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湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学2025年中考二模数学试卷
1．（2025·长沙模拟）下列各数中，绝对值最大的数是（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法；有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：根据题意，可得
，
，
∵，
∴绝对值最大的数是，
故答案为：A．
【分析】根据绝对值的性质：先得出每个选项的绝对值，再进行比较大小，即可作答．
2．（2025·长沙模拟）如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）
A．四棱柱 B．三棱柱 C．圆锥 D．圆柱
【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由图可知，该几何体的主视图，侧视图，俯视图，都是长方形，
可得该几何体为四棱柱；
故答案为：A．
【分析】根据三视图的定义：从正面，上面和侧面（左面或右面）三个不同的方向看一个物体，描绘三张所看到的图，即为三视图。从正面看到的图形叫作正视图（主视图），从上面看到的图形叫作俯视图，从侧面看到的图形叫作侧视图，在三视图中一般是选从左面看到的图形即左视图。据此即可判断
3．（2025·长沙模拟）某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”“DeepSeek”“豆包”三个主题，若小红随机选择其中一个主题，则她恰好选中“DeepSeek”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解： 根据确定了“5G时代”“DeepSeek”“豆包”三个主题，可知基本情况数是3，
而选中“DeepSeek”的情况数为1，因为“DeepSeek”只是三个主题中的一个。
因此，小红恰好选中“DeepSeek”的概率可以表示为
故答案为：C.
【分析】本题考查简单随机事件的概率.根据题意“5G时代”“DeepSeek”“豆包”三个主题可求出基本情况的总数，再求出选中“DeepSeek”的情况数为1，利用概率公式进行计算可求出概率.
4．（2025·长沙模拟）下列分式变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、，变形错误，不符合题意；
B、，变形错误，不符合题意；
C、，变形错误，不符合题意；
D、，变形正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据分式的基本性质：分子和分母同时乘以或除以同一个数或同一个整式，结果不变，据此逐一进行判断即可．
5．（2025·长沙模拟）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（　　）
A． B．36 C． D．9
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，，
故答案为：D ．
【分析】根据一元二次方程根的判别式“，可知，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等额实数根；，方程无实数根”，代入数据即可求解
6．（2025·长沙模拟）如图，直线，直角三角板的直角顶点在直线上，直线经过顶点，且与边交于点．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵直角三角板的直角顶点C在直线m上，，
∴，
∵直线，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据平行线的判定与性质．可先求得的度数，然后再根据平行线的性质即可求得答案的度数，最后再用减去，即可求出的度数．
7．（2025·长沙模拟）关于反比例函数，下列说法正确的是（　　）
A．图象分布在第一、三象限
B．在各自的象限内，随的增大而增大
C．函数图象关于轴对称
D．图象经过
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，，
A. 图象分布在第二、四象限，故该选项不正确，不符合题意；
B. 在各自的象限内，随的增大而增大，故该选项正确，符合题意；
C. 函数图象关于对称，故该选项不正确，不符合题意；
D. 图象经过或，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据解析式，可知，然后再根据反比例函数的性质，逐一对各个选项进行分析即可
8．（2025·长沙模拟）往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，则水的最大深度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，
∵OC⊥AB，由垂径定理可知，
∴AC=CB=AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理可知：
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，由垂径定理得AC=CB=AB求出AC的值，在Rt△AOC中，根据勾股定理求出AC的长，然后根据线段的和差CD=OD-OC可求解．
9．（2025·长沙模拟）甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较高且状态稳定的同学参加数学比赛，那么应选（　　）
　 甲 乙 丙 丁
平均数
方差
A．甲 B． C．丙 D．丁
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由于甲的平均数较大且方差较小，
故答案为：A
【分析】根据方差的意义：方差是反映一组数据整体波动大小的特征量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况。方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，据此即可求解
10．（2025·长沙模拟）甲、乙、丙、丁四位同学参加盲猜对位游戏，游戏规则是：箱内箱外各有颜色为红、绿、黑、蓝的个瓶子．由玩家对调箱外瓶子的顺序，主持人会提示几个瓶子的颜色与箱内瓶子颜色对上．以下是四位同学从左到右的摆放颜色顺序：
甲：黑、绿、红、蓝，主持人提示：对个；
乙：红、绿、黑、蓝，主持人提示：对个；
丙：蓝、绿、红、黑，主持人提示：对个；
丁：黑、蓝、绿、红，主持人提示：对个．
假设箱内四个瓶子的序号从左至右依次是①②③④，则根据以上信息，下列关于箱内四个瓶子的推断正确的是（　　）
A．②号瓶子的颜色可能是黑色 B．③号瓶子一定是蓝色
C．②号瓶子的颜色一定不是红色 D．绿色瓶子在黑色瓶子的左边
【答案】B
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：由乙和丙知，①号瓶不可能是红色和蓝色，由甲、乙、丙知②号瓶不可能是绿色，③号瓶不可能是红色和黑色，④号瓶不可能是蓝色和黑色，
∴①号瓶是黑色，
∴②号瓶不可能是蓝色，
∴②号瓶是红色，
∴③号瓶是蓝色，④号瓶是绿色，
故答案为：B．
【分析】根据题干信息，然后再对各个选项逐一进行推理即可求解。
11．（2025·长沙模拟）比较大小：　 　2．（填“”“”或“”）
【答案】
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
故答案为：．
【分析】根据算术平方根性质，被开方数大的其算术平方根也大，进行比较即可.
12．（2025·长沙模拟）如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是　 　.
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】根据多边形的外角和等于360°和正多边形的每一个外角都相等，得多边形的边数=360°÷60°=6。
【分析】根据正多边形的每一个外角都相等，得出正多边形的边数。
13．（2025·长沙模拟）年月日是我国第个植树节，某林业部门为了研究某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
移植的棵数
成活的棵数
成活的频率
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是　 　．（结果精确到）
【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由统计表可知，随着移植棵数的增加，成活的频率稳定在上下，
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是．
故答案为： ．
【分析】根据频率估计概率的意义：随着数据的增加，频率稳定在0.9上下，据此即可求解
14．（2025·长沙模拟）已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：由图象知，当时，
∴关于的方程的解为，
故答案为：．
【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系，观察图像，可知方程的解即为一次函数的函数值为0时对应的的值，据此即可求解
15．（2025·长沙模拟）《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，求李三公家的店有多少间客房，来了多少位房客？设该店有客房间，则根据题意可列出关于的一元一次方程为：　 　．
【答案】
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：．
故答案为：．
【分析】设该店有客房x间，根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房”，建立方程：，据此即可求解
16．（2025·长沙模拟）如图，是直线外一点，按以下步骤作图：
①以点为圆心，适当长为半径作弧，交直线于点，；
②分别以点、点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；
③作直线交于点．
若，，则四边形的面积为　 　．
【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由作图步骤可知：
步骤①中，以点为圆心作弧交直线于、，
∴．
步骤②中，分别以、为圆心，大于长为半径作弧相交于，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，．
∴．
∵四边形的对角线与互相垂直，
．
故答案为：12．
【分析】根据题干中的作图方法，可知，PE是BD的垂直平分线，进而可求出，据此可求出的长度，再推导出对角线垂直的四边形面积公式对角线之积，最后再代入数据即可求解
17．（2025·长沙模拟）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式、特殊角的三角函数值、零次幂、乘方的运算法则，然后再对对二次根式、求特殊角的三角函数值、零指数幂、乘方进行化简，最后再进行运算即可
18．（2025·长沙模拟）先化简，再求值：，其中
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】利用完全平方公式和平方差公式，对式子进行约分、化简，最后再把代入求解即可
19．（2025·长沙模拟）如图，一艘小船从处出发向正北方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向，航行2小时后到达处，测得灯塔在南偏东方向，处与灯塔的距离为40海里，求小船航行的平均速度（结果保留根号）．
【答案】解：作于点，
在中，，
，．
在中，，
，
，
又，
小船的航行速度为（海里/小时）．
答：小船的航行速度为海里/小时．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过C点作于点，然后再根据三角函数的定义和直角三角形30度所对的边等于斜边的一半，求出HC的值，进而求出AH的值，在直角三角形BHC中，根据三角函数的定义，即可求出，最后再根据速度=路程除以时间，代入数据，即可求解
20．（2025·长沙模拟）为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示会，现有五个项目：A．美丽镶嵌，B．七彩勾股树，C．数独，D．调查活动，E．数学史．为了解学生最喜爱的项目（每人只能选一个项目），现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）这次学校共抽取了_____名学生进行调查；图2中D选项所对应的圆心角度数为_____；请补齐条形统计图；
（2）为了解学生对数学史的认识，对被抽取的一部分学生进行测试，所得成绩分别为80，74，75，76，76，79，则这组数据的中位数是_____；众数是_____；
（3）若参加成果展示会的学生共有640人，请你估计其中最喜爱“数独”项目的学生人数．
【答案】（1）120，
补全图形如下：
（2）76；76
（3）解：（人）．
答：最喜爱“数独”项目的学生约160人．
【知识点】扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意，得（人），
D组所占圆心角为：，
根据题意，得E组的人数为：（人）
故答案为：120，。
（2）解：∵80，74，75，76，76，79，
76出现了2次，次数最多，
故众数为76；
从小到大排序为：74，75，76，76，79，80．
第3个，第4个数为76，76，
故中位数为。
故答案为：76，76。
【分析】（1）用图1中B项目的人数除以其占比，即可求出学生总人数，用D项目的人数除以总人数，求出D项目人数的占比，然后再乘以360度，即可求出D选项所对应的圆心角度数，用学生的总人数减去A、B、C、D，求出E选项的人数，即可画图
（2）根据众数的定义：数列中出现次数最多的数，即为众数；该数列有6个数，中位数是位于第3、第4个数，根据中位数的定义计算判断解答即可．
（3）根据题意，可知，数独属于C选项，用C选项的人数除以调查的学生人数，然后再乘以学生的总人数，即可求解。
（1）解：根据题意，得（人），
D组所占圆心角为：，
根据题意，得E组的人数为：（人）
补全图形如下：
故答案为：120，．
（2）解：∵80，74，75，76，76，79，
76出现了2次，次数最多，
故众数为76；
从小到大排序为：74，75，76，76，79，80．
第3个，第4个数为76，76，
故中位数为．
故答案为：76，76．
（3）解：（人）．
答：最喜爱“数独”项目的学生约160人．
21．（2025·长沙模拟）如图，点，在上，．
（1）求证：；
（2）连接，若，，，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
即．
又，
．
（2）解：，
，
又，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据BE=CF，求出，可得，然后再根据题干信息，利用，易证三角形全等即可．
（2）根据（1）可得，由全等三角形的性质和三角形内角和定理得出，再根据等边对等角得出，最后根据平角的定义求解即可．
（1）证明：，
，
即．
又，
．
（2）解：，
，
又，
，
．
22．（2025·长沙模拟）时代飞速发展，科技日新月异，人工智能技术应用已经成为目前的主流．某校为了丰富学生学习内容，开设智能机器人编程的校本课程，拟购买两种型号的机器人模型．
根据以下素材，探索解决任务：
机器人模型购买方案设计
素材1 型机器人模型单价比型机器人模型单价多200元
素材2 用2000元购买型机器人模型和用1200元购买型机器人模型的数量相同
素材3 学校准备购买型和型机器人模型共40台，购买的总费用预算不超过15000元
问题解决
任务1 确定模型单价 A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
任务2 拟定购买方案 若要型机器人模型尽可能的多，求满足条件的购买方案．
【答案】解：（1）设型机器人模型单价是元，型机器人模型单价是元．
根据题意，，
解得，
经检验，是原方程的根，
．
答：型机器人模型单价是500元，型机器人模型单价是300元．
（2）设购买型机器人模型台，购买型机器人模型台，
，
解得．
又型机器人模型要尽可能的多，
取最大值15，此时．
答：满足条件的购买方案是：购买型机器人模型15台，型机器人模型25台．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；不等式组和分式方程的综合应用
【解析】【分析】（1）设型机器人模型单价是元，型机器人模型单价是元，根据用“2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同”，建立方程：，然后再解方程，最后再对结果进行验证
（2）设购买型机器人模型台，购买型机器人模型台， 根据“学校准备购买型和型机器人模型共40台，购买的总费用预算不超过15000元”，建立关于m的不等式，求出m的解集，最后再确定当m取得最大值时，再求解即可
23．（2025·长沙模拟）如图，在矩形中，，分别在，边上，，．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求线段的长．
【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下：
在矩形中，，
在中，，
又，
，
是直角三角形，且．
（2）解：在矩形中，，，
又，
，
，
，即，
，
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【分析】（1）在三角形ADE中，根据勾股定理求出，然后再根据勾股定理逆定理即可证明
（2）根据题干信息，易证，从而可得，代入数据，，即可求解．
（1）解：是直角三角形，理由如下：
在矩形中，，
在中，，
又，
，
是直角三角形，且．
（2）解：在矩形中，，，
又，
，
，
，即，
，
．
24．（2025·长沙模拟）平面直角坐标系中，已知二次函数为常数，的图象经过点．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标（用含的式子表示）；
（2）若平面内一点，将点向左平移个单位长度，或者将点向右平移个单位长度，或者将点向上平移个单位长度，平移后的三个对应点都在二次函数图象上，试求和的值；
（3）当时，的最大值为，的最小值为，令，若，试求的取值范围．
【答案】（1）解：将代入中，
可得：，
，
，
整理可得：，
二次函数图象的顶点坐标为；
（2）解：将点按要求平移后的对应点的坐标分别为，，三点，
由可知抛物线的对称轴为，
和都在二次函数的图象上，且纵坐标相同，
，
解得：，
将，代入二次函数的解析式，
得到：，
解得：，；
（3）解：由可知二次函数的对称轴为，
当时，抛物线开口向上，
时，随的增大而先减后增，
时，有最小值，即，
时，有最大值，即，
又，
，
，
，
，
解得：，
，
，
令，
由，可得：，
随的增大而减小，
当时，有，
当时，有
；
当时，抛物线开口向下，
时，随的增大而先增后减，
时，有最大值，即，
时，有最小值，即．
，
，
，
，
，
解得：，
，
．
令，
由，
可得：，
随的增大而先减后增，
当时，有，
当时，有，
．
综上所述，的取值范围是且．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【分析】（1）将A（-2，2）代入，然后再根据对称轴的公式，求出b和a的关系，然后再把解析式化为顶点坐标式，即可求出顶点坐标
（2）根据题干信息，求出点平移后的对应点的三个坐标，观察坐标可知，和都在二次函数的图象上，且纵坐标相同，然后再根据抛物线的对称轴，从而可得：，解方程求出的值，即可得到点和的坐标分别为，，把这两个点的坐标代入二次函数的解析式，得到关于和的方程组，最后再解方程组即可求出和a的值；
（3）由（1）可知二次函数的对称轴为，当时，抛物线开口向上，在范围内随的增大而先减后增；当时，抛物线开口向下，在范围内随的增大而先增后减，然后再根据和两种情况进行求解即可
（1）解：将代入中，
可得：，
，
，
整理可得：，
二次函数图象的顶点坐标为；
（2）解：将点按要求平移后的对应点的坐标分别为，，三点，
由可知抛物线的对称轴为，
和都在二次函数的图象上，且纵坐标相同，
，
解得：，
将，代入二次函数的解析式，
得到：，
解得：，；
（3）解：由可知二次函数的对称轴为，
当时，抛物线开口向上，
时，随的增大而先减后增，
时，有最小值，即，
时，有最大值，即，
又，
，
，
，
，
解得：，
，
，
令，
由，可得：，
随的增大而减小，
当时，有，
当时，有
；
当时，抛物线开口向下，
时，随的增大而先增后减，
时，有最大值，即，
时，有最小值，即．
，
，
，
，
，
解得：，
，
．
令，
由，
可得：，
随的增大而先减后增，
当时，有，
当时，有，
．
综上所述，的取值范围是且．
25．（2025·长沙模拟）我们把圆心在三角形的一边上，且与其他两边都相切的圆叫做这个三角形的“边切圆”，其圆心叫做这个三角形该边上的“边心”，如图1，圆心是的边上的“边心”．
（1）请你判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）．
①任何一个三角形都有三个“边切圆”；_____
②“边心”一定在三角形边的垂直平分线上；_____
③若三角形的一个“边切圆”的圆心与外接圆圆心重合，则该三角形是等腰直角三角形．_____
（2）如图2，中，，点在边上，且，以为圆心，为半径画圆，求证：是的“边切圆”；
（3）如图3，是的边上的“边心”，与，边的切点为与交于点恰好是的内切圆圆心．
①求证：；
②令的半径为，的内切圆半径为，试用含，的式子表示的值．
【答案】（1）√；×；√
（2）证明：如图，过点作于点，
，
且为半径，
与相切，
，
，
，
又，
，即，
又，为半径，
与相切，
是的“边切圆”
（3）①证明：，与相切于点，，
，
连接，，
则，，且，
，垂直平分，
，
，
又点是的内切圆圆心，
平分，平分，平分，
，
又，
；
②解：平分，
，
又，
，
同理可证，
，
，
．
由①可知，
，
过点作于点，则，
，
，
，
，
解得，
又，
，
，
．
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【解答】解（1）：①任何一个三角形都有三个“边切圆”，分别是三角形三个内角角平分线与对边的交点为“边心”；故答案为：√；
②“边心”一定在三角形内角角平分线上，故答案为：×；
③若三角形的一个“边切圆”的圆心为内角角平分线，三角形外接圆圆心在边上只有直角三角形，且外接圆圆心为斜边中点，当三角形的一个“边切圆”的圆心与外接圆圆心重合，则该三角形是等腰直角三角形，故答案为：√．
故答案为：√；×；√。
【分析】（1）根据“边切圆”和“边心”的特点，然后再逐一进行解答，即可判断；
（2）过点作于点，由切线可得，然后再利用三角形的面积公式，分别求出和，然后再代入数据：，即可得到，即可得，推出与相切，是的“边切圆”；
（3）①连接，，则，，且，得到，再由点是的内切圆圆心，得到，再证明；
②根据题干条件，易证，，，进而可得，过点作于点，则，则，得到，代入解得，然后再结合即可得到。
（1）解：①任何一个三角形都有三个“边切圆”，分别是三角形三个内角角平分线与对边的交点为“边心”；故答案为：√；
②“边心”一定在三角形内角角平分线上，故答案为：×；
③若三角形的一个“边切圆”的圆心为内角角平分线，三角形外接圆圆心在边上只有直角三角形，且外接圆圆心为斜边中点，当三角形的一个“边切圆”的圆心与外接圆圆心重合，则该三角形是等腰直角三角形，故答案为：√．
故答案为：√；×；√．
（2）证明：如图，过点作于点，
，
且为半径，
与相切，
，
，
，
又，
，即，
又，为半径，
与相切，
是的“边切圆”；
（3）①证明：，与相切于点，，
，
连接，，
则，，且，
，垂直平分，
，
，
又点是的内切圆圆心，
平分，平分，平分，
，
又，
；
②解：平分，
，
又，
，
同理可证，
，
，
．
由①可知，
，
过点作于点，则，
，
，
，
，
解得，
又，
，
，
．
1 / 1湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学2025年中考二模数学试卷
1．（2025·长沙模拟）下列各数中，绝对值最大的数是（　　）
A． B．0 C． D．
2．（2025·长沙模拟）如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）
A．四棱柱 B．三棱柱 C．圆锥 D．圆柱
3．（2025·长沙模拟）某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”“DeepSeek”“豆包”三个主题，若小红随机选择其中一个主题，则她恰好选中“DeepSeek”的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·长沙模拟）下列分式变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·长沙模拟）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（　　）
A． B．36 C． D．9
6．（2025·长沙模拟）如图，直线，直角三角板的直角顶点在直线上，直线经过顶点，且与边交于点．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·长沙模拟）关于反比例函数，下列说法正确的是（　　）
A．图象分布在第一、三象限
B．在各自的象限内，随的增大而增大
C．函数图象关于轴对称
D．图象经过
8．（2025·长沙模拟）往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，则水的最大深度为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·长沙模拟）甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较高且状态稳定的同学参加数学比赛，那么应选（　　）
　 甲 乙 丙 丁
平均数
方差
A．甲 B． C．丙 D．丁
10．（2025·长沙模拟）甲、乙、丙、丁四位同学参加盲猜对位游戏，游戏规则是：箱内箱外各有颜色为红、绿、黑、蓝的个瓶子．由玩家对调箱外瓶子的顺序，主持人会提示几个瓶子的颜色与箱内瓶子颜色对上．以下是四位同学从左到右的摆放颜色顺序：
甲：黑、绿、红、蓝，主持人提示：对个；
乙：红、绿、黑、蓝，主持人提示：对个；
丙：蓝、绿、红、黑，主持人提示：对个；
丁：黑、蓝、绿、红，主持人提示：对个．
假设箱内四个瓶子的序号从左至右依次是①②③④，则根据以上信息，下列关于箱内四个瓶子的推断正确的是（　　）
A．②号瓶子的颜色可能是黑色 B．③号瓶子一定是蓝色
C．②号瓶子的颜色一定不是红色 D．绿色瓶子在黑色瓶子的左边
11．（2025·长沙模拟）比较大小：　 　2．（填“”“”或“”）
12．（2025·长沙模拟）如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是　 　.
13．（2025·长沙模拟）年月日是我国第个植树节，某林业部门为了研究某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
移植的棵数
成活的棵数
成活的频率
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是　 　．（结果精确到）
14．（2025·长沙模拟）已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为　 　．
15．（2025·长沙模拟）《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，求李三公家的店有多少间客房，来了多少位房客？设该店有客房间，则根据题意可列出关于的一元一次方程为：　 　．
16．（2025·长沙模拟）如图，是直线外一点，按以下步骤作图：
①以点为圆心，适当长为半径作弧，交直线于点，；
②分别以点、点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；
③作直线交于点．
若，，则四边形的面积为　 　．
17．（2025·长沙模拟）计算：．
18．（2025·长沙模拟）先化简，再求值：，其中
19．（2025·长沙模拟）如图，一艘小船从处出发向正北方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向，航行2小时后到达处，测得灯塔在南偏东方向，处与灯塔的距离为40海里，求小船航行的平均速度（结果保留根号）．
20．（2025·长沙模拟）为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示会，现有五个项目：A．美丽镶嵌，B．七彩勾股树，C．数独，D．调查活动，E．数学史．为了解学生最喜爱的项目（每人只能选一个项目），现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）这次学校共抽取了_____名学生进行调查；图2中D选项所对应的圆心角度数为_____；请补齐条形统计图；
（2）为了解学生对数学史的认识，对被抽取的一部分学生进行测试，所得成绩分别为80，74，75，76，76，79，则这组数据的中位数是_____；众数是_____；
（3）若参加成果展示会的学生共有640人，请你估计其中最喜爱“数独”项目的学生人数．
21．（2025·长沙模拟）如图，点，在上，．
（1）求证：；
（2）连接，若，，，求的度数．
22．（2025·长沙模拟）时代飞速发展，科技日新月异，人工智能技术应用已经成为目前的主流．某校为了丰富学生学习内容，开设智能机器人编程的校本课程，拟购买两种型号的机器人模型．
根据以下素材，探索解决任务：
机器人模型购买方案设计
素材1 型机器人模型单价比型机器人模型单价多200元
素材2 用2000元购买型机器人模型和用1200元购买型机器人模型的数量相同
素材3 学校准备购买型和型机器人模型共40台，购买的总费用预算不超过15000元
问题解决
任务1 确定模型单价 A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
任务2 拟定购买方案 若要型机器人模型尽可能的多，求满足条件的购买方案．
23．（2025·长沙模拟）如图，在矩形中，，分别在，边上，，．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求线段的长．
24．（2025·长沙模拟）平面直角坐标系中，已知二次函数为常数，的图象经过点．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标（用含的式子表示）；
（2）若平面内一点，将点向左平移个单位长度，或者将点向右平移个单位长度，或者将点向上平移个单位长度，平移后的三个对应点都在二次函数图象上，试求和的值；
（3）当时，的最大值为，的最小值为，令，若，试求的取值范围．
25．（2025·长沙模拟）我们把圆心在三角形的一边上，且与其他两边都相切的圆叫做这个三角形的“边切圆”，其圆心叫做这个三角形该边上的“边心”，如图1，圆心是的边上的“边心”．
（1）请你判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）．
①任何一个三角形都有三个“边切圆”；_____
②“边心”一定在三角形边的垂直平分线上；_____
③若三角形的一个“边切圆”的圆心与外接圆圆心重合，则该三角形是等腰直角三角形．_____
（2）如图2，中，，点在边上，且，以为圆心，为半径画圆，求证：是的“边切圆”；
（3）如图3，是的边上的“边心”，与，边的切点为与交于点恰好是的内切圆圆心．
①求证：；
②令的半径为，的内切圆半径为，试用含，的式子表示的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法；有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：根据题意，可得
，
，
∵，
∴绝对值最大的数是，
故答案为：A．
【分析】根据绝对值的性质：先得出每个选项的绝对值，再进行比较大小，即可作答．
2．【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由图可知，该几何体的主视图，侧视图，俯视图，都是长方形，
可得该几何体为四棱柱；
故答案为：A．
【分析】根据三视图的定义：从正面，上面和侧面（左面或右面）三个不同的方向看一个物体，描绘三张所看到的图，即为三视图。从正面看到的图形叫作正视图（主视图），从上面看到的图形叫作俯视图，从侧面看到的图形叫作侧视图，在三视图中一般是选从左面看到的图形即左视图。据此即可判断
3．【答案】C
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解： 根据确定了“5G时代”“DeepSeek”“豆包”三个主题，可知基本情况数是3，
而选中“DeepSeek”的情况数为1，因为“DeepSeek”只是三个主题中的一个。
因此，小红恰好选中“DeepSeek”的概率可以表示为
故答案为：C.
【分析】本题考查简单随机事件的概率.根据题意“5G时代”“DeepSeek”“豆包”三个主题可求出基本情况的总数，再求出选中“DeepSeek”的情况数为1，利用概率公式进行计算可求出概率.
4．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、，变形错误，不符合题意；
B、，变形错误，不符合题意；
C、，变形错误，不符合题意；
D、，变形正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据分式的基本性质：分子和分母同时乘以或除以同一个数或同一个整式，结果不变，据此逐一进行判断即可．
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，，
故答案为：D ．
【分析】根据一元二次方程根的判别式“，可知，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等额实数根；，方程无实数根”，代入数据即可求解
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵直角三角板的直角顶点C在直线m上，，
∴，
∵直线，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据平行线的判定与性质．可先求得的度数，然后再根据平行线的性质即可求得答案的度数，最后再用减去，即可求出的度数．
7．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，，
A. 图象分布在第二、四象限，故该选项不正确，不符合题意；
B. 在各自的象限内，随的增大而增大，故该选项正确，符合题意；
C. 函数图象关于对称，故该选项不正确，不符合题意；
D. 图象经过或，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据解析式，可知，然后再根据反比例函数的性质，逐一对各个选项进行分析即可
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，
∵OC⊥AB，由垂径定理可知，
∴AC=CB=AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理可知：
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，由垂径定理得AC=CB=AB求出AC的值，在Rt△AOC中，根据勾股定理求出AC的长，然后根据线段的和差CD=OD-OC可求解．
9．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由于甲的平均数较大且方差较小，
故答案为：A
【分析】根据方差的意义：方差是反映一组数据整体波动大小的特征量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况。方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，据此即可求解
10．【答案】B
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：由乙和丙知，①号瓶不可能是红色和蓝色，由甲、乙、丙知②号瓶不可能是绿色，③号瓶不可能是红色和黑色，④号瓶不可能是蓝色和黑色，
∴①号瓶是黑色，
∴②号瓶不可能是蓝色，
∴②号瓶是红色，
∴③号瓶是蓝色，④号瓶是绿色，
故答案为：B．
【分析】根据题干信息，然后再对各个选项逐一进行推理即可求解。
11．【答案】
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
故答案为：．
【分析】根据算术平方根性质，被开方数大的其算术平方根也大，进行比较即可.
12．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】根据多边形的外角和等于360°和正多边形的每一个外角都相等，得多边形的边数=360°÷60°=6。
【分析】根据正多边形的每一个外角都相等，得出正多边形的边数。
13．【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由统计表可知，随着移植棵数的增加，成活的频率稳定在上下，
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是．
故答案为： ．
【分析】根据频率估计概率的意义：随着数据的增加，频率稳定在0.9上下，据此即可求解
14．【答案】
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：由图象知，当时，
∴关于的方程的解为，
故答案为：．
【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系，观察图像，可知方程的解即为一次函数的函数值为0时对应的的值，据此即可求解
15．【答案】
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：．
故答案为：．
【分析】设该店有客房x间，根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房”，建立方程：，据此即可求解
16．【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由作图步骤可知：
步骤①中，以点为圆心作弧交直线于、，
∴．
步骤②中，分别以、为圆心，大于长为半径作弧相交于，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，．
∴．
∵四边形的对角线与互相垂直，
．
故答案为：12．
【分析】根据题干中的作图方法，可知，PE是BD的垂直平分线，进而可求出，据此可求出的长度，再推导出对角线垂直的四边形面积公式对角线之积，最后再代入数据即可求解
17．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式、特殊角的三角函数值、零次幂、乘方的运算法则，然后再对对二次根式、求特殊角的三角函数值、零指数幂、乘方进行化简，最后再进行运算即可
18．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】利用完全平方公式和平方差公式，对式子进行约分、化简，最后再把代入求解即可
19．【答案】解：作于点，
在中，，
，．
在中，，
，
，
又，
小船的航行速度为（海里/小时）．
答：小船的航行速度为海里/小时．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过C点作于点，然后再根据三角函数的定义和直角三角形30度所对的边等于斜边的一半，求出HC的值，进而求出AH的值，在直角三角形BHC中，根据三角函数的定义，即可求出，最后再根据速度=路程除以时间，代入数据，即可求解
20．【答案】（1）120，
补全图形如下：
（2）76；76
（3）解：（人）．
答：最喜爱“数独”项目的学生约160人．
【知识点】扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意，得（人），
D组所占圆心角为：，
根据题意，得E组的人数为：（人）
故答案为：120，。
（2）解：∵80，74，75，76，76，79，
76出现了2次，次数最多，
故众数为76；
从小到大排序为：74，75，76，76，79，80．
第3个，第4个数为76，76，
故中位数为。
故答案为：76，76。
【分析】（1）用图1中B项目的人数除以其占比，即可求出学生总人数，用D项目的人数除以总人数，求出D项目人数的占比，然后再乘以360度，即可求出D选项所对应的圆心角度数，用学生的总人数减去A、B、C、D，求出E选项的人数，即可画图
（2）根据众数的定义：数列中出现次数最多的数，即为众数；该数列有6个数，中位数是位于第3、第4个数，根据中位数的定义计算判断解答即可．
（3）根据题意，可知，数独属于C选项，用C选项的人数除以调查的学生人数，然后再乘以学生的总人数，即可求解。
（1）解：根据题意，得（人），
D组所占圆心角为：，
根据题意，得E组的人数为：（人）
补全图形如下：
故答案为：120，．
（2）解：∵80，74，75，76，76，79，
76出现了2次，次数最多，
故众数为76；
从小到大排序为：74，75，76，76，79，80．
第3个，第4个数为76，76，
故中位数为．
故答案为：76，76．
（3）解：（人）．
答：最喜爱“数独”项目的学生约160人．
21．【答案】（1）证明：，
，
即．
又，
．
（2）解：，
，
又，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据BE=CF，求出，可得，然后再根据题干信息，利用，易证三角形全等即可．
（2）根据（1）可得，由全等三角形的性质和三角形内角和定理得出，再根据等边对等角得出，最后根据平角的定义求解即可．
（1）证明：，
，
即．
又，
．
（2）解：，
，
又，
，
．
22．【答案】解：（1）设型机器人模型单价是元，型机器人模型单价是元．
根据题意，，
解得，
经检验，是原方程的根，
．
答：型机器人模型单价是500元，型机器人模型单价是300元．
（2）设购买型机器人模型台，购买型机器人模型台，
，
解得．
又型机器人模型要尽可能的多，
取最大值15，此时．
答：满足条件的购买方案是：购买型机器人模型15台，型机器人模型25台．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；不等式组和分式方程的综合应用
【解析】【分析】（1）设型机器人模型单价是元，型机器人模型单价是元，根据用“2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同”，建立方程：，然后再解方程，最后再对结果进行验证
（2）设购买型机器人模型台，购买型机器人模型台， 根据“学校准备购买型和型机器人模型共40台，购买的总费用预算不超过15000元”，建立关于m的不等式，求出m的解集，最后再确定当m取得最大值时，再求解即可
23．【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下：
在矩形中，，
在中，，
又，
，
是直角三角形，且．
（2）解：在矩形中，，，
又，
，
，
，即，
，
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【分析】（1）在三角形ADE中，根据勾股定理求出，然后再根据勾股定理逆定理即可证明
（2）根据题干信息，易证，从而可得，代入数据，，即可求解．
（1）解：是直角三角形，理由如下：
在矩形中，，
在中，，
又，
，
是直角三角形，且．
（2）解：在矩形中，，，
又，
，
，
，即，
，
．
24．【答案】（1）解：将代入中，
可得：，
，
，
整理可得：，
二次函数图象的顶点坐标为；
（2）解：将点按要求平移后的对应点的坐标分别为，，三点，
由可知抛物线的对称轴为，
和都在二次函数的图象上，且纵坐标相同，
，
解得：，
将，代入二次函数的解析式，
得到：，
解得：，；
（3）解：由可知二次函数的对称轴为，
当时，抛物线开口向上，
时，随的增大而先减后增，
时，有最小值，即，
时，有最大值，即，
又，
，
，
，
，
解得：，
，
，
令，
由，可得：，
随的增大而减小，
当时，有，
当时，有
；
当时，抛物线开口向下，
时，随的增大而先增后减，
时，有最大值，即，
时，有最小值，即．
，
，
，
，
，
解得：，
，
．
令，
由，
可得：，
随的增大而先减后增，
当时，有，
当时，有，
．
综上所述，的取值范围是且．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【分析】（1）将A（-2，2）代入，然后再根据对称轴的公式，求出b和a的关系，然后再把解析式化为顶点坐标式，即可求出顶点坐标
（2）根据题干信息，求出点平移后的对应点的三个坐标，观察坐标可知，和都在二次函数的图象上，且纵坐标相同，然后再根据抛物线的对称轴，从而可得：，解方程求出的值，即可得到点和的坐标分别为，，把这两个点的坐标代入二次函数的解析式，得到关于和的方程组，最后再解方程组即可求出和a的值；
（3）由（1）可知二次函数的对称轴为，当时，抛物线开口向上，在范围内随的增大而先减后增；当时，抛物线开口向下，在范围内随的增大而先增后减，然后再根据和两种情况进行求解即可
（1）解：将代入中，
可得：，
，
，
整理可得：，
二次函数图象的顶点坐标为；
（2）解：将点按要求平移后的对应点的坐标分别为，，三点，
由可知抛物线的对称轴为，
和都在二次函数的图象上，且纵坐标相同，
，
解得：，
将，代入二次函数的解析式，
得到：，
解得：，；
（3）解：由可知二次函数的对称轴为，
当时，抛物线开口向上，
时，随的增大而先减后增，
时，有最小值，即，
时，有最大值，即，
又，
，
，
，
，
解得：，
，
，
令，
由，可得：，
随的增大而减小，
当时，有，
当时，有
；
当时，抛物线开口向下，
时，随的增大而先增后减，
时，有最大值，即，
时，有最小值，即．
，
，
，
，
，
解得：，
，
．
令，
由，
可得：，
随的增大而先减后增，
当时，有，
当时，有，
．
综上所述，的取值范围是且．
25．【答案】（1）√；×；√
（2）证明：如图，过点作于点，
，
且为半径，
与相切，
，
，
，
又，
，即，
又，为半径，
与相切，
是的“边切圆”
（3）①证明：，与相切于点，，
，
连接，，
则，，且，
，垂直平分，
，
，
又点是的内切圆圆心，
平分，平分，平分，
，
又，
；
②解：平分，
，
又，
，
同理可证，
，
，
．
由①可知，
，
过点作于点，则，
，
，
，
，
解得，
又，
，
，
．
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【解答】解（1）：①任何一个三角形都有三个“边切圆”，分别是三角形三个内角角平分线与对边的交点为“边心”；故答案为：√；
②“边心”一定在三角形内角角平分线上，故答案为：×；
③若三角形的一个“边切圆”的圆心为内角角平分线，三角形外接圆圆心在边上只有直角三角形，且外接圆圆心为斜边中点，当三角形的一个“边切圆”的圆心与外接圆圆心重合，则该三角形是等腰直角三角形，故答案为：√．
故答案为：√；×；√。
【分析】（1）根据“边切圆”和“边心”的特点，然后再逐一进行解答，即可判断；
（2）过点作于点，由切线可得，然后再利用三角形的面积公式，分别求出和，然后再代入数据：，即可得到，即可得，推出与相切，是的“边切圆”；
（3）①连接，，则，，且，得到，再由点是的内切圆圆心，得到，再证明；
②根据题干条件，易证，，，进而可得，过点作于点，则，则，得到，代入解得，然后再结合即可得到。
（1）解：①任何一个三角形都有三个“边切圆”，分别是三角形三个内角角平分线与对边的交点为“边心”；故答案为：√；
②“边心”一定在三角形内角角平分线上，故答案为：×；
③若三角形的一个“边切圆”的圆心为内角角平分线，三角形外接圆圆心在边上只有直角三角形，且外接圆圆心为斜边中点，当三角形的一个“边切圆”的圆心与外接圆圆心重合，则该三角形是等腰直角三角形，故答案为：√．
故答案为：√；×；√．
（2）证明：如图，过点作于点，
，
且为半径，
与相切，
，
，
，
又，
，即，
又，为半径，
与相切，
是的“边切圆”；
（3）①证明：，与相切于点，，
，
连接，，
则，，且，
，垂直平分，
，
，
又点是的内切圆圆心，
平分，平分，平分，
，
又，
；
②解：平分，
，
又，
，
同理可证，
，
，
．
由①可知，
，
过点作于点，则，
，
，
，
，
解得，
又，
，
，
．
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