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广东省普宁市第二中学2024-2025学年八年级下学期第二次测评数学试题
1．（2025八下·普宁月考）下列代数式中，是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·普宁月考）若，则下列不等式中不正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·普宁月考）以下新能源汽车图标是中心对称，但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八下·普宁月考）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025八下·普宁月考）小明利用完全平方公式进行因式分解“”时，墨迹将“”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（ ）
A．4xy B．2xy C． D．
6．（2025八下·普宁月考）不等式组的整数解有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2025八下·普宁月考）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025八下·普宁月考）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线交于点D，连接．若，则的长为（　　）
A．4 B．5 C． D．
9．（2025八下·普宁月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八下·普宁月考）如图，在中，，高与角平分线相交于点，的平分线分别交，于点，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④
11．（2025八下·普宁月考）分解因式：x2y-4y=　 　．
12．（2025八下·普宁月考）若分式 的值为0，则x=　 　．
13．（2025八下·普宁月考）如图，在中，，平分，如果，点D到的距离是　 　．
14．（2025八下·普宁月考）如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，，若平移距离为7，则阴影部分面积为　 　．
15．（2025八下·普宁月考）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于x的不等式组的解集为　 　．
16．（2025八下·普宁月考）解不等式组，并在数轴上表示它的解集．
17．（2025八下·普宁月考）先化简，再求值：，其中．
18．（2025八下·普宁月考）已知：如图，，，连结．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
19．（2025八下·普宁月考）如图，平面直角坐标系中，已知点，，，若点是的边上任意一点，经过平移后得到，点P的对应点为．
（1）画出平移后的；
（2）写出三个顶点、、的坐标．
（3）求的面积．
20．（2025八下·普宁月考）已知A为整式，计算结果为．
（1）求整式A；
（2）嘉嘉说：“因为，所以原式的计算结果不可能为．”
淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，原式还应有其他无法取得的结果”．
请对淇淇的说法进行说理．
21．（2025八下·普宁月考）数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息：
信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为．
信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列．
如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题：
（1）当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）；
（2）求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车；
（3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由．
22．（2025八下·普宁月考）【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解去，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组．
例如：
像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．
【学以致用】：因式分解：
（1）；
（2）．
【拓展延伸】：对于四项以上的多项式，我们可以据其特征适当地将某一项拆成两项，再进行分组，进而因式分解来解决问题，请你利用这样的思路试一试．
①已知为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积；
②如图，长方形ABCD，已知，其中，且，求长方形ABCD的边AD，AB的长度．（，用含的式子表示）
23．（2025八下·普宁月考）李老师在数学课上开展小组活动，同学们将两个全等的含的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点．然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙．
已知：如图，在和中，，，．
【初识图形】
（1）如图，在绕点A旋转过程中，当点E恰好落在的边上时，连接、．则的长为，的长为．
【深度探析】
如图，在绕点A旋转过程中，当时，连接，延长交于点F．
（2）的度数为，的度数为；
（3）求证：点F为线段的中点．
【拓展探究】
（4）在绕点A旋转过程中，试探究B、D、E三点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求写出线段的长；若不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：A、不是分式，
∴此选项不符合题意；
B、不是最简分式，
∴此选项不符合题意；
C、不是最简分式，
∴此选项不符合题意；
D、是最简分式，
∴此本选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据最简分式的定义“一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式.”并结合各选项即可判断求解．
2．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若，则，故该选项不符合题意；
B、若，则，故该选项符合题意；
C、若，则，故该选项不符合题意；
D、若，则，故该选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.
4．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、不是因式分解，不符合题意；
B、等于右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
C、等于右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、符合因式分解的定义，属于因式分解，符合题意；
故答案为：D ．
【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：，
墨迹覆盖的这一项是4xy，
故答案为：A．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式组
解①式得：，
解②式得：
∴不等式组的解集为，
∴共有、0、1四个整数解．
故答案为：D．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解个数即可．
7．【答案】D
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确．
故答案为：D．
【分析】根据分式的加减法则对各选项进行逐一分析．
8．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意，得是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据基本作图可得MN是线段AB的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得DA=DB，在Rt△ACD中，用勾股定理求得AC的值，然后在Rt△ABC中，用勾股定理即可求解．
9．【答案】A
【知识点】作图﹣旋转
【解析】【解答】解：根据题意作图如下：
则点的坐标为，
故答案为：A
【分析】根据旋转性质作出图形，再根据点的位置即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：根据已知条件无法判定，则无法判定，结论①不正确；
是的角平分线，
，
为的高，，
，，
又，
，结论②正确；
由结论②正确得：，
，
平分，
，结论③正确；
，，
点为的三条高的交点，
，结论④正确，
综上所述：正确的结论是②③④，
故答案为：D．
【分析】根据角之间的关系可判断①；根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系可判断②；根据等角对等边可得，再根据角平分线性质可判断③；根据三角形高的性质可判断④.
11．【答案】y(x+2)(x-2)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)，
故答案为：y(x+2)(x-2)．
【分析】先提取公因式y，再利用平方差公式因式分解即可。
12．【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵x2-4=0，
∴x=±2，
当x=2时，x+2≠0，
当x=-2时，x+2=0．
∴当x=2时，分式的值是0．
故答案为：2
【分析】分式的值等于0的条件是：分子等于0且分母不等于0，据此列式求出x的值即可。
13．【答案】2
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作于E，
∵平分，，，
∴，
∴点D到的距离是2，
故答案为：2．
【分析】过点D作于E，根据角平分线性质即可求出答案.
14．【答案】56
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质知，，，
，
∵平移，
，
，
故答案为：56．
【分析】由平移的性质知，，，根据边之间的关系可得OE，则，结合梯形面积即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与直线交于点，
∴，
解得，
∴直线与直线交于点，
又∵，
∴根据图像得：，
故答案为：．
【分析】将点A坐标代入直线解析式可得，当图象在图象上方，且都在x轴上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
16．【答案】解：，
由①得，，
解得，；
由②得，，
解得：，
在数轴上表示两个不等式的解集为
原不等式组的解为：．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】由题意，先求出两个不等式的解集，然后根据“＞”空心向右、“≤”实心向左在数轴上表示两个不等式的解集，其公共部分即为不等式组的解集．
17．【答案】解：
．
∵，
∴
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，再将m值代入即可求出答案.
18．【答案】（1）证明：∵
∴
又∵，
在和中
∴；
（2）由（1）可知，
∴，，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等角对等边可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，，则，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，即可求出答案.
19．【答案】（1）解：点平移后的对应点为，
的平移方式为向右5个单位长度，再向下3个单位长度，
如图所示，即为所求：
（2）解：由图可得，，，．
（3）解：的面积．
答：三角形ABC的面积为11.
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】
（1）根据点平移后的对应点为并结合平移的点的坐标变化特征“左减右加、上加下减”可得的平移方式，根据平移方式画出点、、，再顺次连接即可求解；
（2）根据点、、在平面直角坐标系中即可求解；
（3）由题意，用割补法求的面积即可．
（1）解：点平移后的对应点为，
的平移方式为向右5个单位长度，再向下3个单位长度，
如图所示，即为所求：
（2）解：由图可得，，，．
（3）解：的面积．
20．【答案】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：要使分式有意义，且除式不为0，
且，
当时，原式的结果无意义；
当时，原式；
当时，原式；
又，
原式的计算结果无法取得、0和．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据分式的混合运算，结合平方差公式即可求出答案.
（2） 结合分式有意义的条件即可求出答案.
（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：要使分式有意义，且除式不为0，
且，
当时，原式的结果无意义；
当时，原式；
当时，原式；
又，
原式的计算结果无法取得、0和．
21．【答案】（1）解：根据题意，可得
1.2+0.2（n-1）
=1.2+0.2n-0.2
=1+0.2n（m）
答：当n辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为（1+0.2n）m
（2）解：当L=2.6时，0.2n+1=2.6
解得，n=8
2×8=16（辆）
答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车．
（3）解：有3种方案，
设用扶手电梯运输x次，则直立电梯运输（5-x）次，
由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车，
解得：
因为x为正整数，
所以x=3，4，5，
所以共有3种运输方案：
①扶手电梯运3次，直立电梯运2次；
②扶手电梯运4次，直立电梯运1次；
③扶手电梯运5次。
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）根据图①可知，一辆购物车车身长1.2m，每增加一辆购物车，车身增加0.2m，列出函数关系式；
（2）把L=2.6代入（1）中的解析式，求出n的值即可；
（3）设用扶手电梯运输x次，则直立电梯运输（5-x）次，根据题意得到，求出m的取值范围，然后再根据x的取值，最后再确定据此方案即可
（1）解：根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，
所以辆购物车叠放时长，
故答案为：．
（2）解：因为该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列，
因此由（1）可得，
解得，
（辆）
答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车．
（3）解：有3种方案，
设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，
由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车，
，
解得：，
为正整数，
，4，5，
共有3种运输方案：
①扶手电梯运3次，直立电梯运2次；
②扶手电梯运4次，直立电梯运1次；
③扶手电梯运5次．
22．【答案】解：【学以致用】：（1）
．
（2）
【拓展延伸】：①
等腰的三边为或
，
，
等腰的面积为48或．
②
且
【知识点】勾股定理；偶次方的非负性；因式分解-分组分解法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】【学以致用】（1）提公因式进行因式分解即可求出答案.
（2）先分组，再根据完全平方公式与平方差公式进行因式分解即可求出答案.
【 拓展延伸 】①移项，根据完全平方公式将等号左边进行因式分解，再根据偶次方的非负性可得a，b值，再根据等腰三角形性质分类讨论即可求出答案.
②根据完全平方公式进行因式分解，结合不等式的性质即可求出答案.
23．【答案】解：（1）连接，如图所示：
∴在和中，，，，，，
，
，
，
，
，，
∴为等边三角形，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴
，
故答案为：；
（3）证明：延长相交于点，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点为线段的中点；
（4）由（1）和图可知，时，，
在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边的延长线上时，连接，如图所示：
由题意可知，，
，，
∴；
在绕点逆时针时，落在的边的延长线上时，连接，如图所示：
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，；
综上，或或
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）连接，根据含30°角的直角三角形性质可得，，根据三角形内角和定理可得∠BAC，根据勾股定理可得，根据边之间的关系可得BE，再根据勾股定理可得BD，再根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，即可求出答案；
（2）根据直线平行性质可得，根据角之间的关系可得角BAE，∠BAC，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，根据角之间的关系可得∠BCF，再根据补角即可求出答案.
（3）延长相交于点，根据直线平行性质可得，则，根据等角对等边可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（4）分情况讨论：由（1）和图可知，时，；在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边的延长线上时，连接，根据边之间的关系即可求出答案；在绕点逆时针时，落在的边的延长线上时，连接，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，，根据角之间的关系可得∠BDE，再根据勾股定理即可求出答案.
1 / 1广东省普宁市第二中学2024-2025学年八年级下学期第二次测评数学试题
1．（2025八下·普宁月考）下列代数式中，是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：A、不是分式，
∴此选项不符合题意；
B、不是最简分式，
∴此选项不符合题意；
C、不是最简分式，
∴此选项不符合题意；
D、是最简分式，
∴此本选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据最简分式的定义“一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式.”并结合各选项即可判断求解．
2．（2025八下·普宁月考）若，则下列不等式中不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若，则，故该选项不符合题意；
B、若，则，故该选项符合题意；
C、若，则，故该选项不符合题意；
D、若，则，故该选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
3．（2025八下·普宁月考）以下新能源汽车图标是中心对称，但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.
4．（2025八下·普宁月考）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、不是因式分解，不符合题意；
B、等于右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
C、等于右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、符合因式分解的定义，属于因式分解，符合题意；
故答案为：D ．
【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可求出答案.
5．（2025八下·普宁月考）小明利用完全平方公式进行因式分解“”时，墨迹将“”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（ ）
A．4xy B．2xy C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：，
墨迹覆盖的这一项是4xy，
故答案为：A．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案.
6．（2025八下·普宁月考）不等式组的整数解有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式组
解①式得：，
解②式得：
∴不等式组的解集为，
∴共有、0、1四个整数解．
故答案为：D．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解个数即可．
7．（2025八下·普宁月考）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确．
故答案为：D．
【分析】根据分式的加减法则对各选项进行逐一分析．
8．（2025八下·普宁月考）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线交于点D，连接．若，则的长为（　　）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意，得是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据基本作图可得MN是线段AB的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得DA=DB，在Rt△ACD中，用勾股定理求得AC的值，然后在Rt△ABC中，用勾股定理即可求解．
9．（2025八下·普宁月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】作图﹣旋转
【解析】【解答】解：根据题意作图如下：
则点的坐标为，
故答案为：A
【分析】根据旋转性质作出图形，再根据点的位置即可求出答案.
10．（2025八下·普宁月考）如图，在中，，高与角平分线相交于点，的平分线分别交，于点，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：根据已知条件无法判定，则无法判定，结论①不正确；
是的角平分线，
，
为的高，，
，，
又，
，结论②正确；
由结论②正确得：，
，
平分，
，结论③正确；
，，
点为的三条高的交点，
，结论④正确，
综上所述：正确的结论是②③④，
故答案为：D．
【分析】根据角之间的关系可判断①；根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系可判断②；根据等角对等边可得，再根据角平分线性质可判断③；根据三角形高的性质可判断④.
11．（2025八下·普宁月考）分解因式：x2y-4y=　 　．
【答案】y(x+2)(x-2)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)，
故答案为：y(x+2)(x-2)．
【分析】先提取公因式y，再利用平方差公式因式分解即可。
12．（2025八下·普宁月考）若分式 的值为0，则x=　 　．
【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵x2-4=0，
∴x=±2，
当x=2时，x+2≠0，
当x=-2时，x+2=0．
∴当x=2时，分式的值是0．
故答案为：2
【分析】分式的值等于0的条件是：分子等于0且分母不等于0，据此列式求出x的值即可。
13．（2025八下·普宁月考）如图，在中，，平分，如果，点D到的距离是　 　．
【答案】2
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作于E，
∵平分，，，
∴，
∴点D到的距离是2，
故答案为：2．
【分析】过点D作于E，根据角平分线性质即可求出答案.
14．（2025八下·普宁月考）如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，，若平移距离为7，则阴影部分面积为　 　．
【答案】56
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质知，，，
，
∵平移，
，
，
故答案为：56．
【分析】由平移的性质知，，，根据边之间的关系可得OE，则，结合梯形面积即可求出答案.
15．（2025八下·普宁月考）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于x的不等式组的解集为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与直线交于点，
∴，
解得，
∴直线与直线交于点，
又∵，
∴根据图像得：，
故答案为：．
【分析】将点A坐标代入直线解析式可得，当图象在图象上方，且都在x轴上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
16．（2025八下·普宁月考）解不等式组，并在数轴上表示它的解集．
【答案】解：，
由①得，，
解得，；
由②得，，
解得：，
在数轴上表示两个不等式的解集为
原不等式组的解为：．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】由题意，先求出两个不等式的解集，然后根据“＞”空心向右、“≤”实心向左在数轴上表示两个不等式的解集，其公共部分即为不等式组的解集．
17．（2025八下·普宁月考）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
．
∵，
∴
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，再将m值代入即可求出答案.
18．（2025八下·普宁月考）已知：如图，，，连结．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵
∴
又∵，
在和中
∴；
（2）由（1）可知，
∴，，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等角对等边可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，，则，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，即可求出答案.
19．（2025八下·普宁月考）如图，平面直角坐标系中，已知点，，，若点是的边上任意一点，经过平移后得到，点P的对应点为．
（1）画出平移后的；
（2）写出三个顶点、、的坐标．
（3）求的面积．
【答案】（1）解：点平移后的对应点为，
的平移方式为向右5个单位长度，再向下3个单位长度，
如图所示，即为所求：
（2）解：由图可得，，，．
（3）解：的面积．
答：三角形ABC的面积为11.
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】
（1）根据点平移后的对应点为并结合平移的点的坐标变化特征“左减右加、上加下减”可得的平移方式，根据平移方式画出点、、，再顺次连接即可求解；
（2）根据点、、在平面直角坐标系中即可求解；
（3）由题意，用割补法求的面积即可．
（1）解：点平移后的对应点为，
的平移方式为向右5个单位长度，再向下3个单位长度，
如图所示，即为所求：
（2）解：由图可得，，，．
（3）解：的面积．
20．（2025八下·普宁月考）已知A为整式，计算结果为．
（1）求整式A；
（2）嘉嘉说：“因为，所以原式的计算结果不可能为．”
淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，原式还应有其他无法取得的结果”．
请对淇淇的说法进行说理．
【答案】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：要使分式有意义，且除式不为0，
且，
当时，原式的结果无意义；
当时，原式；
当时，原式；
又，
原式的计算结果无法取得、0和．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据分式的混合运算，结合平方差公式即可求出答案.
（2） 结合分式有意义的条件即可求出答案.
（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：要使分式有意义，且除式不为0，
且，
当时，原式的结果无意义；
当时，原式；
当时，原式；
又，
原式的计算结果无法取得、0和．
21．（2025八下·普宁月考）数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息：
信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为．
信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列．
如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题：
（1）当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）；
（2）求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车；
（3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由．
【答案】（1）解：根据题意，可得
1.2+0.2（n-1）
=1.2+0.2n-0.2
=1+0.2n（m）
答：当n辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为（1+0.2n）m
（2）解：当L=2.6时，0.2n+1=2.6
解得，n=8
2×8=16（辆）
答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车．
（3）解：有3种方案，
设用扶手电梯运输x次，则直立电梯运输（5-x）次，
由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车，
解得：
因为x为正整数，
所以x=3，4，5，
所以共有3种运输方案：
①扶手电梯运3次，直立电梯运2次；
②扶手电梯运4次，直立电梯运1次；
③扶手电梯运5次。
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）根据图①可知，一辆购物车车身长1.2m，每增加一辆购物车，车身增加0.2m，列出函数关系式；
（2）把L=2.6代入（1）中的解析式，求出n的值即可；
（3）设用扶手电梯运输x次，则直立电梯运输（5-x）次，根据题意得到，求出m的取值范围，然后再根据x的取值，最后再确定据此方案即可
（1）解：根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，
所以辆购物车叠放时长，
故答案为：．
（2）解：因为该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列，
因此由（1）可得，
解得，
（辆）
答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车．
（3）解：有3种方案，
设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，
由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车，
，
解得：，
为正整数，
，4，5，
共有3种运输方案：
①扶手电梯运3次，直立电梯运2次；
②扶手电梯运4次，直立电梯运1次；
③扶手电梯运5次．
22．（2025八下·普宁月考）【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解去，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组．
例如：
像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．
【学以致用】：因式分解：
（1）；
（2）．
【拓展延伸】：对于四项以上的多项式，我们可以据其特征适当地将某一项拆成两项，再进行分组，进而因式分解来解决问题，请你利用这样的思路试一试．
①已知为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积；
②如图，长方形ABCD，已知，其中，且，求长方形ABCD的边AD，AB的长度．（，用含的式子表示）
【答案】解：【学以致用】：（1）
．
（2）
【拓展延伸】：①
等腰的三边为或
，
，
等腰的面积为48或．
②
且
【知识点】勾股定理；偶次方的非负性；因式分解-分组分解法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】【学以致用】（1）提公因式进行因式分解即可求出答案.
（2）先分组，再根据完全平方公式与平方差公式进行因式分解即可求出答案.
【 拓展延伸 】①移项，根据完全平方公式将等号左边进行因式分解，再根据偶次方的非负性可得a，b值，再根据等腰三角形性质分类讨论即可求出答案.
②根据完全平方公式进行因式分解，结合不等式的性质即可求出答案.
23．（2025八下·普宁月考）李老师在数学课上开展小组活动，同学们将两个全等的含的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点．然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙．
已知：如图，在和中，，，．
【初识图形】
（1）如图，在绕点A旋转过程中，当点E恰好落在的边上时，连接、．则的长为，的长为．
【深度探析】
如图，在绕点A旋转过程中，当时，连接，延长交于点F．
（2）的度数为，的度数为；
（3）求证：点F为线段的中点．
【拓展探究】
（4）在绕点A旋转过程中，试探究B、D、E三点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求写出线段的长；若不能，请说明理由．
【答案】解：（1）连接，如图所示：
∴在和中，，，，，，
，
，
，
，
，，
∴为等边三角形，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴
，
故答案为：；
（3）证明：延长相交于点，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点为线段的中点；
（4）由（1）和图可知，时，，
在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边的延长线上时，连接，如图所示：
由题意可知，，
，，
∴；
在绕点逆时针时，落在的边的延长线上时，连接，如图所示：
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，；
综上，或或
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）连接，根据含30°角的直角三角形性质可得，，根据三角形内角和定理可得∠BAC，根据勾股定理可得，根据边之间的关系可得BE，再根据勾股定理可得BD，再根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，即可求出答案；
（2）根据直线平行性质可得，根据角之间的关系可得角BAE，∠BAC，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，根据角之间的关系可得∠BCF，再根据补角即可求出答案.
（3）延长相交于点，根据直线平行性质可得，则，根据等角对等边可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（4）分情况讨论：由（1）和图可知，时，；在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边的延长线上时，连接，根据边之间的关系即可求出答案；在绕点逆时针时，落在的边的延长线上时，连接，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，，根据角之间的关系可得∠BDE，再根据勾股定理即可求出答案.
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