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湖南省衡阳市衡山县2025年中考三模数学试题
1．（2025·衡山模拟）某河流水位在警戒水位以上0.6米记作米，则水位在警戒水位以下2米应记作（　　）
A．米 B．米 C．1.4米 D．米
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：由题意：在警戒水位以上0.6米记作米，
∴则在警戒水位以下2米应记作米，
故答案为：B．
【分析】先规定其中一个为正，则相反量就用负表示，由此即可得解．
2．（2025·衡山模拟）《哪吒之魔童闹海》彰显了中国动画电影的国际影响力，截至2025年3月1日，累计票房突破14160000000元人民币，数据14160000000用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】把一个大于10的数表示成的形式（1≤|a|<10，是正整数），的值为小数点向左移动的位数．
3．（2025·衡山模拟）如图，该三明治包装盒的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：三明治包装盒的主视图大概如下所示：
故答案为：A．
【分析】根据从正面看到的图形是主视图解答即可．
4．（2025·衡山模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜ B．m＞﹣ C．m＞ D．m＜﹣
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0没有实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×m＝9﹣4m＜0，
解得：m＞．
故选C．
【分析】根据二次方程没有实根，则判别式，解不等式即可求出答案.
5．（2025·衡山模拟）下列计算正确的是（　　）
A．3 B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；完全平方公式及运用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原算式计算错误，故选项A不符合题意；
B、，原算式计算错误，故选项B不符合题意；
C、原算式计算正确，故选项C符合题意；
D、原算式计算错误，故选项D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据单项式乘单项式，完全平方公式，积的乘方和幂的乘方以及同底数幂的除法的运算法则进行计算并判断即可．
6．（2025·衡山模拟）党和政府不断畅通噪声投诉渠道，努力解决群众关心的噪声问题．下图是某市2024年各月噪声扰民投诉量统计图，根据统计图的信息，下列结论错误的是（　　）
A．1月的投诉量最少
B．3月、4月、10月和11月投诉量较高
C．有5个月的月投诉量超过200件
D．1月-12月，月投诉量在逐渐增多
【答案】D
【知识点】条形统计图
【解析】【解答】解：根据统计图的信息，
A、1月的投诉量最少，故选项A正确，不符合题意；
B、3月、4月、10月和11月投诉量较高，故选项B正确，不符合题意；
C、3月、4月、5月、10月和11月等5个月的月投诉量超过200件，故选项C正确，不符合题意；
D、1月-3月的月投诉量在逐渐增多，4月-6月的月投诉量在逐渐减少，7月-10月的月投诉量又逐渐增多，且11月-12月的月投诉量再逐渐减少，故选项D错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据条形统计图依次判断即可．
7．（2025·衡山模拟）如图，点是的边延长线上一点，．连接，交于点．设，的面积分别为，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，∠A=∠C，
∴∠ABF=∠E，
．
，
∴，
．
．
故答案为：C．
【分析】由平行四边形的性质可得AB//CD，AB=CD，∠A=∠C，于是可证明，再由CD=ED，可得，利用相似三角形的性质即可得.
8．（2025·衡山模拟）如图，为的直径，与相切于点，连接与相交于点，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：为的直径，与相切于点，
∴．
，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】由切线的性质可得，再由直角三角形的性质得，最后由圆周角定理即可得解．
9．（2025·衡山模拟）判断命题“若，则”是假命题，只需要举出一个反例，反例中的可以是（　　）
A．2 B．0 C． D．-5
【答案】B
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：当c=0时，c2=0．
此时若，则，
∴命题“若，则”是假命题．
故答案为：B．
【分析】反例中的满足，据此即可进行判断．
10．（2025·衡山模拟）在平面直角坐标系中，若，则称为点的“斜值”．如图，边长为2的正方形的四条边分别与坐标轴平行，点的坐标为，点是正方形边上的动点．下列说法错误的是（　　）
A．点的“斜值”为
B．点在边上时，点的“斜值”随着的增大而增大
C．点在边上时，点的“斜值”随着的增大而增大
D．点的“斜值”的最大值为
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；正方形的性质；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：根据题意得：若，则称为点（a，b）的“斜值”，
∴．
∵点的坐标为，
∴点的“斜值”为，故说法正确，不符合题意；
∵点在边上时，
∴，点的“斜值”，
∴t随着的增大而减小，故说法B错误，符合题意；
∵点在边上时，正方形的边长为2，
∴点，点的“斜值”，
∴t随着的增大而增大，故说法C正确，不符合题意；
∵，
∴a越小，b越大，t的值就越大，
当点在边AD上时，，且点的“斜值”，
∴当点在点D位置，即b=3时，“斜值”最大，最大值为，故说法D正确，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据新定义得到．把A的坐标代入计算“斜值”可判断选项A；根据点M的位置得到t的反比例函数，根据反比例函数的性质可判断选项B；根据点M的位置得到t的正比例函数，根据正比例函数的性质可判断选项C；a和b的取值范围确定，再结合反比例函数和正比例函数的性质进行判断即可．
11．（2025·衡山模拟）若分式的值不存在，则　 　．
【答案】7
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式 的值不存在，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据分式无意义，分母为0得到关于x的方程，求解即可．
12．（2025·衡山模拟）在体育中考模拟测试中，某班7名女同学1分钟仰卧起坐的成绩（单位：次）分别为：，，，，，，，则这组数据的众数是　 　．
【答案】
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵某班7名女同学1分钟仰卧起坐的成绩（单位：次）分别为：，，，，，，，
其中数据“”出现了3次，其余都只出现1次，
∴数据“”出现次数最多，
∴成绩，，，，，，的众数是：．
故答案为：．
【分析】众数即一组数中出现次数最多的数，根据众数的意义求解即可．
13．（2025·衡山模拟）若，则　 　．
【答案】35
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：35．
【分析】先将原式因式分解得，再整体代入即可求出结果．
14．（2025·衡山模拟）如图，将边长为6的向右平移个单位得到，若，则　 　．
【答案】2
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：，
，
∵△ABC向右平移个单位得到△DEF，
．
故答案为：
【分析】根据平移的性质可得平移距离．
15．（2025·衡山模拟）如图，过正五边形的顶点作，交于点，则　 　．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正五边形每个内角为，
即，
，
．
【分析】先利用正多边形的内角和公式求出正五边形每个内角度数，再根据垂线定义得出，然后求出利用角的和差求∠MBC即可．
16．（2025·衡山模拟）如图是某电路图，电压恒定不变，滑动变阻器的电功率与电阻存在关系：．当滑动变阻器的电阻时，其电功率．小明通过调节电阻，若电功率为，则电阻为　 　．
【答案】8
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意：滑动变阻器的电功率与电阻存在关系：，
∵时，其电功率，
∴，
∴．
∴当时，则，
故答案为：．
【分析】先根据题意求出U2的值，可得，再把代入，求得R的值即可。
17．（2025·衡山模拟）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”如图是良马与驽马的行走路程（单位：里）关于驽马的行走时间（单位：天）的函数图象，则两直线交点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由题意得：，，
由题意得：，
解得：t=32，
∴s=150×32=4800，
∴两直线交点的坐标是．
故答案为：．
【分析】根据题意，分别求出驽马和良马的行走路程关于驽马的行走时间的函数表达式为和，联立得关于时间t的方程，求解即可求得点M的坐标．
18．（2025·衡山模拟）如图，．请根据作图痕迹解决下列问题：　 　；若，则长为　 　．
【答案】；6
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据作图痕迹可知：射线是的角平分线，是线段的垂直平分线，
∵∠AOB=60°，
，．
在Rt△OPD中，PD=3cm，∠POD=30°，
∴OP=2PD=2×3=6cm，∠OPD=90°－∠POD=60°，
∴∠OEP=∠OPD－∠AOP=30°=∠AOP，
∴EP=OP=6cm.
故答案为：，6．
【分析】由作图可得射线是的角平分线，是线段的垂直平分线，从而可得，，在Rt△OPD中利用含30°角的直角三角形的性质得OP的长，证明△OEP为等腰三角形的性质，即可得PE的长.
19．（2025·衡山模拟）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先去绝对值，代入特殊角的三角函数值，计算负整数指数幂，根据二次根式的性质进行化简，然后再进行加减运算即可求解．
20．（2025·衡山模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
当时，原式．
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据异分母分式的减法法则进行运算并化简，再把x的值代入计算即可．
21．（2025·衡山模拟）在“开学第一课讲安全”活动中，某校开展了安全知识竞赛（百分制）活动，为了解学生的答题情况，随机抽取了部分学生的竞赛成绩（成绩用表示，单位：分），并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：A：；B：；C：；D：；E：．下面给出了不完整的学生竞赛成绩频数直方图和扇形统计图：
请根据以上信息完成下列问题：
（1）本次被抽取的学生人数为 人，扇形统计图中E组对应扇形的圆心角为 度；
（2）补全频数直方图；
（3）该校共有2000名学生参加了此次竞赛活动，请你估计该校参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数；
（4）甲、乙、丙3名同学的竞赛成绩在95分以上，学校准备从这3名同学中任选2名作国旗下的安全主题分享活动，请用画树状图或列表的方法计算恰好选中甲、乙两名同学的概率．
【答案】（1）80，36
（2）解：D组的人数为：（人），
故可补全频数直方图，如图所示：
（3）解：（人），
答：估计该校参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数为人；
（4）解：画树状图如图所示：
共有6种等可得的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的情况数共有2种可，
．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；频数（率）分布直方图；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）（人），
∴扇形统计图中组对应的扇形圆心角，
故答案为：80，36．
【分析】（1）C组人数除以所占的比例求出抽取的人数即可；360度乘以E组所占的比例，进行求解即可；
（2）总人数减去其他已知人数，然后补全图即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可；
（4）利用列表法求概率即可．
（1）解：（人），
扇形统计图中组对应扇形的圆心角，
故答案为：80，36．
（2）解：D组的人数为：（人），
补全频数直方图，如图所示：
（3）解：（人），
答：估计该校参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数为人；
（4）解：
列表如下：从甲，乙，丙3名同学任选2名作国旗下的安全主题分享活动，共有6种可能结果，其中恰好选中甲、乙两名同学共有2种可能结果，故所求概率．
/ 甲 乙 丙
甲 / 甲乙 甲丙
乙 甲乙 / 乙丙
丙 甲丙 乙丙 /
22．（2025·衡山模拟）如图，已知．
（1）证明：．
（2）连接，线段交于点．从“①；②”这两组条件中，任选一组作为已知条件，填在横线上 （填序号），则四边形的形状是 ，并说明理由．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
．
（2）解：选择条件①，则四边形是菱形．理由如下：
由（1）知，
，
，，
∴．
又，
四边形是平行四边形，
EO=FO，
，
，即，
四边形是菱形．
选择条件②，则四边形是矩形．
理由如下：由（1）知，
，
，，
∴．
又，
四边形是平行四边形，
CO=DO，EO=FO，
，
∴EO=CO=FO=DO，
，
四边形是矩形．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的判定；矩形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先证明，再结合已知条件即可利用 SAS证明△ACE≌△BDF，再利用全等三角形的性质即可得到结论；
（2）选择条件①，先证明四边形是平行四边形，再利用等腰三角形“三线合一”是性质证明，即可得到四边形是菱形．
（2）选择条件②，先证明四边形是平行四边形，再利用CO=EO证明，即可得到四边形是矩形．
（1）解：，
，
，
，
．
（2）解：选择条件①，则四边形是菱形．
理由如下：由（1）知，
，
，
∴．
又，
四边形是平行四边形，
点是对角线，的中点．
，
，即，
四边形是菱形．
选择条件②，则四边形是矩形．
理由如下：由（1）知，
，
，
∴．
又，
四边形是平行四边形，
点是对角线，的中点．
，
，
四边形是矩形．
23．（2025·衡山模拟）电影《哪吒之魔童闹海》的热播，促进了文创市场的发展．经了解，某商店销售“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的数量和金额如下：
“哪吒”玩偶（个） “太乙真人”玩偶（个） 金额（元）
1 2 210
3 4 480
（1）该商店“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的销售单价分别是多少元/件？
（2）某公司为庆祝“六一儿童节”，准备到该商店购买“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶共100件，总费用不超过6500元，则公司至少应购买“哪吒”文创玩偶多少件？
【答案】（1）解：设该商店销售的“哪吒”玩偶的单价分别是元/件，“太乙真人”玩偶的单价是元/件，根据题意，得
，
解得：，
答：“哪吒”玩偶的单价分别是60元/件，“太乙真人”玩偶的单价是75元/件.
（2）解：设公司应购买“哪吒”文创玩偶m件，则应购买“太乙真人”文创玩偶件，根据题意，得：，
解得：，
则公司至少应购买“哪吒”文创玩偶67件．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该商店销售的“哪吒”玩偶的单价分别是元/件，“太乙真人”玩偶的单价是元/件，根据题意得等量关系“1个哪吒+2个太乙真人=210”，“3个哪吒+4个太乙真人=480”，据此列出二元一次方程组并求解即可；
（2）设公司应购买“哪吒”文创玩偶m件，则应购买“太乙真人”文创玩偶件．根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解．
（1）解：设该商店销售的“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的单价分别是元/件和元/件．
根据题意，得，
解得：，
答：“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的单价分别是60元/件和75元/件．
（2）解：设公司至少应购买“哪吒”文创玩偶m件，则应购买“太乙真人”文创玩偶件．
根据题意，得：，
解得，
则公司至少应购买“哪吒”文创玩偶67件．
24．（2025·衡山模拟）某校数学实践小组开展测量古塔高度的实践活动，兴趣小组制定了三种不同的测量方案，具体如下：
项目 测量古塔的高度
工具 测角仪、皮尺、测量杆等
方案 方案1 方案2 方案3
示意图
测量方案 ①在处测得塔的顶部的仰角； ②从处向左行走至处，测得塔的顶部的仰角； ③在一条水平直线上． ①在塔的左侧处测得塔的顶部的仰角； ②从处向左行走至处，测得塔的腰部点的仰角； ③在一条水平直线上． ①在塔的左侧距离塔底的处垂直放置一根长的测量杆； ②从处向左行走至点处，此时与测量杆的顶端、塔顶在一条直线上； ③在一条水平直线上．
问题解决：
（1）直接指出所有可行方案；
（2）任选一种可行方案，按照所测数据，计算古塔的高度．（精确到，参考数据：，）
【答案】（1）解：方案1和方案3可行
（2）解：选择方案1：在Rt△CBD中，，设BD=x m，
，
∴CD=x·tan65.6°≈2.2x.
在Rt△CAD中， ，AD＝AB+BD＝10+x，
，
∴CD=(10+x)·tan39.4°≈0.8(10+x).
∴2.2x=0.8(10+x)，
解得：
CD≈5.71×2.2≈13（m）.
答：古塔的高度约为．
选择方案3：，
，
．
，
，
解得：．
答：古塔的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：（1）∵方案1中，设BD=x m，分别在Rt△ACD和Rt△BCD中解直角三角形，得到关于x的方程，求解即可得到塔高；
方案2中，不知道塔身上CE的长，故求不得塔高CD.
方案3中，利用△ABE∽△ADC，已知边长AB，AD和BF的长，即可得到塔高CD；
故答案为：方案1和方案3可行．
【分析】（1）根据题意判断每个方案，即可得到结论；
（2）方案一、根据解三角形确定得出，即可求解；方案三：利用相似三角形的判定和性质求解即可．
（1）解：方案1和方案3可行．
（2）方案1解决过程如下：如图，在Rt中，，
，
，
在中，，
，
．
，
，
即，
解得．
答：古塔的高度约为．
方案3解决过程如下：
，
，
．
，
，
解得．
答：古塔的高度约为．
25．（2025·衡山模拟）如图，二次函数图象与轴交于点两点（点在点的右边），与轴交于点．
（1）求三点的坐标．
（2）若点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点是线段上的任意一点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
【答案】（1）解：令，得，
．
令，得，
解得或，
．
（2）解：存在，理由如下：
，
故抛物线的对称轴为，可设点，
∵，
∴直线AC的解析式为：y=x+3，
设线段AC的中点为N，则，
三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形，
∴点M在线段AC的垂直平分线上，即MN⊥AC，
∴直线MN的解析式为：y=﹣x+b，
把点N的坐标代入得：，
∴b=0.
即y=﹣x.
当x=-1时，x=1.
；
（3）解：，，
，，，AO=3，
∵点P在线段AC上，
∴ 点为顶点的三角形与相似的情况有两种情况：
①PO//BC，△AOP∽△ABC：
，即
．
∵AO=CO，∠AOC=90°，
∴∠PAO=45°，
∴，，
∴点坐标为．
②△AOP∽△ACB：
，即，
，
，
，，
点坐标为．
综上所述，点坐标为或时，以点为顶点的三角形与相似．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-特殊三角形存在性问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）令和求出抛物线与x轴，y轴的交点坐标即可；
（2）先得到抛物线的对称轴，设点，求得直线AC的解析式和线段AC的中点N的坐标，再根据等腰三角形“三线合一”的性质可得MN⊥AC，再求出直线MN的解析式，并确定与抛物线的交点坐标，即可得到答案.
（3）先求出线段，的长，然后分为，，根据相似三角形的对应边成比例求出长，即可求出点P的坐标．
（1）解：令，得，
．
令，得，
解得或，
．
（2）解：存在，理由如下，
抛物线的对称轴为，
设点，
三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形，
，
，
，
解得，
；
（3）解：令，
或，
，
又，
，
．
设长为．
若，如图1．
，
，
，
，
，
点坐标为．
若，如图2．
，
．
同理可得，
，
∴点坐标为．
综上所述，点坐标为或时符合题意．
26．（2025·衡山模拟）如图，点，，是上的点，且点是劣弧的中点．作射线，与的切线交于点．作射线，与的延长线交于点．
（1）求证：是的切线．
（2）如图1，若的半径为6，，求线段的长．
（3）如图2，连接并延长，交线段于点．若是的中点，证明：．
【答案】（1）解：如图，连接．
，
点是劣弧的中点，
．
，，
．
是的切线，
，
，
又是的半径，
是的切线．
（2）解：∵∠ODB=90°，
∴，
设，．
，且，
，
解得，
，，
．
∵∠ACB=∠ODB=90°，∠B=∠B，
∴△ACB∽△ODB，
∴，即
．
（3）证明：连接，如图：
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC.
点是的中点，，
．
，
.
由（1）知，
，，
(SAS)，
．
．
，
，
，
又，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；切线的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接．由圆周角定理可得，证明结合切线的性质可得，即可得证；
（2）设，，结合勾股定理计算得出，，证明△ACB∽△ODB，利用相似三角形的性质即可得到AD的长；
（3）连接．由等腰三角形的性质得∠OCE=∠OEC.再由直角三角形斜边中线的性质和三角形的内角和定理可得；证明△COE≌△DOE，可利用全等三角形的性质和平角的概念得出，于是可得，再由，即可得解．
（1）解：如图，连接．
，
点是劣弧的中点，
．
，，
．
是的切线，
，
，
又是的半径，
是的切线．
（2）解：，
设，．
，且，
，
解得，
，，
．
，
，
．
（3）证明：如图，连接．
由（1）知，
，，
，
．
，
．
．
点是的中点，，
．
，
，
，
，
，
又，
．
1 / 1湖南省衡阳市衡山县2025年中考三模数学试题
1．（2025·衡山模拟）某河流水位在警戒水位以上0.6米记作米，则水位在警戒水位以下2米应记作（　　）
A．米 B．米 C．1.4米 D．米
2．（2025·衡山模拟）《哪吒之魔童闹海》彰显了中国动画电影的国际影响力，截至2025年3月1日，累计票房突破14160000000元人民币，数据14160000000用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·衡山模拟）如图，该三明治包装盒的主视图是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·衡山模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜ B．m＞﹣ C．m＞ D．m＜﹣
5．（2025·衡山模拟）下列计算正确的是（　　）
A．3 B．
C． D．
6．（2025·衡山模拟）党和政府不断畅通噪声投诉渠道，努力解决群众关心的噪声问题．下图是某市2024年各月噪声扰民投诉量统计图，根据统计图的信息，下列结论错误的是（　　）
A．1月的投诉量最少
B．3月、4月、10月和11月投诉量较高
C．有5个月的月投诉量超过200件
D．1月-12月，月投诉量在逐渐增多
7．（2025·衡山模拟）如图，点是的边延长线上一点，．连接，交于点．设，的面积分别为，，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·衡山模拟）如图，为的直径，与相切于点，连接与相交于点，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·衡山模拟）判断命题“若，则”是假命题，只需要举出一个反例，反例中的可以是（　　）
A．2 B．0 C． D．-5
10．（2025·衡山模拟）在平面直角坐标系中，若，则称为点的“斜值”．如图，边长为2的正方形的四条边分别与坐标轴平行，点的坐标为，点是正方形边上的动点．下列说法错误的是（　　）
A．点的“斜值”为
B．点在边上时，点的“斜值”随着的增大而增大
C．点在边上时，点的“斜值”随着的增大而增大
D．点的“斜值”的最大值为
11．（2025·衡山模拟）若分式的值不存在，则　 　．
12．（2025·衡山模拟）在体育中考模拟测试中，某班7名女同学1分钟仰卧起坐的成绩（单位：次）分别为：，，，，，，，则这组数据的众数是　 　．
13．（2025·衡山模拟）若，则　 　．
14．（2025·衡山模拟）如图，将边长为6的向右平移个单位得到，若，则　 　．
15．（2025·衡山模拟）如图，过正五边形的顶点作，交于点，则　 　．
16．（2025·衡山模拟）如图是某电路图，电压恒定不变，滑动变阻器的电功率与电阻存在关系：．当滑动变阻器的电阻时，其电功率．小明通过调节电阻，若电功率为，则电阻为　 　．
17．（2025·衡山模拟）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”如图是良马与驽马的行走路程（单位：里）关于驽马的行走时间（单位：天）的函数图象，则两直线交点的坐标是　 　．
18．（2025·衡山模拟）如图，．请根据作图痕迹解决下列问题：　 　；若，则长为　 　．
19．（2025·衡山模拟）计算：．
20．（2025·衡山模拟）先化简，再求值：，其中．
21．（2025·衡山模拟）在“开学第一课讲安全”活动中，某校开展了安全知识竞赛（百分制）活动，为了解学生的答题情况，随机抽取了部分学生的竞赛成绩（成绩用表示，单位：分），并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：A：；B：；C：；D：；E：．下面给出了不完整的学生竞赛成绩频数直方图和扇形统计图：
请根据以上信息完成下列问题：
（1）本次被抽取的学生人数为 人，扇形统计图中E组对应扇形的圆心角为 度；
（2）补全频数直方图；
（3）该校共有2000名学生参加了此次竞赛活动，请你估计该校参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数；
（4）甲、乙、丙3名同学的竞赛成绩在95分以上，学校准备从这3名同学中任选2名作国旗下的安全主题分享活动，请用画树状图或列表的方法计算恰好选中甲、乙两名同学的概率．
22．（2025·衡山模拟）如图，已知．
（1）证明：．
（2）连接，线段交于点．从“①；②”这两组条件中，任选一组作为已知条件，填在横线上 （填序号），则四边形的形状是 ，并说明理由．
23．（2025·衡山模拟）电影《哪吒之魔童闹海》的热播，促进了文创市场的发展．经了解，某商店销售“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的数量和金额如下：
“哪吒”玩偶（个） “太乙真人”玩偶（个） 金额（元）
1 2 210
3 4 480
（1）该商店“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的销售单价分别是多少元/件？
（2）某公司为庆祝“六一儿童节”，准备到该商店购买“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶共100件，总费用不超过6500元，则公司至少应购买“哪吒”文创玩偶多少件？
24．（2025·衡山模拟）某校数学实践小组开展测量古塔高度的实践活动，兴趣小组制定了三种不同的测量方案，具体如下：
项目 测量古塔的高度
工具 测角仪、皮尺、测量杆等
方案 方案1 方案2 方案3
示意图
测量方案 ①在处测得塔的顶部的仰角； ②从处向左行走至处，测得塔的顶部的仰角； ③在一条水平直线上． ①在塔的左侧处测得塔的顶部的仰角； ②从处向左行走至处，测得塔的腰部点的仰角； ③在一条水平直线上． ①在塔的左侧距离塔底的处垂直放置一根长的测量杆； ②从处向左行走至点处，此时与测量杆的顶端、塔顶在一条直线上； ③在一条水平直线上．
问题解决：
（1）直接指出所有可行方案；
（2）任选一种可行方案，按照所测数据，计算古塔的高度．（精确到，参考数据：，）
25．（2025·衡山模拟）如图，二次函数图象与轴交于点两点（点在点的右边），与轴交于点．
（1）求三点的坐标．
（2）若点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点是线段上的任意一点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
26．（2025·衡山模拟）如图，点，，是上的点，且点是劣弧的中点．作射线，与的切线交于点．作射线，与的延长线交于点．
（1）求证：是的切线．
（2）如图1，若的半径为6，，求线段的长．
（3）如图2，连接并延长，交线段于点．若是的中点，证明：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：由题意：在警戒水位以上0.6米记作米，
∴则在警戒水位以下2米应记作米，
故答案为：B．
【分析】先规定其中一个为正，则相反量就用负表示，由此即可得解．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】把一个大于10的数表示成的形式（1≤|a|<10，是正整数），的值为小数点向左移动的位数．
3．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：三明治包装盒的主视图大概如下所示：
故答案为：A．
【分析】根据从正面看到的图形是主视图解答即可．
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0没有实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×m＝9﹣4m＜0，
解得：m＞．
故选C．
【分析】根据二次方程没有实根，则判别式，解不等式即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；完全平方公式及运用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原算式计算错误，故选项A不符合题意；
B、，原算式计算错误，故选项B不符合题意；
C、原算式计算正确，故选项C符合题意；
D、原算式计算错误，故选项D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据单项式乘单项式，完全平方公式，积的乘方和幂的乘方以及同底数幂的除法的运算法则进行计算并判断即可．
6．【答案】D
【知识点】条形统计图
【解析】【解答】解：根据统计图的信息，
A、1月的投诉量最少，故选项A正确，不符合题意；
B、3月、4月、10月和11月投诉量较高，故选项B正确，不符合题意；
C、3月、4月、5月、10月和11月等5个月的月投诉量超过200件，故选项C正确，不符合题意；
D、1月-3月的月投诉量在逐渐增多，4月-6月的月投诉量在逐渐减少，7月-10月的月投诉量又逐渐增多，且11月-12月的月投诉量再逐渐减少，故选项D错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据条形统计图依次判断即可．
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，∠A=∠C，
∴∠ABF=∠E，
．
，
∴，
．
．
故答案为：C．
【分析】由平行四边形的性质可得AB//CD，AB=CD，∠A=∠C，于是可证明，再由CD=ED，可得，利用相似三角形的性质即可得.
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：为的直径，与相切于点，
∴．
，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】由切线的性质可得，再由直角三角形的性质得，最后由圆周角定理即可得解．
9．【答案】B
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：当c=0时，c2=0．
此时若，则，
∴命题“若，则”是假命题．
故答案为：B．
【分析】反例中的满足，据此即可进行判断．
10．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；正方形的性质；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：根据题意得：若，则称为点（a，b）的“斜值”，
∴．
∵点的坐标为，
∴点的“斜值”为，故说法正确，不符合题意；
∵点在边上时，
∴，点的“斜值”，
∴t随着的增大而减小，故说法B错误，符合题意；
∵点在边上时，正方形的边长为2，
∴点，点的“斜值”，
∴t随着的增大而增大，故说法C正确，不符合题意；
∵，
∴a越小，b越大，t的值就越大，
当点在边AD上时，，且点的“斜值”，
∴当点在点D位置，即b=3时，“斜值”最大，最大值为，故说法D正确，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据新定义得到．把A的坐标代入计算“斜值”可判断选项A；根据点M的位置得到t的反比例函数，根据反比例函数的性质可判断选项B；根据点M的位置得到t的正比例函数，根据正比例函数的性质可判断选项C；a和b的取值范围确定，再结合反比例函数和正比例函数的性质进行判断即可．
11．【答案】7
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式 的值不存在，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据分式无意义，分母为0得到关于x的方程，求解即可．
12．【答案】
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵某班7名女同学1分钟仰卧起坐的成绩（单位：次）分别为：，，，，，，，
其中数据“”出现了3次，其余都只出现1次，
∴数据“”出现次数最多，
∴成绩，，，，，，的众数是：．
故答案为：．
【分析】众数即一组数中出现次数最多的数，根据众数的意义求解即可．
13．【答案】35
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：35．
【分析】先将原式因式分解得，再整体代入即可求出结果．
14．【答案】2
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：，
，
∵△ABC向右平移个单位得到△DEF，
．
故答案为：
【分析】根据平移的性质可得平移距离．
15．【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正五边形每个内角为，
即，
，
．
【分析】先利用正多边形的内角和公式求出正五边形每个内角度数，再根据垂线定义得出，然后求出利用角的和差求∠MBC即可．
16．【答案】8
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意：滑动变阻器的电功率与电阻存在关系：，
∵时，其电功率，
∴，
∴．
∴当时，则，
故答案为：．
【分析】先根据题意求出U2的值，可得，再把代入，求得R的值即可。
17．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由题意得：，，
由题意得：，
解得：t=32，
∴s=150×32=4800，
∴两直线交点的坐标是．
故答案为：．
【分析】根据题意，分别求出驽马和良马的行走路程关于驽马的行走时间的函数表达式为和，联立得关于时间t的方程，求解即可求得点M的坐标．
18．【答案】；6
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据作图痕迹可知：射线是的角平分线，是线段的垂直平分线，
∵∠AOB=60°，
，．
在Rt△OPD中，PD=3cm，∠POD=30°，
∴OP=2PD=2×3=6cm，∠OPD=90°－∠POD=60°，
∴∠OEP=∠OPD－∠AOP=30°=∠AOP，
∴EP=OP=6cm.
故答案为：，6．
【分析】由作图可得射线是的角平分线，是线段的垂直平分线，从而可得，，在Rt△OPD中利用含30°角的直角三角形的性质得OP的长，证明△OEP为等腰三角形的性质，即可得PE的长.
19．【答案】解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先去绝对值，代入特殊角的三角函数值，计算负整数指数幂，根据二次根式的性质进行化简，然后再进行加减运算即可求解．
20．【答案】解：原式
当时，原式．
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据异分母分式的减法法则进行运算并化简，再把x的值代入计算即可．
21．【答案】（1）80，36
（2）解：D组的人数为：（人），
故可补全频数直方图，如图所示：
（3）解：（人），
答：估计该校参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数为人；
（4）解：画树状图如图所示：
共有6种等可得的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的情况数共有2种可，
．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；频数（率）分布直方图；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）（人），
∴扇形统计图中组对应的扇形圆心角，
故答案为：80，36．
【分析】（1）C组人数除以所占的比例求出抽取的人数即可；360度乘以E组所占的比例，进行求解即可；
（2）总人数减去其他已知人数，然后补全图即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可；
（4）利用列表法求概率即可．
（1）解：（人），
扇形统计图中组对应扇形的圆心角，
故答案为：80，36．
（2）解：D组的人数为：（人），
补全频数直方图，如图所示：
（3）解：（人），
答：估计该校参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数为人；
（4）解：
列表如下：从甲，乙，丙3名同学任选2名作国旗下的安全主题分享活动，共有6种可能结果，其中恰好选中甲、乙两名同学共有2种可能结果，故所求概率．
/ 甲 乙 丙
甲 / 甲乙 甲丙
乙 甲乙 / 乙丙
丙 甲丙 乙丙 /
22．【答案】（1）证明：，
，
，
，
．
（2）解：选择条件①，则四边形是菱形．理由如下：
由（1）知，
，
，，
∴．
又，
四边形是平行四边形，
EO=FO，
，
，即，
四边形是菱形．
选择条件②，则四边形是矩形．
理由如下：由（1）知，
，
，，
∴．
又，
四边形是平行四边形，
CO=DO，EO=FO，
，
∴EO=CO=FO=DO，
，
四边形是矩形．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的判定；矩形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先证明，再结合已知条件即可利用 SAS证明△ACE≌△BDF，再利用全等三角形的性质即可得到结论；
（2）选择条件①，先证明四边形是平行四边形，再利用等腰三角形“三线合一”是性质证明，即可得到四边形是菱形．
（2）选择条件②，先证明四边形是平行四边形，再利用CO=EO证明，即可得到四边形是矩形．
（1）解：，
，
，
，
．
（2）解：选择条件①，则四边形是菱形．
理由如下：由（1）知，
，
，
∴．
又，
四边形是平行四边形，
点是对角线，的中点．
，
，即，
四边形是菱形．
选择条件②，则四边形是矩形．
理由如下：由（1）知，
，
，
∴．
又，
四边形是平行四边形，
点是对角线，的中点．
，
，
四边形是矩形．
23．【答案】（1）解：设该商店销售的“哪吒”玩偶的单价分别是元/件，“太乙真人”玩偶的单价是元/件，根据题意，得
，
解得：，
答：“哪吒”玩偶的单价分别是60元/件，“太乙真人”玩偶的单价是75元/件.
（2）解：设公司应购买“哪吒”文创玩偶m件，则应购买“太乙真人”文创玩偶件，根据题意，得：，
解得：，
则公司至少应购买“哪吒”文创玩偶67件．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该商店销售的“哪吒”玩偶的单价分别是元/件，“太乙真人”玩偶的单价是元/件，根据题意得等量关系“1个哪吒+2个太乙真人=210”，“3个哪吒+4个太乙真人=480”，据此列出二元一次方程组并求解即可；
（2）设公司应购买“哪吒”文创玩偶m件，则应购买“太乙真人”文创玩偶件．根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解．
（1）解：设该商店销售的“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的单价分别是元/件和元/件．
根据题意，得，
解得：，
答：“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的单价分别是60元/件和75元/件．
（2）解：设公司至少应购买“哪吒”文创玩偶m件，则应购买“太乙真人”文创玩偶件．
根据题意，得：，
解得，
则公司至少应购买“哪吒”文创玩偶67件．
24．【答案】（1）解：方案1和方案3可行
（2）解：选择方案1：在Rt△CBD中，，设BD=x m，
，
∴CD=x·tan65.6°≈2.2x.
在Rt△CAD中， ，AD＝AB+BD＝10+x，
，
∴CD=(10+x)·tan39.4°≈0.8(10+x).
∴2.2x=0.8(10+x)，
解得：
CD≈5.71×2.2≈13（m）.
答：古塔的高度约为．
选择方案3：，
，
．
，
，
解得：．
答：古塔的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：（1）∵方案1中，设BD=x m，分别在Rt△ACD和Rt△BCD中解直角三角形，得到关于x的方程，求解即可得到塔高；
方案2中，不知道塔身上CE的长，故求不得塔高CD.
方案3中，利用△ABE∽△ADC，已知边长AB，AD和BF的长，即可得到塔高CD；
故答案为：方案1和方案3可行．
【分析】（1）根据题意判断每个方案，即可得到结论；
（2）方案一、根据解三角形确定得出，即可求解；方案三：利用相似三角形的判定和性质求解即可．
（1）解：方案1和方案3可行．
（2）方案1解决过程如下：如图，在Rt中，，
，
，
在中，，
，
．
，
，
即，
解得．
答：古塔的高度约为．
方案3解决过程如下：
，
，
．
，
，
解得．
答：古塔的高度约为．
25．【答案】（1）解：令，得，
．
令，得，
解得或，
．
（2）解：存在，理由如下：
，
故抛物线的对称轴为，可设点，
∵，
∴直线AC的解析式为：y=x+3，
设线段AC的中点为N，则，
三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形，
∴点M在线段AC的垂直平分线上，即MN⊥AC，
∴直线MN的解析式为：y=﹣x+b，
把点N的坐标代入得：，
∴b=0.
即y=﹣x.
当x=-1时，x=1.
；
（3）解：，，
，，，AO=3，
∵点P在线段AC上，
∴ 点为顶点的三角形与相似的情况有两种情况：
①PO//BC，△AOP∽△ABC：
，即
．
∵AO=CO，∠AOC=90°，
∴∠PAO=45°，
∴，，
∴点坐标为．
②△AOP∽△ACB：
，即，
，
，
，，
点坐标为．
综上所述，点坐标为或时，以点为顶点的三角形与相似．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-特殊三角形存在性问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）令和求出抛物线与x轴，y轴的交点坐标即可；
（2）先得到抛物线的对称轴，设点，求得直线AC的解析式和线段AC的中点N的坐标，再根据等腰三角形“三线合一”的性质可得MN⊥AC，再求出直线MN的解析式，并确定与抛物线的交点坐标，即可得到答案.
（3）先求出线段，的长，然后分为，，根据相似三角形的对应边成比例求出长，即可求出点P的坐标．
（1）解：令，得，
．
令，得，
解得或，
．
（2）解：存在，理由如下，
抛物线的对称轴为，
设点，
三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形，
，
，
，
解得，
；
（3）解：令，
或，
，
又，
，
．
设长为．
若，如图1．
，
，
，
，
，
点坐标为．
若，如图2．
，
．
同理可得，
，
∴点坐标为．
综上所述，点坐标为或时符合题意．
26．【答案】（1）解：如图，连接．
，
点是劣弧的中点，
．
，，
．
是的切线，
，
，
又是的半径，
是的切线．
（2）解：∵∠ODB=90°，
∴，
设，．
，且，
，
解得，
，，
．
∵∠ACB=∠ODB=90°，∠B=∠B，
∴△ACB∽△ODB，
∴，即
．
（3）证明：连接，如图：
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC.
点是的中点，，
．
，
.
由（1）知，
，，
(SAS)，
．
．
，
，
，
又，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；切线的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接．由圆周角定理可得，证明结合切线的性质可得，即可得证；
（2）设，，结合勾股定理计算得出，，证明△ACB∽△ODB，利用相似三角形的性质即可得到AD的长；
（3）连接．由等腰三角形的性质得∠OCE=∠OEC.再由直角三角形斜边中线的性质和三角形的内角和定理可得；证明△COE≌△DOE，可利用全等三角形的性质和平角的概念得出，于是可得，再由，即可得解．
（1）解：如图，连接．
，
点是劣弧的中点，
．
，，
．
是的切线，
，
，
又是的半径，
是的切线．
（2）解：，
设，．
，且，
，
解得，
，，
．
，
，
．
（3）证明：如图，连接．
由（1）知，
，，
，
．
，
．
．
点是的中点，，
．
，
，
，
，
，
又，
．
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