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四川省绵阳市游仙区2025年中考三模数学试题
1．（2025·游仙模拟）的相反数是（　　）
A． B．5 C． D．
2．（2025·游仙模拟）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·游仙模拟）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5 （ ）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害.2.5 用科学记数法可表示为（　　）
A．2.5× m B．0.25× m
C．2.5× m D．25× m
4．（2025·游仙模拟）点与点关于坐标原点对称，则（　　）
A．1 B． C． D．2025
5．（2025·游仙模拟）如图是由四个相同的小正方体堆成的物体，它的正视图是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·游仙模拟）若在实数范围内有意义，则满足的条件为（　　）
A． B．
C．且 D．
7．（2025·游仙模拟）假如鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟和雄鸟的概率相同．如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么雏鸟中恰有两只雄鸟的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·游仙模拟）如图，的外角平分线，交于点．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·游仙模拟）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角为，C点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为6m，求甲建筑物的高度为（　　）（，，，结果保留整数）
A． B． C． D．
10．（2025·游仙模拟）若关于的方程与有一个解相同，则的值为（　　）
A．6 B． C．6或 D．或2
11．（2025·游仙模拟）如图，是的直径，，，点为弧的中点，点是直径上的一个动点，则的最小值为（　　）
A．4 B．42 C． D．
12．（2025·游仙模拟）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（　　）
A． B． C． D．
13．（2025·游仙模拟）在实数范围内分解因式：　 　．
14．（2025·游仙模拟）如图，直线，直线分别交，于点，，的平分线交直线于点，若，则的度数是　 　．
15．（2025·游仙模拟）若关于的方程有实数根，则的取值范围是　 　．
16．（2025·游仙模拟）如图，一个纸杯杯口直径为，杯底直径为，，长为，则纸杯的表面积为　 　（结果保留）
17．（2025·游仙模拟）如图，在平行四边形中，点，分别是，的中点，分别与，交于点，．若的面积为1，则平行四边形的面积为　 　．
18．（2025·游仙模拟）如图，在中，，，．是平面内任意一点，，，，分别为线段，，，的中点．当四边形为菱形时，点到直线的最大距离是　 　．
19．（2025·游仙模拟）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中，满足．
20．（2025·游仙模拟）某中学为加强学生的劳动教育，需要制定学生每周劳动时间（单位：小时）的合格标准，为此随机调查了100名学生目前每周劳动时间，获得数据并整理成表格．
学生目前每周劳动时间统计表
每周劳动时间（小时）
组中值 1 2 3 4 5
人数（人） 21 30 19 18 12
（1）画扇形图描述数据时，这组数据对应的扇形圆心角是多少度？
（2）估计该校学生目前每周劳动时间的平均数；
（3）请你为该校制定一个学生每周劳动时间的合格标准（时间取整数小时），并用统计量说明其合理性．
21．（2025·游仙模拟）如图，一次函数（）的图象经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若反比例函数的图象与该一次函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，且，求m的值．
22．（2025·游仙模拟）为积极响应政府提出的“绿色发展 低碳出行”号召，某社区决定购置一批共享单车．经市场调查得知，购买3辆男式单车与4辆女式单车费用相同，购买5辆男式单车与4辆女式单车共需16000元．
（1）求男式单车和女式单车的单价；
（2）该社区要求男式单车比女式单车多4辆，两种单车至少需要22辆，购置两种单车的费用不超过50000元，该社区有几种购置方案？怎样购置才能使所需总费用最低，最低费用是多少？
23．（2025·游仙模拟）如图，已知D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，BE与⊙O相切，交CD的延长线于点E，且．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若，，
①求⊙O的半径；
②求BD的长．
24．（2025·游仙模拟）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；
（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2025·游仙模拟）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．
（一）拓展探究
如图1，在中，，垂足为．
（1）兴趣小组的同学得出．理由如下：
①______ ②______
请完成填空：①______；②______；
（2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由．
（二）学以致用
（3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相反数的意义与性质；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：，
∵的相反数是，
∴的相反数是，
故答案为：C
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数，以及只有符号不同的两个数互为相反数，进行作答即可．
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：观察得：ABD都是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C中各对角线的交点即为对称中心，在中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴与正方形的对称轴一样，故符合题意；
故答案为：C．
【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此求解即可．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答 =2.5× m，
故答案为：C．
【分析】科学记数法表示绝对值较小的数，一般表示成a× 10-n，的形式，其中1≤| a |＜10，n是原数左边第一个非零数字前面所有的个数。
4．【答案】B
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意得：，，
整理得
①×2+②得：5a=15，
解得：a=3，
把a=3代入①得：6+b=10，
解得：
，
故答案为：B．
【分析】关于原点对称的点的横坐标和纵坐标都互为相反数，由此可得，，整理之后再利用加减消元法进行求解得a，b的值，再代入，进行计算即可．
5．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看可得从左往右2列正方形的个数依次为2，1，
如图所示：
故选A．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：在实数范围内有意义，
，，
解得：，
解得：，
故且，
故答案为：C．
【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数是非负数；分式有意义的条件是分式的分母不能为0得到不等式组：且，据此求解即可．
7．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：记雌鸟为A，雄鸟为B，根据题意画图如下：
共8种等可能的情况，其中恰好有两只雄鸟的情况有3种情况，ABB，BAB，BBA，
∴雏鸟中恰有两只雄鸟的概率为
故答案为：B．
【分析】根据题意画树状图得出所有等可能的情况，以及三只雏鸟中恰有2只雄鸟的情况数，再利用概率公式计算即可．
8．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵的外角平分线，交于点，
∴，，
∴，
即.
∵，
∴
∴．
故答案为：D．
【分析】先根据外角平分线的定义得，，相加得，代入∠B=50°并求值，最后再利用三角形的内角和定理即可求得∠D的度数.
9．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点作于点，设，如图，
根据题意可得：，，∠ADE=α=45°，∠ACB=β=58°，CD=6 m，
∴四边形是矩形，△ABC和△AED都是直角三角形。
∴，BC=DE，
在中，，设BC=DE=x m，
∴AE=DE·tan45°=DE=x m，
∴（m），
在中，∠ACB=58°，
∴AB=BC·tan58°≈1.6x （m），
∴x+6≈1.6x
解得：，
∴．
故答案为：C．
【分析】过点作于点，则四边形是矩形，△ABC和△AED都是直角三角形，于是有，BC=DE，设BC=DE=x m，在中解直角三角形，表示出AE，继而的AB长，在中解直角三角形，表示出AB的长，联立得方程，求解即可．
10．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；分式方程的增根；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：解方程得：，，
由题意，把代入得，，
解得：；
当时，由于分母，分式方程无意义，
∴不是方程的解．
故答案为： B．
【分析】先求出一元二次方程的解，再将解分别代入分式方程中，求解即可，注意x的值是否为增根．
11．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过作关于直线的对称点，连接，，，，如图，
∴AP+BP=A'P+BP≥A'B，当A'，P，B三点共线时，"＝"成立.
关于直线对称，
，
，
，，
.
过作OC⊥A'B于C，如图所示：
∵OA'=OB，OC⊥A'B，∠A'OB=120°，
∴A'C=BC，∠A'OC=∠BOC=60°，
在中，，
，
∴的最小值，
故答案为：D．
【分析】过作关于直线的对称点，连接，，，，由轴对称的性质可知为的最小值，由对称的性质可知，再由圆周角定理可求出和的度数，继而可得∠A'OB的度数，再由垂径定理和锐角三角函数即可求解.
12．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；三角形的综合
【解析】【解答】解：如图，
，，
∴
=
=
=
==，
∴，
设△ABC中AB边上的高为，△PAB中AB边上的高为，
则，
，
∴，
∴，
∵△ABC是等边三角形，
∴，
，
∴点P在平行于AB，且到AB的距离等于的直线上，
∴当点P在CO的延长线上时，OP取得最小值，
过O作OE⊥BC于E，
∴，
∵O是等边△ABC的中心，OE⊥BC
∴∠OCE=30°，CE=
∴OC=2OE
∵，
∴，
解得OE=，
∴OC=，
∴OP=CP-OC=．
故答案为：B．
【分析】设△ABC中AB边上的高为，△PAB中AB边上的高为，先求出，当点P在CO的延长线上时，OP取得最小值，过O作OE⊥BC于E，利用勾股定理列出方程，求出OE的长，再利用线段的和差求出OP=CP-OC=即可。
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式；
故答案为：．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行分解因式即可．
14．【答案】80°
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵直线a∥b，∠1＝50，
∴∠BAD＝50，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD=2×50°=100°，
∴∠2＝180－∠BAC＝80
故答案为：80．
【分析】先利用平行线的定义得∠BAD＝50，再利用角平分线的定义得∠BAC=2∠BAD，最后利用平角的定义即可求解．
15．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的方程有实数根，
∴当，即时，
解得，满足题意；
当，即时，是一元二次方程，有实数根，
∴，
∴时，
综上，的取值范围是，
故答案为：.
【分析】分和两种情况讨论，再结合一元二次方程的判别式进行列式计算，即可得到答案．
16．【答案】
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：将纸杯延伸成圆锥，侧面展开并延伸成扇形，圆锥顶点为O，如图所示：
∵AB//CD，
∴△ODC∽△OAB，
∴，即.
由题意得：DC=4 cm，AB=6 cm，BC=8 cm，
∴，
∴OC=16 cm.
∴OB=16+8=24 (cm)，
∴纸杯的侧面积是（cm2）.
∴纸杯的表面积为．
故答案为：
【分析】将纸杯延伸成圆锥，侧面展开并延伸成扇形，圆锥顶点为O，可证得△ODC∽△OAB，利用相似三角形的性质得，于是可求得OC的长，再结合展开图可得纸杯的侧面积是；进一步可得答案．
17．【答案】30
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】解：记AC与ED相交于点K，连接，，GK，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD.
∴△AEK∽△CDK.
∵点E为AB的中点，
∴.
在中，点，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
∵∠KCF=∠ACE，
∴△KCF∽△ACE，
∴，∠CKG=∠CAE，
∴AE//GK，
∴△AEH∽△GKH，
∴，
∴，，
∵的面积为1，
∴
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵点E为AB的中点，四边形ABCD为平行四边形，
∴.
【分析】记AC与ED相交于点K，连接，，GK，证明△AEK∽△CDK，可得.利用中位线的性质证明△GEF∽△GCA，可得，于是可证明△KCF∽△ACE，得到；再证明△AEH∽△GKH，可得，进而可利用相似三角形的性质得于是可求得四边形AEGK，△EGK以及△CGK的面积；进而可求得△AEC的面积，最后利用平行四边形的性质以及中线平分三角形的面积即可得到结论.
18．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：连接AP，如图所示：
∵，，，分别为线段，，，的中点
∴FH是△PBC的中位线，EF是△ACP的中位线，
∴．
∵四边形DEFH是菱形，
∴EF=HF，
∴AP=BC=6.
当点P与点A位于直线BC两侧时，过A作AM⊥BC于点M，过P作PN⊥BC于点N，AP与BC相较于点O，如图所示：
∵AO+PO=AP=6，
∴AO越小，PO越大，
∴M，O，N共线时，PN=PO最长，此时PN当点P与点A位于直线BC同侧时，过A作AM⊥BC于点M，过P作PN⊥BC于点N，如图所示：
∴PN≤PA+AM，当M，N重合时有最大值，最大值为PA+AM.
设BM=x，则MC=6－x，
∵，
∴，
解得，
即．
∴．
∴PN的最大值为．
故答案为：．
【分析】连接AP，可证明当四边形DEFH是菱形时，AP=BC=6；再分①点P与点A位于直线BC两侧时，②点P与点A位于直线BC同侧时两种情况，过A作AM⊥BC于点M，过P作PN⊥BC于点N，分别讨论并计算PN的最大值，即可得到答案.
19．【答案】解：（1）
；
（2）
，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴原式．
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先计算负整数指数幂和零指数幂，去绝对值，化简二次根式，再代入特殊角的三角函数值，最后进行加减运算即可；
（2）先利用分式的混合运算方法化简，再利用非负性求出，的值，代入求解即可．
20．【答案】（1）解：，
故这组数据对应的扇形圆心角是108°.
（2）解：（小时）．
答：该校学生目前每周劳动时间的平均数约为2.7小时．
（3）解：制定标准的原则：既要让学生有努力的方向，又要有利于学生建立达标的信心．
从平均数看，标准可以定为3小时．
理由：平均数为2.7小时，说明该校学生目前每周劳动时间平均水平为2.7小时，把标准定为3小时，可以使多数学生有更高的努力目标．
从中位数的范围或频数看，标准可以定为2小时．
理由：该校学生目前每周劳动时间的中位数落在范围内，把标准定为2小时，这样有利于学生建立达标的信心，促进未达标学生努力达标，提高该校学生的劳动积极性．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；平均数及其计算；中位数
【解析】【分析】（1）用×出这组数据所占的比例即可得到对应的圆心角度数；
（2）分别用每组的人数×组中值再求和，最后再除总人数即可得到平均数；
（3）根据意义，既要让学生有努力的方向，又要有利于学生建立达标的信心．可以分别从从平均数，中位数来说明其合理性．
（1）解：，
．
（2）解：（小时）．
答：由样本估计总体可知，该校学生目前每周劳动时间的平均数约为2.7小时．
（3）解：制定标准的原则：既要让学生有努力的方向，又要有利于学生建立达标的信心．
从平均数看，标准可以定为3小时．
理由：平均数为2.7小时，说明该校学生目前每周劳动时间平均水平为2.7小时，把标准定为3小时，至少有30%的学生目前每周劳动时间能达标，同时至少还有51%的学生未达标，这样使多数学生有更高的努力目标．
从中位数的范围或频数看，标准可以定为2小时．
理由：该校学生目前每周劳动时间的中位数落在范围内，把标准定为2小时，至少有49%的学生目前劳动时间能达标，同时至少还有21%的学生未达标，这样有利于学生建立达标的信心，促进未达标学生努力达标，提高该校学生的劳动积极性．
21．【答案】（1）解：∵一次函数（）的图象经过点，
∴，
∵一次函数与两坐标轴围成的三角形的面积为3，且与y轴交于正半轴，
∴交点为（0，b），
∴，
∴b=2.
把代入可得：，
∴函数的解析式是．
（2）解：如图，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，则．
∴，
∴，
∴．
设B点纵坐标为，则A点纵坐标为．
∵直线的解析式为，
∴，，
∵反比例函数的图象经过A、B两点，
∴，
解得，（不合题意舍去），
∴．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）先由一次函数（）的图象经过点，得出，由图象得一次函数的图象与y轴的交点在正半轴，坐标为，再根据三角形的面积公式可得，求出b值，再代入得k值，即可得函数解析式；
（2）作轴于点D，轴于点E，则，可得，由相似三角形的性质得，设B点纵坐标为，则A点纵坐标为．可得，，再代入可得方程，解方程求出n的值，那么，代入计算即可．
（1）∵一次函数（）的图象经过点，
∴①，点C到y轴的距离是3，
∵，
∴，
∵一次函数的图象与y轴的交点是，
∴，
解得：，
把代入①，
解得：，
则函数的解析式是．
故这个函数的解析式为；
（2）如图，作轴于点D，轴于点E，则．
∵，
∴，
∴，
∴．
设B点纵坐标为，则A点纵坐标为．
∵直线的解析式为，
∴，，
∵反比例函数的图象经过A、B两点，
∴，
解得，（不合题意舍去），
∴．
22．【答案】解：（1）设男式单车x元/辆，女式单车y元/辆，根据题意得：
，
解得：．
答：男式单车2000元/辆，女式单车1500元/辆；
（2）设购置女式单车m辆，则购置的男式单车有（m+4）辆，根据题意得：
，
解得：9≤m≤12，
∵m为整数，
∴m的值可以是9、10、11、12，即该社区有四种购置方案；
设购置的总费用为：1500m+2000(m+4)=3500m+8000，
当m=9时，3500×9+8000=39500；
当m=10时，3500×10+8000=43000；
当m=11时，3500×11+8000=46500；
当m=12时，3500×12+8000=50000；
∵39500<43000<46500<50000；
答：该社区共有4种购置方案，其中购置男式单车13辆、女式单车9辆时所需总费用最低，最低费用为39500元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】（1）设男式单车x元/辆，女式单车y元/辆，根据“购买3辆男式单车与4辆女式单车费用相同，购买5辆男式单车与4辆女式单车共需16000元”列方程组求解可得；
（2）设购置女式单车m辆，则购置男式单车（m+4）辆，根据“两种单车至少需要22辆、购置两种单车的费用不超过50000元”列不等式组求解，得出m的范围，即可确定购置方案；再分别计算出每种购置方案的费用，比较即可得到最低费用.
23．【答案】（1）解：CO与⊙O相切，理由如下∶
连接OD，
∵
∴
∵
∴
又∵BE与⊙O相切
∴，即
∴
∴，即∠ODE=90°，
∴
∴CD与⊙O相切；
（2）解：①设，
∵
∴
∴
∵，
∴，解得
故⊙O的半径为2；
②由①得：OC=6，OD=2，AB=4，
在Rt△COD中，
∵AB为直径
∴
∵
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
设，则，
由勾股定理得，即
解得（负值舍去）
∴
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质；解直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接OD，根据等边对等角可得，，再根据切线性质可得，即，再根据角之间的关系可得，即∠ODE=90°，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）①设，根据正弦定义建立方程，解方程即可求出答案.
②由①得：OC=6，OD=2，AB=4，根据勾股定理可得CD，再根据圆周角定理可得，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：CO与⊙O相切，理由如下∶
连接OD，
∵
∴
∵
∴
又∵BE与⊙O相切
∴，即
∴
∴，即∠ODE=90°，
∴
∴CD与⊙O相切；
（2）解：①设，
∵
∴
∴
∵，
∴，解得
故⊙O的半径为2；
②由①得：OC=6，OD=2，AB=4，
在Rt△COD中，
∵AB为直径
∴
∵
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
设，则，
由勾股定理得，即
解得（负值舍去）
∴
24．【答案】解：（1）令y=0得：，
整理得：x2+2x﹣8=0，
解得：x=﹣4或2，
∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0）；
令x=0，得y=2，
∴点C坐标（0，2）．
（2）∵，
∴二次函数的对称轴为：x=﹣1，
∵A、B两点关于x=﹣1对称，点F在对称轴上，
∴ AB只能为平行四边形的边，
∴EF=AB=2－(﹣4)=6，
∴点E的横坐标为(﹣1)+6=5或(﹣1)－6=﹣7.
∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣）
∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×=．
（3）存在，理由如下：
设M(﹣1，m)，∵A（2，0），C（0，2），
∴，，，
∵AM2>AC2，即AM>AC，
∴AC=AM不成立；
∴△ACM为等腰三角形有以下两种情况：
①CA=CM，
则，
∴，或，
∴M1，M2．
②MA=MC，
则，
∴，
∴M3（﹣1，﹣1）．
综上所述：点M坐标为（﹣1，﹣1）或或．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-特殊三角形存在性问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题；
（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知EF=AB=2－(﹣4)=6，可计算出点E的横坐标，代入解析式，可得E的纵坐标，继而可利用平行四边形的面积公式计算面积；
（3）设M(﹣1，m)，分别表示出AC，AM和CM的长，再分AC=AM，AC=CM，AM=CM三种情况进行讨论即可；
25．【答案】（1）①；②；
解：（2）是直角三角形；理由如下：
，
，
，
由（1）得，
，
，
，
，
，
是直角三角形．
（3），
，
，
，
如图，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接，
则，
∵为的直径，
∴，
，
∴，
，
，
，
点在过点且与垂直的直线上运动，
过点作，垂足为，连接，
∵垂线段最短，
∴当点E在点处时，最小，
即的最小值为的长，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中根据勾股定理得：，
即当线段的长度取得最小值时，线段的长为．
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：（1），
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，化简即可求出答案.
（2）根据相似三角形判定定理可得，则，化简可得，结合(1)中结论可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，根据直角三角形判定定理即可求出答案.
（3）根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接，则，根据圆周角定理可得，根据三角形面积可得，则 ，再根据相似三角形判定定理可得，则，即点在过点且与垂直的直线上运动，过点作，垂足为，连接，则当点E在点处时，最小，即的最小值为的长，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，再根据勾股定理即可求出答案.
1 / 1四川省绵阳市游仙区2025年中考三模数学试题
1．（2025·游仙模拟）的相反数是（　　）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【知识点】相反数的意义与性质；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：，
∵的相反数是，
∴的相反数是，
故答案为：C
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数，以及只有符号不同的两个数互为相反数，进行作答即可．
2．（2025·游仙模拟）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：观察得：ABD都是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C中各对角线的交点即为对称中心，在中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴与正方形的对称轴一样，故符合题意；
故答案为：C．
【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此求解即可．
3．（2025·游仙模拟）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5 （ ）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害.2.5 用科学记数法可表示为（　　）
A．2.5× m B．0.25× m
C．2.5× m D．25× m
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答 =2.5× m，
故答案为：C．
【分析】科学记数法表示绝对值较小的数，一般表示成a× 10-n，的形式，其中1≤| a |＜10，n是原数左边第一个非零数字前面所有的个数。
4．（2025·游仙模拟）点与点关于坐标原点对称，则（　　）
A．1 B． C． D．2025
【答案】B
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意得：，，
整理得
①×2+②得：5a=15，
解得：a=3，
把a=3代入①得：6+b=10，
解得：
，
故答案为：B．
【分析】关于原点对称的点的横坐标和纵坐标都互为相反数，由此可得，，整理之后再利用加减消元法进行求解得a，b的值，再代入，进行计算即可．
5．（2025·游仙模拟）如图是由四个相同的小正方体堆成的物体，它的正视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看可得从左往右2列正方形的个数依次为2，1，
如图所示：
故选A．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
6．（2025·游仙模拟）若在实数范围内有意义，则满足的条件为（　　）
A． B．
C．且 D．
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：在实数范围内有意义，
，，
解得：，
解得：，
故且，
故答案为：C．
【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数是非负数；分式有意义的条件是分式的分母不能为0得到不等式组：且，据此求解即可．
7．（2025·游仙模拟）假如鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟和雄鸟的概率相同．如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么雏鸟中恰有两只雄鸟的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：记雌鸟为A，雄鸟为B，根据题意画图如下：
共8种等可能的情况，其中恰好有两只雄鸟的情况有3种情况，ABB，BAB，BBA，
∴雏鸟中恰有两只雄鸟的概率为
故答案为：B．
【分析】根据题意画树状图得出所有等可能的情况，以及三只雏鸟中恰有2只雄鸟的情况数，再利用概率公式计算即可．
8．（2025·游仙模拟）如图，的外角平分线，交于点．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵的外角平分线，交于点，
∴，，
∴，
即.
∵，
∴
∴．
故答案为：D．
【分析】先根据外角平分线的定义得，，相加得，代入∠B=50°并求值，最后再利用三角形的内角和定理即可求得∠D的度数.
9．（2025·游仙模拟）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角为，C点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为6m，求甲建筑物的高度为（　　）（，，，结果保留整数）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点作于点，设，如图，
根据题意可得：，，∠ADE=α=45°，∠ACB=β=58°，CD=6 m，
∴四边形是矩形，△ABC和△AED都是直角三角形。
∴，BC=DE，
在中，，设BC=DE=x m，
∴AE=DE·tan45°=DE=x m，
∴（m），
在中，∠ACB=58°，
∴AB=BC·tan58°≈1.6x （m），
∴x+6≈1.6x
解得：，
∴．
故答案为：C．
【分析】过点作于点，则四边形是矩形，△ABC和△AED都是直角三角形，于是有，BC=DE，设BC=DE=x m，在中解直角三角形，表示出AE，继而的AB长，在中解直角三角形，表示出AB的长，联立得方程，求解即可．
10．（2025·游仙模拟）若关于的方程与有一个解相同，则的值为（　　）
A．6 B． C．6或 D．或2
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；分式方程的增根；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：解方程得：，，
由题意，把代入得，，
解得：；
当时，由于分母，分式方程无意义，
∴不是方程的解．
故答案为： B．
【分析】先求出一元二次方程的解，再将解分别代入分式方程中，求解即可，注意x的值是否为增根．
11．（2025·游仙模拟）如图，是的直径，，，点为弧的中点，点是直径上的一个动点，则的最小值为（　　）
A．4 B．42 C． D．
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过作关于直线的对称点，连接，，，，如图，
∴AP+BP=A'P+BP≥A'B，当A'，P，B三点共线时，"＝"成立.
关于直线对称，
，
，
，，
.
过作OC⊥A'B于C，如图所示：
∵OA'=OB，OC⊥A'B，∠A'OB=120°，
∴A'C=BC，∠A'OC=∠BOC=60°，
在中，，
，
∴的最小值，
故答案为：D．
【分析】过作关于直线的对称点，连接，，，，由轴对称的性质可知为的最小值，由对称的性质可知，再由圆周角定理可求出和的度数，继而可得∠A'OB的度数，再由垂径定理和锐角三角函数即可求解.
12．（2025·游仙模拟）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；三角形的综合
【解析】【解答】解：如图，
，，
∴
=
=
=
==，
∴，
设△ABC中AB边上的高为，△PAB中AB边上的高为，
则，
，
∴，
∴，
∵△ABC是等边三角形，
∴，
，
∴点P在平行于AB，且到AB的距离等于的直线上，
∴当点P在CO的延长线上时，OP取得最小值，
过O作OE⊥BC于E，
∴，
∵O是等边△ABC的中心，OE⊥BC
∴∠OCE=30°，CE=
∴OC=2OE
∵，
∴，
解得OE=，
∴OC=，
∴OP=CP-OC=．
故答案为：B．
【分析】设△ABC中AB边上的高为，△PAB中AB边上的高为，先求出，当点P在CO的延长线上时，OP取得最小值，过O作OE⊥BC于E，利用勾股定理列出方程，求出OE的长，再利用线段的和差求出OP=CP-OC=即可。
13．（2025·游仙模拟）在实数范围内分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式；
故答案为：．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行分解因式即可．
14．（2025·游仙模拟）如图，直线，直线分别交，于点，，的平分线交直线于点，若，则的度数是　 　．
【答案】80°
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵直线a∥b，∠1＝50，
∴∠BAD＝50，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD=2×50°=100°，
∴∠2＝180－∠BAC＝80
故答案为：80．
【分析】先利用平行线的定义得∠BAD＝50，再利用角平分线的定义得∠BAC=2∠BAD，最后利用平角的定义即可求解．
15．（2025·游仙模拟）若关于的方程有实数根，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的方程有实数根，
∴当，即时，
解得，满足题意；
当，即时，是一元二次方程，有实数根，
∴，
∴时，
综上，的取值范围是，
故答案为：.
【分析】分和两种情况讨论，再结合一元二次方程的判别式进行列式计算，即可得到答案．
16．（2025·游仙模拟）如图，一个纸杯杯口直径为，杯底直径为，，长为，则纸杯的表面积为　 　（结果保留）
【答案】
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：将纸杯延伸成圆锥，侧面展开并延伸成扇形，圆锥顶点为O，如图所示：
∵AB//CD，
∴△ODC∽△OAB，
∴，即.
由题意得：DC=4 cm，AB=6 cm，BC=8 cm，
∴，
∴OC=16 cm.
∴OB=16+8=24 (cm)，
∴纸杯的侧面积是（cm2）.
∴纸杯的表面积为．
故答案为：
【分析】将纸杯延伸成圆锥，侧面展开并延伸成扇形，圆锥顶点为O，可证得△ODC∽△OAB，利用相似三角形的性质得，于是可求得OC的长，再结合展开图可得纸杯的侧面积是；进一步可得答案．
17．（2025·游仙模拟）如图，在平行四边形中，点，分别是，的中点，分别与，交于点，．若的面积为1，则平行四边形的面积为　 　．
【答案】30
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】解：记AC与ED相交于点K，连接，，GK，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD.
∴△AEK∽△CDK.
∵点E为AB的中点，
∴.
在中，点，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
∵∠KCF=∠ACE，
∴△KCF∽△ACE，
∴，∠CKG=∠CAE，
∴AE//GK，
∴△AEH∽△GKH，
∴，
∴，，
∵的面积为1，
∴
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵点E为AB的中点，四边形ABCD为平行四边形，
∴.
【分析】记AC与ED相交于点K，连接，，GK，证明△AEK∽△CDK，可得.利用中位线的性质证明△GEF∽△GCA，可得，于是可证明△KCF∽△ACE，得到；再证明△AEH∽△GKH，可得，进而可利用相似三角形的性质得于是可求得四边形AEGK，△EGK以及△CGK的面积；进而可求得△AEC的面积，最后利用平行四边形的性质以及中线平分三角形的面积即可得到结论.
18．（2025·游仙模拟）如图，在中，，，．是平面内任意一点，，，，分别为线段，，，的中点．当四边形为菱形时，点到直线的最大距离是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：连接AP，如图所示：
∵，，，分别为线段，，，的中点
∴FH是△PBC的中位线，EF是△ACP的中位线，
∴．
∵四边形DEFH是菱形，
∴EF=HF，
∴AP=BC=6.
当点P与点A位于直线BC两侧时，过A作AM⊥BC于点M，过P作PN⊥BC于点N，AP与BC相较于点O，如图所示：
∵AO+PO=AP=6，
∴AO越小，PO越大，
∴M，O，N共线时，PN=PO最长，此时PN当点P与点A位于直线BC同侧时，过A作AM⊥BC于点M，过P作PN⊥BC于点N，如图所示：
∴PN≤PA+AM，当M，N重合时有最大值，最大值为PA+AM.
设BM=x，则MC=6－x，
∵，
∴，
解得，
即．
∴．
∴PN的最大值为．
故答案为：．
【分析】连接AP，可证明当四边形DEFH是菱形时，AP=BC=6；再分①点P与点A位于直线BC两侧时，②点P与点A位于直线BC同侧时两种情况，过A作AM⊥BC于点M，过P作PN⊥BC于点N，分别讨论并计算PN的最大值，即可得到答案.
19．（2025·游仙模拟）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中，满足．
【答案】解：（1）
；
（2）
，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴原式．
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先计算负整数指数幂和零指数幂，去绝对值，化简二次根式，再代入特殊角的三角函数值，最后进行加减运算即可；
（2）先利用分式的混合运算方法化简，再利用非负性求出，的值，代入求解即可．
20．（2025·游仙模拟）某中学为加强学生的劳动教育，需要制定学生每周劳动时间（单位：小时）的合格标准，为此随机调查了100名学生目前每周劳动时间，获得数据并整理成表格．
学生目前每周劳动时间统计表
每周劳动时间（小时）
组中值 1 2 3 4 5
人数（人） 21 30 19 18 12
（1）画扇形图描述数据时，这组数据对应的扇形圆心角是多少度？
（2）估计该校学生目前每周劳动时间的平均数；
（3）请你为该校制定一个学生每周劳动时间的合格标准（时间取整数小时），并用统计量说明其合理性．
【答案】（1）解：，
故这组数据对应的扇形圆心角是108°.
（2）解：（小时）．
答：该校学生目前每周劳动时间的平均数约为2.7小时．
（3）解：制定标准的原则：既要让学生有努力的方向，又要有利于学生建立达标的信心．
从平均数看，标准可以定为3小时．
理由：平均数为2.7小时，说明该校学生目前每周劳动时间平均水平为2.7小时，把标准定为3小时，可以使多数学生有更高的努力目标．
从中位数的范围或频数看，标准可以定为2小时．
理由：该校学生目前每周劳动时间的中位数落在范围内，把标准定为2小时，这样有利于学生建立达标的信心，促进未达标学生努力达标，提高该校学生的劳动积极性．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；平均数及其计算；中位数
【解析】【分析】（1）用×出这组数据所占的比例即可得到对应的圆心角度数；
（2）分别用每组的人数×组中值再求和，最后再除总人数即可得到平均数；
（3）根据意义，既要让学生有努力的方向，又要有利于学生建立达标的信心．可以分别从从平均数，中位数来说明其合理性．
（1）解：，
．
（2）解：（小时）．
答：由样本估计总体可知，该校学生目前每周劳动时间的平均数约为2.7小时．
（3）解：制定标准的原则：既要让学生有努力的方向，又要有利于学生建立达标的信心．
从平均数看，标准可以定为3小时．
理由：平均数为2.7小时，说明该校学生目前每周劳动时间平均水平为2.7小时，把标准定为3小时，至少有30%的学生目前每周劳动时间能达标，同时至少还有51%的学生未达标，这样使多数学生有更高的努力目标．
从中位数的范围或频数看，标准可以定为2小时．
理由：该校学生目前每周劳动时间的中位数落在范围内，把标准定为2小时，至少有49%的学生目前劳动时间能达标，同时至少还有21%的学生未达标，这样有利于学生建立达标的信心，促进未达标学生努力达标，提高该校学生的劳动积极性．
21．（2025·游仙模拟）如图，一次函数（）的图象经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若反比例函数的图象与该一次函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，且，求m的值．
【答案】（1）解：∵一次函数（）的图象经过点，
∴，
∵一次函数与两坐标轴围成的三角形的面积为3，且与y轴交于正半轴，
∴交点为（0，b），
∴，
∴b=2.
把代入可得：，
∴函数的解析式是．
（2）解：如图，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，则．
∴，
∴，
∴．
设B点纵坐标为，则A点纵坐标为．
∵直线的解析式为，
∴，，
∵反比例函数的图象经过A、B两点，
∴，
解得，（不合题意舍去），
∴．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）先由一次函数（）的图象经过点，得出，由图象得一次函数的图象与y轴的交点在正半轴，坐标为，再根据三角形的面积公式可得，求出b值，再代入得k值，即可得函数解析式；
（2）作轴于点D，轴于点E，则，可得，由相似三角形的性质得，设B点纵坐标为，则A点纵坐标为．可得，，再代入可得方程，解方程求出n的值，那么，代入计算即可．
（1）∵一次函数（）的图象经过点，
∴①，点C到y轴的距离是3，
∵，
∴，
∵一次函数的图象与y轴的交点是，
∴，
解得：，
把代入①，
解得：，
则函数的解析式是．
故这个函数的解析式为；
（2）如图，作轴于点D，轴于点E，则．
∵，
∴，
∴，
∴．
设B点纵坐标为，则A点纵坐标为．
∵直线的解析式为，
∴，，
∵反比例函数的图象经过A、B两点，
∴，
解得，（不合题意舍去），
∴．
22．（2025·游仙模拟）为积极响应政府提出的“绿色发展 低碳出行”号召，某社区决定购置一批共享单车．经市场调查得知，购买3辆男式单车与4辆女式单车费用相同，购买5辆男式单车与4辆女式单车共需16000元．
（1）求男式单车和女式单车的单价；
（2）该社区要求男式单车比女式单车多4辆，两种单车至少需要22辆，购置两种单车的费用不超过50000元，该社区有几种购置方案？怎样购置才能使所需总费用最低，最低费用是多少？
【答案】解：（1）设男式单车x元/辆，女式单车y元/辆，根据题意得：
，
解得：．
答：男式单车2000元/辆，女式单车1500元/辆；
（2）设购置女式单车m辆，则购置的男式单车有（m+4）辆，根据题意得：
，
解得：9≤m≤12，
∵m为整数，
∴m的值可以是9、10、11、12，即该社区有四种购置方案；
设购置的总费用为：1500m+2000(m+4)=3500m+8000，
当m=9时，3500×9+8000=39500；
当m=10时，3500×10+8000=43000；
当m=11时，3500×11+8000=46500；
当m=12时，3500×12+8000=50000；
∵39500<43000<46500<50000；
答：该社区共有4种购置方案，其中购置男式单车13辆、女式单车9辆时所需总费用最低，最低费用为39500元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】（1）设男式单车x元/辆，女式单车y元/辆，根据“购买3辆男式单车与4辆女式单车费用相同，购买5辆男式单车与4辆女式单车共需16000元”列方程组求解可得；
（2）设购置女式单车m辆，则购置男式单车（m+4）辆，根据“两种单车至少需要22辆、购置两种单车的费用不超过50000元”列不等式组求解，得出m的范围，即可确定购置方案；再分别计算出每种购置方案的费用，比较即可得到最低费用.
23．（2025·游仙模拟）如图，已知D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，BE与⊙O相切，交CD的延长线于点E，且．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若，，
①求⊙O的半径；
②求BD的长．
【答案】（1）解：CO与⊙O相切，理由如下∶
连接OD，
∵
∴
∵
∴
又∵BE与⊙O相切
∴，即
∴
∴，即∠ODE=90°，
∴
∴CD与⊙O相切；
（2）解：①设，
∵
∴
∴
∵，
∴，解得
故⊙O的半径为2；
②由①得：OC=6，OD=2，AB=4，
在Rt△COD中，
∵AB为直径
∴
∵
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
设，则，
由勾股定理得，即
解得（负值舍去）
∴
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质；解直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接OD，根据等边对等角可得，，再根据切线性质可得，即，再根据角之间的关系可得，即∠ODE=90°，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）①设，根据正弦定义建立方程，解方程即可求出答案.
②由①得：OC=6，OD=2，AB=4，根据勾股定理可得CD，再根据圆周角定理可得，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：CO与⊙O相切，理由如下∶
连接OD，
∵
∴
∵
∴
又∵BE与⊙O相切
∴，即
∴
∴，即∠ODE=90°，
∴
∴CD与⊙O相切；
（2）解：①设，
∵
∴
∴
∵，
∴，解得
故⊙O的半径为2；
②由①得：OC=6，OD=2，AB=4，
在Rt△COD中，
∵AB为直径
∴
∵
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
设，则，
由勾股定理得，即
解得（负值舍去）
∴
24．（2025·游仙模拟）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；
（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）令y=0得：，
整理得：x2+2x﹣8=0，
解得：x=﹣4或2，
∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0）；
令x=0，得y=2，
∴点C坐标（0，2）．
（2）∵，
∴二次函数的对称轴为：x=﹣1，
∵A、B两点关于x=﹣1对称，点F在对称轴上，
∴ AB只能为平行四边形的边，
∴EF=AB=2－(﹣4)=6，
∴点E的横坐标为(﹣1)+6=5或(﹣1)－6=﹣7.
∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣）
∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×=．
（3）存在，理由如下：
设M(﹣1，m)，∵A（2，0），C（0，2），
∴，，，
∵AM2>AC2，即AM>AC，
∴AC=AM不成立；
∴△ACM为等腰三角形有以下两种情况：
①CA=CM，
则，
∴，或，
∴M1，M2．
②MA=MC，
则，
∴，
∴M3（﹣1，﹣1）．
综上所述：点M坐标为（﹣1，﹣1）或或．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-特殊三角形存在性问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题；
（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知EF=AB=2－(﹣4)=6，可计算出点E的横坐标，代入解析式，可得E的纵坐标，继而可利用平行四边形的面积公式计算面积；
（3）设M(﹣1，m)，分别表示出AC，AM和CM的长，再分AC=AM，AC=CM，AM=CM三种情况进行讨论即可；
25．（2025·游仙模拟）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．
（一）拓展探究
如图1，在中，，垂足为．
（1）兴趣小组的同学得出．理由如下：
①______ ②______
请完成填空：①______；②______；
（2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由．
（二）学以致用
（3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长．
【答案】（1）①；②；
解：（2）是直角三角形；理由如下：
，
，
，
由（1）得，
，
，
，
，
，
是直角三角形．
（3），
，
，
，
如图，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接，
则，
∵为的直径，
∴，
，
∴，
，
，
，
点在过点且与垂直的直线上运动，
过点作，垂足为，连接，
∵垂线段最短，
∴当点E在点处时，最小，
即的最小值为的长，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中根据勾股定理得：，
即当线段的长度取得最小值时，线段的长为．
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：（1），
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，化简即可求出答案.
（2）根据相似三角形判定定理可得，则，化简可得，结合(1)中结论可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，根据直角三角形判定定理即可求出答案.
（3）根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接，则，根据圆周角定理可得，根据三角形面积可得，则 ，再根据相似三角形判定定理可得，则，即点在过点且与垂直的直线上运动，过点作，垂足为，连接，则当点E在点处时，最小，即的最小值为的长，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，再根据勾股定理即可求出答案.
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