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四川省内江市2025年中考数学试题
1．（2025·内江） 中国是世界上最早使用负数的国家，负数早已广泛应用到生产和生活中．例如，零上记作，则零下记作（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·内江） 古钱币是我国珍贵的历史文化遗产．下列选项是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·内江） 2025年5月14日12时12分，全球首个太空计算星座在酒泉卫星发射中心成功发射，此次发射的太空计算星座共有12颗卫星，其中10颗为“内江城市卫星星群”成员，若每颗卫星每天处理的数据量为字节，则“内江城市卫星星群”每天处理的总数据量可达到字节，将数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·内江） 在函数中，自变量x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·内江） 某体育用品专卖店在一段时间内销售了双运动鞋，其中几种尺码运动鞋的销售量如下表所示：
尺码/
销售量/双
这双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．， B．， C．， D．，
6．（2025·内江） 如图是正方体的表面展开图，与“共”字相对的字是（　　）
A．安 B．全 C．校 D．园
7．（2025·内江） 下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·内江） 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·内江） 学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025·内江） 按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·内江） 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．且
12．（2025·内江） 对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（　　）
A． B． C． D．
13．（2025·内江）分解因式： =　 　.
14．（2025·内江） 在英文单词“”中任选一个字母，字母“a”被选中的概率是　 　．
15．（2025·内江） 如图，是的弦．半径于点D，且．则的长是　 　．
16．（2025·内江） 如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是　 　．
17．（2025·内江）
（1）计算：；
（2）化简：．
18．（2025·内江） 如图，点B、F、C、E在同一条直线上，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
19．（2025·内江） 内江，东汉建县，古称汉安，是一座依江而生、因水得名的城市．“成渝之心、大千故里、甜蜜之城”是新时代内江的三张靓丽名片，也是“心里甜”的由来，为弘扬内江传统文化，我市将举办中小学生“知内江、爱内江、兴内江”知识竞赛活动．某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，成绩按百分制分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表．
等级 成绩 人数
24
14
10
根据统计图表中的信息解答下列问题：
（1）表中　 　；扇形统计图中，表示成绩等级为D的扇形圆心角为　 　度．
（2）若全校有3000人参加了此次选拔赛，其中成绩等级为A的学生大约有多少人？
（3）现从成绩等级为A的甲、乙、丙、丁4人中随机选出2人参加市级比赛，请通过列表或画树状图的方法求出甲、乙两人同时被选中的概率．
20．（2025·内江） 在综合与实践活动中，某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔的高度（如图甲）．他们设计了如下方案：如图乙，点B、D、C依次在同一条水平直线上，在B处测得桥塔顶部A的仰角为，在C处测得桥塔顶部A的仰角为，又测得，，垂足为D，求桥塔的高度（结果保留根号）．
21．（2025·内江） 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集；
（3）过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积．
22．（2025·内江） 已知实数a，b满足，则　 　．
23．（2025·内江） 对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是　 　．
24．（2025·内江） 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为　 　．
25．（2025·内江） 如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是　 　．
26．（2025·内江） 2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
（1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别的多少元？
（2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
（3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
27．（2025·内江） 如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若点E为的中点，，求阴影部分的面积；
（3）连接，若，求的值．
28．（2025·内江） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，过点B的直线与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接，设点M的纵坐标为n，当时，求n的值；
（3）如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：零上3℃记作+3℃，则零下3℃记作-3℃.
故答案为：C .
【分析】由于正数与负数可以表示一对具有相反意义的量，故知道了正数表示零上，则负数就是表示零下，据此解答即可.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的中国古代钱币图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的中国古代钱币图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、此选项中的中国古代钱币图案即不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的中国古代钱币图案即是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意.
故答案为：D .
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；平面内，把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将数35000000000据用科学记数法表示为3.5×1010.
故答案为：C .
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
4．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意可得x-2≥0，
解得x≥2.
故答案为：A .
【分析】由二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式，求解即可.
5．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵该体育用品店销售的20双运动鞋中，销售尺码为25cm的鞋子最多，销售了10双，
∴这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数25；
将该体育用品店销售的20双运动鞋的尺码按从小到大顺序排列后，排第10位与11位的尺码为25、25，
∴这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的中位数为.
故答案为：B .
【分析】众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此结合题意解答即可.
6．【答案】B
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：由正方体的表面展开图可得与“共”字相对的字是“全”.
故答案为：B .
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，一线隔一个，即可解答.
7．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故此选项原计算错误，不符合题意；
B、，故此选项原计算错误，不符合题意；
C、x与2x2不是同类项，不能进行合并，故此选项原计算错误，不符合题意；
D、(x-2)(x+2)=x2-4，故此选项原计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断A选项；根据完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断B选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断C选项；由平方差公式的展开式等于完全相同项的平方减去只有符号不同项的平方，可判断D选项.
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵∠A=∠B，∠AOC=∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴，
又∵OA=150cm，OB=50cm，BD=20cm，
∴
∴AC=60cm.
故答案为：B .
【分析】由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AOC∽△BOD，进而根据相似三角形对应边成比例建立方程，可求出AC的长.
9．【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解： 设每套课桌椅的成本为x元，订购60套时，每套的利润为(100-x)元，订购72套时，每套的利润为(100-3-x)元，
由题意得60(100-x)=72(100-3-x).
故答案为：B .
【分析】设每套课桌椅的成本为x元，订购60套时，每套的利润为(100-x)元，订购72套时，每套的利润为(100-3-x)元，根据每套利润乘以订购数量等于总利润及两种订购方式获得的利润相等列出方程即可.
10．【答案】D
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图过程可得AB=AD=BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠ADC=180°-∠A=140°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BDC=∠ADB=∠ADC=70°.
故答案为：D .
【分析】由四边相等的四边形是菱形得四边形ABCD是菱形，由菱形的对边平行得AB∥CD，由二直线平行，同旁内角互补可求出∠ADC=140°，进而根据菱形的每一条对角线平分一组对角可求出∠BDC的度数.
11．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程(a-1)x2+2x+1=0有实数根，
∴
解得a≤2且a≠1.
故答案为：C .
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意，列出不等式组，求解即可.
12．【答案】A
【知识点】点的坐标；有理数的乘法法则；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：初始点：(2，1)
第1次：横坐标2为偶数，f(2)==1，纵坐标1为奇数，f(1)=3×1+1=4，得到点(1，4)；
第2次：横坐标1为奇数，f(1)=3×1+1=4，纵坐标4为偶数，f(4)=×4=2，得到点(4，2)；
第3次：横坐标4为偶数，f(4)=×4=2，纵坐标2为偶数，f(2)=×2=1，得到点(2，1)，与初始点相同，即三次一循环， ∵2025÷3=675，
∴：第2025次运算后对应点与第3次运算后的点相同，即(2，1).
故答案为：A .
【分析】根据规定的运算法则，分别求出初始点前几次运算后得到点的坐标，即可发现循环周期“三次一循环”，而2025÷3=675，故将初始点经过2025次运算后得到点与初始点相同.
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】原式
故答案为：
【分析】观察代数式的特点，利用平方差公式分解即可。
14．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：在英文单词“banana”中任选一个字母，字母“a”被选中的概率是.
故答案为： .
【分析】根据概率公式，用英文单词“banana”中字母a的个数比上该单词字母的总个数即可求出答案.
15．【答案】2
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵OC=5，
∴OA=OC=5，
∵OC⊥AB，AB=8，
∴AD=AB=4，∠ADO=90°，
∴OD=，
∴CD=OC-OD=2.
故答案为：2 .
【分析】由同圆的半径相等得OA=OC=5，由垂直弦的直线平分弦得AD=AB=4，进而利用勾股定理算出OD，最后根据CD=OC-OD列式计算即可.
16．【答案】5
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接BF、BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵AB=8，AD=6，
∴BD=，
∵点G为BE的中点，点H为EF的中点，
∴GH是△BEF的中位线，
∴BF=2GH，
∴当BF最大时，GH最大，
∵点F是CD上的动点，
∴当点F与点D重合时，BF最大为10，
∴GH的最大值为5.
故答案为：5 .
【分析】连接BF、BD，由矩形性质得∠A=90°，由勾股定理算出BD=10，根据三角形的中位线等于第三边的一半得出BF=2GH，故当BF最大时，GH最大，而当点F与点D重合时，BF最大为10，据此即可求出答案.
17．【答案】（1）解：原式=1+3+4-1
=7；
（2）解：原式=
=3.
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）；同分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）先代入特殊锐角三角函数值，同时根据零指数幂法则“a0=1(a≠0)”、绝对值的代数意义、二次根式的性质“”分别化简，再计算有理数的加减法运算即可得出答案；
（2）根据同分母分式的减法，分母不变，分子相减进行计算，然后分子合并同类项后，再利用提取公因式法分解因式，最后约分化简即可.
18．【答案】（1）证明：∵AB//DE，
∴∠B=∠E，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(AAS)；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，即BF+CF=EC+CF，
∴BF=EC，
∵BF=4，FC=3，
∴EC=4，
∴BE=BF+EF+EC=4+3+4=11．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由两直线平行，内错角相等，得∠B=∠E，从而利用AAS可判断出△ABC≌△DEF；
（2）由全等三角形的对应边相等得BC=EF，由等量减去等量差相等得BF=CE=4，然后根据BE=BF+EF+EC，代值计算可得答案.
19．【答案】（1）12；60
（2）解：3000×12/60=600(人)，
答：若全校有3000人参加了此次选拔赛，其中成绩等级为A的学生大约有600人；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人被同时选中的结果有2种，
∴甲、乙两人被同时选中的概率为.
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）随机抽取的学生共有：24÷40%=60(人)，
∴m=60-24-14-10=12，人)，
扇形统计图中，表示成绩等级为D的扇形圆心角为：360°×=60°，
故答案为：12，60；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用成绩B等级的人数除以其所占的百分比，可求出本次调查抽取的总人数，进而根据成绩四个等级的人数之和等于本次调查的总人数可求出成绩A等级的人数m的值；再用360°乘以成绩D等级的人数所占的百分比即可求出扇形统计图中，表示成绩等级为D的扇形圆心角；
（2）用该校参加此次选拔赛的总人数乘以样本中成绩A等级的人数所占的百分比即可估计出该校此次选拔赛中成绩等级为A的学生人数；
（3）此题是抽取不放回类型，依据题意画出树状图，由图可知：共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人被同时选中的结果有2种，从而根据概率公式计算可得答案.
20．【答案】解：设AD=xm，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，∠ABD=45°，
∴∠ABD=∠BAD=45°，
∴AD=BD=xm，
在Rt△ACD中，∠ACD=30°，
∴
∵BC=BD+CD=80m，
∴
解得x=
∴AD=（）m，
答：桥塔AD的高度为（）m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设AD=xm，由垂直定义得∠ADB=∠ADC=90°，由等腰直角三角形的性质得AD=BD=xm，在Rt△ACD中，由∠ACD的正切函数可得m，然后根据BC=BD+CD建立方程，求解得出x的值即可得出答案.
21．【答案】（1）解：∵反比例函数 的图象过点B(-6，1)，
∴k1=-6×1=-6，
故反比例函数的表达式为；
把点A(a，6)代入反比例函数得，
解得a=-1，
∴点A的坐标为(-1，6)，
∵一次函数y=k2x+b的图象经过A(-1，6)、B(-6，1)两点，
∴
解得
故一次函数的表达式为y=x+7；
（2）解： 关于x的不等式的解集 -6≤x≤-1；
（3）解：∵点C横坐标为-4，代入y=x+7，
得：y=-4+7=3，
∴C(-4，3)，
把y=3代入，代入，得x=-2，
∴D(-2，3)，
如图，过点B，D分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，
∵B(-6，1)，D(-2，3)，
∴DE=3，BF=1，EF=-2-(-6)=4，
∵S△BOD+S△BFO=S梯形BFED+S△DEO，S△BFO=S△DEO=3
∴S△BOD=S梯形BFED=(DE+BF)EF=×(3+1)×4=8
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解（2）∵
∴
由图象可得，当时，-6≤x≤-1，
∴关于x的不等式的解集为-6≤x≤-1；
【分析】（1）把点B(-6，1)代入比例函数可算出k1的值，从而得到反比例函数的解析式；把点A(a，6)代入所求的反比例函数解析式算出a=-1，可得A的坐标为(-1，6)，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）关于x的不等式的解集，从图象角度看，就是求一次函数y=k2x+b的图象在反比例函数的图象上方部分及交点相应的自变量的取值范围，据此结合交点坐标求解即可；
（3）将x=-4代入一次函数y=x+7的解析式算出对应的函数值，可得点C(-4，3)，根据点的坐标与图形的性质，点D的纵坐标也为3，故将y=3代入反比例函数解析式算出对应的x的值，可得D(-2，3)；过点B，D分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，由反比例函数k的几何意义得S△BFO=S△DEO=3，利用割补法得S△BOD+S△BFO=S梯形BFED+S△DEO，则S△BOD=S梯形BFED，进而利用梯形面积计算公式列式计算可得答案.
22．【答案】4
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵a+b=2，
∴a2-b2+4b=(a+b)(a-b)+4b=2(a-b)+4b=2a-2b+4b=2(a+b)=4.
故答案为：4 .
【分析】将待求式子前两项利用平方差公式分解因式后整体代入，进而去括号、合并同类后再利用提取公因式分解因式，最后再整体代入计算可得答案.
23．【答案】-17≤p＜-7
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：由新定义运算法则可得
由①得a≤1，
由②得，
∵此不等式恰有3个整数解，
∴，且三个整数解为1、0、-1，
∴
解得-17≤p＜-7.
故答案为：-17≤p＜-7 .
【分析】首先根据新定义运算法则列出关于字母a的不等式组，根据解不等式的步骤分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后结合“此不等式恰有3个整数解”及“大小小大中间找”求出该不等式组的解集及三个整数解，进而即可得出关于字母p的不等式组，求解可得p的取值范围.
24．【答案】(-1.5，5)
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，设CD交y轴于点G，正方形ABCD的边长为a，
∵B(1，0)，F(0，3)，
∴OB=1，OF=3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠C=∠B=∠BOG=∠AOG=90°，AB=AD=CD=BC=a，
∴四边形OBCG是矩形，
∴OG=BC=a，CG=OB=1，
∴OA=AB-OB=a-1，GF=OG-OF=a-3，
由折叠得AF=AD=a，DE=EF，
在Rt△AOF中，∵OA2+OF2=AF2，
∴(a-1)2+32=a2，
解得a=5，
∴GF=5-3=2，
设EG=x，则DE=EF=5-x-1=4-x，
在Rt△EFG中，∵EG2+GF2=EF2，
∴x2+22=(4-x)2
解得x=1.5，即EG=1.5，
∴点E(-1.5，5).
故答案为：(-1.5，5) .
【分析】设CD交y轴于点G，正方形ABCD的边长为a，由B、F的坐标可得OB=1，OF=3，由正方形四边相等、四个内角都是直角得∠D=∠C=∠B=∠BOG=∠AOG=90°，AB=AD=CD=BC=a，从而由有三个内角为直角的四边形是矩形得四边形OBCG是矩形，由矩形的对边相等得OG=BC=a，CG=OB=1，然后根据线段和差可得OA=a-1，GF=a-3，由折叠得AF=AD=a，DE=EF，在Rt△AOF中，由勾股定理建立方程可求出a的值，从而可求出GF的长，设EG=x，则DE=EF=5-x-1=4-x，在Rt△EFG中，由勾股定理建立方程求出x得到EG的长，进而根据点的坐标与图形性质可得到点E的坐标.
25．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，作点D关于AB、AC的对称点N、M，连接AN、AM、AD、MN、EN、FM，
∵M、N是点D关于AC、AB的对称点，
∴AN=AD=AM，∠NAB=∠BAD，∠DAC=∠MAC，EN=ED，FM=FD，
∵△DEF的周长为DE+EF+DF=NE+EF+FM≥MN，
∴当N、E、F、M四点共线时，取得最小值MN，
∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=45°，
∴∠NAB+∠BAD+∠CAD+∠MAC=90°，
∴△AMN是等腰直角三角形，
∴MN=AM=AD，
当AD⊥BC时，AD取得最小值，即△DEF周长最小，
又∵∠B=60°，
∴ADmin=AB×sin∠B=AB×sin60°=，
∴△DEF周长最小值为.
故答案为： .
【分析】如图，作点D关于AB、AC的对称点N、M，连接AN、AM、AD、MN、EN、FM，由轴对称性质可得AN=AD=AM及EN=ED，FM=FD，∠NAB=∠BAD，∠DAC=∠MAC，则△DEF的周长为DE+EF+DF=NE+EF+FM≥MN，根据两点之间线段最短可得当N、E、F、M四点共线时，取得最小值MN；易得△AMN是等腰直角三角形，则MN=AM=AD，根据垂线段最短，当AD⊥BC时，AD取得最小值，即△DEF周长最小，进而由∠B的正弦函数及特殊锐角三角函数值可求出AD的值，此题得解.
26．【答案】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，
由题意得，
解得
答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；
（2）解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品(400-m)个，
由题意得，40(400-m)+20m≤12000，
解得m≥200，
∴m的最小值为200，
答：至少需要购进B款纪念品200个；
（3）解：由题意得，W=(a-40)[200-5(a-60)]
=(a-40)(200-5a+300)
=(a-40)(500-5a)
=500a-20000-5a2+200a
=-5(a-70)2+4500，
∵-5<0，60≤a≤100，
∴当a-70=0，即a=70时，W最大，最大值为4500．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据单价乘以数量等于总价及“ 购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元 ”列出关于字母a、b的二元一次方程组，求解即可；
（2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品(400-m)个，根据单价乘以数量等于总价及购进m个B款纪念品的费用+购进(400-m)个A款纪念品的费用不超过12000元，列出不等式，求出m的最小整数解即可；
（3）每一个A款纪念品的利润为(a-40)元，可销售A款纪念品的数量为[200-5(a-60)]个，根据每个A款纪念品的利润乘以销售数量等于总利润建立出w关于a的函数关系式，然后根据所得函数的性质求解即可.
27．【答案】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠OBD=∠CBD，
∵OB是⊙O的半径，⊙O恰好经过点D，交AB于点E，
∴OE=OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD//BC，
∴∠ADO=∠C=90°，即OD⊥AC，
又∵OD是⊙O半径，
∴直线AC是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为R，
∴OD=OE=OB=R，
∵点E是AO的中点，
∴AE=OE=R，
∴AO=2R，
由（1）可知：OD⊥AC，
∴在Rt△AOD中，sinA=
∴∠A=30°，
∴∠AOD=60°，
∵AD=3，
∴tanA=
∴OD=AD tanA=3×tan30°=
∴，
∴S阴影=S△AOD-S扇形EOD=；
（3）解：∵BE是⊙O直径，
∴∠BDE=90°，
在Rt△BDE中，sin∠DBA=，
设DE=，BE=5a，
∴OD=BE=2.5a，
由勾股定理得：，
∵∠OBD=∠CBD，∠BDE=∠C=90°，
∴△BDE∽△BCD，
∴
∴
∴CD=2a，BC=4a，
∵由（1）可知：OD//BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴
∴
∴AD=
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
∴.
【知识点】切线的判定与性质；解直角三角形—边角关系；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接OD，由角平分线的定义及等边对等角可推出∠ODB=∠CBD=∠OBD，由内错角相等，两直线平行，得OD∥BC，从而根据二直线平行，同位角相等得∠ADO=∠C=90°，然后根据垂直半径外端点的直线是圆的切线可得结论；
（2）设⊙O的半径为R，易得AO=2R，在Rt△AOD中，由∠A的正弦函数及特殊锐角三角函数值可求出∠A=30°，再根据∠A的正切函数可求出OD的长，进而根据三角形的面积计算公式、扇形面积计算公式，由S阴影=S△AOD-S扇形EOD列式计算可得答案；
（3）由直径所对的圆周角是直角得∠BDE=90°，在Rt△BDE中，根据∠DBA的正切函数值及正切函数的定义可设DE=，BE=5a，然后利用勾股定理表示出BD；由有两组角对应相等的两个三角形相似得△BDE∽△BCD，由相似三角形对应边成比例可求出CD=2a，BC=4a，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△AOD∽△ABC，由相似三角形对应边成比例可求出AD=，进而在Rt△AOD中，由勾股定理表示出AO，最后根据余弦函数定义可求出∠A的余弦函数值.
28．【答案】（1）解： 抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A(-3，0) 、 B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，3) ，
，
解得：
∴ 抛物线的表达式为y=- x2 -2x+3 ；
（2）解： 联立得：
解得：，
∴ D (-4，-5) ，
∵ y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4 ，
∴ 抛物线的对称轴为直线x =-1 ，顶点为N (-1，4) ，
设M(-1， n ) ，
∵ MB = MD ，
∴ MB2=MD2 ，
∴(-1-1)2+(n-0 )2=(-1+4)2+(n+5)2 ，
解得：n=-3 ，
∴ n的值为-3 ；
（3）解：符合条件的点P的坐标为：或或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；旋转的性质；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解： （3）由（2）得顶点N(-1，4) ，
设P(m ，0) ，由旋转得∠HPN=90° ， PN=PH ，
当m <-1时，过点P作y轴的平行线 EF ，过点H ， N分别作EF的垂线，垂足为点F ， E ，如图，
∴∠E=∠F=∠HPN=90° ，
∴∠EPN+∠ENP=∠EPN+∠HPF=90° ，
∴∠ENP=∠FPH ，
∴△PEN≌△HFP ( AAS ) ，
∴ EN=PF=-1- m ， PE=FH=4 ，
∴ H (4+ m ，1+ m ) ，
将点H(4+ m ，1+ m )代入y=-x2-2x+3 ，得-(4+m)2-2(4+ m )+3=1+ m ，
整理得： m2+11m+22=0 ，
解得：，
∴ P (， 0) 或 P ( ，0) ；
当m>-1时，过点P作y轴的平行线，过点H ， N分别作平行线的垂线，垂足为点 F ， E ，如图，
∴∠E=∠F=∠HPN=90° ，
∴∠EPN+∠ENP=∠EPN+∠HPF=90° ，
∴∠ENP=∠FPH ，
∴△PEN≌△HFP( AAS ) ，
∴ EN=PF=m+1 ， PE=FH=4 ，
∴ H(m-4，-m-1) ，
将点H(m-4，-m-1) 代入y=-x2-2x+3 ，得-(m-4 )2-2(m-4)+3=-m-1 ，整理得： m2-7m+4=0 ，
解得： ，
∴ P (，0) 或 P (，0) ；
综上，所有符合条件的点P ，的坐标为： P (， 0) 或 P ( ，0)或 P (，0) 或 P (，0) .
【分析】（1）将A、B、C三点的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c可得关于字母a、b、c的三元一次方程组，求解得出a、b、c的值，从而即可求出抛物线的解析式；
（2）联立抛物线与直线l的解析式，求解得出点 D (-4，-5) ，将抛物线的解析式配成顶点式可得抛物线的对称轴为直线x =-1 ，顶点为N (-1，4) ，由点的坐标与图形性质，设M(-1， n ) ，根据平面内两点间的距离公式结合MB=MD建立方程求解得出n的值；
（3）设P( m ，0) ，由旋转得∠HPN=90° ， PN=PH ，当m<-1时，过点P作y轴的平行线EF ，过点H ， N分别作EF的垂线，垂足为点F ， E ，如图，由等角的余角相等得∠ENP=∠FPH ，从而可用AAS判断出△PEN≌△HFP，由全等三角形的对应边相等得EN=PF=-1- m ， PE=FH=4 ，则H (4+ m ，1+ m ) ，然后将点H的坐标代入抛物线的解析式可求出m的值，从而得到点P的坐标；当m>-1时，过点P作y轴的平行线，过点H ， N分别作平行线的垂线，垂足为点 F ， E ，如图，由等角的余角相等得∠ENP=∠FPH ，从而可用AAS判断出△PEN≌△HFP，由全等三角形的对应边相等得 EN=PF=m+1 ， PE=FH=4 ，则 H(m-4，-m-1) ，然后将点H的坐标代入抛物线的解析式可求出m的值，从而得到点P的坐标，综上即可得出答案.
1 / 1四川省内江市2025年中考数学试题
1．（2025·内江） 中国是世界上最早使用负数的国家，负数早已广泛应用到生产和生活中．例如，零上记作，则零下记作（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：零上3℃记作+3℃，则零下3℃记作-3℃.
故答案为：C .
【分析】由于正数与负数可以表示一对具有相反意义的量，故知道了正数表示零上，则负数就是表示零下，据此解答即可.
2．（2025·内江） 古钱币是我国珍贵的历史文化遗产．下列选项是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的中国古代钱币图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的中国古代钱币图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、此选项中的中国古代钱币图案即不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的中国古代钱币图案即是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意.
故答案为：D .
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；平面内，把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
3．（2025·内江） 2025年5月14日12时12分，全球首个太空计算星座在酒泉卫星发射中心成功发射，此次发射的太空计算星座共有12颗卫星，其中10颗为“内江城市卫星星群”成员，若每颗卫星每天处理的数据量为字节，则“内江城市卫星星群”每天处理的总数据量可达到字节，将数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将数35000000000据用科学记数法表示为3.5×1010.
故答案为：C .
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
4．（2025·内江） 在函数中，自变量x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意可得x-2≥0，
解得x≥2.
故答案为：A .
【分析】由二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式，求解即可.
5．（2025·内江） 某体育用品专卖店在一段时间内销售了双运动鞋，其中几种尺码运动鞋的销售量如下表所示：
尺码/
销售量/双
这双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵该体育用品店销售的20双运动鞋中，销售尺码为25cm的鞋子最多，销售了10双，
∴这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数25；
将该体育用品店销售的20双运动鞋的尺码按从小到大顺序排列后，排第10位与11位的尺码为25、25，
∴这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的中位数为.
故答案为：B .
【分析】众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此结合题意解答即可.
6．（2025·内江） 如图是正方体的表面展开图，与“共”字相对的字是（　　）
A．安 B．全 C．校 D．园
【答案】B
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：由正方体的表面展开图可得与“共”字相对的字是“全”.
故答案为：B .
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，一线隔一个，即可解答.
7．（2025·内江） 下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故此选项原计算错误，不符合题意；
B、，故此选项原计算错误，不符合题意；
C、x与2x2不是同类项，不能进行合并，故此选项原计算错误，不符合题意；
D、(x-2)(x+2)=x2-4，故此选项原计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断A选项；根据完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断B选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断C选项；由平方差公式的展开式等于完全相同项的平方减去只有符号不同项的平方，可判断D选项.
8．（2025·内江） 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵∠A=∠B，∠AOC=∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴，
又∵OA=150cm，OB=50cm，BD=20cm，
∴
∴AC=60cm.
故答案为：B .
【分析】由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AOC∽△BOD，进而根据相似三角形对应边成比例建立方程，可求出AC的长.
9．（2025·内江） 学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解： 设每套课桌椅的成本为x元，订购60套时，每套的利润为(100-x)元，订购72套时，每套的利润为(100-3-x)元，
由题意得60(100-x)=72(100-3-x).
故答案为：B .
【分析】设每套课桌椅的成本为x元，订购60套时，每套的利润为(100-x)元，订购72套时，每套的利润为(100-3-x)元，根据每套利润乘以订购数量等于总利润及两种订购方式获得的利润相等列出方程即可.
10．（2025·内江） 按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图过程可得AB=AD=BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠ADC=180°-∠A=140°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BDC=∠ADB=∠ADC=70°.
故答案为：D .
【分析】由四边相等的四边形是菱形得四边形ABCD是菱形，由菱形的对边平行得AB∥CD，由二直线平行，同旁内角互补可求出∠ADC=140°，进而根据菱形的每一条对角线平分一组对角可求出∠BDC的度数.
11．（2025·内江） 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程(a-1)x2+2x+1=0有实数根，
∴
解得a≤2且a≠1.
故答案为：C .
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意，列出不等式组，求解即可.
12．（2025·内江） 对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；有理数的乘法法则；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：初始点：(2，1)
第1次：横坐标2为偶数，f(2)==1，纵坐标1为奇数，f(1)=3×1+1=4，得到点(1，4)；
第2次：横坐标1为奇数，f(1)=3×1+1=4，纵坐标4为偶数，f(4)=×4=2，得到点(4，2)；
第3次：横坐标4为偶数，f(4)=×4=2，纵坐标2为偶数，f(2)=×2=1，得到点(2，1)，与初始点相同，即三次一循环， ∵2025÷3=675，
∴：第2025次运算后对应点与第3次运算后的点相同，即(2，1).
故答案为：A .
【分析】根据规定的运算法则，分别求出初始点前几次运算后得到点的坐标，即可发现循环周期“三次一循环”，而2025÷3=675，故将初始点经过2025次运算后得到点与初始点相同.
13．（2025·内江）分解因式： =　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】原式
故答案为：
【分析】观察代数式的特点，利用平方差公式分解即可。
14．（2025·内江） 在英文单词“”中任选一个字母，字母“a”被选中的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：在英文单词“banana”中任选一个字母，字母“a”被选中的概率是.
故答案为： .
【分析】根据概率公式，用英文单词“banana”中字母a的个数比上该单词字母的总个数即可求出答案.
15．（2025·内江） 如图，是的弦．半径于点D，且．则的长是　 　．
【答案】2
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵OC=5，
∴OA=OC=5，
∵OC⊥AB，AB=8，
∴AD=AB=4，∠ADO=90°，
∴OD=，
∴CD=OC-OD=2.
故答案为：2 .
【分析】由同圆的半径相等得OA=OC=5，由垂直弦的直线平分弦得AD=AB=4，进而利用勾股定理算出OD，最后根据CD=OC-OD列式计算即可.
16．（2025·内江） 如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是　 　．
【答案】5
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接BF、BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵AB=8，AD=6，
∴BD=，
∵点G为BE的中点，点H为EF的中点，
∴GH是△BEF的中位线，
∴BF=2GH，
∴当BF最大时，GH最大，
∵点F是CD上的动点，
∴当点F与点D重合时，BF最大为10，
∴GH的最大值为5.
故答案为：5 .
【分析】连接BF、BD，由矩形性质得∠A=90°，由勾股定理算出BD=10，根据三角形的中位线等于第三边的一半得出BF=2GH，故当BF最大时，GH最大，而当点F与点D重合时，BF最大为10，据此即可求出答案.
17．（2025·内江）
（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）解：原式=1+3+4-1
=7；
（2）解：原式=
=3.
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）；同分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）先代入特殊锐角三角函数值，同时根据零指数幂法则“a0=1(a≠0)”、绝对值的代数意义、二次根式的性质“”分别化简，再计算有理数的加减法运算即可得出答案；
（2）根据同分母分式的减法，分母不变，分子相减进行计算，然后分子合并同类项后，再利用提取公因式法分解因式，最后约分化简即可.
18．（2025·内江） 如图，点B、F、C、E在同一条直线上，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵AB//DE，
∴∠B=∠E，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(AAS)；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，即BF+CF=EC+CF，
∴BF=EC，
∵BF=4，FC=3，
∴EC=4，
∴BE=BF+EF+EC=4+3+4=11．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由两直线平行，内错角相等，得∠B=∠E，从而利用AAS可判断出△ABC≌△DEF；
（2）由全等三角形的对应边相等得BC=EF，由等量减去等量差相等得BF=CE=4，然后根据BE=BF+EF+EC，代值计算可得答案.
19．（2025·内江） 内江，东汉建县，古称汉安，是一座依江而生、因水得名的城市．“成渝之心、大千故里、甜蜜之城”是新时代内江的三张靓丽名片，也是“心里甜”的由来，为弘扬内江传统文化，我市将举办中小学生“知内江、爱内江、兴内江”知识竞赛活动．某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，成绩按百分制分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表．
等级 成绩 人数
24
14
10
根据统计图表中的信息解答下列问题：
（1）表中　 　；扇形统计图中，表示成绩等级为D的扇形圆心角为　 　度．
（2）若全校有3000人参加了此次选拔赛，其中成绩等级为A的学生大约有多少人？
（3）现从成绩等级为A的甲、乙、丙、丁4人中随机选出2人参加市级比赛，请通过列表或画树状图的方法求出甲、乙两人同时被选中的概率．
【答案】（1）12；60
（2）解：3000×12/60=600(人)，
答：若全校有3000人参加了此次选拔赛，其中成绩等级为A的学生大约有600人；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人被同时选中的结果有2种，
∴甲、乙两人被同时选中的概率为.
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）随机抽取的学生共有：24÷40%=60(人)，
∴m=60-24-14-10=12，人)，
扇形统计图中，表示成绩等级为D的扇形圆心角为：360°×=60°，
故答案为：12，60；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用成绩B等级的人数除以其所占的百分比，可求出本次调查抽取的总人数，进而根据成绩四个等级的人数之和等于本次调查的总人数可求出成绩A等级的人数m的值；再用360°乘以成绩D等级的人数所占的百分比即可求出扇形统计图中，表示成绩等级为D的扇形圆心角；
（2）用该校参加此次选拔赛的总人数乘以样本中成绩A等级的人数所占的百分比即可估计出该校此次选拔赛中成绩等级为A的学生人数；
（3）此题是抽取不放回类型，依据题意画出树状图，由图可知：共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人被同时选中的结果有2种，从而根据概率公式计算可得答案.
20．（2025·内江） 在综合与实践活动中，某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔的高度（如图甲）．他们设计了如下方案：如图乙，点B、D、C依次在同一条水平直线上，在B处测得桥塔顶部A的仰角为，在C处测得桥塔顶部A的仰角为，又测得，，垂足为D，求桥塔的高度（结果保留根号）．
【答案】解：设AD=xm，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，∠ABD=45°，
∴∠ABD=∠BAD=45°，
∴AD=BD=xm，
在Rt△ACD中，∠ACD=30°，
∴
∵BC=BD+CD=80m，
∴
解得x=
∴AD=（）m，
答：桥塔AD的高度为（）m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设AD=xm，由垂直定义得∠ADB=∠ADC=90°，由等腰直角三角形的性质得AD=BD=xm，在Rt△ACD中，由∠ACD的正切函数可得m，然后根据BC=BD+CD建立方程，求解得出x的值即可得出答案.
21．（2025·内江） 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集；
（3）过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积．
【答案】（1）解：∵反比例函数 的图象过点B(-6，1)，
∴k1=-6×1=-6，
故反比例函数的表达式为；
把点A(a，6)代入反比例函数得，
解得a=-1，
∴点A的坐标为(-1，6)，
∵一次函数y=k2x+b的图象经过A(-1，6)、B(-6，1)两点，
∴
解得
故一次函数的表达式为y=x+7；
（2）解： 关于x的不等式的解集 -6≤x≤-1；
（3）解：∵点C横坐标为-4，代入y=x+7，
得：y=-4+7=3，
∴C(-4，3)，
把y=3代入，代入，得x=-2，
∴D(-2，3)，
如图，过点B，D分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，
∵B(-6，1)，D(-2，3)，
∴DE=3，BF=1，EF=-2-(-6)=4，
∵S△BOD+S△BFO=S梯形BFED+S△DEO，S△BFO=S△DEO=3
∴S△BOD=S梯形BFED=(DE+BF)EF=×(3+1)×4=8
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解（2）∵
∴
由图象可得，当时，-6≤x≤-1，
∴关于x的不等式的解集为-6≤x≤-1；
【分析】（1）把点B(-6，1)代入比例函数可算出k1的值，从而得到反比例函数的解析式；把点A(a，6)代入所求的反比例函数解析式算出a=-1，可得A的坐标为(-1，6)，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）关于x的不等式的解集，从图象角度看，就是求一次函数y=k2x+b的图象在反比例函数的图象上方部分及交点相应的自变量的取值范围，据此结合交点坐标求解即可；
（3）将x=-4代入一次函数y=x+7的解析式算出对应的函数值，可得点C(-4，3)，根据点的坐标与图形的性质，点D的纵坐标也为3，故将y=3代入反比例函数解析式算出对应的x的值，可得D(-2，3)；过点B，D分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，由反比例函数k的几何意义得S△BFO=S△DEO=3，利用割补法得S△BOD+S△BFO=S梯形BFED+S△DEO，则S△BOD=S梯形BFED，进而利用梯形面积计算公式列式计算可得答案.
22．（2025·内江） 已知实数a，b满足，则　 　．
【答案】4
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵a+b=2，
∴a2-b2+4b=(a+b)(a-b)+4b=2(a-b)+4b=2a-2b+4b=2(a+b)=4.
故答案为：4 .
【分析】将待求式子前两项利用平方差公式分解因式后整体代入，进而去括号、合并同类后再利用提取公因式分解因式，最后再整体代入计算可得答案.
23．（2025·内江） 对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是　 　．
【答案】-17≤p＜-7
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：由新定义运算法则可得
由①得a≤1，
由②得，
∵此不等式恰有3个整数解，
∴，且三个整数解为1、0、-1，
∴
解得-17≤p＜-7.
故答案为：-17≤p＜-7 .
【分析】首先根据新定义运算法则列出关于字母a的不等式组，根据解不等式的步骤分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后结合“此不等式恰有3个整数解”及“大小小大中间找”求出该不等式组的解集及三个整数解，进而即可得出关于字母p的不等式组，求解可得p的取值范围.
24．（2025·内江） 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为　 　．
【答案】(-1.5，5)
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，设CD交y轴于点G，正方形ABCD的边长为a，
∵B(1，0)，F(0，3)，
∴OB=1，OF=3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠C=∠B=∠BOG=∠AOG=90°，AB=AD=CD=BC=a，
∴四边形OBCG是矩形，
∴OG=BC=a，CG=OB=1，
∴OA=AB-OB=a-1，GF=OG-OF=a-3，
由折叠得AF=AD=a，DE=EF，
在Rt△AOF中，∵OA2+OF2=AF2，
∴(a-1)2+32=a2，
解得a=5，
∴GF=5-3=2，
设EG=x，则DE=EF=5-x-1=4-x，
在Rt△EFG中，∵EG2+GF2=EF2，
∴x2+22=(4-x)2
解得x=1.5，即EG=1.5，
∴点E(-1.5，5).
故答案为：(-1.5，5) .
【分析】设CD交y轴于点G，正方形ABCD的边长为a，由B、F的坐标可得OB=1，OF=3，由正方形四边相等、四个内角都是直角得∠D=∠C=∠B=∠BOG=∠AOG=90°，AB=AD=CD=BC=a，从而由有三个内角为直角的四边形是矩形得四边形OBCG是矩形，由矩形的对边相等得OG=BC=a，CG=OB=1，然后根据线段和差可得OA=a-1，GF=a-3，由折叠得AF=AD=a，DE=EF，在Rt△AOF中，由勾股定理建立方程可求出a的值，从而可求出GF的长，设EG=x，则DE=EF=5-x-1=4-x，在Rt△EFG中，由勾股定理建立方程求出x得到EG的长，进而根据点的坐标与图形性质可得到点E的坐标.
25．（2025·内江） 如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，作点D关于AB、AC的对称点N、M，连接AN、AM、AD、MN、EN、FM，
∵M、N是点D关于AC、AB的对称点，
∴AN=AD=AM，∠NAB=∠BAD，∠DAC=∠MAC，EN=ED，FM=FD，
∵△DEF的周长为DE+EF+DF=NE+EF+FM≥MN，
∴当N、E、F、M四点共线时，取得最小值MN，
∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=45°，
∴∠NAB+∠BAD+∠CAD+∠MAC=90°，
∴△AMN是等腰直角三角形，
∴MN=AM=AD，
当AD⊥BC时，AD取得最小值，即△DEF周长最小，
又∵∠B=60°，
∴ADmin=AB×sin∠B=AB×sin60°=，
∴△DEF周长最小值为.
故答案为： .
【分析】如图，作点D关于AB、AC的对称点N、M，连接AN、AM、AD、MN、EN、FM，由轴对称性质可得AN=AD=AM及EN=ED，FM=FD，∠NAB=∠BAD，∠DAC=∠MAC，则△DEF的周长为DE+EF+DF=NE+EF+FM≥MN，根据两点之间线段最短可得当N、E、F、M四点共线时，取得最小值MN；易得△AMN是等腰直角三角形，则MN=AM=AD，根据垂线段最短，当AD⊥BC时，AD取得最小值，即△DEF周长最小，进而由∠B的正弦函数及特殊锐角三角函数值可求出AD的值，此题得解.
26．（2025·内江） 2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
（1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别的多少元？
（2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
（3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
【答案】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，
由题意得，
解得
答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；
（2）解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品(400-m)个，
由题意得，40(400-m)+20m≤12000，
解得m≥200，
∴m的最小值为200，
答：至少需要购进B款纪念品200个；
（3）解：由题意得，W=(a-40)[200-5(a-60)]
=(a-40)(200-5a+300)
=(a-40)(500-5a)
=500a-20000-5a2+200a
=-5(a-70)2+4500，
∵-5<0，60≤a≤100，
∴当a-70=0，即a=70时，W最大，最大值为4500．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据单价乘以数量等于总价及“ 购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元 ”列出关于字母a、b的二元一次方程组，求解即可；
（2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品(400-m)个，根据单价乘以数量等于总价及购进m个B款纪念品的费用+购进(400-m)个A款纪念品的费用不超过12000元，列出不等式，求出m的最小整数解即可；
（3）每一个A款纪念品的利润为(a-40)元，可销售A款纪念品的数量为[200-5(a-60)]个，根据每个A款纪念品的利润乘以销售数量等于总利润建立出w关于a的函数关系式，然后根据所得函数的性质求解即可.
27．（2025·内江） 如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若点E为的中点，，求阴影部分的面积；
（3）连接，若，求的值．
【答案】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠OBD=∠CBD，
∵OB是⊙O的半径，⊙O恰好经过点D，交AB于点E，
∴OE=OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD//BC，
∴∠ADO=∠C=90°，即OD⊥AC，
又∵OD是⊙O半径，
∴直线AC是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为R，
∴OD=OE=OB=R，
∵点E是AO的中点，
∴AE=OE=R，
∴AO=2R，
由（1）可知：OD⊥AC，
∴在Rt△AOD中，sinA=
∴∠A=30°，
∴∠AOD=60°，
∵AD=3，
∴tanA=
∴OD=AD tanA=3×tan30°=
∴，
∴S阴影=S△AOD-S扇形EOD=；
（3）解：∵BE是⊙O直径，
∴∠BDE=90°，
在Rt△BDE中，sin∠DBA=，
设DE=，BE=5a，
∴OD=BE=2.5a，
由勾股定理得：，
∵∠OBD=∠CBD，∠BDE=∠C=90°，
∴△BDE∽△BCD，
∴
∴
∴CD=2a，BC=4a，
∵由（1）可知：OD//BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴
∴
∴AD=
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
∴.
【知识点】切线的判定与性质；解直角三角形—边角关系；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接OD，由角平分线的定义及等边对等角可推出∠ODB=∠CBD=∠OBD，由内错角相等，两直线平行，得OD∥BC，从而根据二直线平行，同位角相等得∠ADO=∠C=90°，然后根据垂直半径外端点的直线是圆的切线可得结论；
（2）设⊙O的半径为R，易得AO=2R，在Rt△AOD中，由∠A的正弦函数及特殊锐角三角函数值可求出∠A=30°，再根据∠A的正切函数可求出OD的长，进而根据三角形的面积计算公式、扇形面积计算公式，由S阴影=S△AOD-S扇形EOD列式计算可得答案；
（3）由直径所对的圆周角是直角得∠BDE=90°，在Rt△BDE中，根据∠DBA的正切函数值及正切函数的定义可设DE=，BE=5a，然后利用勾股定理表示出BD；由有两组角对应相等的两个三角形相似得△BDE∽△BCD，由相似三角形对应边成比例可求出CD=2a，BC=4a，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△AOD∽△ABC，由相似三角形对应边成比例可求出AD=，进而在Rt△AOD中，由勾股定理表示出AO，最后根据余弦函数定义可求出∠A的余弦函数值.
28．（2025·内江） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，过点B的直线与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接，设点M的纵坐标为n，当时，求n的值；
（3）如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【答案】（1）解： 抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A(-3，0) 、 B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，3) ，
，
解得：
∴ 抛物线的表达式为y=- x2 -2x+3 ；
（2）解： 联立得：
解得：，
∴ D (-4，-5) ，
∵ y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4 ，
∴ 抛物线的对称轴为直线x =-1 ，顶点为N (-1，4) ，
设M(-1， n ) ，
∵ MB = MD ，
∴ MB2=MD2 ，
∴(-1-1)2+(n-0 )2=(-1+4)2+(n+5)2 ，
解得：n=-3 ，
∴ n的值为-3 ；
（3）解：符合条件的点P的坐标为：或或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；旋转的性质；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解： （3）由（2）得顶点N(-1，4) ，
设P(m ，0) ，由旋转得∠HPN=90° ， PN=PH ，
当m <-1时，过点P作y轴的平行线 EF ，过点H ， N分别作EF的垂线，垂足为点F ， E ，如图，
∴∠E=∠F=∠HPN=90° ，
∴∠EPN+∠ENP=∠EPN+∠HPF=90° ，
∴∠ENP=∠FPH ，
∴△PEN≌△HFP ( AAS ) ，
∴ EN=PF=-1- m ， PE=FH=4 ，
∴ H (4+ m ，1+ m ) ，
将点H(4+ m ，1+ m )代入y=-x2-2x+3 ，得-(4+m)2-2(4+ m )+3=1+ m ，
整理得： m2+11m+22=0 ，
解得：，
∴ P (， 0) 或 P ( ，0) ；
当m>-1时，过点P作y轴的平行线，过点H ， N分别作平行线的垂线，垂足为点 F ， E ，如图，
∴∠E=∠F=∠HPN=90° ，
∴∠EPN+∠ENP=∠EPN+∠HPF=90° ，
∴∠ENP=∠FPH ，
∴△PEN≌△HFP( AAS ) ，
∴ EN=PF=m+1 ， PE=FH=4 ，
∴ H(m-4，-m-1) ，
将点H(m-4，-m-1) 代入y=-x2-2x+3 ，得-(m-4 )2-2(m-4)+3=-m-1 ，整理得： m2-7m+4=0 ，
解得： ，
∴ P (，0) 或 P (，0) ；
综上，所有符合条件的点P ，的坐标为： P (， 0) 或 P ( ，0)或 P (，0) 或 P (，0) .
【分析】（1）将A、B、C三点的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c可得关于字母a、b、c的三元一次方程组，求解得出a、b、c的值，从而即可求出抛物线的解析式；
（2）联立抛物线与直线l的解析式，求解得出点 D (-4，-5) ，将抛物线的解析式配成顶点式可得抛物线的对称轴为直线x =-1 ，顶点为N (-1，4) ，由点的坐标与图形性质，设M(-1， n ) ，根据平面内两点间的距离公式结合MB=MD建立方程求解得出n的值；
（3）设P( m ，0) ，由旋转得∠HPN=90° ， PN=PH ，当m<-1时，过点P作y轴的平行线EF ，过点H ， N分别作EF的垂线，垂足为点F ， E ，如图，由等角的余角相等得∠ENP=∠FPH ，从而可用AAS判断出△PEN≌△HFP，由全等三角形的对应边相等得EN=PF=-1- m ， PE=FH=4 ，则H (4+ m ，1+ m ) ，然后将点H的坐标代入抛物线的解析式可求出m的值，从而得到点P的坐标；当m>-1时，过点P作y轴的平行线，过点H ， N分别作平行线的垂线，垂足为点 F ， E ，如图，由等角的余角相等得∠ENP=∠FPH ，从而可用AAS判断出△PEN≌△HFP，由全等三角形的对应边相等得 EN=PF=m+1 ， PE=FH=4 ，则 H(m-4，-m-1) ，然后将点H的坐标代入抛物线的解析式可求出m的值，从而得到点P的坐标，综上即可得出答案.
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