资源简介

湖南省郴州市2025年 初中学业水平质量监测数学试题
1．（2025·郴州模拟）日常生活中，若汽车前进500米，记为米，则后退800米应记为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：若汽车前进500米，记为+500米，则后退800米应记为-800米，
故答案为：D。
【分析】前进和后退是一组相反的数，然后再根据相反数的意义，即可求解。
2．（2025·郴州模拟）截至2025年3月4日，国产动画电影《哪吒之魔童闹海》全球累计票房已突破14500000000元人民币．将数据14500000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C。
【分析】根据科学记数法的表示形式：将一个数表示为基数a与10的幂次相乘的形式，即a×10n。其中，a的绝对值在1到10之间，n为整数，代入数据即可求解。
3．（2025·郴州模拟）如图，该试管的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据主视图的定义，从正面看可得：该试管的主视图为：
故答案为：B．
【分析】根据主视图的定义：主视图是指在正面内得到的由前向后观察物体的视图。据此即可判断
4．（2025·郴州模拟）下列运算正确的是（　　）
A．a2·a3=a6 B．(a2)3=a6 C．(a+b)2=a2+b2 D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的加减法；完全平方式；幂的乘方运算
【解析】【解答】A、原式=a5，错误；B、原式=a6，正确；C、原式=a2+b2+2ab，错误；D、原式不能合并，错误；故答案为：B
【分析】
A、同底幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断即可；
B、幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断即可；
C、根据（a+b）2=a2+2ab+b2判断即可；
D、不是同类二次根式，不能合并，据此判断即可.
5．（2025·郴州模拟）某班8名同学垫排球的测试成绩（单位：个）分别为：25，26，26，27，27，27，30，30，则这组数据的众数是（　　）
A．25 B．26 C．27 D．30
【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：在所给数据中，数据27出现了三次，次数最多，
故27分为众数．
故答案为：C．
【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．利用众数的定义求解，找出数据中出现次数最多的数据即可．
6．（2025·郴州模拟）如图，是四边形的外接圆，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：是四边形的外接圆，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】根据圆内接四边形对角互补，据此即可求解
7．（2025·郴州模拟）某市图书馆月份借阅量为万人次，月份借阅量为万人次．设这两个月借阅量的平均增长率为，根据题意列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意列方程为：，
故答案为：A．
【分析】设1月份的阅读人次为单位“1”，根据“设这两个月借阅量的平均增长率为x”可先求出2月份的阅读量：12（1+x），然后再求出3月份的阅读量：12（1+x）（1+x），然后令其等于20，据此即可求解
8．（2025·郴州模拟）下列命题中，属于假命题的是（　　）
A．角平分线上的点到角两边的距离相等
B．对顶角相等
C．同位角相等
D．平行四边形是中心对称图形
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；中心对称及中心对称图形；同位角的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，为真命题，不符合题意；
B、对顶角相等，正确，为真命题，不符合题意；
C、两条直线平行，同位角相等，错误，是假命题，符合题意；
D、平行四边形是中心对称图形，正确，是真命题，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的性质，对顶角的定义，平行线的性质以及平行四边形的性质，据此即可求解
9．（2025·郴州模拟）如图，在中，E为上一点，，与交于点F．下列结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，故A选项结论正确，不符合题意；
∵，
∴，故C选项结论正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴；故B选项结论错误，符合题意；
∵，
∴，故D选项结论正确，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质，可得，，进而可得到，；由得到；证明，利用相似三角形的性质可判断B、D选项，据此即可判断
10．（2025·郴州模拟）二次函数（a，b，c是常数，）的图象如图所示，其对称轴为直线．下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．当时，
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵该函数图象与y轴负半轴相交，
∴，故选项A结论错误，不符合题意；
∵该函数图象与x轴有两个交点，
∴，故选项B结论错误，不符合题意；
∵该函数图象开口向上，对称轴为直线，
∴，，即，
∵当时，，
∴，即，故选项C结论正确，符合题意；
∵该函数图象与x轴交点在和0之间，其对称轴为直线，
∴该函数图象与x轴的另一个交点在1和3之间，
∴当时，一部分，一部分，故选项D结论错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】观察图形可知，抛物线和y轴交于y轴的下半轴，据此可判断A；图像和x轴交于两点，根据判别式的公式，据此可判断B；根据抛物线的对称轴公式，求出b和a的关系，然后再结合图形，确定a的取值范围，进而即可判断C；观察图形，可知，y有两部分，据此即可求解
11．（2025·郴州模拟）若分式的值不存在，则　 　．
【答案】5
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：若分式的值不存在，
则：，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据分式存在的意义：分母不能为零，反之亦然，据此即可求解
12．（2025·郴州模拟）有三张材质、大小、背面图案完全相同卡片，分别写了三种不同的化学元素“O—氧”、“K—钾”、“H—氢”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一张卡片，翻到写着非金属元素卡片的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知：完成事件的总的可能数为3种，而非金属元素的卡片种类共有2种，
所以根据概率公式即可求得，
故答案为：．
【分析】根据概率的公式：用非金属元素的种类除以完成事件的总数，据此即可求解
13．（2025·郴州模拟）直线向上平移4个单位得到的直线的表达式为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：直线向上平移4个单位得到的直线的表达式为，
即，
故答案为：．
【分析】根据函数图象的平移法则：左加右减、上加下减，然后再代入数据即可求解
14．（2025·郴州模拟）五边形的内角和为　 　．
【答案】540°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（5﹣2） 180°=540°．
故答案为：540°．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°计算即可．
15．（2025·郴州模拟）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则　 　．
【答案】9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
解得．
故答案为：。
【分析】根据一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，代入数据求出关于m的关系式，即可求解。
16．（2025·郴州模拟）给气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，则该函数的表达式为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，设该函数的表达式为，
将点代入得：，解得，
则该函数的表达式为，
故答案为：．
【分析】设该函数的表达式为，然后再将将点代入，利用待定系数法，即可求出的值。
17．（2025·郴州模拟）如图，在中，，．以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则　 　度．
【答案】35
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：在中，，，
∴，
∵由题可得：是的角平分线，
∴，
故答案为：；
【分析】根据作图步骤，可知是的角平分线，然后再根据直角三角形的内角和公式，求出的度数，然后再利用角平分线的性质，即可求出的度数
18．（2025·郴州模拟）如图1，在中，．某数学兴趣小组将三个与全等的三角形，类比“赵爽弦图”摆放得到图2所示，则　 　度．若，的面积为，则的面积是　 　．
【答案】60；
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：过点作，垂足为点，
，
且，
，且为等边三角形，
在图（1）作，垂足为，
，设，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得， (负值舍去)，
，，，，
，
在中；
为等边三角形，
，
∴在中，，
∴，
∴；
故答案为：；
【分析】过点作，根据 ，易得，进而求出的度数，从而证明为等边三角形，设 ，根据勾股定理：，然后再根据，代入数据，求出AC的值，进而求出AB、BM的值， 在中，，代入数据，求解的长度， 在中， ，根据勾股定理， ，代入数据求出BN的值，最后再根据三角形的面积公式：，代入数据即可求解。
19．（2025·郴州模拟）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；化简含绝对值有理数；求算术平方根
【解析】【分析】根据平方根、负整数指数幂、绝对值的性质，再根据特殊角的三角函数值，求出各个式子，最后再将各个式子进行相加即可
20．（2025·郴州模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式，
，
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式运算的法则，对分式进行约分化简，最后再将a的值代入求值即可．
21．（2025·郴州模拟）某学校为落实国家15分钟课间政策，丰富学生的课间生活，随机抽取学生开展“你最喜爱的课间活动是________”的问卷调查，要求学生必须从“A（体育竞技类）、B（轻松游戏类）、C（自由交流类）、D（艺术创作类）”四种类型中选择一项．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息，完成下列问题：
（1）本次调查的学生人数为________人；
（2）在扇形统计图中，“A（体育竞技类）”部分所对应扇形的圆心角的度数为________度；
（3）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（4）若该校共有1200名学生，估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生有多少人？
【答案】（1）100
（2）108
（3）解：选择的人数为：（人，
补全统计图如图：
（4）解：根据题意得：
=
=300（人．
答：估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生约为300人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次调查的学生人数为（人．
故答案为：100；
（2）在扇形统计图中，“A（体育竞技类）”部分所占圆心角的度数为：．
故答案为：；
【分析】（1）由B的人数除以其人数占被调查人数的百分比，即可求出本次调查的学生人数
（2）用A选项的人数除以调查的学生人数，求出A的占比，然后再用360度乘以A选项的占比，即可求出A部分所对应的圆心角的度数
（3）用调查的学生人数减去A、B、D的学生人数，即可求出C的人数，然后再补充统计图即可
（4）用D选项的学生人数除以调查的学生人数，求出D的占比，然后再乘以学校的学生总人数，即可求解
（1）解：本次调查的学生人数为（人．
故答案为：100；
（2）在扇形统计图中，“A（体育竞技类）”部分所占圆心角的度数为：．
故答案为：；
（3）选择的人数为：（人，
补全统计图如图：
（4）根据题意得：
（人．
答：估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生约为300人．
22．（2025·郴州模拟）如图，在四边形中，对角线，相交于点F，且，．过点A作，交的延长线于点C，________．
请从“①；②”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）解：选择①．
证明：四边形的对角线，相交于点，且，，
四边形的是平行四边形，
，，
又，
，
四边形为矩形．
（2）解：由（1）已证明四边形矩形，
，，
又，
．
在中，，
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分，则四边形的是平行四边形，若选择①，可证明，根据矩形的判定可得结论；
（2）根据矩形性质求出，进而求出，然后再根据平行线的性质和正切函数的定义可求得，最后再利用勾股定理求得即可求解．
23．（2025·郴州模拟）为增强学生体质，丰富学生课外活动．某学校从一家体育用品商店购买若干个篮球和气排球（每个篮球的价格都相同，每个气排球的价格都相同）．经了解，购买两类球的数量与金额如下：
购买篮球（个） 购买气排球（个） 金额（元）
1 2 260
3 4 620
（1）每个篮球和气排球的价格各是多少元？
（2）该校决定从这家体育用品商店购买篮球和气排球共40个，总费用不超过3660元，问这次最多可以购买篮球多少个？
【答案】（1）解：设每个篮球的价格为元，每个气排球的价格为元，
根据题意得：，
解得：，
答：篮球每个100元，气排球每个80元．
（2）解：设购买篮球个，则购买气排球个，
根据题意得：，
解得：，
答：最多可以购买篮球23个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个篮球的价格为元，每个气排球的价格为元，根据表格内的信息，建立方程组：，最后再解方程组即可
（2）设购买篮球个，则购买气排球个，根据“总费用不超过3660元”建立不等式：，然后再进行求解即可．
（1）解：设每个篮球的价格为元，每个气排球的价格为元，
根据题意得：，解得：，
答：篮球每个100元，气排球每个80元．
（2）解：设购买篮球个，则购买气排球个，
根据题意得：，
解得：，
答：最多可以购买篮球23个．
24．（2025·郴州模拟）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某景区山的高度
测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等
模型抽象 如图，是山脚的水平线，山的高垂直于水平线于点．
测量过程与数据信息 ①在山脚处测出山顶的仰角，山坡的坡角； ②沿着山坡前进到达处； ③在处测出山顶的仰角． 注：图中所有点均在同一平面内．
（参考数据：，，，，，）
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
（1）求坡面的水平距离和垂直距离；
（2）求山的高．
【答案】（1）解：在中，，，，
，
，
；；
答：坡面的水平距离和垂直距离分别是和。
（2）解：延长交于点，如图所示：
则四边形是矩形，
设，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，即，
解得
，
答：山的高度为。
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）在中，根据正弦函数、余弦函数定义：，，代入数据即可求出CH和AH的值。
（2）延长交于点，设，根据矩形性质，可得，，代入数据，求出BG的关系式，在中，根据正切函数定义：，代入数据即可求出BD的值。
（1）解：在中，，，，
，，
；；
答：坡面的水平距离和垂直距离分别是和；
（2）解：延长交于点，如图所示：
则四边形是矩形，
设，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，即，
解得
，
答：山的高度为．
25．（2025·郴州模拟）如图，是的外接圆，为直径，点是劣弧的中点，连接，，过点作交的延长线于点，使得．
（1）求证：为的切线；
（2）求证：；
（3）若的半径，，求的长度．
【答案】（1）证明：连接，
，
，
，
为直径，
，
，
，
，
，
过半径的外端点，且，
为的切线；
（2）证明：为劣弧的中点，
，
∵，，
，
；
（3）解：过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
，
在中，，，
，
∴，
，，，
，
∴，
∴，
，
，，
，，
，
，
，
．
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】（）连接，根据OA=OC，可得，又根据，可得，进而由得，即可求证；
（）由为劣弧的中点可得，，根据题干信息，易证，进而可得，据此即可证明；
（）过点作于点，可证，即得，得到，进而由三角函数定义，可求出得的值，即由勾股定理得，代入数据求出DE的值，又根据角平分线的性质可得，利用的面积可求得的长，用DE减去EF，即可求出DF的长，然后再根据勾股定理：，代入数据即可求解；最后根据，最后再根据相似性质，建立比例：，然后再代入数据即可求解．
（1）证明：连接，
，
，
，
为直径，
，
，
，
，
，
过半径的外端点，且，
为的切线；
（2）证明：为劣弧的中点，
，
∵，，
，
；
（3）解：过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
，
在中，，，
，
∴，
，，，
，
∴，
∴，
，
，，
，，
，
，
，
．
26．（2025·郴州模拟）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．点是抛物线上的一个动点，设它的横坐标为．过点作轴，与交于点，连接，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求线段的最大值；
（3）是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：抛物线的对称轴为，与轴交于点，
，
解得：，
；
（2）解：设点，
设直线的解析式为，
直线经过点，，
，
解得：，
直线的表达式为：，
即点，
，
，
，
时，开口向下，当时，有最大值，
；
（3）解：存在以为腰的等腰三角形，有以下两种情况：
当时，过作于点，则点为的中点，即，
，
，
，（舍去）；
当时，
，
，
，（舍去），
综上所述：当或时，存在以为腰的等腰三角形．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式：，代入数据，求出b的值，然后再根据“与轴交于点”，建立方程，解c的值，最后再将b和c代入 ，即可求解；
（2）设点，设直线的解析式为，将B和C的坐标代入，求出BC的解析式；进而可求出点，再根据求出的表达式，最后根据二次函数的顶点公式求得最大值即可；
（3）分两种情况讨论：当时，过C作于点E，然后再根据题干信息，易得，进而求出E点坐标，然后再根据两点间的坐标公式以及，即可求出m的值；当时，同理，即可求解．
（1）解：抛物线的对称轴为，与轴交于点，
，
解得：，
；
（2）解：设点，
设直线的解析式为，
直线经过点，，
，
解得：，
直线的表达式为：，
即点，
，
，
，
时，开口向下，当时，有最大值，
；
（3）解：存在以为腰的等腰三角形，有以下两种情况：
当时，过作于点，则点为的中点，即，
，
，
，（舍去）；
当时，
，
，
，（舍去），
综上所述：当或时，存在以为腰的等腰三角形．
1 / 1湖南省郴州市2025年 初中学业水平质量监测数学试题
1．（2025·郴州模拟）日常生活中，若汽车前进500米，记为米，则后退800米应记为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．（2025·郴州模拟）截至2025年3月4日，国产动画电影《哪吒之魔童闹海》全球累计票房已突破14500000000元人民币．将数据14500000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·郴州模拟）如图，该试管的主视图是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·郴州模拟）下列运算正确的是（　　）
A．a2·a3=a6 B．(a2)3=a6 C．(a+b)2=a2+b2 D．
5．（2025·郴州模拟）某班8名同学垫排球的测试成绩（单位：个）分别为：25，26，26，27，27，27，30，30，则这组数据的众数是（　　）
A．25 B．26 C．27 D．30
6．（2025·郴州模拟）如图，是四边形的外接圆，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·郴州模拟）某市图书馆月份借阅量为万人次，月份借阅量为万人次．设这两个月借阅量的平均增长率为，根据题意列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·郴州模拟）下列命题中，属于假命题的是（　　）
A．角平分线上的点到角两边的距离相等
B．对顶角相等
C．同位角相等
D．平行四边形是中心对称图形
9．（2025·郴州模拟）如图，在中，E为上一点，，与交于点F．下列结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025·郴州模拟）二次函数（a，b，c是常数，）的图象如图所示，其对称轴为直线．下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．当时，
11．（2025·郴州模拟）若分式的值不存在，则　 　．
12．（2025·郴州模拟）有三张材质、大小、背面图案完全相同卡片，分别写了三种不同的化学元素“O—氧”、“K—钾”、“H—氢”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一张卡片，翻到写着非金属元素卡片的概率是　 　．
13．（2025·郴州模拟）直线向上平移4个单位得到的直线的表达式为　 　．
14．（2025·郴州模拟）五边形的内角和为　 　．
15．（2025·郴州模拟）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则　 　．
16．（2025·郴州模拟）给气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，则该函数的表达式为　 　．
17．（2025·郴州模拟）如图，在中，，．以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则　 　度．
18．（2025·郴州模拟）如图1，在中，．某数学兴趣小组将三个与全等的三角形，类比“赵爽弦图”摆放得到图2所示，则　 　度．若，的面积为，则的面积是　 　．
19．（2025·郴州模拟）计算：．
20．（2025·郴州模拟）先化简，再求值：，其中．
21．（2025·郴州模拟）某学校为落实国家15分钟课间政策，丰富学生的课间生活，随机抽取学生开展“你最喜爱的课间活动是________”的问卷调查，要求学生必须从“A（体育竞技类）、B（轻松游戏类）、C（自由交流类）、D（艺术创作类）”四种类型中选择一项．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息，完成下列问题：
（1）本次调查的学生人数为________人；
（2）在扇形统计图中，“A（体育竞技类）”部分所对应扇形的圆心角的度数为________度；
（3）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（4）若该校共有1200名学生，估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生有多少人？
22．（2025·郴州模拟）如图，在四边形中，对角线，相交于点F，且，．过点A作，交的延长线于点C，________．
请从“①；②”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求线段的长．
23．（2025·郴州模拟）为增强学生体质，丰富学生课外活动．某学校从一家体育用品商店购买若干个篮球和气排球（每个篮球的价格都相同，每个气排球的价格都相同）．经了解，购买两类球的数量与金额如下：
购买篮球（个） 购买气排球（个） 金额（元）
1 2 260
3 4 620
（1）每个篮球和气排球的价格各是多少元？
（2）该校决定从这家体育用品商店购买篮球和气排球共40个，总费用不超过3660元，问这次最多可以购买篮球多少个？
24．（2025·郴州模拟）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某景区山的高度
测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等
模型抽象 如图，是山脚的水平线，山的高垂直于水平线于点．
测量过程与数据信息 ①在山脚处测出山顶的仰角，山坡的坡角； ②沿着山坡前进到达处； ③在处测出山顶的仰角． 注：图中所有点均在同一平面内．
（参考数据：，，，，，）
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
（1）求坡面的水平距离和垂直距离；
（2）求山的高．
25．（2025·郴州模拟）如图，是的外接圆，为直径，点是劣弧的中点，连接，，过点作交的延长线于点，使得．
（1）求证：为的切线；
（2）求证：；
（3）若的半径，，求的长度．
26．（2025·郴州模拟）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．点是抛物线上的一个动点，设它的横坐标为．过点作轴，与交于点，连接，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求线段的最大值；
（3）是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：若汽车前进500米，记为+500米，则后退800米应记为-800米，
故答案为：D。
【分析】前进和后退是一组相反的数，然后再根据相反数的意义，即可求解。
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C。
【分析】根据科学记数法的表示形式：将一个数表示为基数a与10的幂次相乘的形式，即a×10n。其中，a的绝对值在1到10之间，n为整数，代入数据即可求解。
3．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据主视图的定义，从正面看可得：该试管的主视图为：
故答案为：B．
【分析】根据主视图的定义：主视图是指在正面内得到的由前向后观察物体的视图。据此即可判断
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的加减法；完全平方式；幂的乘方运算
【解析】【解答】A、原式=a5，错误；B、原式=a6，正确；C、原式=a2+b2+2ab，错误；D、原式不能合并，错误；故答案为：B
【分析】
A、同底幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断即可；
B、幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断即可；
C、根据（a+b）2=a2+2ab+b2判断即可；
D、不是同类二次根式，不能合并，据此判断即可.
5．【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：在所给数据中，数据27出现了三次，次数最多，
故27分为众数．
故答案为：C．
【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．利用众数的定义求解，找出数据中出现次数最多的数据即可．
6．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：是四边形的外接圆，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】根据圆内接四边形对角互补，据此即可求解
7．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意列方程为：，
故答案为：A．
【分析】设1月份的阅读人次为单位“1”，根据“设这两个月借阅量的平均增长率为x”可先求出2月份的阅读量：12（1+x），然后再求出3月份的阅读量：12（1+x）（1+x），然后令其等于20，据此即可求解
8．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；中心对称及中心对称图形；同位角的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，为真命题，不符合题意；
B、对顶角相等，正确，为真命题，不符合题意；
C、两条直线平行，同位角相等，错误，是假命题，符合题意；
D、平行四边形是中心对称图形，正确，是真命题，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的性质，对顶角的定义，平行线的性质以及平行四边形的性质，据此即可求解
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，故A选项结论正确，不符合题意；
∵，
∴，故C选项结论正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴；故B选项结论错误，符合题意；
∵，
∴，故D选项结论正确，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质，可得，，进而可得到，；由得到；证明，利用相似三角形的性质可判断B、D选项，据此即可判断
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵该函数图象与y轴负半轴相交，
∴，故选项A结论错误，不符合题意；
∵该函数图象与x轴有两个交点，
∴，故选项B结论错误，不符合题意；
∵该函数图象开口向上，对称轴为直线，
∴，，即，
∵当时，，
∴，即，故选项C结论正确，符合题意；
∵该函数图象与x轴交点在和0之间，其对称轴为直线，
∴该函数图象与x轴的另一个交点在1和3之间，
∴当时，一部分，一部分，故选项D结论错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】观察图形可知，抛物线和y轴交于y轴的下半轴，据此可判断A；图像和x轴交于两点，根据判别式的公式，据此可判断B；根据抛物线的对称轴公式，求出b和a的关系，然后再结合图形，确定a的取值范围，进而即可判断C；观察图形，可知，y有两部分，据此即可求解
11．【答案】5
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：若分式的值不存在，
则：，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据分式存在的意义：分母不能为零，反之亦然，据此即可求解
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知：完成事件的总的可能数为3种，而非金属元素的卡片种类共有2种，
所以根据概率公式即可求得，
故答案为：．
【分析】根据概率的公式：用非金属元素的种类除以完成事件的总数，据此即可求解
13．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：直线向上平移4个单位得到的直线的表达式为，
即，
故答案为：．
【分析】根据函数图象的平移法则：左加右减、上加下减，然后再代入数据即可求解
14．【答案】540°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（5﹣2） 180°=540°．
故答案为：540°．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°计算即可．
15．【答案】9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
解得．
故答案为：。
【分析】根据一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，代入数据求出关于m的关系式，即可求解。
16．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，设该函数的表达式为，
将点代入得：，解得，
则该函数的表达式为，
故答案为：．
【分析】设该函数的表达式为，然后再将将点代入，利用待定系数法，即可求出的值。
17．【答案】35
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：在中，，，
∴，
∵由题可得：是的角平分线，
∴，
故答案为：；
【分析】根据作图步骤，可知是的角平分线，然后再根据直角三角形的内角和公式，求出的度数，然后再利用角平分线的性质，即可求出的度数
18．【答案】60；
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：过点作，垂足为点，
，
且，
，且为等边三角形，
在图（1）作，垂足为，
，设，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得， (负值舍去)，
，，，，
，
在中；
为等边三角形，
，
∴在中，，
∴，
∴；
故答案为：；
【分析】过点作，根据 ，易得，进而求出的度数，从而证明为等边三角形，设 ，根据勾股定理：，然后再根据，代入数据，求出AC的值，进而求出AB、BM的值， 在中，，代入数据，求解的长度， 在中， ，根据勾股定理， ，代入数据求出BN的值，最后再根据三角形的面积公式：，代入数据即可求解。
19．【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；化简含绝对值有理数；求算术平方根
【解析】【分析】根据平方根、负整数指数幂、绝对值的性质，再根据特殊角的三角函数值，求出各个式子，最后再将各个式子进行相加即可
20．【答案】解：原式，
，
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式运算的法则，对分式进行约分化简，最后再将a的值代入求值即可．
21．【答案】（1）100
（2）108
（3）解：选择的人数为：（人，
补全统计图如图：
（4）解：根据题意得：
=
=300（人．
答：估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生约为300人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次调查的学生人数为（人．
故答案为：100；
（2）在扇形统计图中，“A（体育竞技类）”部分所占圆心角的度数为：．
故答案为：；
【分析】（1）由B的人数除以其人数占被调查人数的百分比，即可求出本次调查的学生人数
（2）用A选项的人数除以调查的学生人数，求出A的占比，然后再用360度乘以A选项的占比，即可求出A部分所对应的圆心角的度数
（3）用调查的学生人数减去A、B、D的学生人数，即可求出C的人数，然后再补充统计图即可
（4）用D选项的学生人数除以调查的学生人数，求出D的占比，然后再乘以学校的学生总人数，即可求解
（1）解：本次调查的学生人数为（人．
故答案为：100；
（2）在扇形统计图中，“A（体育竞技类）”部分所占圆心角的度数为：．
故答案为：；
（3）选择的人数为：（人，
补全统计图如图：
（4）根据题意得：
（人．
答：估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生约为300人．
22．【答案】（1）解：选择①．
证明：四边形的对角线，相交于点，且，，
四边形的是平行四边形，
，，
又，
，
四边形为矩形．
（2）解：由（1）已证明四边形矩形，
，，
又，
．
在中，，
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分，则四边形的是平行四边形，若选择①，可证明，根据矩形的判定可得结论；
（2）根据矩形性质求出，进而求出，然后再根据平行线的性质和正切函数的定义可求得，最后再利用勾股定理求得即可求解．
23．【答案】（1）解：设每个篮球的价格为元，每个气排球的价格为元，
根据题意得：，
解得：，
答：篮球每个100元，气排球每个80元．
（2）解：设购买篮球个，则购买气排球个，
根据题意得：，
解得：，
答：最多可以购买篮球23个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个篮球的价格为元，每个气排球的价格为元，根据表格内的信息，建立方程组：，最后再解方程组即可
（2）设购买篮球个，则购买气排球个，根据“总费用不超过3660元”建立不等式：，然后再进行求解即可．
（1）解：设每个篮球的价格为元，每个气排球的价格为元，
根据题意得：，解得：，
答：篮球每个100元，气排球每个80元．
（2）解：设购买篮球个，则购买气排球个，
根据题意得：，
解得：，
答：最多可以购买篮球23个．
24．【答案】（1）解：在中，，，，
，
，
；；
答：坡面的水平距离和垂直距离分别是和。
（2）解：延长交于点，如图所示：
则四边形是矩形，
设，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，即，
解得
，
答：山的高度为。
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）在中，根据正弦函数、余弦函数定义：，，代入数据即可求出CH和AH的值。
（2）延长交于点，设，根据矩形性质，可得，，代入数据，求出BG的关系式，在中，根据正切函数定义：，代入数据即可求出BD的值。
（1）解：在中，，，，
，，
；；
答：坡面的水平距离和垂直距离分别是和；
（2）解：延长交于点，如图所示：
则四边形是矩形，
设，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，即，
解得
，
答：山的高度为．
25．【答案】（1）证明：连接，
，
，
，
为直径，
，
，
，
，
，
过半径的外端点，且，
为的切线；
（2）证明：为劣弧的中点，
，
∵，，
，
；
（3）解：过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
，
在中，，，
，
∴，
，，，
，
∴，
∴，
，
，，
，，
，
，
，
．
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】（）连接，根据OA=OC，可得，又根据，可得，进而由得，即可求证；
（）由为劣弧的中点可得，，根据题干信息，易证，进而可得，据此即可证明；
（）过点作于点，可证，即得，得到，进而由三角函数定义，可求出得的值，即由勾股定理得，代入数据求出DE的值，又根据角平分线的性质可得，利用的面积可求得的长，用DE减去EF，即可求出DF的长，然后再根据勾股定理：，代入数据即可求解；最后根据，最后再根据相似性质，建立比例：，然后再代入数据即可求解．
（1）证明：连接，
，
，
，
为直径，
，
，
，
，
，
过半径的外端点，且，
为的切线；
（2）证明：为劣弧的中点，
，
∵，，
，
；
（3）解：过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
，
在中，，，
，
∴，
，，，
，
∴，
∴，
，
，，
，，
，
，
，
．
26．【答案】（1）解：抛物线的对称轴为，与轴交于点，
，
解得：，
；
（2）解：设点，
设直线的解析式为，
直线经过点，，
，
解得：，
直线的表达式为：，
即点，
，
，
，
时，开口向下，当时，有最大值，
；
（3）解：存在以为腰的等腰三角形，有以下两种情况：
当时，过作于点，则点为的中点，即，
，
，
，（舍去）；
当时，
，
，
，（舍去），
综上所述：当或时，存在以为腰的等腰三角形．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式：，代入数据，求出b的值，然后再根据“与轴交于点”，建立方程，解c的值，最后再将b和c代入 ，即可求解；
（2）设点，设直线的解析式为，将B和C的坐标代入，求出BC的解析式；进而可求出点，再根据求出的表达式，最后根据二次函数的顶点公式求得最大值即可；
（3）分两种情况讨论：当时，过C作于点E，然后再根据题干信息，易得，进而求出E点坐标，然后再根据两点间的坐标公式以及，即可求出m的值；当时，同理，即可求解．
（1）解：抛物线的对称轴为，与轴交于点，
，
解得：，
；
（2）解：设点，
设直线的解析式为，
直线经过点，，
，
解得：，
直线的表达式为：，
即点，
，
，
，
时，开口向下，当时，有最大值，
；
（3）解：存在以为腰的等腰三角形，有以下两种情况：
当时，过作于点，则点为的中点，即，
，
，
，（舍去）；
当时，
，
，
，（舍去），
综上所述：当或时，存在以为腰的等腰三角形．
1 / 1

展开更多......

收起↑