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浙江省杭州市西湖区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题
1．（2022八下·杭州期末） 计算（　　）
A． B．4 C．2 D．1
2．（2022八下·杭州期末） 如图，直线，则直线之间的距离是（　　）
A．线段 B．线段的长度
C．线段 D．线段的长度
3．（2022八下·杭州期末） 一元二次方程的解是（　　）
A． B．2 C． D．
4．（2022八下·杭州期末）某社团学生年龄的平均数为a岁，方差为b，若干年后这批学生年龄的（　　）
A．平均数不变 B．方差不变
C．平均数和方差均改变 D．平均数和方差均不变
5．（2022八下·杭州期末）研究发现，近视镜的度数(度)与镜片焦距(米)成反比例函数关系，小明佩戴的400度近视镜片的焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，现在镜片焦距为0.5米，则小明的近视镜度数可以调整为（　　）
A．200度 B．250度 C．300度 D．500度
6．（2022八下·杭州期末） 如图，平行四边形的对角线相交于点O，下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2022八下·杭州期末） 某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件元降到每件元，设该商品平均每次降价的百分率为，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2022八下·杭州期末） 如图，在边长为6的正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别记为，，则的值为（　　）
A．6 B．12 C．16 D．17
9．（2022八下·杭州期末） 如图，平面直角坐标系中有以下四个点：，，，.若函数的图象经过其中一点，其中k的值最大为（　　）
A． B．1 C．6 D．8
10．（2022八下·杭州期末） 如图，在菱形中，，点P从点B出发，沿折线方向移动，移动到点D停止，连结，在形状的变化过程中，出现的特殊三角形有：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形，以下排序正确的是（　　）
A．①③②③ B．②①③ C．①③②① D．③②③①
11．（2022八下·杭州期末）化简： =　 　．
12．（2022八下·杭州期末） 一个六边形的外角和为　 　.
13．（2022八下·杭州期末） 若是关于x的一元二次方程的解，则　 　．
14．（2022八下·杭州期末）有一列数2，3，4，4，6，若增加一个实数a后，中位数仍不变，则a的值可以是　 　（写出一个即可）．
15．（2022八下·杭州期末） 已知反比例函数，若，则的取值范围为　 　．
16．（2022八下·杭州期末） 如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到，则：①　 　；②若，则　 　.
17．（2022八下·杭州期末） 小明计算的解答过程如下：．他的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
18．（2022八下·杭州期末）已知一元二次方程．
（1）当b＝1时，求方程的根．
（2）若b为任意实数，请判断方程根的情况，并说明理由．
19．（2022八下·杭州期末） 为迎接党的二十大胜利召开，某校组织了以“学党史·迎盛会”为主题的系列活动．下面是八年级（1）班在各项活动中取得的成绩（单位：分）：
活动 知识竞赛 演讲比赛 绘画创作
得分 85 80 81
（1）求八年级（1）班三项活动成绩的平均数．
（2）若把知识竞赛、演讲比赛、绘画创作三项成绩分别按照的比例计入综合成绩，通过计算可知八年级（1）班的综合成绩为82分，求m的值．
20．（2022八下·杭州期末） 一辆汽车从甲地前往乙地，若以km/h的平均速度行驶，则3h后到达，
（1）该车原路返回时，求平均速度v（）与时间t（h）之间的函数关系式．
（2）已知该车上午8点从乙地出发，
①若需在当天点至点间（含点与点）返回甲地，求平均速度v（）的取值范围．
②若该车最高限速为，能否在当天10点前返回甲地？请说明理由．
21．（2022八下·杭州期末） 如图，在中，，垂足为，点，，分别是，，的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形.
（2）求证：．
22．（2022八下·杭州期末） 已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A的横坐标为2．
（1）求证：；
（2）求点B的横坐标；
（3）当时，对于实数m，当时，；当时，，直接写出m的取值范围．
23．（2022八下·杭州期末） 如图，正方形的边长为，将正方形绕点顺时针旋转到正方形，其中，与相交于点.
（1）如图①，求证：.
（2）如图②，当是中点时，
①求的大小.
②求的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】
2．【答案】D
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：
直线之间的距离是垂线段CD的长度
故答案为D：.
【分析】两条平行线间的距离指其中一条直线上的点到另一条直线的垂线段的长度.
3．【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】正数的两个平方根，是一对相反数.
4．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：设某社团学生年龄依次为（为正整数），
则原来的平均数为，
设经过t年后，
平均数为，
原来的方差为，
经过t年后的方差为，
所以当时，平均数改变；当时，平均数不变，方差一定不变.
故答案为：B．
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数；据此通过设定原始数据和若干年后的数据，分别计算出该社团学生若干年后的平均数及方差，即可得出结论.
5．【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设y=(x＞0），
∵ 400度近视镜片的焦距为0.25米 ，
∴k=400×0.25=100，
∴y=，
当y=0.5时，x=200，
∴ 现在镜片焦距为0.5米，小明的近视镜度数可以调整为200度；
故答案为：A.
【分析】设y=(x＞0），把y=0.25，x=400代入解析式中求出k值，即得函数解析式，再求出y=0.5时x值即可.
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分，但不一定平分一组对角，故结论错误；
B、平行四边形的邻角互补，但不一定存在2倍关系，故结论错误；
C、平行四边形的对角线互相平分，故结论正确；
D、平行四边形的对角线不一定等于一边的2倍，故结论错误；
故答案为：C.
【分析】平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的邻角互补、对角相等；平行四边形的对角线互相平分.
7．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设该商品平均每次降价的百分率为，由题意列方程得：
故答案为：B.
【分析】平均增长率（减少率）问题常列方程，其中分别表示起始数据和终止数据，表示增殖增长率或减少率.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；平行四边形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示.
正方形ABCD中，AB=AD=6
故答案为：D.
【分析】观察图形知，EF是BD的三等分点，OH是大正方形边长的一半，由勾股定理先求出对角线BD的长，则正方形， 的面积均可得，即可求.
9．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】由于给定的点都在第一象限，则，由反比例函数图象上点的坐标特征知，即直接计算指定点的横、纵坐标乘积再进行比较即可.
10．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定；菱形的性质；四边形-动点问题；等腰三角形的性质-三线合一；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：点P从点B出发，沿折线方向移动，移动到点D停止的运动过程如图所示，
故答案为：A.
【分析】由菱形的性质知，AD=AB，即当点P与点B重合时，是等腰三角形；当点P运动到点P1时，，是直角三角形；当点P运动到点P3，即与点C重合时，是等边三角形；当点P运动到点P4时，，是直角三角形.
11．【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： =3．
故答案为：3．
【分析】根据算术平方根的定义求出 即可．
12．【答案】
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：任意多边形的外角和都是
故答案为：
【分析】任意多边形的外角和都是.
13．【答案】4
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解： 把代入到方程中得：
故答案为：4.
【分析】由一元二次方程的解的概念把代入到方程中再移项即可.
14．【答案】4（答案不唯一）
【知识点】中位数
【解析】【解答】将这组数据从小到大排列为：2，3，4，4，6，则中位数为4，
∵增加一个数a后，这列数的中位数仍不变，
则这组数据从小到大排列为：2，3，4，4，a，6
∴，
∴a的取值范围为
∴a的值可取4．
故答案为：4（答案不唯一）．
【分析】
求一组数据的中位数，先将一组数据从小到大排序，再根据数据总个数找出中间位置的一个数或两个数的平均数．
15．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：中，3>0
在双曲线的每一个分支内，y都随x的增大而减小
当时，
当时，
故答案为：.
【分析】对于反比例函数，当时，在双曲线的每一个分支内，y都随x的增大而减小，需要注意的是双曲线无限接近两坐标轴但永远不与坐标轴相交，即
16．【答案】；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，
由折叠知，、、
四边形ABCD是矩形
四边形AGED是正方形
、
故答案为：和.
【分析】先由折叠的性质结合矩形的性质可判定四边形ADEG是正方形，则；再由折叠的性质知CH=CB，，则可判定为等腰直角三角形，利用勾股定理可求得CH的值，即CB的值，则DE=CB，即CE可求，再判定为等腰三角形，即EF=EC.
17．【答案】解：有错误，
．
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】算术平方根的积等于积的算术平方根，算术平方根的商等于商的算术平方根，但算术平方根的和不一定等于和的算术平方根，算术平方根的差亦然.
18．【答案】（1）解：当b＝1时，原方程为，分解因式得，（x+2）（x﹣1）＝0，
x+2＝0，或x﹣1＝0，
∴；
（2）解：若b为任意实数，方程总有两个不相等的实数根，理由如下：
∵，
∴若b为任意实数，方程总有两个不相等的实数根．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）将b=1代入方程得，再利用因式分解法求解即可；
（2）对于一元二次方程有根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
（1）当b＝1时，原方程为，
分解因式得，（x+2）（x﹣1）＝0，
x+2＝0，或x﹣1＝0，
∴；
（2）若b为任意实数，方程总有两个不相等的实数根，
理由如下：
∵，
∴若b为任意实数，方程总有两个不相等的实数根．
19．【答案】（1）解：三项成绩的平均数为
（2）解：根据题意，得，
解得
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）直接利用平均数计算公式计算即可；
（2）利用加权平均数计算公式可得到关于m的一元一次方程并求解即可.
20．【答案】（1）解：∵路程＝
∴v关于t的函数表达式为：
（2）解：①8点至点时间长为3小时，8点至点时间长为5小时，
将代入，得．
将代入，得．
∴汽车平均速度v（）的取值范围为：；
②不能在当天点前返回甲地．理由如下：
∵8点至点时间长为2小时，
将，代入，
得千米/小时，超速了．
故汽车不会在当天点前返回甲地．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2） ①先分别求出最长和最短用时，再代入到反比例函数解析式中可求出对应的速度即可；
②先计算出最多2小时返回时的速度，再与最高时速进行比较即可.
21．【答案】（1）证明：点，，分别是，，的中点，
，，，
，
四边形是平行四边形
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
，点，点分别是，的中点，
，，
，，
，
．
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；多边形的内角和公式；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理可得DF//AC、DE//AB，则四边形AFDE是平行四边形；
（2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得FH=FA、EH=EA，则由等边对等角可得，又平行四边形的对角相等即，等量代换即可.
22．【答案】（1）证明：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，其中点A的横坐标为2，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，其中点A的横坐标为2，
∴点B的横坐标为；
（3）或．
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；正比例函数的性质
【解析】【解答】（3）
解：观察图象得，第一象限内：
解不等式得：
在第三象限内
解不等式得：
或．
【分析】
（1）由函数图象上点的坐标特征可得当时，，即；
（2）因为正比例函数和反比例函数的图象都是中心对称图形，对称中心为原点，即A、B两点关于原点中心对称，所以点B的横坐标为；
（3）观察图象知，，又已知，所以反比例函数在每一个分支内，都随的增大而减小，而对于正比例函数，都随的增大而增大，因此在第一象限内，当时，即；当时，即，解得；在第三象限内，当时，即； 当时，即，解得，综上所述，m的取值范围为或．
23．【答案】（1）证明：连接，
将正方形绕点 顺时针旋转到正方形，
，，
，
，
，
，
即；
（2）解：①连接，
是的中点，
，
，，
，即，
，
，
，，
，
，
；
②作，交的延长线于，
，，，
，
，
，
，
，
设，则，
由勾股定理得，，
，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；直角三角形的判定
【解析】【分析】(1)如图，连接CE，由旋转的性质和正方形的性质得：，则可利用“HL”判定，由全等的性质得即可；
(2) ①当E为AD中点时，则，连接B`D，则为直角三角形且； 由旋转的性质结合正方形的性质知，则由等边对等角得，再由四边形的内角和定理可得，再由周角的概念可得；
②如图所示，过点D作A`D的垂线段D`H，连接DH，则利用正方形的性质可证，由全等性质可得，再利用三角形的外角性质可得，即，此时在中应用勾股定理即可求出，则可求.
1 / 1浙江省杭州市西湖区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题
1．（2022八下·杭州期末） 计算（　　）
A． B．4 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】
2．（2022八下·杭州期末） 如图，直线，则直线之间的距离是（　　）
A．线段 B．线段的长度
C．线段 D．线段的长度
【答案】D
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：
直线之间的距离是垂线段CD的长度
故答案为D：.
【分析】两条平行线间的距离指其中一条直线上的点到另一条直线的垂线段的长度.
3．（2022八下·杭州期末） 一元二次方程的解是（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】正数的两个平方根，是一对相反数.
4．（2022八下·杭州期末）某社团学生年龄的平均数为a岁，方差为b，若干年后这批学生年龄的（　　）
A．平均数不变 B．方差不变
C．平均数和方差均改变 D．平均数和方差均不变
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：设某社团学生年龄依次为（为正整数），
则原来的平均数为，
设经过t年后，
平均数为，
原来的方差为，
经过t年后的方差为，
所以当时，平均数改变；当时，平均数不变，方差一定不变.
故答案为：B．
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数；据此通过设定原始数据和若干年后的数据，分别计算出该社团学生若干年后的平均数及方差，即可得出结论.
5．（2022八下·杭州期末）研究发现，近视镜的度数(度)与镜片焦距(米)成反比例函数关系，小明佩戴的400度近视镜片的焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，现在镜片焦距为0.5米，则小明的近视镜度数可以调整为（　　）
A．200度 B．250度 C．300度 D．500度
【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设y=(x＞0），
∵ 400度近视镜片的焦距为0.25米 ，
∴k=400×0.25=100，
∴y=，
当y=0.5时，x=200，
∴ 现在镜片焦距为0.5米，小明的近视镜度数可以调整为200度；
故答案为：A.
【分析】设y=(x＞0），把y=0.25，x=400代入解析式中求出k值，即得函数解析式，再求出y=0.5时x值即可.
6．（2022八下·杭州期末） 如图，平行四边形的对角线相交于点O，下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分，但不一定平分一组对角，故结论错误；
B、平行四边形的邻角互补，但不一定存在2倍关系，故结论错误；
C、平行四边形的对角线互相平分，故结论正确；
D、平行四边形的对角线不一定等于一边的2倍，故结论错误；
故答案为：C.
【分析】平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的邻角互补、对角相等；平行四边形的对角线互相平分.
7．（2022八下·杭州期末） 某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件元降到每件元，设该商品平均每次降价的百分率为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设该商品平均每次降价的百分率为，由题意列方程得：
故答案为：B.
【分析】平均增长率（减少率）问题常列方程，其中分别表示起始数据和终止数据，表示增殖增长率或减少率.
8．（2022八下·杭州期末） 如图，在边长为6的正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别记为，，则的值为（　　）
A．6 B．12 C．16 D．17
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；平行四边形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示.
正方形ABCD中，AB=AD=6
故答案为：D.
【分析】观察图形知，EF是BD的三等分点，OH是大正方形边长的一半，由勾股定理先求出对角线BD的长，则正方形， 的面积均可得，即可求.
9．（2022八下·杭州期末） 如图，平面直角坐标系中有以下四个点：，，，.若函数的图象经过其中一点，其中k的值最大为（　　）
A． B．1 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】由于给定的点都在第一象限，则，由反比例函数图象上点的坐标特征知，即直接计算指定点的横、纵坐标乘积再进行比较即可.
10．（2022八下·杭州期末） 如图，在菱形中，，点P从点B出发，沿折线方向移动，移动到点D停止，连结，在形状的变化过程中，出现的特殊三角形有：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形，以下排序正确的是（　　）
A．①③②③ B．②①③ C．①③②① D．③②③①
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定；菱形的性质；四边形-动点问题；等腰三角形的性质-三线合一；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：点P从点B出发，沿折线方向移动，移动到点D停止的运动过程如图所示，
故答案为：A.
【分析】由菱形的性质知，AD=AB，即当点P与点B重合时，是等腰三角形；当点P运动到点P1时，，是直角三角形；当点P运动到点P3，即与点C重合时，是等边三角形；当点P运动到点P4时，，是直角三角形.
11．（2022八下·杭州期末）化简： =　 　．
【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： =3．
故答案为：3．
【分析】根据算术平方根的定义求出 即可．
12．（2022八下·杭州期末） 一个六边形的外角和为　 　.
【答案】
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：任意多边形的外角和都是
故答案为：
【分析】任意多边形的外角和都是.
13．（2022八下·杭州期末） 若是关于x的一元二次方程的解，则　 　．
【答案】4
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解： 把代入到方程中得：
故答案为：4.
【分析】由一元二次方程的解的概念把代入到方程中再移项即可.
14．（2022八下·杭州期末）有一列数2，3，4，4，6，若增加一个实数a后，中位数仍不变，则a的值可以是　 　（写出一个即可）．
【答案】4（答案不唯一）
【知识点】中位数
【解析】【解答】将这组数据从小到大排列为：2，3，4，4，6，则中位数为4，
∵增加一个数a后，这列数的中位数仍不变，
则这组数据从小到大排列为：2，3，4，4，a，6
∴，
∴a的取值范围为
∴a的值可取4．
故答案为：4（答案不唯一）．
【分析】
求一组数据的中位数，先将一组数据从小到大排序，再根据数据总个数找出中间位置的一个数或两个数的平均数．
15．（2022八下·杭州期末） 已知反比例函数，若，则的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：中，3>0
在双曲线的每一个分支内，y都随x的增大而减小
当时，
当时，
故答案为：.
【分析】对于反比例函数，当时，在双曲线的每一个分支内，y都随x的增大而减小，需要注意的是双曲线无限接近两坐标轴但永远不与坐标轴相交，即
16．（2022八下·杭州期末） 如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到，则：①　 　；②若，则　 　.
【答案】；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，
由折叠知，、、
四边形ABCD是矩形
四边形AGED是正方形
、
故答案为：和.
【分析】先由折叠的性质结合矩形的性质可判定四边形ADEG是正方形，则；再由折叠的性质知CH=CB，，则可判定为等腰直角三角形，利用勾股定理可求得CH的值，即CB的值，则DE=CB，即CE可求，再判定为等腰三角形，即EF=EC.
17．（2022八下·杭州期末） 小明计算的解答过程如下：．他的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【答案】解：有错误，
．
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】算术平方根的积等于积的算术平方根，算术平方根的商等于商的算术平方根，但算术平方根的和不一定等于和的算术平方根，算术平方根的差亦然.
18．（2022八下·杭州期末）已知一元二次方程．
（1）当b＝1时，求方程的根．
（2）若b为任意实数，请判断方程根的情况，并说明理由．
【答案】（1）解：当b＝1时，原方程为，分解因式得，（x+2）（x﹣1）＝0，
x+2＝0，或x﹣1＝0，
∴；
（2）解：若b为任意实数，方程总有两个不相等的实数根，理由如下：
∵，
∴若b为任意实数，方程总有两个不相等的实数根．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）将b=1代入方程得，再利用因式分解法求解即可；
（2）对于一元二次方程有根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
（1）当b＝1时，原方程为，
分解因式得，（x+2）（x﹣1）＝0，
x+2＝0，或x﹣1＝0，
∴；
（2）若b为任意实数，方程总有两个不相等的实数根，
理由如下：
∵，
∴若b为任意实数，方程总有两个不相等的实数根．
19．（2022八下·杭州期末） 为迎接党的二十大胜利召开，某校组织了以“学党史·迎盛会”为主题的系列活动．下面是八年级（1）班在各项活动中取得的成绩（单位：分）：
活动 知识竞赛 演讲比赛 绘画创作
得分 85 80 81
（1）求八年级（1）班三项活动成绩的平均数．
（2）若把知识竞赛、演讲比赛、绘画创作三项成绩分别按照的比例计入综合成绩，通过计算可知八年级（1）班的综合成绩为82分，求m的值．
【答案】（1）解：三项成绩的平均数为
（2）解：根据题意，得，
解得
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）直接利用平均数计算公式计算即可；
（2）利用加权平均数计算公式可得到关于m的一元一次方程并求解即可.
20．（2022八下·杭州期末） 一辆汽车从甲地前往乙地，若以km/h的平均速度行驶，则3h后到达，
（1）该车原路返回时，求平均速度v（）与时间t（h）之间的函数关系式．
（2）已知该车上午8点从乙地出发，
①若需在当天点至点间（含点与点）返回甲地，求平均速度v（）的取值范围．
②若该车最高限速为，能否在当天10点前返回甲地？请说明理由．
【答案】（1）解：∵路程＝
∴v关于t的函数表达式为：
（2）解：①8点至点时间长为3小时，8点至点时间长为5小时，
将代入，得．
将代入，得．
∴汽车平均速度v（）的取值范围为：；
②不能在当天点前返回甲地．理由如下：
∵8点至点时间长为2小时，
将，代入，
得千米/小时，超速了．
故汽车不会在当天点前返回甲地．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2） ①先分别求出最长和最短用时，再代入到反比例函数解析式中可求出对应的速度即可；
②先计算出最多2小时返回时的速度，再与最高时速进行比较即可.
21．（2022八下·杭州期末） 如图，在中，，垂足为，点，，分别是，，的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形.
（2）求证：．
【答案】（1）证明：点，，分别是，，的中点，
，，，
，
四边形是平行四边形
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
，点，点分别是，的中点，
，，
，，
，
．
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；多边形的内角和公式；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理可得DF//AC、DE//AB，则四边形AFDE是平行四边形；
（2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得FH=FA、EH=EA，则由等边对等角可得，又平行四边形的对角相等即，等量代换即可.
22．（2022八下·杭州期末） 已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A的横坐标为2．
（1）求证：；
（2）求点B的横坐标；
（3）当时，对于实数m，当时，；当时，，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）证明：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，其中点A的横坐标为2，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，其中点A的横坐标为2，
∴点B的横坐标为；
（3）或．
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；正比例函数的性质
【解析】【解答】（3）
解：观察图象得，第一象限内：
解不等式得：
在第三象限内
解不等式得：
或．
【分析】
（1）由函数图象上点的坐标特征可得当时，，即；
（2）因为正比例函数和反比例函数的图象都是中心对称图形，对称中心为原点，即A、B两点关于原点中心对称，所以点B的横坐标为；
（3）观察图象知，，又已知，所以反比例函数在每一个分支内，都随的增大而减小，而对于正比例函数，都随的增大而增大，因此在第一象限内，当时，即；当时，即，解得；在第三象限内，当时，即； 当时，即，解得，综上所述，m的取值范围为或．
23．（2022八下·杭州期末） 如图，正方形的边长为，将正方形绕点顺时针旋转到正方形，其中，与相交于点.
（1）如图①，求证：.
（2）如图②，当是中点时，
①求的大小.
②求的长.
【答案】（1）证明：连接，
将正方形绕点 顺时针旋转到正方形，
，，
，
，
，
，
即；
（2）解：①连接，
是的中点，
，
，，
，即，
，
，
，，
，
，
；
②作，交的延长线于，
，，，
，
，
，
，
，
设，则，
由勾股定理得，，
，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；直角三角形的判定
【解析】【分析】(1)如图，连接CE，由旋转的性质和正方形的性质得：，则可利用“HL”判定，由全等的性质得即可；
(2) ①当E为AD中点时，则，连接B`D，则为直角三角形且； 由旋转的性质结合正方形的性质知，则由等边对等角得，再由四边形的内角和定理可得，再由周角的概念可得；
②如图所示，过点D作A`D的垂线段D`H，连接DH，则利用正方形的性质可证，由全等性质可得，再利用三角形的外角性质可得，即，此时在中应用勾股定理即可求出，则可求.
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