理；二元二次方程的解
【解析】【解答】解：设直角三角形两直角边长为a，b，斜边为c，则a+b=k+2，ab=4k，
根据勾股定理，满足c==，
根据题意可知，c为正整数，且斜边必须大于任一直角边，故k-2＞0，即k≥3，
∴c=k-2，
∵ab-4（a+b）=4k-4（k+2）=-8，
整理得：（a-4）（b-4）=8
∵直角三角形的边长为整数，
∴（a-4）（b-4）的可能解为：
①a=5，b=12，此时k=15，c=13，
②a=6，b=8，此时k=12，c=10，
③a=8，b=6，此时k=12，c=10，
④a=12，b=5，此时k=15，c=13，
综上所述，该直角三角形的斜边长为13或10.
故答案为：13或10.
【分析】设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，根据一元二次方程根与系数的关系和勾股定理分别得出a、b、c与k的关系式，然后通过因式分解和直角三角形的直角边是整数，找到满足条件的整数解即可.
26．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中线
【解析】【解答】解：给图中各点标注字母，连接HF、GE、AC、BD，连接HF、EG交于点P，如图所示：
由题意得：四边形AHPE、HDGP、EPFB、PGCF是四个全等的平行四边形，四边形RQPS是四边形AHPE的一部分，
在△ABD中，点E、H分别为AB、AD的中点，且BH、AC交于点R，
∵点P为四边形ABCD对角线的交点，
∴P为AC、BD的中点，
∴点A、R、P三点在同一条直线上，
∴AP=3PR，
∴S△APS=3S△RPS，S△AQP=3S△RQP，
∴S四边形RQPS=S△QPS= 16S四边形AEPH，
同理可得：阴影部分的面积为原平行四边形面积的16 .
故答案为：．
【分析】结合题意，标注字母连接HF、EG交于点P，根据题意得：由题意得：四边形AHPE、HDGP、EPFB、PGCF是四个全等的平行四边形，求四边形中的面积，在中，点E、H均为中点，且交于点R，连接，利用三角形中线的性质得出S△APS=3S△RPS，S△AQP=3S△RQP，同理即可得出阴影部分的面积为原平行四边形面积的16．
27．【答案】
【知识点】多项式乘多项式；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：因为关于x的三次方程的三个根为，，，
所以，
展开得，，
所以，
所以，，则，，
由方程得，a=2，b=1，c=-7，d=-6，
所以，，
∴.
故答案为：．
【分析】根据一元三次方程有三个实数根，，，则有，然后得出，，再根据分式的加法计算的值， 在整体代入即可求解．
28．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点F作FM⊥HG，垂足为M，延长FM交AB于L，过点H作HR⊥AD，垂足为R，过点F作FS⊥AB，垂足为S，过点E作EK⊥FL，垂足为K，如图所示：
∴∠GRH=∠LSF=90°，
∵FM⊥HG，EK⊥FL，
∴EK∥GH，
∴∠GMK=∠EKM=90°，
根据正方形的性质可得：∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=AD=BC，
∴四边形ABHR、四边形BCFS是矩形，
∴AB=RH=BC=FS，
∵∠A+∠ALM+∠LMG+∠AGM=360°，
∴∠ALM+∠AGM=360°-∠A-∠LMG=180°，
∵∠ALM+∠FLE=180°，
∴∠AGM=∠FLE，
在△GRH和△LSF中，
，
∴△GRH≌△LSF（AAS），
∴GH=FL=5，
∵S△EHG=GH·KM，S△FHG=GH·FM，S四边形EHFG=S△EHG+S△FHG，
∴S四边形EHFG=GH·KM+GH·FM=GH·FK=FK，
∵ 四边形EHFG的面积为9，
∴FK=9，
∴FK=，
∴LK=FL-FK=，
在Rt△FEK中，EK==，
在Rt△LEK中，EL==，
设ES=a，FS=b，
在Rt△FLS中，，
在Rt△FES中，，
∴，由得：，
∴，，
∵，
∴正方形的面积为．
故答案为：．
【分析】根据题意构造△GRH≌△LSF（AAS），得出GH=FL=5，再由四边形EHFG的面积为9，得出GH·KM+GH·FM=GH·FK=FK=5，求出，进而由勾股定理求，，进而可通过列方程组求出即可得出结论.
1 / 1浙江省杭州采荷中学2024-2025学年八年级下学期期中测试数学试卷
1．（2025八下·杭州期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A不是中心对称图形，不符合题意；
B不是中心对称图形，不符合题意；
C不是中心对称图形，不符合题意；
D是中心对称图形，符合题意
故答案为：D
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
2．（2025八下·杭州期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、方程中含有两个未知数，是二元一次方程，故A错误；
B、方程中含有一个未知数，是一元一次方程，故B错误；
C、方程中含有一个未知数且未知数的次数为1，符合一元二次方程的定义，故C正确；
D、方程的分母中含有未知数，是分式方程，故D错误．
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，逐一进行分析即可．
3．（2025八下·杭州期中）下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法；求算术平方根
【解析】【解答】解：A.、，故A错误；
B、，故B正确；
C、3与不是同类二次根式，不能相加减，故C错误；
D、，故D错误；
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的加法、乘法、除法运算法则以及求一个数的算术平方根的法则逐一进行判断即可．
4．（2025八下·杭州期中）用反证法证明 时，应假设（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】用反证法证明“a＞b”时，应先假设a≤b.
故答案为：B.
【分析】用反证法证明命题的第一步是假设结论的反面，据此可解答。
5．（2025八下·杭州期中）数据0，，6，1，的众数是，则这组数据的方差为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】方差；众数
【解析】【解答】解：根据这组数据的众数是-1，则x=-1，
故这组数据为：0、-1、6、1、-1，由平均数的计算公式得这组数据的平均数=[0+（-1）+6+1+（-1））÷5=1，
由方差的计算公式得这组数据的方差s2= [（0-1）2+（-1-1）2+（6-1）2+（1-1）2+（-1-1）2]=．
故答案为：B．
【分析】根据这组数据的众数是-1，则x=-1，再根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，然后运用方差的计算公式S2=（其中n是样本容量，表示平均数）计算方差即可．
6．（2025八下·杭州期中）菱形具有而矩形不具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．四条边都相等
C．对角相等 D．邻角互补
【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、对角线互相平分是平行四边形的基本性质，两者都具有，故A不选；
B、菱形四条边相等而矩形四条边不一定相等，只有矩形为正方形时才相等，故B符合题意；
C、平行四边形对角都相等，故C不选；
D、平行四边形邻角互补，故D不选．
故选：B．
【分析】与平行四边形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等．
7．（2025八下·杭州期中）形如的方程，它的根是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】∵（x+m）2=n（n≥0），
∴x+m=，
∴x=-m，
故答案为：D．
【分析】根据直接开平方法的步骤和条件进行计算，即可得出答案．
8．（2025八下·杭州期中）如图，为矩形对角线上的一点，过点作，分别交、于点、，若，，的面积为，的面积为，则（　　）
A．12 B．8 C．6 D．10
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：作于点，交于点，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，EF∥BC，
∴四边形AEPM，四边形MPFD，四边形EPNB，四边形PNCF都是矩形，
∵BE=2，
∴PN=CF=BE=2，
∵FP=6，
∴S△PFC===6，
∵四边形AEPM，四边形MPFD，四边形EPNB，四边形PNCF都是矩形，
∴S△AEP=S△APM，S△PEB=S△BN，S△PDM=S△PFD，S△PCN=S△PFC，S△ABD=S△CBD，
∴S矩形AEPM=S矩形PNCF， ∴S△AEP=S△CFP，即S1=S2=6，
∴，
故答案为：A．
【分析】作于点，交于点，求出△PFC的面积，证明△APE得面积＝△PFC的面积即可.
9．（2025八下·杭州期中）如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解∶ 设与墙垂直的一边长为，
∵篱笆的总长度为25m，则平行于墙的一边长为25+1-2x=（26-2x）m，
根据题意得：x（26-2x）=80.
故答案为：A．
【分析】根据题意设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为列出关于x的一元二次方程即可.
10．（2025八下·杭州期中）如图，在中，，分别以、为边向外作等腰和等腰，若要求的面积，只需知道哪个图形的面积（　　）
A． B． C． D．四边形
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作，交的延长线于点H，如图所示
设AC=b，BC=a，
根据题意可知：△ABD和△ACG是等腰直角三角形，
∴∠ABD=∠ACG=∠ACB=∠DHB=90°，AB=BD=，AC=CG，
∵∠BAC+∠ABC=90°，∠DBH+∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠DBH，
在△ABC和△BDH中，
，
∴△ABC≌△BDH（AAS），
∴AC=BH，BC=DH，
∴BH=b，DH=a，
∴S△ACD==，
，故A错误，
，故B正确，
，故C错误，
，故D错误，
故答案为：B.
【分析】
过点D作，交的延长线于点H，设AC=b，BC=a，首先根据已知条件证明，即可得出AC=BH，BC=DH，分别用a，b表示△ACD、△ABC、△ABG、△ABD、四边形ACBD的面积，相等面积的图形即为所求.
11．（2025八下·杭州期中）若二次根式有意义，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件．根据被开方数大于或等于0列不等式式即可得求得x的取值范围．
12．（2025八下·杭州期中）现有数据：1，4，3，2，4，x．若该组数据的中位数是3，则x=　 　．
【答案】3
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：数据1， 4， 3， 2， 4， x中共有6个数，
该组数据的中位数是3，
解得：
故答案为：3.
【分析】根据中位数的定义， 数据： 1， 4， 3， 2， 4， x共有6个数，最中间的数只能为x和3，然后根据它们的中位数为3， 即可求出x的值.
13．（2025八下·杭州期中）一个多边形的内角和是，则这个多边形是　 　边形．
【答案】八
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，
由题意得，
解得，
∴这个多边形是八边形．
故答案为：八．
【分析】根据多边形内角和定理即可求出答案.
14．（2025八下·杭州期中）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则常数　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意可知：方程有两个相等的实数根，
∴，
即：，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据方程有两个相等的实数根可知：=0，求解即可得出答案.当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根.
15．（2025八下·杭州期中）如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（4，0），（﹣1，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　 　．
【答案】（﹣5，3）
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（4，0），（﹣1，0），点D在y轴上，
∴AB＝AD＝5＝CD，
∴DO＝＝＝3，
∵CD∥AB，
∴点C的坐标是：（﹣5，3）．
故答案为（﹣5，3）．
【分析】根据菱形的性质、勾股定理求出DO的长，根据平移求出C点坐标解答即可．
16．（2025八下·杭州期中）如图1，在四边形 中，依次取四边中点E，F， H， G， 连结，．P是线段上的一点，连结， 作 交于点 Q．分别沿，，，将四边形 剪裁成五块，再将它们拼成四边形 ．
（1）　 　．
（2）如图2， 连结， 交于点O， 若， 则四边形的周长最小值是　 　．
【答案】；
【知识点】勾股定理；图形的剪拼；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：，
∴，
∴，MN=NE+EP+PG+GM=2EP+2PG=2EG，
∴；
（2）由（1）可得：MN=2EG，RS=2FH，
根据题意可知：是的中点，
∴，
∴MN=6，RS=6，
作，，则GP2+HP2=HG2，
∵GH∥AC，∠AOD=45°
∴∠1=∠AOD=45°，
∵EG∥FH，
∴∠GHP=∠1=45°，
∴PG=PH=HG=×4=，
∴RN、MS的最小值是，
∴四边形的周长最小值；
故答案为：；．
【分析】（1）直接根据全等三角形的性质求解即可；
（2）首先根据三角形中位线定理得出，即可得出RN、MS的最小值和四边形的周长最小值，最小值是PG的值，再根据勾股定理和等腰直角三角形的性质即可得出结论.
17．（2025八下·杭州期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
=
=.
（2）解：
=
=.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先把二次根式进行化简，再进行二次根式的加法计算即可得出答案；
（2）先将二次根式的进行乘法运算、化简，再进行二次根式的加减计算即可得出答案．
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
18．（2025八下·杭州期中）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：对方程 ，
a=1，b=4，c=-1，
=，
∴x=，
∴，
（2）解：，
，
，
即9x2=1，
∴，.
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）直接利用公式法求一元二次方程的解即可；
（2）先将一元二次方程进行变形，再将3x+1看作一个整体利用完全平方公式进行求解即可．
（1）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（2），
∴，
∴，
∴，，
解得：，．
19．（2025八下·杭州期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点．线段的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上．
（1）如图1，画与关于点O的中心对称的图形；
（2）如图2，画一个以为边，且面积为12的平行四边形；
（3）如图3，画一个以为对角线，且面积为9的平行四边形．
【答案】（1）解：连接AO、BO并延长使，则j即为所求，如图所示：
（2）解：作四边形ABCD，如图所示：
，则四边形ABCD即为所求.
（3）解：作四边形ACBD，如图所示：
，则四边形ACBD即为所求.
【知识点】平行四边形的性质；中心对称及中心对称图形；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】（1）根据中心对称图形的性质直接作图即可；
（2）以AB为一条边，以4个小正方形的边长为底边的平行四边形即可；
（3）以AB为一条边，以3个小正方形的边长为底边的平行四边形即可．
（1）解：如图所示：即为所求；
（2）如图所示：四边形即为所求；
∴；
（3）如图所示：四边形即为所求；
∴．
20．（2025八下·杭州期中）学校广播台要招聘一名编辑，甲、乙、丙三位同学报名并参加了3项素质测试，成绩如下表（单位：分）．
语言文字能力 运用媒体能力 创意设计能力
甲 86 77 77
乙 76 87 74
丙 80 78 85
（1）计算得甲、乙的平均分分别为80分，79分，请求出丙的平均分，并根据三人的平均分从高到低进行排序；
（2）学校认为：①单项最低分不能低于75分；②三个项目的重要程度有所不同，每位应聘者的语言文字能力、运用媒体能力、创意设计能力的成绩应按的比例计算其成绩，请问谁能成功应聘？
【答案】（1）解：，
三名应聘者的排名顺序为丙，甲，乙；
（2）由题意得：乙不符合条件①，
，
，
，
甲应聘成功．
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）利用平均数的公式求出丙的成绩，排序即可；
（2）利用加权平均数公式求出甲，丙的成绩，作出决策即可.
21．（2025八下·杭州期中）如图，在中，对角线与相交于点，，点，，分别为的中点，连结．
（1）求证：．
（2）求证：四边形为平行四边形．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2OB，
∵，
∴OB=AB，
∴△ABO是等腰三角形，
∵点E是AO的中点，
∴BE⊥AO.
（2）解：∵点G是BC的中点，
∴BG=，
∵点E、F分别是AO、DO的中点，
∴EF是△ADO的中位线，
∴EF=，EF∥AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC=AD，
∴BG∥EF，BG=EF，
∴四边形BEFG是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；等腰三角形的概念；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出BD=2OB，进而求得，求得△ABO是等腰三角形，再利用等腰三角形的三线合一即可得出结论；
（2）根据点E、F分别是AO、DO的中点，求得EF是△ADO的中位线，利用三角形的中位线定理得出EF=，EF∥AD，再根据平行四边形的性质得出BC∥AD，BC=AD，进而求得∴BG∥EF，BG=EF，即可得出结论．
（1）解：∵中，，，
∴，
∵是中点，
∴；
（2）解：∵点、是、的中点，
∴且，
∵中，，
∴且，
∵点是的中点，
∴且，
∴四边形为平行四边形．
22．（2025八下·杭州期中）某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2022年每辆汽车的日租金为100元，到2024年每辆汽车的日租金上涨到144元．
（1）求2022年至2024年该款汽车日租金的年平均增长率．
（2）经市场调研发现，从2024年开始，当每辆汽车的日租金定为144元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆．
①设在每辆汽车日租金144元的基础上，上涨了x元，则每辆汽车的日租金为______元，实际能租出_______辆车．（均用含x的代数式表示）
②已知该汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用34元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元．当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达27400元？（日收益=总租金-各类费用）
【答案】（1）解：设2022年至2024年该款汽车日租金的年平均增长率为x，
根据题意可列方程为：100（1+x）2=144，
解得：x1=20%，x2=-2.2（不符合实际，舍去），
答：2022年至2024年该款汽车日租金的年平均增长率为20%.
（2）解：①；；
②根据题意可列方程为：（144+x）（300-2x）-34（300-2x）-10×2x=27400，
整理得：-2x2+60x-5600=0
解得：x1=70，x2=-40（不符合题意，舍去），
答：每辆汽车的日租金上涨70元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（2）①设在每辆汽车日租金144元的基础上，上涨了x元，
∴每辆汽车的日租金为元，
∵日租金每增加1元，就要少租出2辆，
∴实际能租出辆车，
故答案为：；；
【分析】（1）设平均增长率为，根据“ 2022年每辆汽车的日租金为100元，到2024年每辆汽车的日租金上涨到144元 ”列出方程求解即可；
（2）①根据“ 当每辆汽车的日租金定为144元时，汽车可全部租出，日租金每增加1元，就要少租出2辆 ”列出代数式即可；
②根据“日收益=总租金 各类费用”列出一元二次方程，求解即可得出结论．
（1）解：设平均增长率为，则，
，（舍）．
∴平均增长率为；
（2）①设在每辆汽车日租金144元的基础上，上涨了x元，则每辆汽车的日租金为元，实际能租出辆车，
故答案为：；；
②，
，（舍），
∴每辆汽车的日租金上涨70元．
23．（2025八下·杭州期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求的值，他是这样解答的：
∵，
∴，
∴，，
∴．
∴．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
（1）________；_______；
（2）化简：；
（3）若，求的值．
【答案】（1）；
（2）解：原式=，
=（）+（）+（）+……+（），
=-1+13
12
（3）解：∵==，
∴a-2=，
∴（a-2）2=5，
∴，
∴
将代入得：
=
=
=1+3
=4.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；分母有理化
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；；
【分析】（1）将分母分别乘以和，利用分母有理化计算即可；
（2）先将分母有理化，然后合并同类二次根式即可；
（3）先根据分母有理化得到，将其变形为，进而得到，然后利用整体代入法进行计算即可．
（1）解：，
故答案为：，；
（2）解：
；
（3）解：
24．（2025八下·杭州期中）如图，在中，点E是边上一点，将沿折叠后，点B的对应点为点F．
（1）如图1，当点F恰好落在边上时，求证：四边形是菱形．
（2）如图2，当点F恰好落在上，且时，求的值．
（3）如图3，当，，时，连接，下列两个问题，对应的满分值为2分、4分，根据你的认知水平，选择其中一个问题求解．
①当时，求的长．
②当点F恰好落在上时，求的长．
【答案】（1）证明：根据折叠的性质可知：，∠B=∠AFE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFE=∠FEC，
∴∠B=∠FEC，
∴AB∥EF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形.
（2）解：根据折叠性质可知：∠B=∠AFE，AB=AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，
∴∠ADF=∠DEC，∠B+∠C=180°，AF=CD，
∵∠AFD+∠AFE=180°，
∴∠AFD=∠C，
在△ADF和△DEC中，
，
∴△ADF≌△DEC（AAS），
∴DF=EC，
∵，
∴.
（3）解：①连接EF，设AF与BC交点为N，如图所示：
∵AF⊥BC，∠ABC=45°，AB=，
∴AN=BN=2，
由折叠得性质可知：AB=AF=，∠ABC=∠F=45°，
∴NF=EN=AF-AN=-2，
∴BE=BN-EN=2-（-2）=4-；
②过点B作BM⊥AD于M，过点A作AN⊥BC于N，过点F作FP⊥AD于P，交BC于Q，设AE与BD交于点O，如图所示：
∵BM⊥AD，FP⊥AD，
∴∠M=90°，∠APQ=90°，
根据题意可知：AD∥BC，AD=BC=4，
∴∠MBN=∠M=90°=∠ANB=∠APQ，
∴四边形ANBM是矩形，四边形APQN是矩形，
∵∠ABC=45°，AB=，
∴AM=BM=AN=PQ=2，
∴在Rt△BDM中，BD===，
∵将△ABE沿AE折叠后，点B的对应点为点F，
∴BO=FO，BE=FE，AE⊥BF，
∵S△ABD=BD·AO=AD·BM，
即×AO=×4×2，
∴AO=，
∴在Rt△AOB中，BO===，
∴BF=2BO=，
∴DF=BD-BF=，
∵S△ABD=S△ABF+S△AFD=AD·BM，
即BF·AO+AD·PF=AD·BM，
∴×+4PF=4×2，
∴PF=，
∴FQ=PQ-PF=2-=，
在Rt△BQF中，BQ==，
在Rt△EQF中，EF2==，
∵BE=EF，
∴BE2=，
∴BE=.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由折叠的性质可知，∠B=∠AFE，再根据平行线的性质得出AD∥BC，推出∠AFE=∠FEC，进一步得出∠B=∠FEC，可得AB∥EF，可得四边形ABEF是平行四边形，结合AB=AF，即可得出四边形ABEF是菱形；
（2）根据平行四边形的性质可以得出∠ADF=∠DEC，AF=CD，再结合∠AFD=∠C，由“”证明△ADF≌△DEC（AAS），得出DF=EC，即可得出结论；
（3）①连接EF，设AF与BC交点为N，结合已知条件可知△ABN是等腰三角形可得AN=BN=2，由折叠的性质得出AB=AF=，∠ABC=∠F=45°，即可得出结论；
②过点B作BM⊥AD于M，过点A作AN⊥BC于N，过点F作FP⊥AD于P，交BC于Q，设AE与BD交于点O，根据勾股定理得BD=，再由S△ABD=BD·AO=AD·BM，S△ABD=S△ABF+S△AFD，求得的长，的长，再由勾股定理计算即可得出答案．
（1）证明：∵将沿折叠后，点的对应点为点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵将沿折叠后，点的对应点为点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：①如图，连接，设与交点，
∵，，，
∴，
∵将沿折叠后，点的对应点为点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②设与交于点，过点作直线于，过点作于，过点作于，交于，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，
∵将沿折叠后，点的对应点为点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
25．（2025八下·杭州期中）边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程的两根，则该直角三角形的斜边长为　 　．
【答案】13或10
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；三角形三边关系；勾股定理；二元二次方程的解
【解析】【解答】解：设直角三角形两直角边长为a，b，斜边为c，则a+b=k+2，ab=4k，
根据勾股定理，满足c==，
根据题意可知，c为正整数，且斜边必须大于任一直角边，故k-2＞0，即k≥3，
∴c=k-2，
∵ab-4（a+b）=4k-4（k+2）=-8，
整理得：（a-4）（b-4）=8
∵直角三角形的边长为整数，
∴（a-4）（b-4）的可能解为：
①a=5，b=12，此时k=15，c=13，
②a=6，b=8，此时k=12，c=10，
③a=8，b=6，此时k=12，c=10，
④a=12，b=5，此时k=15，c=13，
综上所述，该直角三角形的斜边长为13或10.
故答案为：13或10.
【分析】设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，根据一元二次方程根与系数的关系和勾股定理分别得出a、b、c与k的关系式，然后通过因式分解和直角三角形的直角边是整数，找到满足条件的整数解即可.
26．（2025八下·杭州期中）如图，平行四边形的每一个顶点都用线段与两条对边的中点相连．这些直线所围成图形（阴影部分）的面积与原平行四边形面积之比为　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中线
【解析】【解答】解：给图中各点标注字母，连接HF、GE、AC、BD，连接HF、EG交于点P，如图所示：
由题意得：四边形AHPE、HDGP、EPFB、PGCF是四个全等的平行四边形，四边形RQPS是四边形AHPE的一部分，
在△ABD中，点E、H分别为AB、AD的中点，且BH、AC交于点R，
∵点P为四边形ABCD对角线的交点，
∴P为AC、BD的中点，
∴点A、R、P三点在同一条直线上，
∴AP=3PR，
∴S△APS=3S△RPS，S△AQP=3S△RQP，
∴S四边形RQPS=S△QPS= 16S四边形AEPH，
同理可得：阴影部分的面积为原平行四边形面积的16 .
故答案为：．
【分析】结合题意，标注字母连接HF、EG交于点P，根据题意得：由题意得：四边形AHPE、HDGP、EPFB、PGCF是四个全等的平行四边形，求四边形中的面积，在中，点E、H均为中点，且交于点R，连接，利用三角形中线的性质得出S△APS=3S△RPS，S△AQP=3S△RQP，同理即可得出阴影部分的面积为原平行四边形面积的16．
27．（2025八下·杭州期中）小明学习了韦达定理之后，发现若一元二次方程有两个实数根，，则方程可化为，将等式左边展开后可得，与原方程系数比较，就不难得到根与系数的等量关系．
小明接着思考，那么若一元三次方程有三个实数根，，，则这三个根之和、三个根之积与原方程系数之间是否存在类似的等量关系？
请你帮助小明解决问题：若方程的三个实数根为，，，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：因为关于x的三次方程的三个根为，，，
所以，
展开得，，
所以，
所以，，则，，
由方程得，a=2，b=1，c=-7，d=-6，
所以，，
∴.
故答案为：．
【分析】根据一元三次方程有三个实数根，，，则有，然后得出，，再根据分式的加法计算的值， 在整体代入即可求解．
28．（2025八下·杭州期中）如图，P为正方形内一点，分别过P作两条直线，交，于E，F，交，于G，H．若，，且四边形的面积为9，则正方形的面积为　 　．（若和为锐角）
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点F作FM⊥HG，垂足为M，延长FM交AB于L，过点H作HR⊥AD，垂足为R，过点F作FS⊥AB，垂足为S，过点E作EK⊥FL，垂足为K，如图所示：
∴∠GRH=∠LSF=90°，
∵FM⊥HG，EK⊥FL，
∴EK∥GH，
∴∠GMK=∠EKM=90°，
根据正方形的性质可得：∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=AD=BC，
∴四边形ABHR、四边形BCFS是矩形，
∴AB=RH=BC=FS，
∵∠A+∠ALM+∠LMG+∠AGM=360°，
∴∠ALM+∠AGM=360°-∠A-∠LMG=180°，
∵∠ALM+∠FLE=180°，
∴∠AGM=∠FLE，
在△GRH和△LSF中，
，
∴△GRH≌△LSF（AAS），
∴GH=FL=5，
∵S△EHG=GH·KM，S△FHG=GH·FM，S四边形EHFG=S△EHG+S△FHG，
∴S四边形EHFG=GH·KM+GH·FM=GH·FK=FK，
∵ 四边形EHFG的面积为9，
∴FK=9，
∴FK=，
∴LK=FL-FK=，
在Rt△FEK中，EK==，
在Rt△LEK中，EL==，
设ES=a，FS=b，
在Rt△FLS中，，
在Rt△FES中，，
∴，由得：，
∴，，
∵，
∴正方形的面积为．
故答案为：．
【分析】根据题意构造△GRH≌△LSF（AAS），得出GH=FL=5，再由四边形EHFG的面积为9，得出GH·KM+GH·FM=GH·FK=FK=5，求出，进而由勾股定理求，，进而可通过列方程组求出即可得出结论.
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