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湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2025年中考二模数学试卷
1．（2025·开福模拟）下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·开福模拟）下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．5
3．（2025·开福模拟）截至2025年5月10日，国产动画电影《哪吒之魔童闹海》全球累计票房已突破元人民币．将数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·开福模拟）下列运算正确的是（　　）
A．a2·a3=a6 B．(a2)3=a6 C．(a+b)2=a2+b2 D．
5．（2025·开福模拟）某班8名同学垫排球的测试成绩（单位：个）分别为：，，，，，，，，则这组数据的众数是（　　）
A．25 B．26 C．27 D．30
6．（2025·开福模拟）如图，已知直线，平分，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·开福模拟）直线向上平移4个单位长度得到的直线的表达式为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·开福模拟）如图，圆锥底面圆的半径为3，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·开福模拟）从4名男生和6名女生的学号中随机抽取一个学号，则抽到的学号为男生的概率是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·开福模拟）二次函数（a，b，c是常数，）的图象如图所示，其对称轴为直线．下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．当时，
11．（2025·开福模拟）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
12．（2025·开福模拟）分解因式： 　 　．
13．（2025·开福模拟）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是　 　．
14．（2025·开福模拟）如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点．若，则的度数为　 　．
15．（2025·开福模拟）在反比例函数y＝ 的图象的每一支曲线上，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是 　 　.
16．（2025·开福模拟）如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为　 　．
17．（2025·开福模拟）计算：．
18．（2025·开福模拟）解不等式组：，并求其整数解．
19．（2025·开福模拟）为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆的高度是，从侧面点测得显示牌顶端点和底端点的仰角分别是和．求路况显示牌的高度是多少米？（用含根号的式子表示结果）
20．（2025·开福模拟）某学校为落实国家15分钟课间政策，丰富学生的课间生活，随机抽取学生开展“你最喜爱的课间活动是___________”的问卷调查，要求学生必须从“A（体育竞技类）、B（轻松游戏类）、C（自由交流类）、D（艺术创作类）”四种类型中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息，完成下列问题：
（1）本次调查的学生人数为___________人；
（2）在扇形统计图中，“A（体育竞技类）”部分所对应扇形的圆心角的度数为___________度；
（3）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（4）若该校共有2000名学生，估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生有多少人？
21．（2025·开福模拟）如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
22．（2025·开福模拟）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计110万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计175万元．
（1）每辆A，B两种型号的汽车进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用400万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则该公司有哪几套方案？
23．（2025·开福模拟）如图，在中，，过点作的平行线，使得，连接交于点，过点作的垂线分别交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）当时，求与的长．
24．（2025·开福模拟）定义：若某个函数在某个条件只有最小值没有最大值，我们称这个函数为谷函数，这个最小值叫做谷值；若某个函数在某个条件下只有最大值没有最小值，我们称这个函数为峰函数．这个最大值叫做峰值：若某个函数在一定条件下既有最大值又有最小值，我们称这个函数为峰谷函数，这个最大值叫做峰值，最小值叫做谷值；若某个函数在一定条件下既没有最大值也没有最小值，我们称这个函数为非峰非谷函数：
（1）根据条件判断下列函数的类型，将代码（A谷函数；B峰函数；C峰谷函数；D非峰非谷函数）写在后面的括号内：
①函数；（　　）
②函数；（　　）
③函数（为全体实数）；（　　）
（2）若函数在实数范围内为峰函数，且经过点和点，其图象与轴交于、两点，且，求该函数的峰值；
（3）若函数（）在实数范围内为谷函数，函数图象经过点，且满足，求的最小值．
25．（2025·开福模拟）如图，已知扇形的半径为，圆心角为直角，点是劣弧上的一个动点，点是弦的中点，点是弦的中点，连接、、．
（1）求的长（用含的代数式表示）；
（2）设的长度为，当点沿着劣弧从点开始，顺时针运动到点时，的外心所经过的路径的长度为；求的值：
（3）设弦、，连接，分别交、于、，记以线段、、为三边的三角形的外接圆半径为；
①试求、、之间的关系式．
②当四边形的面积最大时，求的值（用含的代数式表示）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项错误；
B：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项错误；
C：既是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项正确；
D：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项错误。
故答案为：C。
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：轴对称是指有一条对称轴，直线。图形沿对称轴对折翻折180度后重合，对称点的连线被对称轴垂直平分。中心对称是指有一个对称，中心点。图形绕对称中心旋转180度后重合，对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分。据此即可判断。
2．【答案】C
【知识点】无理数的概念；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、是有理数，不符合题意；
B、是有理数，不符合题意；
C、是无理数，符合题意；
D、5是有理数，不符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据无理数定义：无理数指的是无限不循环小数，然后再逐一对各个选项进行分析即可求解
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C。
【分析】根据科学记数法的表达方式：“对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数．”据此即可求解
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的加减法；完全平方式；幂的乘方运算
【解析】【解答】A、原式=a5，错误；B、原式=a6，正确；C、原式=a2+b2+2ab，错误；D、原式不能合并，错误；故答案为：B
【分析】
A、同底幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断即可；
B、幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断即可；
C、根据（a+b）2=a2+2ab+b2判断即可；
D、不是同类二次根式，不能合并，据此判断即可.
5．【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：在所给数据中，数据出现了三次，次数最多，
故众数为．
故答案为：B。
【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，据此即可求解
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：，
，
平分，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据邻补角的定义，可得的值，再根据角平分线的定义，可得，最后再根据，可得，即可得解。
7．【答案】D
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线向上平移4个单位得到的直线的表达式为，
即，
故答案为：D。
【分析】根据函数图象的平移法则：左加右减、上加下减，然后再根据题干信息，直接代入数据，即可求解。
8．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意，的长．
故答案为：B。
【分析】观察图形，可知圆锥的底面周长等于的长，代入数据即可求解。
9．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从4名男生和6名女生的学号中随机抽取一个学号，抽到的学号为男生的概率是；
故答案为：A
【分析】用男生的人数除以男生和女生的总人数，即可求出抽到学号为男生的概率，代入数据即可求解
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵该函数图象与y轴负半轴相交，
∴，故选项A结论错误，不符合题意；
∵该函数图象与x轴有两个交点，
∴，故选项B结论错误，不符合题意；
∵该函数图象开口向上，对称轴为直线，
∴，，即，
∵当时，，
∴，即，故选项C结论正确，符合题意；
∵该函数图象与x轴交点在和0之间，其对称轴为直线，
∴该函数图象与x轴的另一个交点在1和3之间，
∴当时，一部分，一部分，故选项D结论错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】观察图形可知，抛物线和y轴交于y轴的下半轴，据此可判断A；图像和x轴交于两点，根据判别式的公式，据此可判断B；根据抛物线的对称轴公式，求出b和a的关系，然后再结合图形，确定a的取值范围，进而即可判断C；观察图形，可知，y有两部分，据此即可求解
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
，
故答案为：。
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数。据此即可求解。
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： ．
【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式进行因式分解.
13．【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设该方程的另一个根为，
由关于x的一元二次方程的一个根是，
可得：，
∴；
故答案为：4。
【分析】设该方程的另一个根为，根据韦达定理，可得“”，然后代入数据即可求解。
14．【答案】30°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
，
由尺规作图可知垂直平分，
∴由中垂线性质可知，
∴，
，
故答案为：30°。
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和公式，的度数，然后再根据题干中的作图方法可知，MN是AB的垂直平分线，根据中垂线性质，可得，进而，即可求出的度数。
15．【答案】m＜3
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：比例函数y＝ 图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大，
∴m﹣3＜0，
∴m＜3.
故答案为：m＜3.
【分析】由反比例函数的性质结合已知条件可得m-3<0，求解即可.
16．【答案】16
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，交于点，则，
∵水的最深处到水面的距离为，的半径为．
∴，
在中，
∴
故答案为：。
【分析】过点作于点，交于点，则，根据图形所示以及根据题干信息可直接得出OD的长，在中，根据勾股定理：，代入数据即可求出AD的长，进而即可求出AB的值。
17．【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质的求解方法，然后再对特殊角的三角函数进行求解，最后再将各个式子进行运算即可
18．【答案】解：，
由①得：，
解得：，
由②得：，
解得：，
∴不等式组的解集为：．
∴不等式组的整数解为。
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先对不等式组进行标注，然后再分别对两个不等式进行求解，然后再根据不等式组的求解方法，求出不等式组的解集，最后再根据所求的不等式组的解集，即可求出不等式组的整数集。
19．【答案】解：在中，，，
．
在中，，
，
（米，
．
答：路况显示牌的高度约为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】在中，根据正切函数的定义，可求出邻边的长；同理在中，根据正切函数的定义，即可求出对边的长；进而根据，代入数据即可求解
20．【答案】（1）100
（2）
（3）解：（人），补全条形统计图如下：
（4）解：根据题意，可得
（人），
答：估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生有500人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人），
故答案为：100；
（2）解：，
故答案为：。
【分析】（1）用B类项目的学生人数除以其占比，即可求出本次调查的学生人数
（2）用A类项目的学生人数除以本次调查的学生总数，然后再乘以360度，即可求出其所对应扇形的圆心角的度数
（3）用本次调查的学生总人数减去A、B、D的人数，求出选择“C（自由交流类）”的人数，即可补全条形统计图；
（4）用样本中D类项目的学生人数除以本次调查的学生总人数，求出其占比，然后再乘以该校的学生总人数，即可求解。
（1）解：（人），
故答案为：100；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：（人），补全条形统计图如下：
（4）解：（人），
答：估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生有500人．
21．【答案】（1）证明：∵为的角平分线，
∴，
由作图可得，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，为的角平分线，
∴
由作图可得，
∴，
∵，为的角平分线，
∴，
∴

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-直线、射线、线段；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出，由作图可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据角平分线的定义得出，由作图得出，则根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，再根据角之间的关系即可求出答案.
22．【答案】（1）解：设每辆型汽车的进价为万元，每辆型汽车的进价为万元．
依题意，得
解得
答：每辆型汽车的进价为20万元，每辆型汽车的进价为45万元。
（2）解：设购进型汽车辆，型汽车辆．根据题意，可得，
，
所以．
因为，均为正整数，
所以或
所以共两种购买方案，方案如下．
方案一：购进型汽车11辆，型汽车4辆．
方案二：购进型汽车2辆，型汽车8辆．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据“1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计110万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计175万元”，可建立方程组：，然后再解方程即可
（2）设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，根据总价为400万元，建立等量关系：，然后再结合m和n的特征，找出符合条件的m和n的值，据此即可求解。
（1）设每辆型汽车的进价为万元，每辆型汽车的进价为万元．
依题意，得
解得
答：每辆型汽车的进价为20万元，每辆型汽车的进价为45万元；
（2）设购进型汽车辆，型汽车辆．
依题意，得，所以．
因为，均为正整数，
所以或
所以共两种购买方案，方案如下．
方案一：购进型汽车11辆，型汽车4辆．
方案二：购进型汽车2辆，型汽车8辆．
23．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形。
（2）解：∵，
∴设，则：，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即：，
解得：（舍去），
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴。
【知识点】菱形的判定；相似三角形的判定；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据，可求出，再根据，易证，进而得到，即可推出四边形是平行四边形，然后再根据菱形的判断定理：，即可得证；
（2）设，得到，在中，根据勾股定理求出的值，在和中，利用锐角三角函数的定义：得到，进而可得，代入数据即可求出的值，然后再根据x的取值范围，对x的值进行取舍，代入即可求出BF、AF、AE和DE的值，通过，易证，进而可得，代入数据即可求解
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵，
∴设，则：，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
解得：（舍去），
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
24．【答案】（1）、、
（2）解：∵函数在实数范围内为峰函数，
∴，
∵经过点和点，
∴
∴，
函数的图象与轴交于、两点，设
∴是方程的两个实数根，
∴
又∵，
∴
∴
即
∴
∵，，
∴
解得：（，正值舍去）
∴
∴
∵
∴顶点坐标为，即该函数的峰值为。
（3）解∵函数（）在实数范围内为谷函数，
∴，
∵函数的图象经过点
∴
∴
又∵
∴
设中，是最大的数，设是方程的两个实数根，
∴，
∴
∵方程有实数根，
∴
设，
如图
∴当时，
∵，即的最小值为
∴当取得最小值时，
∵要使得的最小值．则同号，
∴
∴的最小值为。
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二元一次方程（组）的新定义问题
【解析】【解答】（1）解：①函数；没有最大值也没有最小值则是非峰非谷函数（）
②函数；既有最大值又有最小值，是峰谷函数（）
③函数开口向上，只有最小值没有最大值，是谷函数（为全体实数）；（）
故答案为：、、
【分析】（1）根据题干中的给出的定义，然后再结合反比例函数图象，一次函数图象，二次函数图象，再逐一进行分析判断，即可求解；
（2）根据“ 在实数范围内为峰函数”，可得，根据经过点和点，将这两点代入建立方程组，求出之间的关系式，然后再根据“函数的图象与轴交于、两点”设，根据韦达定理，求出的关系式，然后再根据 ，利用两点间的距离公式，得到，然后再将以上a、b和c的关系式代入，即可求出a的值，然后再根据a的取值范围，对a的值进行取舍，进而求出c的值，从而即可得到二次函数的解析式，然后再将其化为顶点式，求得最大值，即可求解；
（3）根据“（）在实数范围内为谷函数 ”，可得，然后再函数根据经过点，得出，根据题意可得，设中，是最大的数，设是方程的两个实数根，根据方程有实数根，可得，得出的最小值为，，根据要使得的最小值．则同号，则，即可求解．
（1）解：①函数；没有最大值也没有最小值则是非峰非谷函数（）
②函数；既有最大值又有最小值，是峰谷函数（）
③函数开口向上，只有最小值没有最大值，是谷函数（为全体实数）；（）
故答案为：、、．
（2）解：∵函数在实数范围内为峰函数，
∴，
∵经过点和点，
∴
∴，
函数的图象与轴交于、两点，设
∴是方程的两个实数根，
∴
又∵，
∴
∴
即
∴
∵，，
∴
解得：（，正值舍去）
∴
∴
∵
∴顶点坐标为，即该函数的峰值为；
（3）∵函数（）在实数范围内为谷函数，
∴，
∵函数的图象经过点
∴
∴
又∵
∴
设中，是最大的数，设是方程的两个实数根，
∴，
∴
∵方程有实数根，
∴
设，
如图
∴当时，
∵，即的最小值为
∴当取得最小值时，
∵要使得的最小值．则同号，
∴
∴的最小值为．
25．【答案】（1）解：连接，
∵为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴。
（2）解：连接，如图：
由题意得：，
∵为的中点，
∴由垂径定理得，
∴，
∴点共圆，直径为，圆心为中点，
∴，
∴。
（3）解：①过点作交延长线于点，
∵，
∴，
∴
∵是弦的中点，点是弦的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
②连接，连接交于点，
∵，
∴，
∵垂直平分，垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴以线段、、为三边的三角形为，
∴，
由于等腰是轴对称图形，
∴，
∴，
∵不变，
∴最大，则最大，
∵不变，
∴点到的距离最大即可，
∴点为中点时，最大，
∴，即，
∴，
∴
∵点为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴。
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据为的中点，可得为中位线，则，再由勾股定理求，代入数据即可求解；
（2）连接， 根据弧长公式，可得：，代入数据即可求解，进而可得到共圆，直径为，圆心为中点，则，代入数据即可求解的值。
（3）①过点作交延长线于点，先求出的角度，进而即可求出的值，然后再根据是弦的中点，点是弦的中点，易得，则，那么，由，代入化简即可；②连接，连接交于点，先求出的值，则以线段、、为三边的三角形为，那么，可得，则最大时，点到的距离最大即可，那么点为中点时，最大，则，化简即可，证明，则，化简，即可得到的值，则，故，代入即可求解．
（1）解：连接，
∵为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：连接，如图：
由题意得：，
∵为的中点，
∴由垂径定理得，
∴，
∴点共圆，直径为，圆心为中点，
∴，
∴；
（3）解：①过点作交延长线于点，
∵，
∴，
∴
∵是弦的中点，点是弦的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
②连接，连接交于点，
∵，
∴，
∵垂直平分，垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴以线段、、为三边的三角形为，
∴，
由于等腰是轴对称图形，
∴，
∴，
∵不变，
∴最大，则最大，
∵不变，
∴点到的距离最大即可，
∴点为中点时，最大，
∴，即，
∴，
∴
∵点为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
1 / 1湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2025年中考二模数学试卷
1．（2025·开福模拟）下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项错误；
B：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项错误；
C：既是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项正确；
D：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项错误。
故答案为：C。
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：轴对称是指有一条对称轴，直线。图形沿对称轴对折翻折180度后重合，对称点的连线被对称轴垂直平分。中心对称是指有一个对称，中心点。图形绕对称中心旋转180度后重合，对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分。据此即可判断。
2．（2025·开福模拟）下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．5
【答案】C
【知识点】无理数的概念；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、是有理数，不符合题意；
B、是有理数，不符合题意；
C、是无理数，符合题意；
D、5是有理数，不符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据无理数定义：无理数指的是无限不循环小数，然后再逐一对各个选项进行分析即可求解
3．（2025·开福模拟）截至2025年5月10日，国产动画电影《哪吒之魔童闹海》全球累计票房已突破元人民币．将数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C。
【分析】根据科学记数法的表达方式：“对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数．”据此即可求解
4．（2025·开福模拟）下列运算正确的是（　　）
A．a2·a3=a6 B．(a2)3=a6 C．(a+b)2=a2+b2 D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的加减法；完全平方式；幂的乘方运算
【解析】【解答】A、原式=a5，错误；B、原式=a6，正确；C、原式=a2+b2+2ab，错误；D、原式不能合并，错误；故答案为：B
【分析】
A、同底幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断即可；
B、幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断即可；
C、根据（a+b）2=a2+2ab+b2判断即可；
D、不是同类二次根式，不能合并，据此判断即可.
5．（2025·开福模拟）某班8名同学垫排球的测试成绩（单位：个）分别为：，，，，，，，，则这组数据的众数是（　　）
A．25 B．26 C．27 D．30
【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：在所给数据中，数据出现了三次，次数最多，
故众数为．
故答案为：B。
【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，据此即可求解
6．（2025·开福模拟）如图，已知直线，平分，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：，
，
平分，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据邻补角的定义，可得的值，再根据角平分线的定义，可得，最后再根据，可得，即可得解。
7．（2025·开福模拟）直线向上平移4个单位长度得到的直线的表达式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线向上平移4个单位得到的直线的表达式为，
即，
故答案为：D。
【分析】根据函数图象的平移法则：左加右减、上加下减，然后再根据题干信息，直接代入数据，即可求解。
8．（2025·开福模拟）如图，圆锥底面圆的半径为3，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意，的长．
故答案为：B。
【分析】观察图形，可知圆锥的底面周长等于的长，代入数据即可求解。
9．（2025·开福模拟）从4名男生和6名女生的学号中随机抽取一个学号，则抽到的学号为男生的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从4名男生和6名女生的学号中随机抽取一个学号，抽到的学号为男生的概率是；
故答案为：A
【分析】用男生的人数除以男生和女生的总人数，即可求出抽到学号为男生的概率，代入数据即可求解
10．（2025·开福模拟）二次函数（a，b，c是常数，）的图象如图所示，其对称轴为直线．下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．当时，
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵该函数图象与y轴负半轴相交，
∴，故选项A结论错误，不符合题意；
∵该函数图象与x轴有两个交点，
∴，故选项B结论错误，不符合题意；
∵该函数图象开口向上，对称轴为直线，
∴，，即，
∵当时，，
∴，即，故选项C结论正确，符合题意；
∵该函数图象与x轴交点在和0之间，其对称轴为直线，
∴该函数图象与x轴的另一个交点在1和3之间，
∴当时，一部分，一部分，故选项D结论错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】观察图形可知，抛物线和y轴交于y轴的下半轴，据此可判断A；图像和x轴交于两点，根据判别式的公式，据此可判断B；根据抛物线的对称轴公式，求出b和a的关系，然后再结合图形，确定a的取值范围，进而即可判断C；观察图形，可知，y有两部分，据此即可求解
11．（2025·开福模拟）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
，
故答案为：。
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数。据此即可求解。
12．（2025·开福模拟）分解因式： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： ．
【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式进行因式分解.
13．（2025·开福模拟）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是　 　．
【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设该方程的另一个根为，
由关于x的一元二次方程的一个根是，
可得：，
∴；
故答案为：4。
【分析】设该方程的另一个根为，根据韦达定理，可得“”，然后代入数据即可求解。
14．（2025·开福模拟）如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点．若，则的度数为　 　．
【答案】30°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
，
由尺规作图可知垂直平分，
∴由中垂线性质可知，
∴，
，
故答案为：30°。
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和公式，的度数，然后再根据题干中的作图方法可知，MN是AB的垂直平分线，根据中垂线性质，可得，进而，即可求出的度数。
15．（2025·开福模拟）在反比例函数y＝ 的图象的每一支曲线上，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是 　 　.
【答案】m＜3
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：比例函数y＝ 图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大，
∴m﹣3＜0，
∴m＜3.
故答案为：m＜3.
【分析】由反比例函数的性质结合已知条件可得m-3<0，求解即可.
16．（2025·开福模拟）如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为　 　．
【答案】16
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，交于点，则，
∵水的最深处到水面的距离为，的半径为．
∴，
在中，
∴
故答案为：。
【分析】过点作于点，交于点，则，根据图形所示以及根据题干信息可直接得出OD的长，在中，根据勾股定理：，代入数据即可求出AD的长，进而即可求出AB的值。
17．（2025·开福模拟）计算：．
【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质的求解方法，然后再对特殊角的三角函数进行求解，最后再将各个式子进行运算即可
18．（2025·开福模拟）解不等式组：，并求其整数解．
【答案】解：，
由①得：，
解得：，
由②得：，
解得：，
∴不等式组的解集为：．
∴不等式组的整数解为。
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先对不等式组进行标注，然后再分别对两个不等式进行求解，然后再根据不等式组的求解方法，求出不等式组的解集，最后再根据所求的不等式组的解集，即可求出不等式组的整数集。
19．（2025·开福模拟）为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆的高度是，从侧面点测得显示牌顶端点和底端点的仰角分别是和．求路况显示牌的高度是多少米？（用含根号的式子表示结果）
【答案】解：在中，，，
．
在中，，
，
（米，
．
答：路况显示牌的高度约为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】在中，根据正切函数的定义，可求出邻边的长；同理在中，根据正切函数的定义，即可求出对边的长；进而根据，代入数据即可求解
20．（2025·开福模拟）某学校为落实国家15分钟课间政策，丰富学生的课间生活，随机抽取学生开展“你最喜爱的课间活动是___________”的问卷调查，要求学生必须从“A（体育竞技类）、B（轻松游戏类）、C（自由交流类）、D（艺术创作类）”四种类型中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息，完成下列问题：
（1）本次调查的学生人数为___________人；
（2）在扇形统计图中，“A（体育竞技类）”部分所对应扇形的圆心角的度数为___________度；
（3）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（4）若该校共有2000名学生，估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生有多少人？
【答案】（1）100
（2）
（3）解：（人），补全条形统计图如下：
（4）解：根据题意，可得
（人），
答：估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生有500人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人），
故答案为：100；
（2）解：，
故答案为：。
【分析】（1）用B类项目的学生人数除以其占比，即可求出本次调查的学生人数
（2）用A类项目的学生人数除以本次调查的学生总数，然后再乘以360度，即可求出其所对应扇形的圆心角的度数
（3）用本次调查的学生总人数减去A、B、D的人数，求出选择“C（自由交流类）”的人数，即可补全条形统计图；
（4）用样本中D类项目的学生人数除以本次调查的学生总人数，求出其占比，然后再乘以该校的学生总人数，即可求解。
（1）解：（人），
故答案为：100；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：（人），补全条形统计图如下：
（4）解：（人），
答：估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生有500人．
21．（2025·开福模拟）如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵为的角平分线，
∴，
由作图可得，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，为的角平分线，
∴
由作图可得，
∴，
∵，为的角平分线，
∴，
∴

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-直线、射线、线段；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出，由作图可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据角平分线的定义得出，由作图得出，则根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，再根据角之间的关系即可求出答案.
22．（2025·开福模拟）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计110万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计175万元．
（1）每辆A，B两种型号的汽车进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用400万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则该公司有哪几套方案？
【答案】（1）解：设每辆型汽车的进价为万元，每辆型汽车的进价为万元．
依题意，得
解得
答：每辆型汽车的进价为20万元，每辆型汽车的进价为45万元。
（2）解：设购进型汽车辆，型汽车辆．根据题意，可得，
，
所以．
因为，均为正整数，
所以或
所以共两种购买方案，方案如下．
方案一：购进型汽车11辆，型汽车4辆．
方案二：购进型汽车2辆，型汽车8辆．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据“1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计110万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计175万元”，可建立方程组：，然后再解方程即可
（2）设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，根据总价为400万元，建立等量关系：，然后再结合m和n的特征，找出符合条件的m和n的值，据此即可求解。
（1）设每辆型汽车的进价为万元，每辆型汽车的进价为万元．
依题意，得
解得
答：每辆型汽车的进价为20万元，每辆型汽车的进价为45万元；
（2）设购进型汽车辆，型汽车辆．
依题意，得，所以．
因为，均为正整数，
所以或
所以共两种购买方案，方案如下．
方案一：购进型汽车11辆，型汽车4辆．
方案二：购进型汽车2辆，型汽车8辆．
23．（2025·开福模拟）如图，在中，，过点作的平行线，使得，连接交于点，过点作的垂线分别交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）当时，求与的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形。
（2）解：∵，
∴设，则：，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即：，
解得：（舍去），
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴。
【知识点】菱形的判定；相似三角形的判定；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据，可求出，再根据，易证，进而得到，即可推出四边形是平行四边形，然后再根据菱形的判断定理：，即可得证；
（2）设，得到，在中，根据勾股定理求出的值，在和中，利用锐角三角函数的定义：得到，进而可得，代入数据即可求出的值，然后再根据x的取值范围，对x的值进行取舍，代入即可求出BF、AF、AE和DE的值，通过，易证，进而可得，代入数据即可求解
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵，
∴设，则：，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
解得：（舍去），
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
24．（2025·开福模拟）定义：若某个函数在某个条件只有最小值没有最大值，我们称这个函数为谷函数，这个最小值叫做谷值；若某个函数在某个条件下只有最大值没有最小值，我们称这个函数为峰函数．这个最大值叫做峰值：若某个函数在一定条件下既有最大值又有最小值，我们称这个函数为峰谷函数，这个最大值叫做峰值，最小值叫做谷值；若某个函数在一定条件下既没有最大值也没有最小值，我们称这个函数为非峰非谷函数：
（1）根据条件判断下列函数的类型，将代码（A谷函数；B峰函数；C峰谷函数；D非峰非谷函数）写在后面的括号内：
①函数；（　　）
②函数；（　　）
③函数（为全体实数）；（　　）
（2）若函数在实数范围内为峰函数，且经过点和点，其图象与轴交于、两点，且，求该函数的峰值；
（3）若函数（）在实数范围内为谷函数，函数图象经过点，且满足，求的最小值．
【答案】（1）、、
（2）解：∵函数在实数范围内为峰函数，
∴，
∵经过点和点，
∴
∴，
函数的图象与轴交于、两点，设
∴是方程的两个实数根，
∴
又∵，
∴
∴
即
∴
∵，，
∴
解得：（，正值舍去）
∴
∴
∵
∴顶点坐标为，即该函数的峰值为。
（3）解∵函数（）在实数范围内为谷函数，
∴，
∵函数的图象经过点
∴
∴
又∵
∴
设中，是最大的数，设是方程的两个实数根，
∴，
∴
∵方程有实数根，
∴
设，
如图
∴当时，
∵，即的最小值为
∴当取得最小值时，
∵要使得的最小值．则同号，
∴
∴的最小值为。
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二元一次方程（组）的新定义问题
【解析】【解答】（1）解：①函数；没有最大值也没有最小值则是非峰非谷函数（）
②函数；既有最大值又有最小值，是峰谷函数（）
③函数开口向上，只有最小值没有最大值，是谷函数（为全体实数）；（）
故答案为：、、
【分析】（1）根据题干中的给出的定义，然后再结合反比例函数图象，一次函数图象，二次函数图象，再逐一进行分析判断，即可求解；
（2）根据“ 在实数范围内为峰函数”，可得，根据经过点和点，将这两点代入建立方程组，求出之间的关系式，然后再根据“函数的图象与轴交于、两点”设，根据韦达定理，求出的关系式，然后再根据 ，利用两点间的距离公式，得到，然后再将以上a、b和c的关系式代入，即可求出a的值，然后再根据a的取值范围，对a的值进行取舍，进而求出c的值，从而即可得到二次函数的解析式，然后再将其化为顶点式，求得最大值，即可求解；
（3）根据“（）在实数范围内为谷函数 ”，可得，然后再函数根据经过点，得出，根据题意可得，设中，是最大的数，设是方程的两个实数根，根据方程有实数根，可得，得出的最小值为，，根据要使得的最小值．则同号，则，即可求解．
（1）解：①函数；没有最大值也没有最小值则是非峰非谷函数（）
②函数；既有最大值又有最小值，是峰谷函数（）
③函数开口向上，只有最小值没有最大值，是谷函数（为全体实数）；（）
故答案为：、、．
（2）解：∵函数在实数范围内为峰函数，
∴，
∵经过点和点，
∴
∴，
函数的图象与轴交于、两点，设
∴是方程的两个实数根，
∴
又∵，
∴
∴
即
∴
∵，，
∴
解得：（，正值舍去）
∴
∴
∵
∴顶点坐标为，即该函数的峰值为；
（3）∵函数（）在实数范围内为谷函数，
∴，
∵函数的图象经过点
∴
∴
又∵
∴
设中，是最大的数，设是方程的两个实数根，
∴，
∴
∵方程有实数根，
∴
设，
如图
∴当时，
∵，即的最小值为
∴当取得最小值时，
∵要使得的最小值．则同号，
∴
∴的最小值为．
25．（2025·开福模拟）如图，已知扇形的半径为，圆心角为直角，点是劣弧上的一个动点，点是弦的中点，点是弦的中点，连接、、．
（1）求的长（用含的代数式表示）；
（2）设的长度为，当点沿着劣弧从点开始，顺时针运动到点时，的外心所经过的路径的长度为；求的值：
（3）设弦、，连接，分别交、于、，记以线段、、为三边的三角形的外接圆半径为；
①试求、、之间的关系式．
②当四边形的面积最大时，求的值（用含的代数式表示）．
【答案】（1）解：连接，
∵为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴。
（2）解：连接，如图：
由题意得：，
∵为的中点，
∴由垂径定理得，
∴，
∴点共圆，直径为，圆心为中点，
∴，
∴。
（3）解：①过点作交延长线于点，
∵，
∴，
∴
∵是弦的中点，点是弦的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
②连接，连接交于点，
∵，
∴，
∵垂直平分，垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴以线段、、为三边的三角形为，
∴，
由于等腰是轴对称图形，
∴，
∴，
∵不变，
∴最大，则最大，
∵不变，
∴点到的距离最大即可，
∴点为中点时，最大，
∴，即，
∴，
∴
∵点为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴。
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据为的中点，可得为中位线，则，再由勾股定理求，代入数据即可求解；
（2）连接， 根据弧长公式，可得：，代入数据即可求解，进而可得到共圆，直径为，圆心为中点，则，代入数据即可求解的值。
（3）①过点作交延长线于点，先求出的角度，进而即可求出的值，然后再根据是弦的中点，点是弦的中点，易得，则，那么，由，代入化简即可；②连接，连接交于点，先求出的值，则以线段、、为三边的三角形为，那么，可得，则最大时，点到的距离最大即可，那么点为中点时，最大，则，化简即可，证明，则，化简，即可得到的值，则，故，代入即可求解．
（1）解：连接，
∵为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：连接，如图：
由题意得：，
∵为的中点，
∴由垂径定理得，
∴，
∴点共圆，直径为，圆心为中点，
∴，
∴；
（3）解：①过点作交延长线于点，
∵，
∴，
∴
∵是弦的中点，点是弦的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
②连接，连接交于点，
∵，
∴，
∵垂直平分，垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴以线段、、为三边的三角形为，
∴，
由于等腰是轴对称图形，
∴，
∴，
∵不变，
∴最大，则最大，
∵不变，
∴点到的距离最大即可，
∴点为中点时，最大，
∴，即，
∴，
∴
∵点为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
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