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四川省泸州高级中学校2025年中考三模数学试题
1．（2025·江阳模拟）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】
7的相反数是-7。
故答案为：D
【分析】根据相反数的定义写出相反数。
2．（2025·江阳模拟）下列四个选项中，是如图所示的几何体的俯视图的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：这个几何体的俯视图为：
故答案为：。
【分析】根据俯视图的定义：俯视图是指从物体上面向下面正投影得到的投影图，据此即可求解。
3．（2025·江阳模拟）世界上最大的单口径球面射电望远镜，被誉为“中国天眼”．其反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积，已知每个标准足球场的面积为，则的反射总面积为可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：D．
【分析】根据科学记数法的表示形式：将一个数表示为基数a与10的幂次相乘的形式，即a×10n。其中，a的绝对值在1到10之间，n为整数。据此即可求解
4．（2025·江阳模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A：，故该选项不正确，不符合题意；
B：与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
C：与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
D：，故该选项正确，符合题意；
故答案为：D。
【分析】根据合并同类项的运算法则，然后对各个选项进行逐一分析，即可求解。
5．（2025·江阳模拟）某市在一次空气污染指数抽查中，收集到10天的数据如下：61，75，70，56，81，91，92，91，75，81．该组数据的中位数是（　　）
A．78 B．81 C．75 D．77.3
【答案】A
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：10天的数据从小到大排列如下：56，61，70，75，75，81， 81，91，91，92．
则该组数据的中位数是，
故答案为：A
【分析】根据中位数的求解方法：先对数列从小到大进行排序，因为10是偶数，所以，该数列的中位数是这10个数中第5和第6两个数之和的一半，据此即可求解
6．（2025·江阳模拟）如图，，直线分别交、于点、，若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求解即可．
7．（2025·江阳模拟）关于x的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（　　）
A． ＞9 B． ＜9且 ≠0
C． ＜9 D． ≤9且 ≠0
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴Δ＝ 4k·1＝36 4k＞0且k≠0，
解得：k＜9且k≠0，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程 有两个不相等的实数根，得出Δ＝ 4k·1＝36 4k＞0且k≠0，求出即可。
8．（2025·江阳模拟）如图，正六边形内接于，已知的周长是，则该正六边形的边长是（　　）
A．3 B． C．6 D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示：连接，
∵正六边形内接于，
，
∵，
∴是等边三角形，
∵的周长是，
，
，
故答案为：C。
【分析】根据圆的内接正六边形的性质，可知是等边三角形，再根据的周长，然后再根据圆的周长公式，即可求出圆的半径，然后再根据等边三角形的性质，即可求出正六边形的边长。
9．（2025·江阳模拟）我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，则根据题意，列出的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，则列方程组为
，
故答案为：A。
【分析】设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，根据“现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱”，据此可建立方程组。
10．（2025·江阳模拟）如图，是⊙O的弦，且，点是弧中点，点是优弧上的一点，，则圆心到弦的距离等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OA、OC，OC交AB于E，
∵，
∴∠AOC=2，
∵点是弧中点，
∴OC⊥AB，
∴∠AEO=90°，，
∴∠OAE=30°，
∴AO=2EO，
∵，
∴，
∴，即圆心到弦的距离等于，
故答案为：B．
【分析】连接OA、OC，OC交AB于E，根据圆周角定理和 ，即可求出∠AOC的度数，再根据由点是弧中点，得到∠AEO的度数，从而可得，然后再根据结合∠AOC的度数和∠AEO的度数，即可得AO=2EO，利用勾股定理得到，求出OE即可得到答案．
11．（2025·江阳模拟）如图，在正方形中，，延长至，使．连接平分交于点，则的长为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点F作于点M，作于点N，如图所示．
∵四边形为正方形，，
∴，
∵，
∴四边形为矩形．
∵平分，
∴．
∴四边形为正方形．
∴，
设，则
∵，
∴，
，
，
，
，即，
解得：
在中，由勾股定理得，
故答案为：A。
【分析】过点F作，， 根据正方形的基本性质，可得， 再根据， ，易证，设，易证，根据相似三角形的性质：，代入数据，求出a的值，在中，利用勾股定理：，代入数据即可求出CF的值。
12．（2025·江阳模拟）对于一个函数，自变量x取m时，函数值y也等于m，我们称m为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点，，且，则c的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由题意得：不动点在一次函数图象上，
一次函数与二次函数的图象有两个不同的交点，
∵，
∴抛物线开口向上，
两个不动点，满足，
时，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，
，
．
故答案为：B。
【分析】根据题干信息，可知，不动点的横坐标和纵坐标相等，故不动点是在直线上，因为二次函数 与直线有两个相异的交点，且横坐标满足，因此，当时，一次函数的值大于二次函数的值，据此列不等式：，最后再解不等式的解集即可。
13．（2025·江阳模拟）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：.
【分析】此题给出的多项式各项具有相同的因式2a，故直接利用提取公因式法分解即可.
14．（2025·江阳模拟）已知一个圆锥形零件的高线长为4，底面半径为3，则这个圆锥形的零件的侧面积为　 　．
【答案】15π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵高线长为4，底面半径为3，
∴母线长为： =5，
∴圆锥侧面积公式为：S=πrl=π×5×3=15π，
故答案为：15π．
【分析】首先利用勾股定理计算出母线长，再利用圆锥的侧面积公式S=πrl得出圆锥侧面积．
15．（2025·江阳模拟）如图，四边形ABCD是边长为cm的菱形，其中对角线BD的长为2cm，则菱形ABCD的面积为　 　cm2．
【答案】4
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，
∵BD＝2cm，
∴BO＝1cm，
∵AB＝cm，
∴AO＝
＝＝2（cm），
∴AC＝2AO＝4cm．
∴S菱形ABCD＝（cm2）．
故答案为：4。
【分析】根据菱形的基本性质：对角线互相垂直平分，然后再根据勾股定理：，代入数据，求出AO的值，从而可求出AC的值，最后再根据菱形的面积公式：，代入数据即可求解。
16．（2025·江阳模拟）如图，在直角三角形纸片中，，，，点在边上，以为折痕将折叠得到，与边交于点，当时，的长是　 　
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，作于．
在中，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
∵，
，
，
，
．
故答案为：
【分析】过点C作于，在 中，根据勾股定理，求出AB的值，然后再根据三角形的等面积法：，代入数据求出的值，根据，可得进而得出 ，易证，根据勾股定理：，代入数据求出AH的值，最后再根据，代入数据即可求解。
17．（2025·江阳模拟）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据平方根、零次幂、绝对值的求值方法，同时再结合特殊的三角函数值，分别对各个式子进行运算，最后再将各个式子进行相加减即可
18．（2025·江阳模拟）如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，，，求证：．
【答案】解：
，
在和中，
∴AD=BC
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据平行线的性质得到然后根据""证明结论即可．
19．（2025·江阳模拟）化简： ．
【答案】解：
．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】利用分式的混合运算法则求解即可。
20．（2025·江阳模拟）某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如图1）．并绘制出不完整的条形统计图（如图2）．
成绩 频数 百分比
不及格 3 a
及格 b
良好 45 c
优秀 32
图1 学生体质健康统计表
（1）图1中________，________，________；
（2）请补全图2的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数；
（3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率．
【答案】（1）；20；
（2）解：补全条形统计图，如图：
（人），
估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人；
（3）解：设3名“良好”分别用A、B、C表示，1名“优秀”用D表示，列表如下：
A B C D
A
（B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B）
（C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C）
（D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D）
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选取的2名学生均为“良好”的结果数有种，
∴选取的2名学生均为“良好”的概率为。
【知识点】统计表；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：样本容量为，
则，
，
，
故答案为：；20；。
【分析】（1）用“优秀”的频数除以其对应的占比，求出样本的总数，然后再用不及格的频数除以样本总数，然后再乘以100%，即可求出a的值；用样本总数乘以及格的占比，即可求出b的值；用良好的频数除以样本的总数，然后再乘以100%，即可求出c的值。
（2）根据（1）的结果，可补全条形统计图，将“良好”和“优秀”的百分比相加，然后再乘以该校的学生总人数，即可求出“良好”和“优秀”的学生人数。
（3）根据题干中的要求，用列表法列出12种等可能的结果，然后再找出两人均为“良好”的结果数，最后再根据概率的公式，即可求解。
（1）解：样本容量为，
则，
，
，
故答案为：；20；；
（2）解：补全条形统计图，如图：
（人），
估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人；
（3）解：设3名“良好”分别用A、B、C表示，1名“优秀”用D表示，列表如下：
A B C D
A
（B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B）
（C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C）
（D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D）
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选取的2名学生均为“良好”的结果数有种，
∴选取的2名学生均为“良好”的概率为．
21．（2025·江阳模拟）由于新能源电动汽车越来越受到消费者的青睐．某汽车经销商销售，两种型号的新能源汽车，已知购进3台型新能源汽车和2台型新能源汽车需要85万元，购进2台型新能源汽车和1台型新能源汽车需要50万元．
（1）问型，型新能源汽车的进货单价分别是多少万元？
（2）若该经销商计划购进型和型两种新能源汽车共20辆，且购进型新能源汽车数量不低于型新能源汽车数量的2倍．每辆型新能源汽车售价25万元，每辆型新能源汽车售价28万元，那么购进型、型新能源汽车各多少辆时，全部销售后获得的利润最大？
【答案】（1）解：设型新能源汽车的单价为万元，型新能源汽车的单价为万元，
依题意得：，
解得，
答：型新能源汽车的单价为15万元，型新能源汽车的单价为20万元。
（2）解：设购进型新能源汽车辆，则购进型新能源汽车辆，全部销售后获得的利润为元，
依题意得：，
，
随的增大而增大，
又，
，
当时，全部销售后获得的利润最大，最大利润为172万元，
此时（辆），
答：购进型新能源汽车6辆，型新能源汽车14辆时，全部销售后获得的利润最大，最大利润为172万元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型新能源汽车的单价为x万元，B型新能源汽车的单价为y万元，根据“ 购进3台A型新能源汽车和2台B型新能源汽车需要85万元，购进2台A型新能源汽车和1台B型新能源汽车需要50万元 ”，建立方程组：，然后再进行解方程组即可。
（2）设购进型新能源汽车辆，则购进型新能源汽车辆，全部销售后获得的利润为元，然后再建立函数：，最后再根据一次函数的性质，即可求解。
22．（2025·江阳模拟）近年来，劳动教育引起了政府和各级教育部门的高度重视，县政府准备把一块四边形的空地整理出来作为城内各学校的公共劳动教育基地，如图，点C在点D的南偏东方向上，点A在点D的北偏东方向上，点B在点A的正东方向，点C在点B的正南方向．已知米，米．（参考数据：，）
（1）求四边形空地边的长（精确到米）
（2）政府计划用5万元在空地四周建立防护栏，每米防护栏的改造费用为元，判断费用是否充足？
【答案】（1）解：延长交于点，过点作于点，
根据题意，可得是矩形，米，米，
，
∴，
在中，
(米)，
(米)，
∴米，
(米)，
在中，
(米)，
答：四边形空地边的长约为米。
（2）解：(米)，
米，
(千米)，
米，
米，
(米)，
需要改造费用(元)，
，
∴改造费用充足。
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】（1）延长交于点，过点作于点， 根据题干信息，易得是矩形，再根据AB和CD的值，可求出BE的值，在中，根据三角函数的定义，求出CF和DF的长，进而求出BE和AE的值，在中，根据三角函数的定义，即可求出AD的长
（2）根据正切函数定义，求出ED的长，进而求出BC、EF和DE、DF的长， 求出四边形的周长，再求出改造费用与计划费用比较即可作出判断.
（1）延长交于点，过点作于点，
由题意，知是矩形，米，米，，
∴，
在中，
(米)，
(米)，
∴米，
(米)，
在中，
(米)，
答：四边形空地边的长约为米；
（2）(米)，米，
(千米)，米，米，
(米)，
需要改造费用(元)，
，
∴改造费用充足．
23．（2025·江阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于一、三象限内的、两点，直线与轴交于点，点的坐标为．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵点在上，
∴，
∴，
∵在上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：
（2）解：∵交轴于点，
∴，
∵与交于点，
∴，
∴
（3）解：∵，
∴，
当时，或，
当时，如图1，过作于，
∵，
∴，
∴，
时，如图2，过作于，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
综上所述：点的坐标为：或或或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【分析】（1）把点代入，求出n的值，进而即可得到B点坐标，把B点坐标代入，求出K的值，进而即可求出该反比例的解析式
（2）根据“一次函数与x轴交于点C”可求出C点坐标，又根据一次函数与反比例函数相交于点A，联合这两个函数，建立方程组，求出A点坐标，而三角形AOB的面积等于三角形AOC加上三角形BOC的面积，根据图像，代入数据，即可求出三角形AOB的面积
（3）根据（1）可知，，然后根据勾股定理，求出的长，然后再分三种情况：①当时，②当时，③当时，然后再根据等腰三角形的性质进行求解即可
（1）解：∵点在上，
∴，
∴，
∵在上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：
（2）∵交轴于点，
∴，
∵与交于点，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
当时，或，
当时，如图1，过作于，
∵，
∴，
∴，
时，如图2，过作于，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
综上所述：点的坐标为：或或或
24．（2025·江阳模拟）如图，是的直径，点P是延长线上一点，且与相切于点A，弦于点F，过D点作于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径和的长．
【答案】（1）证明：如图所示，连接，
∵是半径，是的切线，
∴，
∴，
即∴，
∵于F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴。
（2）解：在中，设，∴，，
由勾股定理可得：，
即，
得，
∴，，
∵于F，
∴，
，
∴，
在中，，，由勾股定理得：
，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴的半径为3，的长为。
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；切线的性质；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，根据是半径，是的切线得，可得，从而可得，
即，根据于F可得，则，因为OA和OD都是的半径，易得，从而得，据此即可证明
（2）在中，设，则，，由勾股定理可得，代入数据，即可求出OA和OP的值，再根据于F，得，代入数据即可求出AF的值，在中，根据勾股定理：，代入数据，求出的值，进而即可求出的值，根据平分，，，即可求出得的值；
（1）证明：如图所示，连接，
∵是半径，是的切线，
∴，
∴，
即∴，
∵于F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：在中，设，
∴，，
由勾股定理可得：，
即，
得，
∴，，
∵于F，
∴，
，
∴，
在中，，，由勾股定理得：
，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴的半径为3，的长为．
25．（2025·江阳模拟）如图1，抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上一个动点，连接
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2所示，当点在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时点坐标．
（3）若点是轴上的一个动点，点是抛物线上一动点，的横坐标为．试判断是否存在这样的点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点、，
∴，解得，，
∴该抛物线的表达式为．
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点和点关于直线对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图2，过点作轴交于点，
设所在直线的解析式为：，过点，
∴，即所在直线的解析式为：，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴点的坐标为．
（3）存在，点的坐标为或或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（3）解：抛物线的表达式为，点的横坐标为，
∴，即，且，
①如图所示，四边形为平行四边形，
∴，且，
∴点的纵坐标为，，解得，，，
∴点的坐标为，
∴，
设点，
∵，
∴，则，即；
②如图所示，四边形是平行四边形，过点作轴于，过点作轴于，
∴，，，
∴，
∴，且，设，，
∴，解得，，，
当时，，即，则；当时，，即，则，
∴点的坐标为或；
③如图所示，四边形为平行四边形，
∴，，
∴设，则，
∴，即点的坐标为；
综上所示，点的坐标为或或或．
【分析】（1）根据待定系数法将点B，C坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）根据抛物线的对称性可得，则，再根据三角形面积可得，过点作轴交于点，设所在直线的解析式为：，根据待定系数法将点B坐标代入解析式可得所在直线的解析式为：，设，则，根据两点间距离可得，则，根据三角形面积可得，结合二次函数的性质即可求出答案.
（3）将x=3代入抛物线表达式可得，且，分情况讨论。作出图象，结合直线平行性质，两点间距离建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：∵抛物线经过点、，
∴，解得，，
∴该抛物线的表达式为．
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点和点关于直线对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图2，过点作轴交于点，
设所在直线的解析式为：，过点，
∴，即所在直线的解析式为：，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴点的坐标为．
（3）解：抛物线的表达式为，点的横坐标为，
∴，即，且，
①如图所示，四边形为平行四边形，
∴，且，
∴点的纵坐标为，，解得，，，
∴点的坐标为，
∴，
设点，
∵，
∴，则，即；
②如图所示，四边形是平行四边形，过点作轴于，过点作轴于，
∴，，，
∴，
∴，且，设，，
∴，解得，，，
当时，，即，则；当时，，即，则，
∴点的坐标为或；
③如图所示，四边形为平行四边形，
∴，，
∴设，则，
∴，即点的坐标为；
综上所示，点的坐标为或或或．
1 / 1四川省泸州高级中学校2025年中考三模数学试题
1．（2025·江阳模拟）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·江阳模拟）下列四个选项中，是如图所示的几何体的俯视图的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·江阳模拟）世界上最大的单口径球面射电望远镜，被誉为“中国天眼”．其反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积，已知每个标准足球场的面积为，则的反射总面积为可表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·江阳模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·江阳模拟）某市在一次空气污染指数抽查中，收集到10天的数据如下：61，75，70，56，81，91，92，91，75，81．该组数据的中位数是（　　）
A．78 B．81 C．75 D．77.3
6．（2025·江阳模拟）如图，，直线分别交、于点、，若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·江阳模拟）关于x的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（　　）
A． ＞9 B． ＜9且 ≠0
C． ＜9 D． ≤9且 ≠0
8．（2025·江阳模拟）如图，正六边形内接于，已知的周长是，则该正六边形的边长是（　　）
A．3 B． C．6 D．
9．（2025·江阳模拟）我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，则根据题意，列出的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025·江阳模拟）如图，是⊙O的弦，且，点是弧中点，点是优弧上的一点，，则圆心到弦的距离等于（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·江阳模拟）如图，在正方形中，，延长至，使．连接平分交于点，则的长为（　　）
A． B． C．1 D．
12．（2025·江阳模拟）对于一个函数，自变量x取m时，函数值y也等于m，我们称m为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点，，且，则c的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
13．（2025·江阳模拟）分解因式：　 　．
14．（2025·江阳模拟）已知一个圆锥形零件的高线长为4，底面半径为3，则这个圆锥形的零件的侧面积为　 　．
15．（2025·江阳模拟）如图，四边形ABCD是边长为cm的菱形，其中对角线BD的长为2cm，则菱形ABCD的面积为　 　cm2．
16．（2025·江阳模拟）如图，在直角三角形纸片中，，，，点在边上，以为折痕将折叠得到，与边交于点，当时，的长是　 　
17．（2025·江阳模拟）计算：．
18．（2025·江阳模拟）如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，，，求证：．
19．（2025·江阳模拟）化简： ．
20．（2025·江阳模拟）某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如图1）．并绘制出不完整的条形统计图（如图2）．
成绩 频数 百分比
不及格 3 a
及格 b
良好 45 c
优秀 32
图1 学生体质健康统计表
（1）图1中________，________，________；
（2）请补全图2的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数；
（3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率．
21．（2025·江阳模拟）由于新能源电动汽车越来越受到消费者的青睐．某汽车经销商销售，两种型号的新能源汽车，已知购进3台型新能源汽车和2台型新能源汽车需要85万元，购进2台型新能源汽车和1台型新能源汽车需要50万元．
（1）问型，型新能源汽车的进货单价分别是多少万元？
（2）若该经销商计划购进型和型两种新能源汽车共20辆，且购进型新能源汽车数量不低于型新能源汽车数量的2倍．每辆型新能源汽车售价25万元，每辆型新能源汽车售价28万元，那么购进型、型新能源汽车各多少辆时，全部销售后获得的利润最大？
22．（2025·江阳模拟）近年来，劳动教育引起了政府和各级教育部门的高度重视，县政府准备把一块四边形的空地整理出来作为城内各学校的公共劳动教育基地，如图，点C在点D的南偏东方向上，点A在点D的北偏东方向上，点B在点A的正东方向，点C在点B的正南方向．已知米，米．（参考数据：，）
（1）求四边形空地边的长（精确到米）
（2）政府计划用5万元在空地四周建立防护栏，每米防护栏的改造费用为元，判断费用是否充足？
23．（2025·江阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于一、三象限内的、两点，直线与轴交于点，点的坐标为．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2025·江阳模拟）如图，是的直径，点P是延长线上一点，且与相切于点A，弦于点F，过D点作于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径和的长．
25．（2025·江阳模拟）如图1，抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上一个动点，连接
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2所示，当点在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时点坐标．
（3）若点是轴上的一个动点，点是抛物线上一动点，的横坐标为．试判断是否存在这样的点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】
7的相反数是-7。
故答案为：D
【分析】根据相反数的定义写出相反数。
2．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：这个几何体的俯视图为：
故答案为：。
【分析】根据俯视图的定义：俯视图是指从物体上面向下面正投影得到的投影图，据此即可求解。
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：D．
【分析】根据科学记数法的表示形式：将一个数表示为基数a与10的幂次相乘的形式，即a×10n。其中，a的绝对值在1到10之间，n为整数。据此即可求解
4．【答案】D
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A：，故该选项不正确，不符合题意；
B：与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
C：与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
D：，故该选项正确，符合题意；
故答案为：D。
【分析】根据合并同类项的运算法则，然后对各个选项进行逐一分析，即可求解。
5．【答案】A
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：10天的数据从小到大排列如下：56，61，70，75，75，81， 81，91，91，92．
则该组数据的中位数是，
故答案为：A
【分析】根据中位数的求解方法：先对数列从小到大进行排序，因为10是偶数，所以，该数列的中位数是这10个数中第5和第6两个数之和的一半，据此即可求解
6．【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求解即可．
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴Δ＝ 4k·1＝36 4k＞0且k≠0，
解得：k＜9且k≠0，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程 有两个不相等的实数根，得出Δ＝ 4k·1＝36 4k＞0且k≠0，求出即可。
8．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示：连接，
∵正六边形内接于，
，
∵，
∴是等边三角形，
∵的周长是，
，
，
故答案为：C。
【分析】根据圆的内接正六边形的性质，可知是等边三角形，再根据的周长，然后再根据圆的周长公式，即可求出圆的半径，然后再根据等边三角形的性质，即可求出正六边形的边长。
9．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，则列方程组为
，
故答案为：A。
【分析】设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，根据“现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱”，据此可建立方程组。
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OA、OC，OC交AB于E，
∵，
∴∠AOC=2，
∵点是弧中点，
∴OC⊥AB，
∴∠AEO=90°，，
∴∠OAE=30°，
∴AO=2EO，
∵，
∴，
∴，即圆心到弦的距离等于，
故答案为：B．
【分析】连接OA、OC，OC交AB于E，根据圆周角定理和 ，即可求出∠AOC的度数，再根据由点是弧中点，得到∠AEO的度数，从而可得，然后再根据结合∠AOC的度数和∠AEO的度数，即可得AO=2EO，利用勾股定理得到，求出OE即可得到答案．
11．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点F作于点M，作于点N，如图所示．
∵四边形为正方形，，
∴，
∵，
∴四边形为矩形．
∵平分，
∴．
∴四边形为正方形．
∴，
设，则
∵，
∴，
，
，
，
，即，
解得：
在中，由勾股定理得，
故答案为：A。
【分析】过点F作，， 根据正方形的基本性质，可得， 再根据， ，易证，设，易证，根据相似三角形的性质：，代入数据，求出a的值，在中，利用勾股定理：，代入数据即可求出CF的值。
12．【答案】B
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由题意得：不动点在一次函数图象上，
一次函数与二次函数的图象有两个不同的交点，
∵，
∴抛物线开口向上，
两个不动点，满足，
时，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，
，
．
故答案为：B。
【分析】根据题干信息，可知，不动点的横坐标和纵坐标相等，故不动点是在直线上，因为二次函数 与直线有两个相异的交点，且横坐标满足，因此，当时，一次函数的值大于二次函数的值，据此列不等式：，最后再解不等式的解集即可。
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：.
【分析】此题给出的多项式各项具有相同的因式2a，故直接利用提取公因式法分解即可.
14．【答案】15π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵高线长为4，底面半径为3，
∴母线长为： =5，
∴圆锥侧面积公式为：S=πrl=π×5×3=15π，
故答案为：15π．
【分析】首先利用勾股定理计算出母线长，再利用圆锥的侧面积公式S=πrl得出圆锥侧面积．
15．【答案】4
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，
∵BD＝2cm，
∴BO＝1cm，
∵AB＝cm，
∴AO＝
＝＝2（cm），
∴AC＝2AO＝4cm．
∴S菱形ABCD＝（cm2）．
故答案为：4。
【分析】根据菱形的基本性质：对角线互相垂直平分，然后再根据勾股定理：，代入数据，求出AO的值，从而可求出AC的值，最后再根据菱形的面积公式：，代入数据即可求解。
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，作于．
在中，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
∵，
，
，
，
．
故答案为：
【分析】过点C作于，在 中，根据勾股定理，求出AB的值，然后再根据三角形的等面积法：，代入数据求出的值，根据，可得进而得出 ，易证，根据勾股定理：，代入数据求出AH的值，最后再根据，代入数据即可求解。
17．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据平方根、零次幂、绝对值的求值方法，同时再结合特殊的三角函数值，分别对各个式子进行运算，最后再将各个式子进行相加减即可
18．【答案】解：
，
在和中，
∴AD=BC
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据平行线的性质得到然后根据""证明结论即可．
19．【答案】解：
．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】利用分式的混合运算法则求解即可。
20．【答案】（1）；20；
（2）解：补全条形统计图，如图：
（人），
估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人；
（3）解：设3名“良好”分别用A、B、C表示，1名“优秀”用D表示，列表如下：
A B C D
A
（B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B）
（C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C）
（D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D）
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选取的2名学生均为“良好”的结果数有种，
∴选取的2名学生均为“良好”的概率为。
【知识点】统计表；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：样本容量为，
则，
，
，
故答案为：；20；。
【分析】（1）用“优秀”的频数除以其对应的占比，求出样本的总数，然后再用不及格的频数除以样本总数，然后再乘以100%，即可求出a的值；用样本总数乘以及格的占比，即可求出b的值；用良好的频数除以样本的总数，然后再乘以100%，即可求出c的值。
（2）根据（1）的结果，可补全条形统计图，将“良好”和“优秀”的百分比相加，然后再乘以该校的学生总人数，即可求出“良好”和“优秀”的学生人数。
（3）根据题干中的要求，用列表法列出12种等可能的结果，然后再找出两人均为“良好”的结果数，最后再根据概率的公式，即可求解。
（1）解：样本容量为，
则，
，
，
故答案为：；20；；
（2）解：补全条形统计图，如图：
（人），
估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人；
（3）解：设3名“良好”分别用A、B、C表示，1名“优秀”用D表示，列表如下：
A B C D
A
（B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B）
（C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C）
（D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D）
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选取的2名学生均为“良好”的结果数有种，
∴选取的2名学生均为“良好”的概率为．
21．【答案】（1）解：设型新能源汽车的单价为万元，型新能源汽车的单价为万元，
依题意得：，
解得，
答：型新能源汽车的单价为15万元，型新能源汽车的单价为20万元。
（2）解：设购进型新能源汽车辆，则购进型新能源汽车辆，全部销售后获得的利润为元，
依题意得：，
，
随的增大而增大，
又，
，
当时，全部销售后获得的利润最大，最大利润为172万元，
此时（辆），
答：购进型新能源汽车6辆，型新能源汽车14辆时，全部销售后获得的利润最大，最大利润为172万元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型新能源汽车的单价为x万元，B型新能源汽车的单价为y万元，根据“ 购进3台A型新能源汽车和2台B型新能源汽车需要85万元，购进2台A型新能源汽车和1台B型新能源汽车需要50万元 ”，建立方程组：，然后再进行解方程组即可。
（2）设购进型新能源汽车辆，则购进型新能源汽车辆，全部销售后获得的利润为元，然后再建立函数：，最后再根据一次函数的性质，即可求解。
22．【答案】（1）解：延长交于点，过点作于点，
根据题意，可得是矩形，米，米，
，
∴，
在中，
(米)，
(米)，
∴米，
(米)，
在中，
(米)，
答：四边形空地边的长约为米。
（2）解：(米)，
米，
(千米)，
米，
米，
(米)，
需要改造费用(元)，
，
∴改造费用充足。
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】（1）延长交于点，过点作于点， 根据题干信息，易得是矩形，再根据AB和CD的值，可求出BE的值，在中，根据三角函数的定义，求出CF和DF的长，进而求出BE和AE的值，在中，根据三角函数的定义，即可求出AD的长
（2）根据正切函数定义，求出ED的长，进而求出BC、EF和DE、DF的长， 求出四边形的周长，再求出改造费用与计划费用比较即可作出判断.
（1）延长交于点，过点作于点，
由题意，知是矩形，米，米，，
∴，
在中，
(米)，
(米)，
∴米，
(米)，
在中，
(米)，
答：四边形空地边的长约为米；
（2）(米)，米，
(千米)，米，米，
(米)，
需要改造费用(元)，
，
∴改造费用充足．
23．【答案】（1）解：∵点在上，
∴，
∴，
∵在上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：
（2）解：∵交轴于点，
∴，
∵与交于点，
∴，
∴
（3）解：∵，
∴，
当时，或，
当时，如图1，过作于，
∵，
∴，
∴，
时，如图2，过作于，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
综上所述：点的坐标为：或或或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【分析】（1）把点代入，求出n的值，进而即可得到B点坐标，把B点坐标代入，求出K的值，进而即可求出该反比例的解析式
（2）根据“一次函数与x轴交于点C”可求出C点坐标，又根据一次函数与反比例函数相交于点A，联合这两个函数，建立方程组，求出A点坐标，而三角形AOB的面积等于三角形AOC加上三角形BOC的面积，根据图像，代入数据，即可求出三角形AOB的面积
（3）根据（1）可知，，然后根据勾股定理，求出的长，然后再分三种情况：①当时，②当时，③当时，然后再根据等腰三角形的性质进行求解即可
（1）解：∵点在上，
∴，
∴，
∵在上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：
（2）∵交轴于点，
∴，
∵与交于点，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
当时，或，
当时，如图1，过作于，
∵，
∴，
∴，
时，如图2，过作于，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
综上所述：点的坐标为：或或或
24．【答案】（1）证明：如图所示，连接，
∵是半径，是的切线，
∴，
∴，
即∴，
∵于F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴。
（2）解：在中，设，∴，，
由勾股定理可得：，
即，
得，
∴，，
∵于F，
∴，
，
∴，
在中，，，由勾股定理得：
，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴的半径为3，的长为。
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；切线的性质；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，根据是半径，是的切线得，可得，从而可得，
即，根据于F可得，则，因为OA和OD都是的半径，易得，从而得，据此即可证明
（2）在中，设，则，，由勾股定理可得，代入数据，即可求出OA和OP的值，再根据于F，得，代入数据即可求出AF的值，在中，根据勾股定理：，代入数据，求出的值，进而即可求出的值，根据平分，，，即可求出得的值；
（1）证明：如图所示，连接，
∵是半径，是的切线，
∴，
∴，
即∴，
∵于F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：在中，设，
∴，，
由勾股定理可得：，
即，
得，
∴，，
∵于F，
∴，
，
∴，
在中，，，由勾股定理得：
，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴的半径为3，的长为．
25．【答案】（1）解：∵抛物线经过点、，
∴，解得，，
∴该抛物线的表达式为．
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点和点关于直线对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图2，过点作轴交于点，
设所在直线的解析式为：，过点，
∴，即所在直线的解析式为：，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴点的坐标为．
（3）存在，点的坐标为或或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（3）解：抛物线的表达式为，点的横坐标为，
∴，即，且，
①如图所示，四边形为平行四边形，
∴，且，
∴点的纵坐标为，，解得，，，
∴点的坐标为，
∴，
设点，
∵，
∴，则，即；
②如图所示，四边形是平行四边形，过点作轴于，过点作轴于，
∴，，，
∴，
∴，且，设，，
∴，解得，，，
当时，，即，则；当时，，即，则，
∴点的坐标为或；
③如图所示，四边形为平行四边形，
∴，，
∴设，则，
∴，即点的坐标为；
综上所示，点的坐标为或或或．
【分析】（1）根据待定系数法将点B，C坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）根据抛物线的对称性可得，则，再根据三角形面积可得，过点作轴交于点，设所在直线的解析式为：，根据待定系数法将点B坐标代入解析式可得所在直线的解析式为：，设，则，根据两点间距离可得，则，根据三角形面积可得，结合二次函数的性质即可求出答案.
（3）将x=3代入抛物线表达式可得，且，分情况讨论。作出图象，结合直线平行性质，两点间距离建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：∵抛物线经过点、，
∴，解得，，
∴该抛物线的表达式为．
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点和点关于直线对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图2，过点作轴交于点，
设所在直线的解析式为：，过点，
∴，即所在直线的解析式为：，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴点的坐标为．
（3）解：抛物线的表达式为，点的横坐标为，
∴，即，且，
①如图所示，四边形为平行四边形，
∴，且，
∴点的纵坐标为，，解得，，，
∴点的坐标为，
∴，
设点，
∵，
∴，则，即；
②如图所示，四边形是平行四边形，过点作轴于，过点作轴于，
∴，，，
∴，
∴，且，设，，
∴，解得，，，
当时，，即，则；当时，，即，则，
∴点的坐标为或；
③如图所示，四边形为平行四边形，
∴，，
∴设，则，
∴，即点的坐标为；
综上所示，点的坐标为或或或．
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