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贵州省贵阳市白云区2025年初中学业水平模考数学试卷(二）
1．（2025·白云模拟）下列四个数中，属于正整数的是（　　）
A． B．0 C．3 D．
【答案】C
【知识点】有理数的分类
【解析】【解答】解：这四个数中，属于正整数的是3，
故答案为：C．
【分析】大于0的整数是正整数，小于0的整数是负整数，据此解答即可．
2．（2025·白云模拟）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：这个几何题从正面看得到的图形有列，每列正方形个数为，，，
故这个几何体的主视图是
故选：B．
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
3．（2025·白云模拟）据贵州省统计局发布：全省年第一季度居民收入平稳增长，就业形势总体稳定，城镇失业人员实现再就业人，将这个数用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：B．
【分析】大于10的数用科学记数法表示为的形式，其中，n为正整数，n为原数字的整数位数－1.
4．（2025·白云模拟）如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向平行，第一次拐的角，第二次拐的角的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵道路是平行的，
∴
故答案为：D
【分析】直接根据平行线的性质即可得出结论．
5．（2025·白云模拟）若与是同类项，则的值为（　　）
A． B．1 C．2 D．5
【答案】C
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：∵与是同类项，
∴，
故答案为：C．
【分析】所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项，根据同类项的定义求解即可.
6．（2025·白云模拟）如图，在中，．以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交于点，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，是的角平分线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由作图可知是的角平分线，根据角平分线的定义及平行四边形的性质可得，即而可得，再利用线段的和差即可求解.
7．（2025·白云模拟）在一个不透明的口袋中装有白球、黑球、红球共60个，这些球除颜色外完全相同，小星通过多次摸球实验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5左右，黑球的频率稳定在0.25左右，则下列结论中正确的是（　　）
A．摸到白球的概率一定是 B．袋子中白球的个数可能最多
C．摸到黑球的概率一定是 D．袋子中黑球和红球的个数相等
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：A、∵ 摸到白球的频率稳定在0.5左右，∴摸到白球的概率一定是是错误的，故选项A不符合题意；
B、∵ 摸到白球的频率稳定在0.5左右，黑球的频率稳定在0.25左右， ∴红球的频率也稳定在0.25左右，利用频率估计随机事件的概率可得袋子中白球的个数可能最多，故说法正确，选项B符合题意；
C、∵ 摸到白球的频率稳定在0.25左右，∴摸到黑球的概率一定是是错误的，故选项C不符合题意；
D、由B可得黑球和红球的频率都稳定在0.25左右，不一定相等，故说法错误，故选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】本大量反复试验下频率稳定值即概率；频率=所求情况数与总情况数之比．根据利用频率估计随机事件的概率，频率与频数，总数之间的关系去判断求解即可．
8．（2025·白云模拟）如图，在的正方形网格中，点A，C是在网格处，线段与网格线交于点点，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作格线AD，EC，使AD//EC，D，B，E三点共线，且D，E为格点，如图所示：
∵，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】作格线AD，EC，使AD//EC，D，B，E三点共线，且D，E为格点，证明△ADB∽△CEB，然后根据相似三角形的性质求解即可．
9．（2025·白云模拟）实数x的立方根等于3，16的算术平方根等于，则（　　）
A． B．7 C．23 D．48
【答案】C
【知识点】求算术平方根；立方根的概念与表示；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵实数x的立方根等于3，16的算术平方根等于，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据立方根和算术平方根的定义确定的值，然后代入求值即可．
10．（2025·白云模拟）如图，将两张宽度均为的纸条交叉重叠在一起，若，则的长为（　　）
A．4cm B． C．2cm D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点C作于P，作于Q，如图，
由题意知，，；
∴四边形是平行四边形；
∴，
∴
∴四边形是菱形，
∴AB=BC.
∵AB//CD，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
∵，
故答案为：B．
【分析】过点C作于P，作于Q；首先可证明四边形是平行四边形，进而利用面积相等证明是菱形，则可得△ABC是等边三角形，再利用三角函数即可求解．
11．（2025·白云模拟）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有辆车，根据题意所列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意得，，
故选：B．
【分析】设共有辆车，根据“每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘”即可得到关于的方程．
12．（2025·白云模拟）如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点(C与点A、B不重合)，过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE＝x，AP＝y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定；勾股定理；二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：连接OP，
∵OC＝OP，
∴∠OCP＝∠OPC．
∵∠OCP＝∠DCP，CD⊥AB，
∴∠OPC＝∠DCP．
∴OP∥CD．
∴PO⊥AB．
∵OA＝OP＝1，
∴AP＝y＝(0＜x＜1)．
故选A．
【分析】连接OP，根据等边对等角可得∠OCP＝∠OPC，再根据角之间的关系可得∠OPC＝∠DCP，再根据直线平行判定定理可得OP∥CD，则PO⊥AB，再根据勾股定理即可求出答案.
13．（2025·白云模拟）若分式 的值为0，则x的值为　 　．
【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式 的值为0，
∴x-1=0，
∴x=1.
故答案为：1．
【分析】先求出x-1=0，再计算求解即可。
14．（2025·白云模拟）小聪和小明两个同学玩“石头，剪刀、布“的游戏，随机出手一次是平局的概率是　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
石头 剪子 布
石头 （石头，石头） （石头，剪子） （石头，布）
剪子 （剪子，石头） （剪子，剪子） （剪子，布）
布 （布，石头） （布，剪子） （布，布）
一共有9种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，出手相同的时候即为平局，有3种，所以随机出手一次平局的概率是.
故答案为：.
【分析】此题是抽取放回类型，画出表格，找出总情况数以及出手相同的情况数，然后根据概率公式进行计算.
15．（2025·白云模拟）已知为方程的根，那么代数式的值为　 　．
【答案】2025
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解∶由题意，为方程的根，
∴．
．
故答案为：
【分析】 把代入已知方程，求得，然后将其整体代入所求的代数式求值即可．
16．（2025·白云模拟）如图，在中，，点为边上的中点，点为边上一点，连接，过点作交的延长线于点，连接，若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过A作交的延长线于G，如图所示：
∴，，
∵点D为AC的中点，
∴，
∴（AAS），
∴，，
又，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过A作交的延长线于G，利用AAS证明，可得，，再根据线段垂直平分线的性质得出，然后根据勾股定理即可求解．
17．（2025·白云模拟）（）计算：；
（）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解：（）原式；
（），
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
不等式组的解集在数轴上表示如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；无理数的混合运算
【解析】【分析】（）先计算零指数幂、取绝对值，并作乘方运算，再进行加减运算即可；
（）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分可得不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可；确定不等式组的解集时“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小没有解”，在数轴上表示解集时“大于向右画，小于向左画，有等实心点，无等空心圆”.
18．（2025·白云模拟）某校进行了一次交通安全知识竞赛，现从男、女生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（单位：分），将20名学生的成绩分为四组（A：，D：）进行整理．
【数据收集】部分信息如下：
抽取的10名女生的竞赛成绩：88，100，94，68，71，94，81，100，94，89，抽取的男生竞赛成绩在C组中的数据为：85，89，89，89．
性别 平均数 中位数 众数 最高分
女生 87.9 100
男生 89.8 89 100
男生竞赛成绩频数分布直方图
【数据分析】
（1）写出表格中______分，_______分，______分；
（2）已知全校共1200名学生，若90分及以上的同学被评为优秀，请估计本次竞赛获得优秀的学生有多少人？
【作出决策】
（3）根据以上数据，请判断该校女生的竞赛成绩好，还是男生的竞赛成绩好？并说明理由．
【答案】解：（1） 91.5； 94； 89；
（2）（人），
答：本次竞赛获得优秀的学生大概有540人；
（3）男生的竞赛成绩好，因为男生的平均分高．（答案不唯一）
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）（1）10名女同学的成绩从小到大进行排序为：68，71，81，88，89， 94，94，94，100，100，
排在中间位置的两个数为89和94，
∴中位数；
10名女同学的成绩中出现次数最多的是94，∴众数；
由频数分别直方图以及C组中的数据可得：10名男同学的成绩从小到大进行排序后排在中间位置的两个数为89和89，
∴中位数；
故答案为：91.5；94；89；
【分析】（1）根据众数、平均数、中位数的定义解决问题即可；
（2）利用样本估计总体的思想解决问题即可；
（3）根据平均分，中位数和众数进行解答即可（答案不唯一）．
19．（2025·白云模拟）如图，在正方形中，点E，F分别为和上的点，与交于点，现提供三个关系：①；②；③．
（1）从三个关系中选择一个作为条件，剩下的两个作为结论，形成一个真命题，写出所有的真命题；
（2）选择其中的一个真命题进行证明．
【答案】（1）解：命题一：若①，则②，③；
命题二：若②，则①，③；
命题三：若③，则①，②．
三个命题都是真命题.
（2）证明：命题一：证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
，
，
，
∴，
，
.
命题二：证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
，
，
∴，
∴，
，
.
命题三：证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；真命题与假命题
【解析】【分析】（1）命题一，①为条件，②③为结论；命题二，②为条件，①③为结论，命题三，③为条件，①②为结论；
（2）命题一证明：由正方形的性质可得，再利用证明，得到，再导角证明，即可证明；
命题二证明：利用证明，得到，整理可证明；
命题三证明：导角证明，再利用ASA证明，即可得到.
（1）解：命题一：若①，则②，③；
命题二：若②，则①，③；
命题三：若③，则①，②．
命题一证明如下：
由正方形的性质，得，
，
，
，
，
，
，
；
命题二证明如下：由正方形的性质，得，
，
，
∴，
，
，
，
；
命题三证明如下：由正方形的性质，得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：命题一证明如下：
由正方形的性质，得，
，
，
，
，
，
，
；
命题二证明如下：由正方形的性质，得，
，
，
∴，
，
，
，
；
命题三证明如下：由正方形的性质，得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．（2025·白云模拟）如图，点在轴的正半轴上，点在轴上，，将线段AB绕点按顺时针方向旋转得线段．反比例函数的图像经过点．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）若点关于直线的对称点为点，请判断点是否在反比例函数的图像上，并说明理由．
【答案】（1）解：点在轴上，
，
∵Rt△AOB中，，
，，
∴.
由旋转得，，
，
点，
将点代入反比例函数，
可得，
反比例函数的表达式为；
（2）解：点是否在反比例函数的图像上，理由如下：
点，点关于直线AC的对称点为点，
点，
∵当时，，
点在的图像上．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；轴对称的性质；解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）首先利用三角函数可得∠BAO=30°，，利用勾股定理求得AB的长，继而可确定点的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）根据轴对称的性质确定点的坐标，然后确定其是否在该函数图象上即可．
（1）解：点在轴上，
，
，
在中，，，
∴
由旋转得，，
，
点，
将点代入反比例函数，
可得，
反比例函数的表达式为；
（2）点，点关于直线AC的对称点为点，
点，
当时，，
点在的图像上．
21．（2025·白云模拟）如图，为了估算河的宽度，小星在河对岸选定一个目标点，在近岸处选取点和，使点三点共线，过点作直线，过点作直线，在直线上取点，测得．交直线于点，经测量得，求河的宽度．
【答案】解：直线，直线，
∴即DE//BC，
，
，
，
，
解得：，
河的宽度．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据直线，直线，可得m//n，于是可证明，列比例式代入求值即可．
22．（2025·白云模拟）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下：
（1）若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局；
（2）求这次比赛共有多少个选手参加？
【答案】（1）
（2）解：依题意，每局比赛可得2分，设这次比赛共有个选手参加，
则，
解方程，得（不符合题意，舍）
答：这次比赛共有45个选手参加．
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系；一元二次方程的实际应用-图表信息问题
【解析】【解答】解：（1）解：该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与个选手比赛一局，比赛总共有局；
故答案为：
【分析】（1）根据题意，列出代数式即可；
（2）根据每局比赛必得2分，于是可得等量关系“比赛局数×2=1980”，据此列出一元二次方程并求解即可．
（1）解：该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与个选手比赛一局，比赛总共有局；
（2）设这次比赛共有个选手参加，依题意，得，
解方程，得（不符合题意，舍）
答：这次比赛共有45个选手参加．
23．（2025·白云模拟）如图，内接于，过点作的切线，交直径的延长线于点．
（1）写出图中一个与相等的角；
（2）求证：；
（3）若，求的半径．
【答案】（1）解：∵，
∴；
连接，如图所示，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
是的切线，
，即∠OBA+∠ABE=90°，
∵是直径，
，即∠OBA+∠OBD=90°，
∴∠ABE=∠OBD=∠ADB；
∴ 与相等的角有∠ACB或∠ABE.
（2）证明：由（1）可得，
（3）解：由（1）得：，
∴△AEB∽△BED，
∴.
∵，
∴，
∴ED=8.
∴AD=DE－AE=8－2=6，
∵AD为直径，
∴OA=OD=3，即的半径为3cm．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，由同弧所对的圆周角相等得到，由切线的性质可得∠OBA+∠ABE=90°，由直径所对的圆周角是直角得到∠OBA+∠OBD=90°，再结合等腰三角形的性质即可得∠ABE=∠OBD=∠ADB；结论可得.
（2）根据（1）所求即可证明结论；
（3）证明△AEB∽△BED，可得.代入数据求得ED的长，继而即可得的半径．
（1）解：如图所示，连接
∵，
∴，
∵，
，
是的切线，
，
∵是直径，
，
；
（2）由（1）可得，
（3）解：是的切线，
，
在中，，
根据勾股定理即可得到，
，
，
的半径为．
24．（2025·白云模拟）根据以下素材，探索完成任务：
任务 如何设计隧道的限高方案
素材1 如图①是一个横断面呈抛物线形状的公路隧道口，经测量，其高度为8米，宽度为16米，图②是其示意图．
素材2 此隧道可双向通行，规定车辆在驶入隧道时，必须根据行车方向在隧道的中心线右侧、距离路边缘2米米）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道的最小空隙不少于0.5米．为了保证车辆的行驶安全，隧道下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．
（1）确定隧道形状：在备用图中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式；
（2）探究隧道限高方案：为使车辆按素材2的要求安全通过，求该隧道限高多少米？
（3）尝试隧道设计：在隧道中心线两侧的抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度均相等且不超过6米，求两排灯的水平距离最小值．
【答案】（1）解：以点H为原点，AB所在直线为轴，以垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
∵AB=16米，PH=8米，点H为AB的中点，
∴AH=BH=8米，
∴顶点的坐标为（0，0），B(8，0)，
可设抛物线的函数表达式为．
又图象经过点B，
，
，
抛物线的函数表达式为.
（2）解：设该隧道限高米，
∵HB=8，BC=2，
∴HC=6.
当车高h一定，x=6时，车辆顶部与隧道的空隙最小，
此时，，
此时，车辆顶部与隧道的最小空隙，
由题意，，
．
该隧道限高3米；
（3）解：由题意，当时，，
解得，
，
两排灯的水平距离最小值是8米．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）以点H为原点，AB所在直线为轴，以垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，结合图象得到点P和B的坐标，设出函数表达式，再用待定系数法求解即可；
（2）首先求出HC=6，然后当车高一定，x=6时，求出，得到车辆顶部与隧道的最小空隙为，进而求解即可；
（3）将代入求出，进而求解即可．
（1）解：如解图，以为原点，以所在直线为轴，以垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，
由题意得，顶点的坐标为，
设抛物线的函数表达式为．
又图象经过原点，
，
，
抛物线的函数表达式为，
即；
（2）解：设该隧道限高米，
，
，
当车高一定，时，车辆顶部与隧道的空隙最小，
此时，，
此时，车辆顶部与隧道的最小空隙，
由题意，车辆顶部与隧道的最小空隙，
．
该隧道限高3米；
（3）由题意，当时，，
解得，
，
两排灯的水平距离最小值是8米．
25．（2025·白云模拟）小红学习矩形的性质及判定后，综合运用相似、全等、勾股定理等知识对矩形中的折叠问题进行探究：
【问题解决】（1）如图①，在矩形中，点是边上一动点，连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点恰好落在边的垂直平分线上时，求的度数；
【操作探究】（2）如图②，在（1）的条件下，折痕交于点，延长交边于点，若，求四边形的面积：
【拓展延伸】（3）如图③，在矩形中，，点是射线上一动点，连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点恰好落在边的垂直平分线上时，求的长．
【答案】解：（1）如图①，∵ 将沿直线折叠得到△FBE，
∴AB=BF，
是的垂直平分线，
，
∴BF=2BM.
在中，，
，
；
（2）∵四边形ABCD是矩形，MG垂直平分AB，
易证四边形AMGD和四边形BMGC都是矩形，且AM=BM.
∴MG//AE，AD=MG=BC=5，DG=AM=BM=GC，AB//CD，∠D=90°，
∴△BMN∽△BAE，
∴，
∴AE=2MN=2，点N是BE的中点，
∴ED=AD－AE=3.
∵由（1）得∠ABE=30°，
∴BE=2AE=4，.
∵ 将沿直线折叠得到△FBE，
∴，∠A=∠EFB=90°=∠EFH，EF=AE=2，.
∴MF=MN+NF=1+2=3，
∴FG=MG－MF=2.
∵AB//CD，
∴△BMF∽△HGF，
∴，
∴，.
∴.
连接EH，如图所示：
；
（3）如图③，在矩形中，，
是的垂直平分线，
，
由折叠得，，
∴.
①当点E在线段AG上时，，
由折叠，设，则，
在中，，
解得，
；
②点在射线上时，点恰好落在边的垂直平分线上时，如图所示：
，
设，由折叠得，
在中，，
解得，
；
综上得，或．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由折叠可知，再根据三角函数得到，可得，再根据折叠即可解答．
（2）由矩形的性质得MG//AE，AD=MG=BC=5，DG=AM=BM=GC，AB//CD，∠D=90°，证明△BMN∽△BAE，可得AE=2，点N是BE的中点，于是可得ED的长，计算AB长，由折叠可求得EF，MF，BM以及FG的长；证明△BMF∽△HGF，可得HG，FH以及DH的长；连接EH，即可计算四边形DEFH的面积.
（3）如图③，在矩形中，由垂直平分线可得BH的长，且，再由勾股定理可得，再分①当点E在线段AG上时，②点在射线上时，点恰好落在边的垂直平分线上时两种情况，计算出GF的长，由折叠得AE=EF，在设未知数表示出EG和EF的长，再利用勾股定理建立方程并求解即可.
1 / 1贵州省贵阳市白云区2025年初中学业水平模考数学试卷(二）
1．（2025·白云模拟）下列四个数中，属于正整数的是（　　）
A． B．0 C．3 D．
2．（2025·白云模拟）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·白云模拟）据贵州省统计局发布：全省年第一季度居民收入平稳增长，就业形势总体稳定，城镇失业人员实现再就业人，将这个数用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·白云模拟）如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向平行，第一次拐的角，第二次拐的角的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·白云模拟）若与是同类项，则的值为（　　）
A． B．1 C．2 D．5
6．（2025·白云模拟）如图，在中，．以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交于点，则的长是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·白云模拟）在一个不透明的口袋中装有白球、黑球、红球共60个，这些球除颜色外完全相同，小星通过多次摸球实验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5左右，黑球的频率稳定在0.25左右，则下列结论中正确的是（　　）
A．摸到白球的概率一定是 B．袋子中白球的个数可能最多
C．摸到黑球的概率一定是 D．袋子中黑球和红球的个数相等
8．（2025·白云模拟）如图，在的正方形网格中，点A，C是在网格处，线段与网格线交于点点，则等于（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·白云模拟）实数x的立方根等于3，16的算术平方根等于，则（　　）
A． B．7 C．23 D．48
10．（2025·白云模拟）如图，将两张宽度均为的纸条交叉重叠在一起，若，则的长为（　　）
A．4cm B． C．2cm D．
11．（2025·白云模拟）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有辆车，根据题意所列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
12．（2025·白云模拟）如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点(C与点A、B不重合)，过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE＝x，AP＝y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是(　　)
A． B．
C． D．
13．（2025·白云模拟）若分式 的值为0，则x的值为　 　．
14．（2025·白云模拟）小聪和小明两个同学玩“石头，剪刀、布“的游戏，随机出手一次是平局的概率是　 　.
15．（2025·白云模拟）已知为方程的根，那么代数式的值为　 　．
16．（2025·白云模拟）如图，在中，，点为边上的中点，点为边上一点，连接，过点作交的延长线于点，连接，若，则的长为　 　．
17．（2025·白云模拟）（）计算：；
（）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
18．（2025·白云模拟）某校进行了一次交通安全知识竞赛，现从男、女生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（单位：分），将20名学生的成绩分为四组（A：，D：）进行整理．
【数据收集】部分信息如下：
抽取的10名女生的竞赛成绩：88，100，94，68，71，94，81，100，94，89，抽取的男生竞赛成绩在C组中的数据为：85，89，89，89．
性别 平均数 中位数 众数 最高分
女生 87.9 100
男生 89.8 89 100
男生竞赛成绩频数分布直方图
【数据分析】
（1）写出表格中______分，_______分，______分；
（2）已知全校共1200名学生，若90分及以上的同学被评为优秀，请估计本次竞赛获得优秀的学生有多少人？
【作出决策】
（3）根据以上数据，请判断该校女生的竞赛成绩好，还是男生的竞赛成绩好？并说明理由．
19．（2025·白云模拟）如图，在正方形中，点E，F分别为和上的点，与交于点，现提供三个关系：①；②；③．
（1）从三个关系中选择一个作为条件，剩下的两个作为结论，形成一个真命题，写出所有的真命题；
（2）选择其中的一个真命题进行证明．
20．（2025·白云模拟）如图，点在轴的正半轴上，点在轴上，，将线段AB绕点按顺时针方向旋转得线段．反比例函数的图像经过点．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）若点关于直线的对称点为点，请判断点是否在反比例函数的图像上，并说明理由．
21．（2025·白云模拟）如图，为了估算河的宽度，小星在河对岸选定一个目标点，在近岸处选取点和，使点三点共线，过点作直线，过点作直线，在直线上取点，测得．交直线于点，经测量得，求河的宽度．
22．（2025·白云模拟）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下：
（1）若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局；
（2）求这次比赛共有多少个选手参加？
23．（2025·白云模拟）如图，内接于，过点作的切线，交直径的延长线于点．
（1）写出图中一个与相等的角；
（2）求证：；
（3）若，求的半径．
24．（2025·白云模拟）根据以下素材，探索完成任务：
任务 如何设计隧道的限高方案
素材1 如图①是一个横断面呈抛物线形状的公路隧道口，经测量，其高度为8米，宽度为16米，图②是其示意图．
素材2 此隧道可双向通行，规定车辆在驶入隧道时，必须根据行车方向在隧道的中心线右侧、距离路边缘2米米）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道的最小空隙不少于0.5米．为了保证车辆的行驶安全，隧道下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．
（1）确定隧道形状：在备用图中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式；
（2）探究隧道限高方案：为使车辆按素材2的要求安全通过，求该隧道限高多少米？
（3）尝试隧道设计：在隧道中心线两侧的抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度均相等且不超过6米，求两排灯的水平距离最小值．
25．（2025·白云模拟）小红学习矩形的性质及判定后，综合运用相似、全等、勾股定理等知识对矩形中的折叠问题进行探究：
【问题解决】（1）如图①，在矩形中，点是边上一动点，连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点恰好落在边的垂直平分线上时，求的度数；
【操作探究】（2）如图②，在（1）的条件下，折痕交于点，延长交边于点，若，求四边形的面积：
【拓展延伸】（3）如图③，在矩形中，，点是射线上一动点，连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点恰好落在边的垂直平分线上时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的分类
【解析】【解答】解：这四个数中，属于正整数的是3，
故答案为：C．
【分析】大于0的整数是正整数，小于0的整数是负整数，据此解答即可．
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：这个几何题从正面看得到的图形有列，每列正方形个数为，，，
故这个几何体的主视图是
故选：B．
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：B．
【分析】大于10的数用科学记数法表示为的形式，其中，n为正整数，n为原数字的整数位数－1.
4．【答案】D
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵道路是平行的，
∴
故答案为：D
【分析】直接根据平行线的性质即可得出结论．
5．【答案】C
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：∵与是同类项，
∴，
故答案为：C．
【分析】所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项，根据同类项的定义求解即可.
6．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，是的角平分线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由作图可知是的角平分线，根据角平分线的定义及平行四边形的性质可得，即而可得，再利用线段的和差即可求解.
7．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：A、∵ 摸到白球的频率稳定在0.5左右，∴摸到白球的概率一定是是错误的，故选项A不符合题意；
B、∵ 摸到白球的频率稳定在0.5左右，黑球的频率稳定在0.25左右， ∴红球的频率也稳定在0.25左右，利用频率估计随机事件的概率可得袋子中白球的个数可能最多，故说法正确，选项B符合题意；
C、∵ 摸到白球的频率稳定在0.25左右，∴摸到黑球的概率一定是是错误的，故选项C不符合题意；
D、由B可得黑球和红球的频率都稳定在0.25左右，不一定相等，故说法错误，故选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】本大量反复试验下频率稳定值即概率；频率=所求情况数与总情况数之比．根据利用频率估计随机事件的概率，频率与频数，总数之间的关系去判断求解即可．
8．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作格线AD，EC，使AD//EC，D，B，E三点共线，且D，E为格点，如图所示：
∵，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】作格线AD，EC，使AD//EC，D，B，E三点共线，且D，E为格点，证明△ADB∽△CEB，然后根据相似三角形的性质求解即可．
9．【答案】C
【知识点】求算术平方根；立方根的概念与表示；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵实数x的立方根等于3，16的算术平方根等于，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据立方根和算术平方根的定义确定的值，然后代入求值即可．
10．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点C作于P，作于Q，如图，
由题意知，，；
∴四边形是平行四边形；
∴，
∴
∴四边形是菱形，
∴AB=BC.
∵AB//CD，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
∵，
故答案为：B．
【分析】过点C作于P，作于Q；首先可证明四边形是平行四边形，进而利用面积相等证明是菱形，则可得△ABC是等边三角形，再利用三角函数即可求解．
11．【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意得，，
故选：B．
【分析】设共有辆车，根据“每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘”即可得到关于的方程．
12．【答案】A
【知识点】平行线的判定；勾股定理；二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：连接OP，
∵OC＝OP，
∴∠OCP＝∠OPC．
∵∠OCP＝∠DCP，CD⊥AB，
∴∠OPC＝∠DCP．
∴OP∥CD．
∴PO⊥AB．
∵OA＝OP＝1，
∴AP＝y＝(0＜x＜1)．
故选A．
【分析】连接OP，根据等边对等角可得∠OCP＝∠OPC，再根据角之间的关系可得∠OPC＝∠DCP，再根据直线平行判定定理可得OP∥CD，则PO⊥AB，再根据勾股定理即可求出答案.
13．【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式 的值为0，
∴x-1=0，
∴x=1.
故答案为：1．
【分析】先求出x-1=0，再计算求解即可。
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
石头 剪子 布
石头 （石头，石头） （石头，剪子） （石头，布）
剪子 （剪子，石头） （剪子，剪子） （剪子，布）
布 （布，石头） （布，剪子） （布，布）
一共有9种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，出手相同的时候即为平局，有3种，所以随机出手一次平局的概率是.
故答案为：.
【分析】此题是抽取放回类型，画出表格，找出总情况数以及出手相同的情况数，然后根据概率公式进行计算.
15．【答案】2025
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解∶由题意，为方程的根，
∴．
．
故答案为：
【分析】 把代入已知方程，求得，然后将其整体代入所求的代数式求值即可．
16．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过A作交的延长线于G，如图所示：
∴，，
∵点D为AC的中点，
∴，
∴（AAS），
∴，，
又，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过A作交的延长线于G，利用AAS证明，可得，，再根据线段垂直平分线的性质得出，然后根据勾股定理即可求解．
17．【答案】解：（）原式；
（），
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
不等式组的解集在数轴上表示如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；无理数的混合运算
【解析】【分析】（）先计算零指数幂、取绝对值，并作乘方运算，再进行加减运算即可；
（）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分可得不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可；确定不等式组的解集时“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小没有解”，在数轴上表示解集时“大于向右画，小于向左画，有等实心点，无等空心圆”.
18．【答案】解：（1） 91.5； 94； 89；
（2）（人），
答：本次竞赛获得优秀的学生大概有540人；
（3）男生的竞赛成绩好，因为男生的平均分高．（答案不唯一）
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）（1）10名女同学的成绩从小到大进行排序为：68，71，81，88，89， 94，94，94，100，100，
排在中间位置的两个数为89和94，
∴中位数；
10名女同学的成绩中出现次数最多的是94，∴众数；
由频数分别直方图以及C组中的数据可得：10名男同学的成绩从小到大进行排序后排在中间位置的两个数为89和89，
∴中位数；
故答案为：91.5；94；89；
【分析】（1）根据众数、平均数、中位数的定义解决问题即可；
（2）利用样本估计总体的思想解决问题即可；
（3）根据平均分，中位数和众数进行解答即可（答案不唯一）．
19．【答案】（1）解：命题一：若①，则②，③；
命题二：若②，则①，③；
命题三：若③，则①，②．
三个命题都是真命题.
（2）证明：命题一：证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
，
，
，
∴，
，
.
命题二：证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
，
，
∴，
∴，
，
.
命题三：证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；真命题与假命题
【解析】【分析】（1）命题一，①为条件，②③为结论；命题二，②为条件，①③为结论，命题三，③为条件，①②为结论；
（2）命题一证明：由正方形的性质可得，再利用证明，得到，再导角证明，即可证明；
命题二证明：利用证明，得到，整理可证明；
命题三证明：导角证明，再利用ASA证明，即可得到.
（1）解：命题一：若①，则②，③；
命题二：若②，则①，③；
命题三：若③，则①，②．
命题一证明如下：
由正方形的性质，得，
，
，
，
，
，
，
；
命题二证明如下：由正方形的性质，得，
，
，
∴，
，
，
，
；
命题三证明如下：由正方形的性质，得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：命题一证明如下：
由正方形的性质，得，
，
，
，
，
，
，
；
命题二证明如下：由正方形的性质，得，
，
，
∴，
，
，
，
；
命题三证明如下：由正方形的性质，得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．【答案】（1）解：点在轴上，
，
∵Rt△AOB中，，
，，
∴.
由旋转得，，
，
点，
将点代入反比例函数，
可得，
反比例函数的表达式为；
（2）解：点是否在反比例函数的图像上，理由如下：
点，点关于直线AC的对称点为点，
点，
∵当时，，
点在的图像上．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；轴对称的性质；解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）首先利用三角函数可得∠BAO=30°，，利用勾股定理求得AB的长，继而可确定点的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）根据轴对称的性质确定点的坐标，然后确定其是否在该函数图象上即可．
（1）解：点在轴上，
，
，
在中，，，
∴
由旋转得，，
，
点，
将点代入反比例函数，
可得，
反比例函数的表达式为；
（2）点，点关于直线AC的对称点为点，
点，
当时，，
点在的图像上．
21．【答案】解：直线，直线，
∴即DE//BC，
，
，
，
，
解得：，
河的宽度．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据直线，直线，可得m//n，于是可证明，列比例式代入求值即可．
22．【答案】（1）
（2）解：依题意，每局比赛可得2分，设这次比赛共有个选手参加，
则，
解方程，得（不符合题意，舍）
答：这次比赛共有45个选手参加．
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系；一元二次方程的实际应用-图表信息问题
【解析】【解答】解：（1）解：该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与个选手比赛一局，比赛总共有局；
故答案为：
【分析】（1）根据题意，列出代数式即可；
（2）根据每局比赛必得2分，于是可得等量关系“比赛局数×2=1980”，据此列出一元二次方程并求解即可．
（1）解：该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与个选手比赛一局，比赛总共有局；
（2）设这次比赛共有个选手参加，依题意，得，
解方程，得（不符合题意，舍）
答：这次比赛共有45个选手参加．
23．【答案】（1）解：∵，
∴；
连接，如图所示，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
是的切线，
，即∠OBA+∠ABE=90°，
∵是直径，
，即∠OBA+∠OBD=90°，
∴∠ABE=∠OBD=∠ADB；
∴ 与相等的角有∠ACB或∠ABE.
（2）证明：由（1）可得，
（3）解：由（1）得：，
∴△AEB∽△BED，
∴.
∵，
∴，
∴ED=8.
∴AD=DE－AE=8－2=6，
∵AD为直径，
∴OA=OD=3，即的半径为3cm．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，由同弧所对的圆周角相等得到，由切线的性质可得∠OBA+∠ABE=90°，由直径所对的圆周角是直角得到∠OBA+∠OBD=90°，再结合等腰三角形的性质即可得∠ABE=∠OBD=∠ADB；结论可得.
（2）根据（1）所求即可证明结论；
（3）证明△AEB∽△BED，可得.代入数据求得ED的长，继而即可得的半径．
（1）解：如图所示，连接
∵，
∴，
∵，
，
是的切线，
，
∵是直径，
，
；
（2）由（1）可得，
（3）解：是的切线，
，
在中，，
根据勾股定理即可得到，
，
，
的半径为．
24．【答案】（1）解：以点H为原点，AB所在直线为轴，以垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
∵AB=16米，PH=8米，点H为AB的中点，
∴AH=BH=8米，
∴顶点的坐标为（0，0），B(8，0)，
可设抛物线的函数表达式为．
又图象经过点B，
，
，
抛物线的函数表达式为.
（2）解：设该隧道限高米，
∵HB=8，BC=2，
∴HC=6.
当车高h一定，x=6时，车辆顶部与隧道的空隙最小，
此时，，
此时，车辆顶部与隧道的最小空隙，
由题意，，
．
该隧道限高3米；
（3）解：由题意，当时，，
解得，
，
两排灯的水平距离最小值是8米．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）以点H为原点，AB所在直线为轴，以垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，结合图象得到点P和B的坐标，设出函数表达式，再用待定系数法求解即可；
（2）首先求出HC=6，然后当车高一定，x=6时，求出，得到车辆顶部与隧道的最小空隙为，进而求解即可；
（3）将代入求出，进而求解即可．
（1）解：如解图，以为原点，以所在直线为轴，以垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，
由题意得，顶点的坐标为，
设抛物线的函数表达式为．
又图象经过原点，
，
，
抛物线的函数表达式为，
即；
（2）解：设该隧道限高米，
，
，
当车高一定，时，车辆顶部与隧道的空隙最小，
此时，，
此时，车辆顶部与隧道的最小空隙，
由题意，车辆顶部与隧道的最小空隙，
．
该隧道限高3米；
（3）由题意，当时，，
解得，
，
两排灯的水平距离最小值是8米．
25．【答案】解：（1）如图①，∵ 将沿直线折叠得到△FBE，
∴AB=BF，
是的垂直平分线，
，
∴BF=2BM.
在中，，
，
；
（2）∵四边形ABCD是矩形，MG垂直平分AB，
易证四边形AMGD和四边形BMGC都是矩形，且AM=BM.
∴MG//AE，AD=MG=BC=5，DG=AM=BM=GC，AB//CD，∠D=90°，
∴△BMN∽△BAE，
∴，
∴AE=2MN=2，点N是BE的中点，
∴ED=AD－AE=3.
∵由（1）得∠ABE=30°，
∴BE=2AE=4，.
∵ 将沿直线折叠得到△FBE，
∴，∠A=∠EFB=90°=∠EFH，EF=AE=2，.
∴MF=MN+NF=1+2=3，
∴FG=MG－MF=2.
∵AB//CD，
∴△BMF∽△HGF，
∴，
∴，.
∴.
连接EH，如图所示：
；
（3）如图③，在矩形中，，
是的垂直平分线，
，
由折叠得，，
∴.
①当点E在线段AG上时，，
由折叠，设，则，
在中，，
解得，
；
②点在射线上时，点恰好落在边的垂直平分线上时，如图所示：
，
设，由折叠得，
在中，，
解得，
；
综上得，或．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由折叠可知，再根据三角函数得到，可得，再根据折叠即可解答．
（2）由矩形的性质得MG//AE，AD=MG=BC=5，DG=AM=BM=GC，AB//CD，∠D=90°，证明△BMN∽△BAE，可得AE=2，点N是BE的中点，于是可得ED的长，计算AB长，由折叠可求得EF，MF，BM以及FG的长；证明△BMF∽△HGF，可得HG，FH以及DH的长；连接EH，即可计算四边形DEFH的面积.
（3）如图③，在矩形中，由垂直平分线可得BH的长，且，再由勾股定理可得，再分①当点E在线段AG上时，②点在射线上时，点恰好落在边的垂直平分线上时两种情况，计算出GF的长，由折叠得AE=EF，在设未知数表示出EG和EF的长，再利用勾股定理建立方程并求解即可.
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