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湖南省长沙市立信中学2025年中考一模数学试卷
1．（2025·长沙模拟）下列互为倒数的是（　　）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：A．因为，所以3和是互为倒数，因此选项符合题意；
B．因为，所以与2不是互为倒数，因此选项不符合题意；
C．因为，所以3和不是互为倒数，因此选项不符合题意；
D．因为，所以和不是互为倒数，因此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据互为倒数的两数相乘等于1求解即可。
2．（2025·长沙模拟）《哪吒之魔童闹海》在2025年春节期间在各大影院上映，广受大家喜爱，成为中国史上票房最高的国产电影，哪吒的莲花宝座可以抽象视为一个“正六边形”，下列选项中俯视图为正六边形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解： A．该几何体的俯视图是一个圆，故此选项不符合题意；
B．该几何体的俯视图是一个正方形，故此选项不符合题意；
C．该几何体的俯视图是一个矩形，故此选项不符合题意；
D．该几何体的俯视图是一个正六边形，故此选项符合题意．
故答案为：D。
【分析】根据俯视图的定义：俯视图是指从物体上面向下面正投影得到的投影图，据此即可求解。
3．（2025·长沙模拟）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：ABC选项不能在平面上找到一个点，使图形绕着某一个点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，则ABC不是中心对称图形，D选项能在平面上找到一个点，使图形绕着某一个点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，则D是中心对称图形，
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此逐项进行判断即可.
4．（2025·长沙模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，原式运算错误，不符合题意；
B.，原式运算错误，不符合题意；
C.，原式运算错误，不符合题意；
D.，计算正确，符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据合并同类项、积的乘方和幂的乘方、去括号、以及同底数幂的乘法的计算方法，即可判断
5．（2025·长沙模拟）若 是反比例函数，则m必须满足（　　）
A．m≠0 B．m＝－2 C．m＝2 D．m≠－2
【答案】D
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】依题意有m＋2≠0，
所以m≠－2．
故选D．
【分析】根据反比例函数的定义．即y＝kx（k≠0），只需令m＋2≠0即可．
6．（2025·长沙模拟）如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故答案为：A。
【分析】根据圆内接四边形对角互补，可求出的度数，再根据是的直径，可知，最后再根据三角形的内角和公式，即可求解。
7．（2025·长沙模拟）如图，在中，，以的各边为边在外作三个正方形，、、分别表示这三个正方形的面积，若，，则的值是（　　）
A．5 B．8 C．10 D．20
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：，，，，分别表示三个正方形的面积，
，，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】先根据图形及正方形的面积公式求出，，，再结合，以及，求出的值即可.
8．（2025·长沙模拟）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
即，
解得：，
的取值范围是且．
故答案为：D．
【分析】
根据一元二次方程的定义得到得到；再由根的判别式的意义得到，即，然后解不等式即可得到的取值范围．
9．（2025·长沙模拟）某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点和的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前到达活动地点．若设乙同学的速度是，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乙同学的速度是，则甲同学的速度为，根据题意得：
故答案为：A．
【分析】设乙同学的速度是，则甲同学的速度为，根据时间=路程÷速度，最后再根据“乙同学比甲同学提前到达活动地点”，建立分式方程：，即可求解
10．（2025·长沙模拟）直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数的性质；二次函数y=ax²的图象；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：由一次函数的图象可知，，
则抛物线与轴的交点在原点上方，故排除AB选项；
∵，，
∴，
∴抛物线的对称轴直线，
即对称轴位于轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意；
故答案为：D。
【分析】根据一次函数的图象，可先确定a和b的符号；再根据二次函数与y轴的交点和抛物线开口方向，可确定a和b的符号，进而确定ab的符号；最后再根据二次函数的对称轴公式：，确定对称轴的位置，从而即可判断。
11．（2025·长沙模拟）地球的海洋面积为361000000km2，数字361000000用科学记数法表示为　 　．
【答案】3.61×108
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】361 000 000将小数点向左移8位得到3.61，
所以361 000 000用科学记数法表示为：3.61×108，
故答案为：3.61×108．
【分析】利用学科记数法的表达方法求解即可。
12．（2025·长沙模拟）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由题意知，，
故答案为：．
【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解即可．
13．（2025·长沙模拟）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是　 　度．
【答案】36
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算
【解析】【解答】解：设扇形的圆心角为．
由题意得：，
解得：。
故答案为：。
【分析】设扇形的圆心角为，根据弧长公式：，代入数据即可求解
14．（2025·长沙模拟）某篮球队五名队员的年龄分别为17，15，17，16，15，则这五名队员年龄的中位数是　 　．
【答案】16
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将所给5个数据从小到大排列：15，15，16，17，17，第3个数据是16，
∴中位数为16，
故答案为：16。
【分析】先对五名队员的年龄从小到大排序，然后再根据中位数的定义：5个数中的中间的数，即可求解。
15．（2025·长沙模拟）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为　 　．
【答案】20
【知识点】相似三角形的应用；8字型相似模型
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴，
如图，过作于点，交于点，
∴，，
∴，即，
∴（），
即小孔到的距离为，
故答案为：．
【分析】由题可得，过作于点，交于点，利根据相似三角形的对应边上高的比等于相似比解题即可.
16．（2025·长沙模拟）小志和小强进行了十次剪刀石头布的对决，已知：①小志出了6次石头，1次剪刀，3次布：②小强出了4次石头，3次剪刀，3次布：③10次对决中没有平局；④你不知道他们的出拳顺序，则这十次对决中小志赢了　 　次．
【答案】6
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：∵10次对决中没有平局，
∴小志6次石头只能对应小强的3次剪刀3次布，
∴这6局中小志赢3局，
同理，小志1次剪刀，3次布只能对应小强4次石头，
∴这4局中小志赢3局，
∴小志共赢了局．
故答案为：6。
【分析】根据题干中的已知条件，可知10次对决中没有平局，而小志6次石头只能对应小强的3次剪刀3次布，6局中小志赢3局；小志1次剪刀，3次布只能对应小强4次石头，这4局中小志赢3局，据此可求出小志赢的局数。
17．（2025·长沙模拟）计算：．
【答案】解：原式＝
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】利用零指数幂、特殊角三角函数值、绝对值及负整数指数幂的性质先计算，再计算加减即可.
18．（2025·长沙模拟）先化简，再求值，其中．
【答案】原式，
当时，原式

【知识点】分式的化简求值；分母有理化
【解析】【分析】首先对括号内的式子进行通分相加，把除法转化为乘法，进行约分，最后代入数值计算即可．
19．（2025·长沙模拟）游艇在湖面上向正东方向航行，在O处，看到灯塔A在游艇北偏东方向上，航行1小时到达B处，此时看到灯塔A在游艇北偏西方向上，且O与B之间距离6千米，
（1）由题意知： 度， 度；
（2）求灯塔A到航线的距离（答案保留根号）．
【答案】（1）60；30
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴
过点作于点E，如图，
∵
∴，
∴，
在中，
∴灯塔A到航线的距离千米
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】（1）解：∵在O处，看到灯塔A在游艇北偏东方向上，
∴；
∵在B处，看到灯塔A在游艇北偏西方向上，
∴
故答案为：60；30。
【分析】（1）根据方向角的表示方法为：以南北方向线为基准，后接东西方向，角度写在中间，据此即可求解。
（2）根据，，求出的度数，然后再根据三角形内角和定理，求出的度数，再根据“角所对直角边等于斜边一半”求出的长度，过点作于点E，根据再一次根据“角所对直角边等于斜边一半”求出的长度，在中，根据勾股定理：，代入数据即可求解
（1）解：∵在O处，看到灯塔A在游艇北偏东方向上，
∴；
∵在B处，看到灯塔A在游艇北偏西方向上，
∴
故答案为：60；30；
（2）解：∵；，
∴，
∴，
∴
过点作于点E，如图，
∵
∴，
∴，
在中，
∴灯塔A到航线的距离千米
20．（2025·长沙模拟）某校九年级计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D四个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生共有__________人，研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为__________；
（2）若该年级共有800名学生，请估计最喜欢去C地研学的学生人数；
（3）九（1）班研学归来，班主任组织学生进行研学收获及感悟交流分享会，A小组有两名男同学和两名女同学，从A小组中随机选取2人谈收获及感悟，请用列表法或画树状图法，求恰好抽中两名同学为一男一女的概率．
【答案】（1）100；
（2）解：（人），
答：估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人．
（3）解：列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1 男1男2 男1女1 男1女2
男2 男2男1 男2女1 男2女2
女1 女1男1 女1男2 女1女2
女2 女2男1 女2男2 女2女1
由上表可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一男一女的结果有8种，
刚好抽中两名同学为一男一女的概率为：（一男一女）．
答：刚好抽中两名同学为一男一女的概率为．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：此次被调查的学生共有（人）；
研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为．
故答案为：100；；
【分析】（1）利用“选择地点B的学生人数其其占比”求解即可；利用“选择地点A的学生占比”求解即可；
（2）利用“该校学生总数×选择地点C的学生占比”，即可求得答案；
（3）根据题意列表，结合表格即可获得答案．
（1）解：此次被调查的学生共有（人）；
研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为．
故答案为：100；；
（2）解：（人），
答：估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人．
（3）解：列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1
男1男2 男1女1 男1女2
男2 男2男1
男2女1 男2女2
女1 女1男1 女1男2
女1女2
女2 女2男1 女2男2 女2女1
由上表可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一男一女的结果有8种，
刚好抽中两名同学为一男一女的概率为：（一男一女）．
答：刚好抽中两名同学为一男一女的概率为．
21．（2025·长沙模拟）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，．
（1）求证：；
（2）若，， 求的长
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴。
（2）解：∵，，
∴，
，
∴，，
∴。
【知识点】垂线的概念；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据，易证；再根据，易证，然后根据易证；
（2）根据，，得出，根据，易得，，最后再根据BC=BD+CD，代入数据即可求解
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
，
∴，，
∴．
22．（2025·长沙模拟）端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．
（1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？
（2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？
【答案】解：（1）设肉粽和蜜枣粽的进货单价分别为x、y元，则根据题意可得：
解此方程组得：.
答：肉粽得进货单价为10元，蜜枣粽得进货单价为4元。
（2）设第二批购进肉粽t个，第二批粽子得利润为W，则
，
∵k=2>0，
∴W随t的增大而增大，
由题意，解得，
∴当t=200时，第二批粽子由最大利润，最大利润，
答：第二批购进肉粽200个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大，最大利润为1000元。
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设肉粽和蜜枣粽的进货单价分别为x、y元，根据“用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元”，建立方程组：，然后再进行解方程即可。
（2）设第二批购进肉粽t个，则购进枣粽为（300-t），第二批粽子得利润为W，根据利润=售价-进价，再根据（1）可知，用肉粽的单价利润乘以购进的肉粽的数量，再加上枣粽单价利润乘以购进枣粽的数量，然后再建立等量关系：，然后再根据一次函数的性质，再结合“肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍”，建立不等式，即可求出t的取值范围，进而可求出最大利润
23．（2025·长沙模拟）如图，，平分，分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作圆弧，交于点，点．作直线，分别交于，点，，连结，．
（1）请判断四边形的形状，并说明理由；
（2）设的面积为，四边形的面积为，若，求的值．
【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
由题意可知：垂直平分，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
同理可得，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形。
（2）解：由（1）可知：四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
由
可设，则有，
∴，
∴，
∴。
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；菱形的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据题干中的作图方法，易得，从而可得，，再根据平分，可得，进而可得，易证四边形是平行四边形，最后再根据菱形的判定定理：有一组邻边相等的平行四边形的是平行四边形，据此即可证明。
（2）根据（1）易得，进而可得，易得的值，设，可得，进而根据相似三角形的性质：，代入数据即可求解
（1）解：四边形是菱形，理由如下：
由题意可知：垂直平分，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
同理可得，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：由（1）可知：四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
由可设，则有，
∴，
∴，
∴．
24．（2025·长沙模拟）我们约定：若点A为，点B为，我们称点B是点A的“L点”；我们发现：若点A在抛物线上，点B始终在抛物线上，那么我们称抛物线是抛物线的“X抛物线”．
（1）点的“L点”是______；抛物线l：的“X抛物线”是______；
（2）已知抛物线经过点，若点与点在其“X抛物线”上，且，求p的取值范围．
（3）已知点在抛物线：图像上，点A的“L点”为点．若该抛物线的顶点为，该抛物线的“X抛物线”的顶点为．
①当时，求n的取值范围；
②当c取不同的值时，所有顶点组成新的抛物线，记的顶点为H且与x轴交于G，K两点，抛物线所有顶点组成新的抛物线，记的顶点为F且与x轴交于R，T两点，若线段，构成直角三角形时，求t的值
【答案】（1）；
（2）解：将点代入，得，
，
，
原抛物线上点A，
其“L点”B的坐标为，
“X抛物线”方程为，
点与点在其“X抛物线”上，
分别代入，
得，，
，
，
。
（3）解：①点A的“L点”为点．，，
，
代入抛物线：，
得，
，
的顶点为，
，，
由题意得：的表达式为，
的顶点为，
，，
即，
当时，即，的最大值在顶点时为1，最小值在时为，
故的取值范围为；
②新的抛物线为，顶点为，
令，
解得，，
，
即与轴交点长度为，
新的抛物线为，顶点为，
令，
解得，，
，即与轴交点长度为2，
，
当线段即，构成直角三角形时，
可能的组合为，
解得，
或，
解得，
t的值为或。
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；二元一次方程（组）的新定义问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】（1）解：根据“L点”定义，点的“L点”坐标为∶横坐标不变为，
纵坐标为，
故“L点”为；；
原抛物线，
设其上任意点A，其“L点”B的坐标为，即，
“X抛物线”方程为．
故答案为：，。
【分析】（1）根据“L点”和“X抛物线”的定义：用A点的横纵坐标相加，横坐标保持不变，据此求出“L点”的坐标；设A点坐标为：，然后再根据“L点”的定义，求出“L点”的坐标，即可求出“X抛物线”
（2）将点代入，求出原抛物线，然后再根据“X抛物线”的定义，即可求出其“X抛物线”，再将点与点分别代入其“X抛物线”，最后再根据建立不等式即可求p的取值范围；
（3）①根据点A的“L点”为点．可得的值，进而可得，，根据“X抛物线”的定义得的方程为，根据的顶点为，可得，，，即进而可得的值，根据二次函数的性质可得当时，即，的最大值在顶点时为1，最小值在时为，即可得出的取值范围；
②根据题意，可令，解方程，即可求与轴交点长度，再令，同理，可求与轴交点长度，最后再根据线段即，GK，RT构成直角三角形时，可能的组合为或，分别解方程即可求解。
（1）解：根据“L点”定义，点的“L点”坐标为∶横坐标不变为，
纵坐标为，
故“L点”为；；
原抛物线，
设其上任意点A，其“L点”B的坐标为，即，
“X抛物线”方程为．
故答案为：，；
（2）解：将点代入，
得，
，
，
原抛物线上点A，
其“L点”B的坐标为，
“X抛物线”方程为，
点与点在其“X抛物线”上，
分别代入，
得，，
，
，
；
（3）解：①点A的“L点”为点．
，，
，
代入抛物线：，
得，
，
的顶点为，
，，
由题意得：的表达式为，
的顶点为，
，，
即，
当时，即，的最大值在顶点时为1，最小值在时为，
故的取值范围为；
②新的抛物线为，顶点为，
令，
解得，，
，
即与轴交点长度为，
新的抛物线为，顶点为，
令，
解得，，
，即与轴交点长度为2，
，
当线段即，构成直角三角形时，
可能的组合为，
解得，
或，
解得，
t的值为或．
25．（2025·长沙模拟）在中，，，，O为线段上的动点，圆O的半径为，与射线交于点M，圆A的半径为，与射线交于点N．
（1）如图1，当时，判断圆O与圆A的位置关系；
（2）如图2，当圆O与圆A存在公共弦时，与交于点H．
①设，，求y关于x的关系式，并写出x的取值范围；
②若，求两圆重合部分的周长l．
③设圆A与边交于点F，连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求圆O的半径．
【答案】（1）解：圆O与圆A外切，理由如下：
当时，
∴圆O的直径为，圆A的半径为，
∵，
∴圆O与圆A外切。
（2）解：①由题意得，则四边形是菱形，
设，
，
，，
在中，由勾股定理得，，
∴，
整理得；
②∵，
∴，，则是等边三角形，
设，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴的长；
∴两圆重合部分的周长；
③当时，如图，
∴圆O的半径为；
当时，如图，圆O与圆A重合，
∴圆O的半径为；
当时，如图，连接，作于点，
，
，，
∵，，，
∴，
设，，
∵，
∴，
解得，
∴，，
由题意得是线段的垂直平分线，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
设，则，
同理，
解得．
综上，当是以为腰的等腰三角形时，圆O的半径为或或。
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；圆与圆的位置关系；解直角三角形；圆-动点问题
【解析】【分析】（1）用圆O的半径加上圆A的半径，即可判断根据两圆的位置关系
（2）①根据题意，易得四边形是菱形，根据，设，在中，由勾股定理：，代入数据即可求解；
②根据三角函数的定义，可得，然后再根据特殊角的三角函数，求出的度数，易证是等边三角形，设，分别求出PH和AH的长，然后再根据，再根据勾股定理求得，再利用弧长公式求解即可；
③根据、、三种情况进行分析：当时，易得圆O的半径OB的长；当时，圆O与圆A重合，据此即可求出AB的长；当时，连接，作于点，根据三角函数的定义，求出，设，，根据勾股定理，可得AC和BC的长，然后再根据垂直平分线定理，可得，根据勾股定理，易得，代入数据即可求出的长度，再结合，根据勾股定理：
，代入数据即可求解，设，则，根据勾股定理，，即可求出圆O的半径
（1）解：圆O与圆A外切，理由如下：
当时，
∴圆O的直径为，圆A的半径为，
∵，
∴圆O与圆A外切；
（2）解：①由题意得，则四边形是菱形，
∴，，，，
在中，由勾股定理得，，
∴，
整理得；
②∵，
∴，，则是等边三角形，
设，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴的长；
∴两圆重合部分的周长；
③当时，如图，
∴圆O的半径为；
当时，如图，圆O与圆A重合，
∴圆O的半径为；
当时，如图，连接，作于点，
，，，
∵，，，
∴，
设，，
∵，
∴，
解得，
∴，，
由题意得是线段的垂直平分线，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
设，则，
同理，
解得．
综上，当是以为腰的等腰三角形时，圆O的半径为或或．
1 / 1湖南省长沙市立信中学2025年中考一模数学试卷
1．（2025·长沙模拟）下列互为倒数的是（　　）
A．和 B．和 C．和 D．和
2．（2025·长沙模拟）《哪吒之魔童闹海》在2025年春节期间在各大影院上映，广受大家喜爱，成为中国史上票房最高的国产电影，哪吒的莲花宝座可以抽象视为一个“正六边形”，下列选项中俯视图为正六边形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·长沙模拟）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·长沙模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·长沙模拟）若 是反比例函数，则m必须满足（　　）
A．m≠0 B．m＝－2 C．m＝2 D．m≠－2
6．（2025·长沙模拟）如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·长沙模拟）如图，在中，，以的各边为边在外作三个正方形，、、分别表示这三个正方形的面积，若，，则的值是（　　）
A．5 B．8 C．10 D．20
8．（2025·长沙模拟）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
9．（2025·长沙模拟）某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点和的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前到达活动地点．若设乙同学的速度是，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025·长沙模拟）直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025·长沙模拟）地球的海洋面积为361000000km2，数字361000000用科学记数法表示为　 　．
12．（2025·长沙模拟）分解因式：　 　．
13．（2025·长沙模拟）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是　 　度．
14．（2025·长沙模拟）某篮球队五名队员的年龄分别为17，15，17，16，15，则这五名队员年龄的中位数是　 　．
15．（2025·长沙模拟）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为　 　．
16．（2025·长沙模拟）小志和小强进行了十次剪刀石头布的对决，已知：①小志出了6次石头，1次剪刀，3次布：②小强出了4次石头，3次剪刀，3次布：③10次对决中没有平局；④你不知道他们的出拳顺序，则这十次对决中小志赢了　 　次．
17．（2025·长沙模拟）计算：．
18．（2025·长沙模拟）先化简，再求值，其中．
19．（2025·长沙模拟）游艇在湖面上向正东方向航行，在O处，看到灯塔A在游艇北偏东方向上，航行1小时到达B处，此时看到灯塔A在游艇北偏西方向上，且O与B之间距离6千米，
（1）由题意知： 度， 度；
（2）求灯塔A到航线的距离（答案保留根号）．
20．（2025·长沙模拟）某校九年级计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D四个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生共有__________人，研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为__________；
（2）若该年级共有800名学生，请估计最喜欢去C地研学的学生人数；
（3）九（1）班研学归来，班主任组织学生进行研学收获及感悟交流分享会，A小组有两名男同学和两名女同学，从A小组中随机选取2人谈收获及感悟，请用列表法或画树状图法，求恰好抽中两名同学为一男一女的概率．
21．（2025·长沙模拟）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，．
（1）求证：；
（2）若，， 求的长
22．（2025·长沙模拟）端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．
（1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？
（2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？
23．（2025·长沙模拟）如图，，平分，分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作圆弧，交于点，点．作直线，分别交于，点，，连结，．
（1）请判断四边形的形状，并说明理由；
（2）设的面积为，四边形的面积为，若，求的值．
24．（2025·长沙模拟）我们约定：若点A为，点B为，我们称点B是点A的“L点”；我们发现：若点A在抛物线上，点B始终在抛物线上，那么我们称抛物线是抛物线的“X抛物线”．
（1）点的“L点”是______；抛物线l：的“X抛物线”是______；
（2）已知抛物线经过点，若点与点在其“X抛物线”上，且，求p的取值范围．
（3）已知点在抛物线：图像上，点A的“L点”为点．若该抛物线的顶点为，该抛物线的“X抛物线”的顶点为．
①当时，求n的取值范围；
②当c取不同的值时，所有顶点组成新的抛物线，记的顶点为H且与x轴交于G，K两点，抛物线所有顶点组成新的抛物线，记的顶点为F且与x轴交于R，T两点，若线段，构成直角三角形时，求t的值
25．（2025·长沙模拟）在中，，，，O为线段上的动点，圆O的半径为，与射线交于点M，圆A的半径为，与射线交于点N．
（1）如图1，当时，判断圆O与圆A的位置关系；
（2）如图2，当圆O与圆A存在公共弦时，与交于点H．
①设，，求y关于x的关系式，并写出x的取值范围；
②若，求两圆重合部分的周长l．
③设圆A与边交于点F，连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求圆O的半径．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：A．因为，所以3和是互为倒数，因此选项符合题意；
B．因为，所以与2不是互为倒数，因此选项不符合题意；
C．因为，所以3和不是互为倒数，因此选项不符合题意；
D．因为，所以和不是互为倒数，因此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据互为倒数的两数相乘等于1求解即可。
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解： A．该几何体的俯视图是一个圆，故此选项不符合题意；
B．该几何体的俯视图是一个正方形，故此选项不符合题意；
C．该几何体的俯视图是一个矩形，故此选项不符合题意；
D．该几何体的俯视图是一个正六边形，故此选项符合题意．
故答案为：D。
【分析】根据俯视图的定义：俯视图是指从物体上面向下面正投影得到的投影图，据此即可求解。
3．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：ABC选项不能在平面上找到一个点，使图形绕着某一个点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，则ABC不是中心对称图形，D选项能在平面上找到一个点，使图形绕着某一个点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，则D是中心对称图形，
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此逐项进行判断即可.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，原式运算错误，不符合题意；
B.，原式运算错误，不符合题意；
C.，原式运算错误，不符合题意；
D.，计算正确，符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据合并同类项、积的乘方和幂的乘方、去括号、以及同底数幂的乘法的计算方法，即可判断
5．【答案】D
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】依题意有m＋2≠0，
所以m≠－2．
故选D．
【分析】根据反比例函数的定义．即y＝kx（k≠0），只需令m＋2≠0即可．
6．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故答案为：A。
【分析】根据圆内接四边形对角互补，可求出的度数，再根据是的直径，可知，最后再根据三角形的内角和公式，即可求解。
7．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：，，，，分别表示三个正方形的面积，
，，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】先根据图形及正方形的面积公式求出，，，再结合，以及，求出的值即可.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
即，
解得：，
的取值范围是且．
故答案为：D．
【分析】
根据一元二次方程的定义得到得到；再由根的判别式的意义得到，即，然后解不等式即可得到的取值范围．
9．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乙同学的速度是，则甲同学的速度为，根据题意得：
故答案为：A．
【分析】设乙同学的速度是，则甲同学的速度为，根据时间=路程÷速度，最后再根据“乙同学比甲同学提前到达活动地点”，建立分式方程：，即可求解
10．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数的性质；二次函数y=ax²的图象；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：由一次函数的图象可知，，
则抛物线与轴的交点在原点上方，故排除AB选项；
∵，，
∴，
∴抛物线的对称轴直线，
即对称轴位于轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意；
故答案为：D。
【分析】根据一次函数的图象，可先确定a和b的符号；再根据二次函数与y轴的交点和抛物线开口方向，可确定a和b的符号，进而确定ab的符号；最后再根据二次函数的对称轴公式：，确定对称轴的位置，从而即可判断。
11．【答案】3.61×108
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】361 000 000将小数点向左移8位得到3.61，
所以361 000 000用科学记数法表示为：3.61×108，
故答案为：3.61×108．
【分析】利用学科记数法的表达方法求解即可。
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由题意知，，
故答案为：．
【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解即可．
13．【答案】36
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算
【解析】【解答】解：设扇形的圆心角为．
由题意得：，
解得：。
故答案为：。
【分析】设扇形的圆心角为，根据弧长公式：，代入数据即可求解
14．【答案】16
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将所给5个数据从小到大排列：15，15，16，17，17，第3个数据是16，
∴中位数为16，
故答案为：16。
【分析】先对五名队员的年龄从小到大排序，然后再根据中位数的定义：5个数中的中间的数，即可求解。
15．【答案】20
【知识点】相似三角形的应用；8字型相似模型
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴，
如图，过作于点，交于点，
∴，，
∴，即，
∴（），
即小孔到的距离为，
故答案为：．
【分析】由题可得，过作于点，交于点，利根据相似三角形的对应边上高的比等于相似比解题即可.
16．【答案】6
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：∵10次对决中没有平局，
∴小志6次石头只能对应小强的3次剪刀3次布，
∴这6局中小志赢3局，
同理，小志1次剪刀，3次布只能对应小强4次石头，
∴这4局中小志赢3局，
∴小志共赢了局．
故答案为：6。
【分析】根据题干中的已知条件，可知10次对决中没有平局，而小志6次石头只能对应小强的3次剪刀3次布，6局中小志赢3局；小志1次剪刀，3次布只能对应小强4次石头，这4局中小志赢3局，据此可求出小志赢的局数。
17．【答案】解：原式＝
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】利用零指数幂、特殊角三角函数值、绝对值及负整数指数幂的性质先计算，再计算加减即可.
18．【答案】原式，
当时，原式

【知识点】分式的化简求值；分母有理化
【解析】【分析】首先对括号内的式子进行通分相加，把除法转化为乘法，进行约分，最后代入数值计算即可．
19．【答案】（1）60；30
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴
过点作于点E，如图，
∵
∴，
∴，
在中，
∴灯塔A到航线的距离千米
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】（1）解：∵在O处，看到灯塔A在游艇北偏东方向上，
∴；
∵在B处，看到灯塔A在游艇北偏西方向上，
∴
故答案为：60；30。
【分析】（1）根据方向角的表示方法为：以南北方向线为基准，后接东西方向，角度写在中间，据此即可求解。
（2）根据，，求出的度数，然后再根据三角形内角和定理，求出的度数，再根据“角所对直角边等于斜边一半”求出的长度，过点作于点E，根据再一次根据“角所对直角边等于斜边一半”求出的长度，在中，根据勾股定理：，代入数据即可求解
（1）解：∵在O处，看到灯塔A在游艇北偏东方向上，
∴；
∵在B处，看到灯塔A在游艇北偏西方向上，
∴
故答案为：60；30；
（2）解：∵；，
∴，
∴，
∴
过点作于点E，如图，
∵
∴，
∴，
在中，
∴灯塔A到航线的距离千米
20．【答案】（1）100；
（2）解：（人），
答：估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人．
（3）解：列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1 男1男2 男1女1 男1女2
男2 男2男1 男2女1 男2女2
女1 女1男1 女1男2 女1女2
女2 女2男1 女2男2 女2女1
由上表可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一男一女的结果有8种，
刚好抽中两名同学为一男一女的概率为：（一男一女）．
答：刚好抽中两名同学为一男一女的概率为．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：此次被调查的学生共有（人）；
研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为．
故答案为：100；；
【分析】（1）利用“选择地点B的学生人数其其占比”求解即可；利用“选择地点A的学生占比”求解即可；
（2）利用“该校学生总数×选择地点C的学生占比”，即可求得答案；
（3）根据题意列表，结合表格即可获得答案．
（1）解：此次被调查的学生共有（人）；
研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为．
故答案为：100；；
（2）解：（人），
答：估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人．
（3）解：列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1
男1男2 男1女1 男1女2
男2 男2男1
男2女1 男2女2
女1 女1男1 女1男2
女1女2
女2 女2男1 女2男2 女2女1
由上表可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一男一女的结果有8种，
刚好抽中两名同学为一男一女的概率为：（一男一女）．
答：刚好抽中两名同学为一男一女的概率为．
21．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴。
（2）解：∵，，
∴，
，
∴，，
∴。
【知识点】垂线的概念；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据，易证；再根据，易证，然后根据易证；
（2）根据，，得出，根据，易得，，最后再根据BC=BD+CD，代入数据即可求解
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
，
∴，，
∴．
22．【答案】解：（1）设肉粽和蜜枣粽的进货单价分别为x、y元，则根据题意可得：
解此方程组得：.
答：肉粽得进货单价为10元，蜜枣粽得进货单价为4元。
（2）设第二批购进肉粽t个，第二批粽子得利润为W，则
，
∵k=2>0，
∴W随t的增大而增大，
由题意，解得，
∴当t=200时，第二批粽子由最大利润，最大利润，
答：第二批购进肉粽200个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大，最大利润为1000元。
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设肉粽和蜜枣粽的进货单价分别为x、y元，根据“用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元”，建立方程组：，然后再进行解方程即可。
（2）设第二批购进肉粽t个，则购进枣粽为（300-t），第二批粽子得利润为W，根据利润=售价-进价，再根据（1）可知，用肉粽的单价利润乘以购进的肉粽的数量，再加上枣粽单价利润乘以购进枣粽的数量，然后再建立等量关系：，然后再根据一次函数的性质，再结合“肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍”，建立不等式，即可求出t的取值范围，进而可求出最大利润
23．【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
由题意可知：垂直平分，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
同理可得，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形。
（2）解：由（1）可知：四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
由
可设，则有，
∴，
∴，
∴。
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；菱形的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据题干中的作图方法，易得，从而可得，，再根据平分，可得，进而可得，易证四边形是平行四边形，最后再根据菱形的判定定理：有一组邻边相等的平行四边形的是平行四边形，据此即可证明。
（2）根据（1）易得，进而可得，易得的值，设，可得，进而根据相似三角形的性质：，代入数据即可求解
（1）解：四边形是菱形，理由如下：
由题意可知：垂直平分，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
同理可得，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：由（1）可知：四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
由可设，则有，
∴，
∴，
∴．
24．【答案】（1）；
（2）解：将点代入，得，
，
，
原抛物线上点A，
其“L点”B的坐标为，
“X抛物线”方程为，
点与点在其“X抛物线”上，
分别代入，
得，，
，
，
。
（3）解：①点A的“L点”为点．，，
，
代入抛物线：，
得，
，
的顶点为，
，，
由题意得：的表达式为，
的顶点为，
，，
即，
当时，即，的最大值在顶点时为1，最小值在时为，
故的取值范围为；
②新的抛物线为，顶点为，
令，
解得，，
，
即与轴交点长度为，
新的抛物线为，顶点为，
令，
解得，，
，即与轴交点长度为2，
，
当线段即，构成直角三角形时，
可能的组合为，
解得，
或，
解得，
t的值为或。
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；二元一次方程（组）的新定义问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】（1）解：根据“L点”定义，点的“L点”坐标为∶横坐标不变为，
纵坐标为，
故“L点”为；；
原抛物线，
设其上任意点A，其“L点”B的坐标为，即，
“X抛物线”方程为．
故答案为：，。
【分析】（1）根据“L点”和“X抛物线”的定义：用A点的横纵坐标相加，横坐标保持不变，据此求出“L点”的坐标；设A点坐标为：，然后再根据“L点”的定义，求出“L点”的坐标，即可求出“X抛物线”
（2）将点代入，求出原抛物线，然后再根据“X抛物线”的定义，即可求出其“X抛物线”，再将点与点分别代入其“X抛物线”，最后再根据建立不等式即可求p的取值范围；
（3）①根据点A的“L点”为点．可得的值，进而可得，，根据“X抛物线”的定义得的方程为，根据的顶点为，可得，，，即进而可得的值，根据二次函数的性质可得当时，即，的最大值在顶点时为1，最小值在时为，即可得出的取值范围；
②根据题意，可令，解方程，即可求与轴交点长度，再令，同理，可求与轴交点长度，最后再根据线段即，GK，RT构成直角三角形时，可能的组合为或，分别解方程即可求解。
（1）解：根据“L点”定义，点的“L点”坐标为∶横坐标不变为，
纵坐标为，
故“L点”为；；
原抛物线，
设其上任意点A，其“L点”B的坐标为，即，
“X抛物线”方程为．
故答案为：，；
（2）解：将点代入，
得，
，
，
原抛物线上点A，
其“L点”B的坐标为，
“X抛物线”方程为，
点与点在其“X抛物线”上，
分别代入，
得，，
，
，
；
（3）解：①点A的“L点”为点．
，，
，
代入抛物线：，
得，
，
的顶点为，
，，
由题意得：的表达式为，
的顶点为，
，，
即，
当时，即，的最大值在顶点时为1，最小值在时为，
故的取值范围为；
②新的抛物线为，顶点为，
令，
解得，，
，
即与轴交点长度为，
新的抛物线为，顶点为，
令，
解得，，
，即与轴交点长度为2，
，
当线段即，构成直角三角形时，
可能的组合为，
解得，
或，
解得，
t的值为或．
25．【答案】（1）解：圆O与圆A外切，理由如下：
当时，
∴圆O的直径为，圆A的半径为，
∵，
∴圆O与圆A外切。
（2）解：①由题意得，则四边形是菱形，
设，
，
，，
在中，由勾股定理得，，
∴，
整理得；
②∵，
∴，，则是等边三角形，
设，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴的长；
∴两圆重合部分的周长；
③当时，如图，
∴圆O的半径为；
当时，如图，圆O与圆A重合，
∴圆O的半径为；
当时，如图，连接，作于点，
，
，，
∵，，，
∴，
设，，
∵，
∴，
解得，
∴，，
由题意得是线段的垂直平分线，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
设，则，
同理，
解得．
综上，当是以为腰的等腰三角形时，圆O的半径为或或。
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；圆与圆的位置关系；解直角三角形；圆-动点问题
【解析】【分析】（1）用圆O的半径加上圆A的半径，即可判断根据两圆的位置关系
（2）①根据题意，易得四边形是菱形，根据，设，在中，由勾股定理：，代入数据即可求解；
②根据三角函数的定义，可得，然后再根据特殊角的三角函数，求出的度数，易证是等边三角形，设，分别求出PH和AH的长，然后再根据，再根据勾股定理求得，再利用弧长公式求解即可；
③根据、、三种情况进行分析：当时，易得圆O的半径OB的长；当时，圆O与圆A重合，据此即可求出AB的长；当时，连接，作于点，根据三角函数的定义，求出，设，，根据勾股定理，可得AC和BC的长，然后再根据垂直平分线定理，可得，根据勾股定理，易得，代入数据即可求出的长度，再结合，根据勾股定理：
，代入数据即可求解，设，则，根据勾股定理，，即可求出圆O的半径
（1）解：圆O与圆A外切，理由如下：
当时，
∴圆O的直径为，圆A的半径为，
∵，
∴圆O与圆A外切；
（2）解：①由题意得，则四边形是菱形，
∴，，，，
在中，由勾股定理得，，
∴，
整理得；
②∵，
∴，，则是等边三角形，
设，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴的长；
∴两圆重合部分的周长；
③当时，如图，
∴圆O的半径为；
当时，如图，圆O与圆A重合，
∴圆O的半径为；
当时，如图，连接，作于点，
，，，
∵，，，
∴，
设，，
∵，
∴，
解得，
∴，，
由题意得是线段的垂直平分线，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
设，则，
同理，
解得．
综上，当是以为腰的等腰三角形时，圆O的半径为或或．
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