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广东省深圳市15校2025年中考二模数学试题
1．（2025·深圳模拟）如果mn＝ab（m、n、a、b均不为零），则下列比例式中错误的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·深圳模拟）如图，不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·深圳模拟）如图，在中，，且分别交于点D，E，若，则下列说法不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·深圳模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的位似比为2：1．点P（﹣6，9）在①号“E”上，则点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（　　）
A．（﹣3，） B．（﹣2，3） C．（﹣，3） D．（﹣3，2）
5．（2025·深圳模拟）在二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表
…… ……
…… ……
其中的值（　　）
A．21 B．12 C．5 D．
6．（2025·深圳模拟）如图，是的弦，，，则的直径等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．（2025·深圳模拟）已知，在△ABC中，AB＝AC，根据以下各图所保留的作图痕迹，一定能使点O到△ABC三边距离相等的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·深圳模拟）如表是小林填写的实践活动报告的部分内容：
题目 测量孔子像的高度
测量目标及其示意图
相关数据
根据以上信息，可求出孔子像的高度约为（　　）
（结果精确到，参考数据：）
A． B． C． D．
9．（2025·深圳模拟）用“*”定义新运算：对于任意实数 都有 如 那么 　 　.
10．（2025·深圳模拟）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则的值为　 　．
11．（2025·深圳模拟）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝　 　．
12．（2025·深圳模拟）如图，在矩形中，，，是边的中点，是射线上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是　 　．
13．（2025·深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，，与关于直线对称，反比例函数（，）的图象与A'B交于点C．若，则k的值为　 　．
14．（2025·深圳模拟）阅读材料，并回答问题：
小明在学习分式运算过程中，计算的解答过程如下：
解：①
＝②
＝(x﹣2)﹣(x+2)③
＝x﹣2﹣x﹣2 ④
＝﹣4 ⑤
问题：(1)上述计算过程中，从　 　步开始出现了错误(填序号)；
(2)发生错误的原因是：　 　；
(3)在下面的空白处，写出正确的解答过程：
15．（2025·深圳模拟）《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准2022年版》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．
请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了______名学生；
（2）补全上面的条形统计图和扇形统计图；
（3）学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
16．（2025·深圳模拟）滑雪是冬季运动爱好者的喜爱项目之一，滑雪者从山坡滑下，其滑行距离（单位：）是滑行时间（单位：）的二次函数．滑雪爱好者小聪从山坡滑下，同学小敏帮他测得一些数据，记录于下表．
滑行时间 0 1 2 3 4
滑行距离 0 4.5 14 38.5 48
（1）在上表t，的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点、连线的方法，画出函数的大致图象，并观察判断哪一对是错误的？
（2）根据（1）中结果，求出关于的函数表达式；并求出当滑行时间为时，小聪在山坡上滑行的距离是多少？
17．（2025·深圳模拟）某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查，每降价1元，每星期可多卖出20件，在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x（x为整数）元，每星期售出商品的利润为y元，请写出x与y之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）请画出上述函数的大致图象；
（3）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
小丽解答过程如下：
解：（1）根据题意，可列出表达式：
，
即.
∵降价要确保盈利，
∴.解得．
（2）上述表达式的图象是抛物线的一部分，函数的大致图象如图1：
（3）∵，
∴当时，y有最大值，.
所以，当降价2.5元时，每星期的利润 最大，最大利润为6125．
老师看了小丽的解题过程，说小马第（1）问的表达式是正确的，但自变量x的取值范围不准确．（2）（3）问的答案，也都存在问题．请你就老师说的问题，进行探究，写出你认为（1）（2）（3）中正确的答案，或说明错误原因．
18．（2025·深圳模拟）如图，是圆O的直径，D、E为圆O上位于异侧的两点，连接并延长至点C，使得，连接交圆O于点F，连接、、．
（1）求证：；
（2）设交于点G，若，，E是弧的中点，求的值
19．（2025·深圳模拟）在数学实践活动课上，“创新”小组准备探索三角尺中的数学．
【操作】
（1）成员们发现通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角．如图，一副三角尺所拼的图案中，_____；
【发现】
（2）如图，将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，直角边分别重合，将含的三角板绕点逆时针旋转至如图位置处，若此时，求的值．
【拓展】
新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图，是的内半角．
（3）将两块含有角的三角板按图方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图，将三角板绕顶点以度秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为秒，当射线构成内半角时，求的值．
20．（2025·深圳模拟）【理解概念】
分别经过两个不相似的直角三角形的直角顶点的两条直线，把这两个直角三角形分别分成两个小三角形，当一个直角三角形中的一个小三角形与另一个直角三角形中的一个小三角形相似时，另外两个小三角形也相似，则称这样的两条直线叫做这两个直角三角形的相似分割线．
【巩固新知】
（1）已知：如图①、②，在和中，．
①求证：、分别是和的相似分割线；
②若，求的长．
【拓展提高】
（2）如图③，为的直径，点C、D在上，、分别是和的相似分割线，且．
①若点P是的黄金分割点，则点Q是否也是的黄金分割点？说明理由；
②若．当时，直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、等式两边同时乘以mb，可得ab=mn，正确，不符合题意；
B，等式两边同时乘以nb，可得ab=mn，正确，不符合题意；
C、等式两边同时乘以ab，可得mb=na，错误，符合题意；
D、等式两边同时乘以an，可得mn=ab，正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质，等式两边同时乘以不为0的数，等式不变.
2．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
不等式①的解集为：x＞-1；
不等式②的解集为：x≤1，
在数轴上表示，
故答案为：B.
【分析】由题意，先分别求出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集，然后根据在数轴上表示解集时““≤”实心向左；“＞”空心向右”并结合各选项即可求解.
3．【答案】D
【知识点】比例的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：A、，
，
，
，
∴此选项不符合题意；
B、∵，
∴，
∵DE∥BC，
，
∴此选项不符合题意；
C、由A可得：△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴此选项不符合题意；
D、由A可得：△ADE∽△ABC，
∴，
∴此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】A、由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得△ADE∽△ABC，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式；
B、根据比例的性质并结合已知条件可求解；
C、根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方并结合比例的性质可求解；
D、由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解.
4．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵①号“E”与②号“E”是位似图形，位似比为2：1，点P（﹣6，9），
∴点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（﹣6×，9×），
即（﹣3，），
故答案为：A．
【分析】根据位似变换的性质“如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行（或在一条直线上）”计算即可求解.
5．【答案】C
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由表格可知，二次函数对称轴为直线，
与是关于对称轴的对称点，值相同，
，
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的对称性并结合表格中的信息可求出对称轴为直线，且与的值相同，即可求出的值．
6．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解：作直径，连接，
由圆周角定理得，，，
∴，
故答案为：C．
【分析】作直径，连接，根据圆周角定理“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”可得，由直径所对的圆周角是直角可得，然后根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得BD=2BC可求解．
7．【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：A.以B为端点的射线不是的平分线，
∴此选项不符合题意；
B. 交点O到三角形的三个顶点距离相等，
∴此选项不符合题意；
C.射线BO不是的平分线，
∴此选项不符合题意；
D.两条射线均为角的平分线，交点O到△ABC三边距离相等，
∴此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可知：到三角形三边距离相等的点是三角形角平分线的交点；结合各选项所给的射线即可判断求解．
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：在中，，
∴．
∴．
在中，，
∴．
∴，
故答案为 ：B．
【分析】根据正切定义可得BD，AB，再根据边之间的关系可得BC，AE，即可求出答案.
9．【答案】8
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】由题意得： ※2=2×( ) +2=6+2=8，故答案为8.
【分析】 根据 对 ※2进行列式，然后利用实数运算计算即可.
10．【答案】1
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：如图，
由题意，图中①表示的数是，
图中②表示的数是，
则，
解得，
故答案为：1．
【分析】先根据“每一横行、两条斜对角线上的数字之和都是15”求出图中①和②表示的数，再根据“每一竖行上的数字之和都是15”可得关于m的方程，解方程即可求解．
11．【答案】
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=72°
∴∠ACB=∠B=72°
∴∠A=180°-∠B-∠ACB=36°
∵CD是∠CAB的角平分线
∴∠ACD=∠BCD=
∴∠A=∠ACD
∴AD=CD
在△ABC与△CBD中
∠A=∠BCD=36°，∠B=∠B
∴△ABC∽△CBD
∴
在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36°
∴∠CDB=72°
∴∠CDB=∠B=72°
∴AD=CD=BC
∴
即
∴D点为AB的黄金分割点
在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36°
∴CD>BD（大角对大边）
∴AD>BD
∵D是AB的黄金分割点，AD>BD
∴
∴
故答案为：.
【分析】根据等边对等角可得∠ACB=∠B=72°，再根据三角形内角和定理可得∠A，根据角平分线定义可得∠ACD=∠BCD=，则∠A=∠ACD，根据等角对等边可得AD=CD，再根据相似三角形判定定理可得△ABC∽△CBD，则，根据三角形内角和定理可得∠CDB=72°，则∠CDB=∠B=72°，即AD=CD=BC，可得，即，D点为AB的黄金分割点，再根据边之间的关系黄金分割点可得 ，再根据边之间的关系即可求出答案.
12．【答案】4
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是矩形，，，是边的中点，
∴，，
∴，
∵将沿所在直线折叠得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值是4，
故答案为：4．
【分析】连接，根据矩形性质可得，，再根据勾股定理可得DE，根据折叠性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点B作轴，
，，，
，，
，，
，，
，，
与关于直线对称，
，，
，
，B，D三点共线，
，
，
，
，
将其代入，得：，
故答案为：．
【分析】过点B作轴，由点B的坐标可得，，由锐角三角函数tan∠BOA=并结合特殊角的三角函数值可得∠BOA=30°，在Rt△OBD中，用勾股定理可求得OB=AB的值，根据等腰三角形的两底角相等直角三角形两锐角互余可得∠OBD=∠ABD=60°，由角的和差并结合轴对称的性质可得∠OBA =∠OBA，于是由角的和差可得，则可得，B，D三点共线，结合图形确定，然后用待待定系数法即可求解．
14．【答案】（1）③；（2）不能去分母；
（3）正确解答过程为：
解：
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】（1）上述计算过程中，从③步开始出现了错误（填序号）；
故答案为③；
（2）发生错误的原因是：不能去分母；
故答案为不能去分母；
【分析】（1）根据分式的运算法则即可求出答案.
（2）根据分式的运算法则即可求出答案.
（3）根据分式的减法，结合平方差公式即可求出答案.
15．【答案】（1）20
（2）解：∴组人数为：（人），
∴组女生有：（人）；
由扇形统计图可知：组的百分比为，
∴组人数为：（人），
∴组男生有：（人）；
补全图形如下：
（3）解：用表示名男生，用表示两名女生，列表如下：
A B C D E
A
B
C
D
E
共有20种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果有12种，
∴所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：（人），
∴一共调查了20人
故答案为：20.
【分析】（1）根据组人数除以所占的百分比即可求出答案.
（2）总数乘以组的百分比，求出组人数，进而求出组女生人数，总数乘以组的百分比，求出组的人数，进而求出组男生人数，1减去其它项所占的百分比，求出D项所占的百分比即可，再补全图形即可；
（3）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：（人），
∴一共调查了20人；
（2）解：∴组人数为：（人），
∴组女生有：（人）；
由扇形统计图可知：组的百分比为，
∴组人数为：（人），
∴组男生有：（人）；
补全图形如下：
（3）解：用表示名男生，用表示两名女生，列表如下：
A B C D E
A
B
C
D
E
共有20种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果有12种，
∴所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
16．【答案】解：（1）描点，连线，如图所示．
根据图像可知，数据（3，38.5）是错误的；
（2）设关于的函数表达式为
显然当时，．
将、两点坐标代入，
有解得
关于的函数表达式为
当时，
即小聪在山坡上滑行的距离是102米
【知识点】描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）根据描点法作出函数图象即可求出答案.
（2）设关于的函数表达式为，根据待定系数法将点(0，0)，、代入解析式可得关于的函数表达式为，再将t=6代入解析式即可求出答案.
17．【答案】（1）解：，
即，
∵降价要确保盈利，
∴．
解得，且x为整数
（2）解：函数不能为实线，是图象中，当时，对应的20个有限点，如图：
（3）解：若x只取正整数，则x就不能取2.5，结果就不是6125元，
显然，只有当或3时，
y有最大值，y最大值元，
答：当降价元或3元时，利润最大为元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）根据函数解析式得到相关数据，画出图象即可；
（3）根据二次函数的性质即可得到结论．
（1）解：，
即，
∵降价要确保盈利，
∴．
解得，且x为整数；
（2）解：函数不能为实线，是图象中，当时，对应的20个有限点，如图：
（3）解：若x只取正整数，则x就不能取2.5，结果就不是6125元，
显然，只有当或3时，
y有最大值，y最大值元，
答：当降价元或3元时，利润最大为元．
18．【答案】（1）解：如图，连接
因为是的直径
所以，即
又
所以垂直平分
所以
（2）解：如图，连接
因为，
所以
因为
所以
所以
所以
所以
在中，，
所以
所以
因为是弧的中点，是的直径
所以
所以
因为是弧的中点，
所以
所以
所以
所以
【知识点】圆周角定理；解直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，即，再根据垂直平分线判定定理可得垂直平分，则，即可求出答案.
（2）连接，根据角之间的关系可得，根据等边对等角可得，则，即，再根据余弦定义可得，则，根据圆周角定理可得，根据勾股定理可得AE，再根据圆周角定理可得，根据相似三角形判定定理可得，即，代值计算即可求出答案.
（1）如图，连接
因为是的直径
所以，即
又
所以垂直平分
所以；
（2）如图，连接
因为，
所以
因为
所以
所以
所以
所以
在中，，
所以
所以
因为是弧的中点，是的直径
所以
所以
因为是弧的中点，
所以
所以
所以
所以．
19．【答案】（）；
解：（）由题意可得：，
则，，
∵，
∴，
解得：；
（）如图所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知：，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
如图所示，此时是的半角，
由旋转性质可得：，，
∴，，
∴是的内半角，
∴，即，
解得：；
如图所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知：，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
如图所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知：，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
综上所述：当射线、、、构成内半角时，的值为或或或
【知识点】角的运算；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（）∵，，，
∴，
故答案为：
【分析】（1）根据角之间的关系即可求出答案.
（2）由题意可得：，则则，，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）分情况讨论：如图所示，此时是的内半角，根据旋转性质可得由旋转性质可知：，，根据角之间的关系建立方程，解方程即可求出答案；如图所示，此时是的半角，根据旋转性质可得由旋转性质可得：，，根据角之间的关系建立方程，解方程即可求出答案；如图所示，此时是的内半角，由旋转性质可知：，，根据角之间的关系建立方程，解方程即可求出答案；如图所示，此时是的内半角，由旋转性质可知：，，根据角之间的关系建立方程，解方程即可求出答案；
20．【答案】解：（1）①∵，，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴为相似分割线；
②由①得，
设，
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
（2）①、分别是和的相似分割线，且．
∴
∴，
∵，
∴
∵P为黄金分割点
∴
∴
∴Q为黄金分割点．
②、分别是和的相似分割线，且．
∴
∵
∴
∵
∴
如图，作交AB于M
∵
∴
∴，
∵
∴
∴.
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）①根据直角三角形的相似分割线的定义即可求证；
②由，可得比例式，，设，根据AP+BP=10可得关于x的方程，解方程求出x的值即可；
（2）①根据．可得比例式，由点P是的黄金分割点，可得出Q为黄金分割点；
②证明，作交AB于M，证明，分别求出AM，MP的值，然后根据线段的和差AP=AM+MP即可求解．
1 / 1广东省深圳市15校2025年中考二模数学试题
1．（2025·深圳模拟）如果mn＝ab（m、n、a、b均不为零），则下列比例式中错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、等式两边同时乘以mb，可得ab=mn，正确，不符合题意；
B，等式两边同时乘以nb，可得ab=mn，正确，不符合题意；
C、等式两边同时乘以ab，可得mb=na，错误，符合题意；
D、等式两边同时乘以an，可得mn=ab，正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质，等式两边同时乘以不为0的数，等式不变.
2．（2025·深圳模拟）如图，不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
不等式①的解集为：x＞-1；
不等式②的解集为：x≤1，
在数轴上表示，
故答案为：B.
【分析】由题意，先分别求出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集，然后根据在数轴上表示解集时““≤”实心向左；“＞”空心向右”并结合各选项即可求解.
3．（2025·深圳模拟）如图，在中，，且分别交于点D，E，若，则下列说法不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】比例的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：A、，
，
，
，
∴此选项不符合题意；
B、∵，
∴，
∵DE∥BC，
，
∴此选项不符合题意；
C、由A可得：△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴此选项不符合题意；
D、由A可得：△ADE∽△ABC，
∴，
∴此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】A、由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得△ADE∽△ABC，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式；
B、根据比例的性质并结合已知条件可求解；
C、根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方并结合比例的性质可求解；
D、由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解.
4．（2025·深圳模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的位似比为2：1．点P（﹣6，9）在①号“E”上，则点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（　　）
A．（﹣3，） B．（﹣2，3） C．（﹣，3） D．（﹣3，2）
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵①号“E”与②号“E”是位似图形，位似比为2：1，点P（﹣6，9），
∴点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（﹣6×，9×），
即（﹣3，），
故答案为：A．
【分析】根据位似变换的性质“如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行（或在一条直线上）”计算即可求解.
5．（2025·深圳模拟）在二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表
…… ……
…… ……
其中的值（　　）
A．21 B．12 C．5 D．
【答案】C
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由表格可知，二次函数对称轴为直线，
与是关于对称轴的对称点，值相同，
，
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的对称性并结合表格中的信息可求出对称轴为直线，且与的值相同，即可求出的值．
6．（2025·深圳模拟）如图，是的弦，，，则的直径等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解：作直径，连接，
由圆周角定理得，，，
∴，
故答案为：C．
【分析】作直径，连接，根据圆周角定理“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”可得，由直径所对的圆周角是直角可得，然后根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得BD=2BC可求解．
7．（2025·深圳模拟）已知，在△ABC中，AB＝AC，根据以下各图所保留的作图痕迹，一定能使点O到△ABC三边距离相等的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：A.以B为端点的射线不是的平分线，
∴此选项不符合题意；
B. 交点O到三角形的三个顶点距离相等，
∴此选项不符合题意；
C.射线BO不是的平分线，
∴此选项不符合题意；
D.两条射线均为角的平分线，交点O到△ABC三边距离相等，
∴此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可知：到三角形三边距离相等的点是三角形角平分线的交点；结合各选项所给的射线即可判断求解．
8．（2025·深圳模拟）如表是小林填写的实践活动报告的部分内容：
题目 测量孔子像的高度
测量目标及其示意图
相关数据
根据以上信息，可求出孔子像的高度约为（　　）
（结果精确到，参考数据：）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：在中，，
∴．
∴．
在中，，
∴．
∴，
故答案为 ：B．
【分析】根据正切定义可得BD，AB，再根据边之间的关系可得BC，AE，即可求出答案.
9．（2025·深圳模拟）用“*”定义新运算：对于任意实数 都有 如 那么 　 　.
【答案】8
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】由题意得： ※2=2×( ) +2=6+2=8，故答案为8.
【分析】 根据 对 ※2进行列式，然后利用实数运算计算即可.
10．（2025·深圳模拟）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则的值为　 　．
【答案】1
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：如图，
由题意，图中①表示的数是，
图中②表示的数是，
则，
解得，
故答案为：1．
【分析】先根据“每一横行、两条斜对角线上的数字之和都是15”求出图中①和②表示的数，再根据“每一竖行上的数字之和都是15”可得关于m的方程，解方程即可求解．
11．（2025·深圳模拟）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝　 　．
【答案】
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=72°
∴∠ACB=∠B=72°
∴∠A=180°-∠B-∠ACB=36°
∵CD是∠CAB的角平分线
∴∠ACD=∠BCD=
∴∠A=∠ACD
∴AD=CD
在△ABC与△CBD中
∠A=∠BCD=36°，∠B=∠B
∴△ABC∽△CBD
∴
在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36°
∴∠CDB=72°
∴∠CDB=∠B=72°
∴AD=CD=BC
∴
即
∴D点为AB的黄金分割点
在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36°
∴CD>BD（大角对大边）
∴AD>BD
∵D是AB的黄金分割点，AD>BD
∴
∴
故答案为：.
【分析】根据等边对等角可得∠ACB=∠B=72°，再根据三角形内角和定理可得∠A，根据角平分线定义可得∠ACD=∠BCD=，则∠A=∠ACD，根据等角对等边可得AD=CD，再根据相似三角形判定定理可得△ABC∽△CBD，则，根据三角形内角和定理可得∠CDB=72°，则∠CDB=∠B=72°，即AD=CD=BC，可得，即，D点为AB的黄金分割点，再根据边之间的关系黄金分割点可得 ，再根据边之间的关系即可求出答案.
12．（2025·深圳模拟）如图，在矩形中，，，是边的中点，是射线上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是　 　．
【答案】4
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是矩形，，，是边的中点，
∴，，
∴，
∵将沿所在直线折叠得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值是4，
故答案为：4．
【分析】连接，根据矩形性质可得，，再根据勾股定理可得DE，根据折叠性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．（2025·深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，，与关于直线对称，反比例函数（，）的图象与A'B交于点C．若，则k的值为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点B作轴，
，，，
，，
，，
，，
，，
与关于直线对称，
，，
，
，B，D三点共线，
，
，
，
，
将其代入，得：，
故答案为：．
【分析】过点B作轴，由点B的坐标可得，，由锐角三角函数tan∠BOA=并结合特殊角的三角函数值可得∠BOA=30°，在Rt△OBD中，用勾股定理可求得OB=AB的值，根据等腰三角形的两底角相等直角三角形两锐角互余可得∠OBD=∠ABD=60°，由角的和差并结合轴对称的性质可得∠OBA =∠OBA，于是由角的和差可得，则可得，B，D三点共线，结合图形确定，然后用待待定系数法即可求解．
14．（2025·深圳模拟）阅读材料，并回答问题：
小明在学习分式运算过程中，计算的解答过程如下：
解：①
＝②
＝(x﹣2)﹣(x+2)③
＝x﹣2﹣x﹣2 ④
＝﹣4 ⑤
问题：(1)上述计算过程中，从　 　步开始出现了错误(填序号)；
(2)发生错误的原因是：　 　；
(3)在下面的空白处，写出正确的解答过程：
【答案】（1）③；（2）不能去分母；
（3）正确解答过程为：
解：
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】（1）上述计算过程中，从③步开始出现了错误（填序号）；
故答案为③；
（2）发生错误的原因是：不能去分母；
故答案为不能去分母；
【分析】（1）根据分式的运算法则即可求出答案.
（2）根据分式的运算法则即可求出答案.
（3）根据分式的减法，结合平方差公式即可求出答案.
15．（2025·深圳模拟）《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准2022年版》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．
请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了______名学生；
（2）补全上面的条形统计图和扇形统计图；
（3）学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）20
（2）解：∴组人数为：（人），
∴组女生有：（人）；
由扇形统计图可知：组的百分比为，
∴组人数为：（人），
∴组男生有：（人）；
补全图形如下：
（3）解：用表示名男生，用表示两名女生，列表如下：
A B C D E
A
B
C
D
E
共有20种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果有12种，
∴所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：（人），
∴一共调查了20人
故答案为：20.
【分析】（1）根据组人数除以所占的百分比即可求出答案.
（2）总数乘以组的百分比，求出组人数，进而求出组女生人数，总数乘以组的百分比，求出组的人数，进而求出组男生人数，1减去其它项所占的百分比，求出D项所占的百分比即可，再补全图形即可；
（3）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：（人），
∴一共调查了20人；
（2）解：∴组人数为：（人），
∴组女生有：（人）；
由扇形统计图可知：组的百分比为，
∴组人数为：（人），
∴组男生有：（人）；
补全图形如下：
（3）解：用表示名男生，用表示两名女生，列表如下：
A B C D E
A
B
C
D
E
共有20种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果有12种，
∴所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
16．（2025·深圳模拟）滑雪是冬季运动爱好者的喜爱项目之一，滑雪者从山坡滑下，其滑行距离（单位：）是滑行时间（单位：）的二次函数．滑雪爱好者小聪从山坡滑下，同学小敏帮他测得一些数据，记录于下表．
滑行时间 0 1 2 3 4
滑行距离 0 4.5 14 38.5 48
（1）在上表t，的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点、连线的方法，画出函数的大致图象，并观察判断哪一对是错误的？
（2）根据（1）中结果，求出关于的函数表达式；并求出当滑行时间为时，小聪在山坡上滑行的距离是多少？
【答案】解：（1）描点，连线，如图所示．
根据图像可知，数据（3，38.5）是错误的；
（2）设关于的函数表达式为
显然当时，．
将、两点坐标代入，
有解得
关于的函数表达式为
当时，
即小聪在山坡上滑行的距离是102米
【知识点】描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）根据描点法作出函数图象即可求出答案.
（2）设关于的函数表达式为，根据待定系数法将点(0，0)，、代入解析式可得关于的函数表达式为，再将t=6代入解析式即可求出答案.
17．（2025·深圳模拟）某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查，每降价1元，每星期可多卖出20件，在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x（x为整数）元，每星期售出商品的利润为y元，请写出x与y之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）请画出上述函数的大致图象；
（3）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
小丽解答过程如下：
解：（1）根据题意，可列出表达式：
，
即.
∵降价要确保盈利，
∴.解得．
（2）上述表达式的图象是抛物线的一部分，函数的大致图象如图1：
（3）∵，
∴当时，y有最大值，.
所以，当降价2.5元时，每星期的利润 最大，最大利润为6125．
老师看了小丽的解题过程，说小马第（1）问的表达式是正确的，但自变量x的取值范围不准确．（2）（3）问的答案，也都存在问题．请你就老师说的问题，进行探究，写出你认为（1）（2）（3）中正确的答案，或说明错误原因．
【答案】（1）解：，
即，
∵降价要确保盈利，
∴．
解得，且x为整数
（2）解：函数不能为实线，是图象中，当时，对应的20个有限点，如图：
（3）解：若x只取正整数，则x就不能取2.5，结果就不是6125元，
显然，只有当或3时，
y有最大值，y最大值元，
答：当降价元或3元时，利润最大为元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）根据函数解析式得到相关数据，画出图象即可；
（3）根据二次函数的性质即可得到结论．
（1）解：，
即，
∵降价要确保盈利，
∴．
解得，且x为整数；
（2）解：函数不能为实线，是图象中，当时，对应的20个有限点，如图：
（3）解：若x只取正整数，则x就不能取2.5，结果就不是6125元，
显然，只有当或3时，
y有最大值，y最大值元，
答：当降价元或3元时，利润最大为元．
18．（2025·深圳模拟）如图，是圆O的直径，D、E为圆O上位于异侧的两点，连接并延长至点C，使得，连接交圆O于点F，连接、、．
（1）求证：；
（2）设交于点G，若，，E是弧的中点，求的值
【答案】（1）解：如图，连接
因为是的直径
所以，即
又
所以垂直平分
所以
（2）解：如图，连接
因为，
所以
因为
所以
所以
所以
所以
在中，，
所以
所以
因为是弧的中点，是的直径
所以
所以
因为是弧的中点，
所以
所以
所以
所以
【知识点】圆周角定理；解直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，即，再根据垂直平分线判定定理可得垂直平分，则，即可求出答案.
（2）连接，根据角之间的关系可得，根据等边对等角可得，则，即，再根据余弦定义可得，则，根据圆周角定理可得，根据勾股定理可得AE，再根据圆周角定理可得，根据相似三角形判定定理可得，即，代值计算即可求出答案.
（1）如图，连接
因为是的直径
所以，即
又
所以垂直平分
所以；
（2）如图，连接
因为，
所以
因为
所以
所以
所以
所以
在中，，
所以
所以
因为是弧的中点，是的直径
所以
所以
因为是弧的中点，
所以
所以
所以
所以．
19．（2025·深圳模拟）在数学实践活动课上，“创新”小组准备探索三角尺中的数学．
【操作】
（1）成员们发现通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角．如图，一副三角尺所拼的图案中，_____；
【发现】
（2）如图，将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，直角边分别重合，将含的三角板绕点逆时针旋转至如图位置处，若此时，求的值．
【拓展】
新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图，是的内半角．
（3）将两块含有角的三角板按图方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图，将三角板绕顶点以度秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为秒，当射线构成内半角时，求的值．
【答案】（）；
解：（）由题意可得：，
则，，
∵，
∴，
解得：；
（）如图所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知：，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
如图所示，此时是的半角，
由旋转性质可得：，，
∴，，
∴是的内半角，
∴，即，
解得：；
如图所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知：，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
如图所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知：，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
综上所述：当射线、、、构成内半角时，的值为或或或
【知识点】角的运算；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（）∵，，，
∴，
故答案为：
【分析】（1）根据角之间的关系即可求出答案.
（2）由题意可得：，则则，，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）分情况讨论：如图所示，此时是的内半角，根据旋转性质可得由旋转性质可知：，，根据角之间的关系建立方程，解方程即可求出答案；如图所示，此时是的半角，根据旋转性质可得由旋转性质可得：，，根据角之间的关系建立方程，解方程即可求出答案；如图所示，此时是的内半角，由旋转性质可知：，，根据角之间的关系建立方程，解方程即可求出答案；如图所示，此时是的内半角，由旋转性质可知：，，根据角之间的关系建立方程，解方程即可求出答案；
20．（2025·深圳模拟）【理解概念】
分别经过两个不相似的直角三角形的直角顶点的两条直线，把这两个直角三角形分别分成两个小三角形，当一个直角三角形中的一个小三角形与另一个直角三角形中的一个小三角形相似时，另外两个小三角形也相似，则称这样的两条直线叫做这两个直角三角形的相似分割线．
【巩固新知】
（1）已知：如图①、②，在和中，．
①求证：、分别是和的相似分割线；
②若，求的长．
【拓展提高】
（2）如图③，为的直径，点C、D在上，、分别是和的相似分割线，且．
①若点P是的黄金分割点，则点Q是否也是的黄金分割点？说明理由；
②若．当时，直接写出的长．
【答案】解：（1）①∵，，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴为相似分割线；
②由①得，
设，
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
（2）①、分别是和的相似分割线，且．
∴
∴，
∵，
∴
∵P为黄金分割点
∴
∴
∴Q为黄金分割点．
②、分别是和的相似分割线，且．
∴
∵
∴
∵
∴
如图，作交AB于M
∵
∴
∴，
∵
∴
∴.
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）①根据直角三角形的相似分割线的定义即可求证；
②由，可得比例式，，设，根据AP+BP=10可得关于x的方程，解方程求出x的值即可；
（2）①根据．可得比例式，由点P是的黄金分割点，可得出Q为黄金分割点；
②证明，作交AB于M，证明，分别求出AM，MP的值，然后根据线段的和差AP=AM+MP即可求解．
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