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四川省南充市南部中学2024—2025学年九年级下学期数学中考模拟试卷
1．（2025·南部模拟）某种食品储存温度为，以下温度不适合储存这种食品的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：∵-10+2=8℃，-10-2=-12℃
∴适合储存这种食品的温度范围为，
A、∵-8℃＞-11℃＞-12℃，∴-11℃在 -12℃到-8℃的范围内，故此选项给出的温度适合存储这种食品；
B、∵-8℃＞-10℃＞-12℃，∴-10℃在 -12℃到-8℃的范围内，故此选项给出的温度适合存储这种食品；
C、∵-8℃＞-9℃＞-12℃，∴-9℃在 -12℃到-8℃的范围内，故此选项给出的温度适合存储这种食品；
D、∵-6℃＞-8℃，∴-6℃不在 -12℃到-8℃的范围内，故此选项给出的温度不适合存储这种食品.
故答案为：D．
【分析】由于食品的储存温度在-10℃加减2℃的范围内，根据有理数的加减运算法则，计算出具体的温度范围，再对各个选项进行判断，选择不适合储存该食品的温度.
2．（2025·南部模拟）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】旋转的性质；两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：，，
．
由旋转可知，．
，
，
．
故答案为：A．
【分析】首先根据直角三角形的量锐角互余求出∠A的度数，再根据旋转的性质得出，进而根据二直线平行，内错角相等，可求出的度数，最后根据交的构成，由代值计算可得答案.
3．（2025·南部模拟）垃圾分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用．生活垃圾一般分为可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、其它垃圾四类．小杨同学对某小区一周的垃圾收集情况进行了统计，并绘制成如图所示扇形图，已知可回收物共收集，那么有害垃圾共收集了（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：由扇形统计图知，可回收物所占百分比为，
所以生活垃圾的总质量为，
所以有害垃圾的质量为.
故答案为：C．
【分析】根据四类垃圾所占百分比之和为“1”求出可回收物所占百分比，用可回收垃圾的质量除以其所占的百分比求出生活垃圾的总质量，最后用生活垃圾的总质量乘以有害垃圾所占百分比即可求出有害垃圾收集的数量．
4．（2025·南部模拟）已知，则的值为（　　）
A．4 B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵m-2n=1，
∴2n-m=-1，
∴
．
故答案为：B．
【分析】先根据等式性质将已知条件变形为，然后将待求式子利用单项式乘以多项式法则分别展开括号，再合并同类项化为最简形式，最后整体代入计算可得答案.
5．（2025·南部模拟）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
关于的分式方程的解是非负数，
，
∴，
，
，
解得：，
的取值范围是：且，
故答案为：C．
【分析】将k作为参数，根据解分式方程的步骤“去分母、去括号、移项合并同类项，系数化为1”解分式方程，用含k的式子表示出x，然后根据该分式方程的解是非负数可得x≥0且x≠1，据此列出关于字母k的不等式组，求解即可得出答案.
6．（2025·南部模拟）如图，是由16个形状、大小相同的菱形组成的网格，各菱形的顶点均为格点，点，，都在格点上，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；求正切值
【解析】【解答】解：设菱形的边长为1，由图得，，，
，
是等边三角形，
，，
过点作于点，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得，
，，
，
，，
，
，
故答案为：B．
【分析】设菱形的边长为1，由图得，，，由由一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABD是等边三角形，进而根据等边三角形的三边相等得，过点作于点，由两直线平行，同旁内角互补求出的度数，由等边对等角及三角形的内角和定理求出∠EBF=30°，由含30°角直角三角形的性质求出EF的长，进而根据勾股定理可求出BF的长，由等腰三角形的三线合一得出EF的长，再由平角定义求出，从而根据正切函数的定义即可求出∠BAC的正切值．
7．（2025·南部模拟）近年来，电动汽车因环保、低噪、节能等优势深受顾客喜爱．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每千米的充电费比燃油车平均每千米的加油费少0.4元，若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的5倍，求这款电动汽车平均每千米的充电费．设这款电动汽车平均每千米的充电费为元，据题意可得方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意，设这款电动汽车平均每千米的充电费为元，燃油车平均每千米的加油费元，
根据题意，得，
故答案为：D．
【分析】设这款电动汽车平均每千米的充电费为元，燃油车平均每千米的加油费元，根据总费用除以每千米的费用等于形式的总里程及“ 充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的5倍 ”列出方程即可.
8．（2025·南部模拟）如图，过外一点P作的两条切线，，切点分别为A，B，与交于点D，与弧交于点E，为的直径．若，，则的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；切线长定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，
分别与相切于点，
∴PA=PB，
∵，
是等边三角形，
∴∠APB=60°，
∴∠APO=30°，
∴∠AOP=60°，
∵OA=OE，
∴是等边三角形，
∴DE=OD，
∵OA=OC，OD∥BC，
∴OD=，
∴DE=3.
故答案为：B。
【分析】连接，根据切线长定理可得PA=PB，结合已知条件，可得出是等边三角形，进而得出∠APB=60°，进一步得出∠AOP=60°，再由OA=OE，可得出是等边三角形，即可得出DE=OD，再根据三角形中位线定理可求得OD的长度，即可得出答案。
9．（2025·南部模拟）已知，，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：，，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】将已知两方程相减可b-a=2，然后根据完全平方公式的恒等变形得(a+b)2=(a-b)2+4ab，整体代入计算后再开平方可求出a+b得值，最后通分计算异分母分式的减法，并将运算结果的分子利用平方差公式分解因式，再整体代入计算可得答案.
10．（2025·南部模拟）已知抛物线与直线交于两个不同交点，．若，均在直线的左侧．则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：抛物线与直线交于两个不同交点，，
方程有两个不相等的实数根，
方程中，，
，
，
把代入得，，
，均在直线的左侧，
时，，
，
，
实数的取值范围是．
故答案为：C．
【分析】由于抛物线与直线有两个不同的交点，故联立两函数解析式得到方程有两个不相等的实数根，则一元二次方程根的判别式则△，据此建立关于的不等式求得；求出x=1时一次函数与二次函数相应的函数值，结合两函数图象交点P、Q均在直线x=1的左侧可判断出x=1时一次函数值小于二次函数值，据此建立关于的不等式，求解得到c＞-2，综上即可得出答案.
11．（2025·南部模拟）关于的不等式的解集为，则的值为　 　．
【答案】1
【知识点】一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：∵，
解得，
∵不等式的解集为，
∴，
解得，
故答案为：1．
【分析】将a作为参数，根据解不等式的步骤求解不等式，用含a的式子表示出该不等式的解集，结合该不等式的解集为，得到关于字母a的方程，再解该方程即可.
12．（2025·南部模拟）某街道路口处红绿灯的时间设置为：绿灯60秒，红灯30秒，黄灯3秒．当小伟乘坐的小汽车经过该路口恰好遇到绿灯的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：该路口红灯30秒，绿灯60秒，黄灯3秒，
小伟乘坐的小汽车经过该路口恰好遇到绿灯的概率是，
故答案为：．
【分析】根据概率公式，用绿灯亮的时间比上三种灯亮的总时间计算即可.
13．（2025·南部模拟）如图，点为正五边形的中心，连接并延长与的延长线交于点，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，直线是正五边形的对称轴，因此，
五边形是正五边形，
，
，
故答案为：．
【分析】由正五边形的对称性得出BF⊥DE，由正n边形的每一个外角为“”求出外角∠EDF的度数，再由直角三角形两锐角互余得出结果．
14．（2025·南部模拟）某蓄电池的电压为定值，电流与电阻成反比例关系，已知电阻时，电流，若电阻增加到时，则电流减少　 　．
【答案】0.6
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，，
即蓄电池的电压是，
与的函数关系式为，
当时，（A），
（A），
电流减少，
故答案为：0.6．
【分析】根据物理学知识得，然后将，代入求出的值，从而得到函数表达式，再把代入所求解析式求出，最后再求出即可．
15．（2025·南部模拟）如图，反比例函数的图象与矩形的边、分别交于点、，已知点的纵坐标为，点的横坐标为，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接、，
∵矩形OACB与反比例函数 的图象相交于点E、D，
，
，
又∵ 点的纵坐标为，点的横坐标为，
∴OA=m，OB=，
，
．
故答案为：．
【分析】根据反比例函数k的几何意义可得，结合三角形面积计算公式可得，从而代入OA、OB的值，化简整理可得结论.
16．（2025·南部模拟）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中Q为曲线部分的最低点，则点A到BC的距离是　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：根据图象可知点P在BC上运动时，BP不断增大，
由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为13，
即BC＝13，
由于Q是曲线部分的最低点，
∴此时BP最小，
即BP⊥AC时，BP＝12，
∴由勾股定理可知：PC＝5，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
∵图象右端点函数值为13，
∴AB＝BC＝10，
∴PA＝PC＝5（三线合一），
∴AC＝10，
∴△ABC的面积为：×12×10＝60，
∴点A到BC的距离＝60×2÷13＝，
故答案为：．
【分析】根据图象可知点P在BC上运动时，BP不断增大，点P从C向A运动时，BP先变小后变大．得到AB＝BC＝13，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，AC边上的高为12（此时BP＝12），这时根据勾股定理得到PC＝5，再根据三线合一得到AC＝12，最后利用等面积法即可求解．
17．（2025·南部模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
=
，
当时，
原式；
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用；二次根式的乘除法；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】首先根据平方差公式和多项式乘多项式法则进行整式的乘法运算，然后再合并同类项，得出最简结果；然后再把a，b的值代入化简后的代数式中，进行运算即可得出结果。
18．（2025·南部模拟）如图，中，，，于，于．
（1）求证：，
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：，，
，
．
∵，
，
．
在和中，
，
（2）解：，
，，
，，
，
∵，
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；直角三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；余角
【解析】【分析（1）首先根据垂直的定义得出，再根据余角的性质得出进而根据AAS得出；
（2）根据全等三角形的性质得出，，进一步得出，再根据勾股定理即可得出．
（1）证明：，，
，
．
∵，
，
．
在和中，
，
；
（2）解：，
，，
，，
，
∵，
．
19．（2025·南部模拟）为落实国家“双减”政策，全面实施素质教育，某初级中学校体育组在七年级开展了A．足球、B．篮球、C．田径、D．乒乓球四类兴趣班活动．该校从七年级500名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种兴趣班活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题
1 2 3（甲） 4 5
（1）参加问卷调查的学生有________人；
（2）根据调查结果，可估计该校七年级500名学生中，最喜欢“田径”的人数大约有多少人？
（3）田径班第一组有甲、乙、丙、丁、戊共5名同学练习百米跑，甲在第3跑道，乙、丙、丁、戊随机选择1，2，4，5跑道，请用列表或画树状图的方法求乙恰好与甲相邻，但不与丙相邻的概率．
【答案】（1）50
（2）解：由（1）得参加问卷调查学生人数为50人，
参加问卷调查的学生中最喜欢“田径”活动的人数为（人），
最喜欢“田径”的人数约为（人），
答：最喜欢“田径”的人数大约有60人；
（3）解：根据题意，乙，丙可随机选择在1，2，4，5跑道，结果列表如下：
乙 丙 1 2 3（甲） 4 5
1 1，2 1，4 1，5
2 2，1 2，4 2，5
3（甲）
4 4，1 4，2 4，5
5 5，1 5，2 5，4
可得乙，丙随机选择在1，2，4，5跑道共有12种等可能的结果，乙恰好与甲相邻，但不与丙相邻的结果有4种，
乙恰好与甲相邻，但不与丙相邻的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由统计图得参加问卷调查的学生中最喜欢项活动的有20人，占参加问卷调查人数的40%，
参加问卷调查的学生为（人），
故答案为：50；
【分析】（1）由统计图表提供的信息，用抽查中最喜欢B项活动的人数除以其占抽查人数的百分比，即可得抽查的人数；
（2）由喜欢四类活动的人数之和等于本次调查的总人数可求出抽查的学生中最喜欢“田径”活动的人数，然后用该校七年级学生的总人数乘以样本中最喜欢“田径”活动的人数占抽查人数的比例即可估计该校七年级学生最喜欢“田径”的人数；
（3）根据题意用列表法列出乙、丙随机选择1，2，4，5跑道的所有可能的结果，找到乙恰好与甲相邻，但不与丙相邻的结果数，然后除以所有可能的结果数即可得出答案.
20．（2025·南部模拟）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数的取值范围，
（2）当时，设方程的两个实数根分别为，求的值．
【答案】（1）解：根据题意得，
解得；

（2）解：时，方程变为，
设方程的两个实数根分别为，，
，，
．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据根的判别式的意义，若一元二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，得到，然后解不等式即可；
（2）时，方程变为，利用根与系数的关系得到，，再结合整体代入的思想，将变形代入求解即可．
21．（2025·南部模拟）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象在第一象限交于点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）D为第一象限反比例函数图象上的一动点，当的面积大于的面积时，直接写出点D的横坐标a的取值范围．
【答案】（1）解：把代入一次函数，
可得，
解得，
一次函数的表达式为，
把代入，可得，
，
把代入反比例函数可得，
解得，
反比例函数的表达式为；
（2）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】（2）解：如图，当的面积等于的面积时
当时，，
，
，
设点的纵坐标为，
则可得，
解得，
点的横坐标为，
当时，点的纵坐标大于，此时的面积大于的面积，
故．
【分析】（1）用待定系数法把代入一次函数，可求得k的值，即可求得一次函数的解析式；再把代入，求得=3，再把把代入反比例函数的中，即可求得反比例函数解析式；
（2）首先根据直线与坐标轴的交点坐标特征，求得点B的坐标，然后利用面积公式找到的面积等于的面积时，点的坐标，即可得到点D的横坐标a的取值范围．
（1）解：把代入一次函数，
可得，
解得，
一次函数的表达式为，
把代入，可得，
，
把代入反比例函数可得，
解得，
反比例函数的表达式为；
（2）解：如图，当的面积等于的面积时
当时，，
，
，
设点的纵坐标为，
则可得，
解得，
点的横坐标为，
当时，点的纵坐标大于，此时的面积大于的面积，
故．
22．（2025·南部模拟）如图，过点C作外接圆，的切线与的延长线交于点D，交于点，垂足为点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，
∵的切线与的延长线交于点D，
∴，
∵，，
∴，，，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，，
∴
∴，
∴是的切线
（2）解：如图，延长交于点，连接，
∵是直径，
∴，
∵，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴
∴
∴．

【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接，根据切线的判定定理，只需要证明，即可证得是的切线；
（2）延长交于点，连接，首先求得，求出，再根据勾股定理得，可得，证明出四边形是正方形，则，则，继而，则，进而得出．
（1）证明：连接，
∵的切线与的延长线交于点D，
∴，
∵，，
∴，，，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，，
∴
∴，
∴是的切线；
（2）解：如图，延长交于点，连接，
∵是直径，
∴，
∵，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴
∴
∴．
23．（2025·南部模拟）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．小敏按照政策投资销售本市生产的一种品牌服装．已知这种品牌服装的成本价为每件100元，出厂价为每件130元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间满足函数关系：．
（1）小敏在开始销售的第1月将服装销售单价定为160元，这个月她销售该服装可获利多少元？
（2）设小敏服装销售获得的月利润为（元），当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）物价部门规定，这种品牌服装的销售单价不得高于220元，如果小敏想要每月获得的利润不低于15000元，那么政府每个月为他承担的总差价最少为多少元？
【答案】（1）解：当x＝160时，，
，
这个月她销售该服装可获利16800元．
（2）解：依题意得，
∵，
∴当时，w有最大值20000．
即当销售单价定为200元时，每月可获得最大利润20000元．
（3）解：由题意得：，
解得：，
∵，抛物线开口向下，
∴当时，．
∵销售单价不得高于220元，
∴
设政府每个月为他承担的总差价为p元，
∴．
∵．
∴p随x的增大而减小，
∴当时，p有最小值4800．
即销售单价定为220元时，政府每个月为他承担的总差价最少为4800元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）把代入求出销售的件数，然后根据总利润=单件的利润×销售量即可求解；
（2）由总利润=单件的利润×销售量建立出w关于x的函数关系式，进而根据所得函数的性质求出最大利润；
（3）由总利润=单件的利润×销售量建立出一元二次方程，求出x的值，再结合销售单价不得高于220元，得出x的范围；然后设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据单件差价×销售数量等于总差价，建立出p关于x的函数关系式，进而根据所得函数的性质求出总差价的最小值．
24．（2025·南部模拟）在正方形中，点E是上一动点（不与点B，C重合），连接，将绕点E顺时针方向旋转至位置，连接，交于点G．
（1）如图1，当点G为的中点时，若正方形的边长为4，求的长
（2）如图2，过点E作于点P，其延长线交于点Q．
①连接，求证：平分；
②当时，求的值．
【答案】（1）解：过点作于点，过点作于点，交于点
由旋转可知：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在正方形中，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵当点为的中点时，正方形的边长为4，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．

（2）解：①过点作于点，交于点，过点作于点，
∵过点作于点，
∴，
∴四边形为矩形，
由（1）可知：，
∴四边形是正方形，
∴，
∴平分，
②当时，即，
∴，
∴
∴，
∵在正方形中，，
∴，
由（1）得，
∴．
【知识点】正方形的判定与性质；解直角三角形；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）过点作于点，过点作于点，交于点，构造K字形全等，可得，，进而可得，再根据点为的中点时，可得，由此得出，进而可得，由此求出，再根据即可求出；
（2）①过点作于点，交于点，过点作于点，由（1）可证明四边形是正方形，再根据到角两边距离相等的点在角的平分线上即可得出结论；
②由已知可得，再根据，可得，由，即可得出．
（1）解：过点作于点，过点作于点，交于点
由旋转可知：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在正方形中，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵当点为的中点时，正方形的边长为4，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①过点作于点，交于点，过点作于点，
∵过点作于点，
∴，
∴四边形为矩形，
由（1）可知：，
∴四边形是正方形，
∴，
∴平分，
②当时，即，
∴，
∴
∴，
∵在正方形中，，
∴，
由（1）得，
∴．
25．（2025·南部模拟）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于C点，对称轴直线．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，直线与抛物线，x轴分别交于点M，N，于点D，点E在坐标平面内，若以M，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；
（3）如图2，若过（2）中点D的直线与抛物线交于P、Q两点（点P在点Q左侧），过Q点的直线与抛物线交于点R，探究直线是否经过某个定点？若经过某定点，求该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．
【答案】（1） 解：∵抛物线与x轴交于点，对称轴为直线，
∴，
解得，
∴抛物线的关系式为；
（2）解：过点D作轴，于点H，
在中，令，得，
∴点，可得，
∴，
∴.
∵轴，
∴都是等腰直角三角形．
∵，
∴，
∴，
∴点.
在中，令得，
∴．
设点，又点，
分三种情况讨论：①为对角线，则的中点重合，
∴，
解得，
∴；
②为对角线，同理，得，
解得，
∴；
③为对角线，同理，得，
解得，
∴．
综上所述，点E得坐标为或或；
（3） 解：直线必经过某个定点，理由如下：
设过点的直线，则，
∴，
∴直线的关系式为，
由，得.
设点，则有，
∴．
设点，
∵点，在直线上，
∴，
∴，
整理得．
设直线的关系式为，把点，代入可得
，
解得，
∴直线的关系式为，
∵，
∴直线的关系式为.
∵，
∴直线的关系式为，
令得，
∴直线必过定点．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】对于（1），根据抛物线与x轴交于点，对称轴为直线，可得，求出解即可；
对于（2），过点D作轴，于点H，求出点，可得，进而得出，则都是等腰直角三角形，又，即点，再设点，分三种情况讨论：①为对角线，则的我中点重合，；②为对角线，同理，得；③为对角线，则的我中点重合，，解方程组可得答案；
对于（3），设过点的直线，则，即得直线的关系式为，进而得，再设点，则有，然后设点，可得，即可得，接下来设直线的关系式为，把点，代入可得关系式，最后直线的关系式为，故直线必过定点．
（1）解：∵抛物线与x轴交于点，对称轴为直线，
∴，
解得，
∴抛物线的关系式为；
（2）解：过点D作轴，于点H，
在中，令，得，
∴点，可得，
∴，
∴.
∵轴，
∴都是等腰直角三角形．
∵，
∴，
∴，
∴点.
在中，令得，
∴．
设点，又点，
分三种情况讨论：①为对角线，则的中点重合，
∴，
解得，
∴；
②为对角线，同理，得，
解得，
∴；
③为对角线，同理，得，
解得，
∴．
综上所述，点E得坐标为或或；
（3）解：直线必经过某个定点，理由如下：
设过点的直线，则，
∴，
∴直线的关系式为，
由，得.
设点，则有，
∴．
设点，
∵点，在直线上，
∴，
∴，
整理得．
设直线的关系式为，把点，代入可得
，
解得，
∴直线的关系式为，
∵，
∴直线的关系式为.
∵，
∴直线的关系式为，
令得，
∴直线必过定点．
1 / 1四川省南充市南部中学2024—2025学年九年级下学期数学中考模拟试卷
1．（2025·南部模拟）某种食品储存温度为，以下温度不适合储存这种食品的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·南部模拟）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·南部模拟）垃圾分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用．生活垃圾一般分为可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、其它垃圾四类．小杨同学对某小区一周的垃圾收集情况进行了统计，并绘制成如图所示扇形图，已知可回收物共收集，那么有害垃圾共收集了（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·南部模拟）已知，则的值为（　　）
A．4 B．2 C． D．
5．（2025·南部模拟）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
6．（2025·南部模拟）如图，是由16个形状、大小相同的菱形组成的网格，各菱形的顶点均为格点，点，，都在格点上，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·南部模拟）近年来，电动汽车因环保、低噪、节能等优势深受顾客喜爱．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每千米的充电费比燃油车平均每千米的加油费少0.4元，若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的5倍，求这款电动汽车平均每千米的充电费．设这款电动汽车平均每千米的充电费为元，据题意可得方程（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·南部模拟）如图，过外一点P作的两条切线，，切点分别为A，B，与交于点D，与弧交于点E，为的直径．若，，则的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
9．（2025·南部模拟）已知，，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·南部模拟）已知抛物线与直线交于两个不同交点，．若，均在直线的左侧．则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·南部模拟）关于的不等式的解集为，则的值为　 　．
12．（2025·南部模拟）某街道路口处红绿灯的时间设置为：绿灯60秒，红灯30秒，黄灯3秒．当小伟乘坐的小汽车经过该路口恰好遇到绿灯的概率是　 　．
13．（2025·南部模拟）如图，点为正五边形的中心，连接并延长与的延长线交于点，则的度数为　 　．
14．（2025·南部模拟）某蓄电池的电压为定值，电流与电阻成反比例关系，已知电阻时，电流，若电阻增加到时，则电流减少　 　．
15．（2025·南部模拟）如图，反比例函数的图象与矩形的边、分别交于点、，已知点的纵坐标为，点的横坐标为，则的值为　 　．
16．（2025·南部模拟）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中Q为曲线部分的最低点，则点A到BC的距离是　 　．
17．（2025·南部模拟）先化简，再求值：，其中．
18．（2025·南部模拟）如图，中，，，于，于．
（1）求证：，
（2）若，，求的长．
19．（2025·南部模拟）为落实国家“双减”政策，全面实施素质教育，某初级中学校体育组在七年级开展了A．足球、B．篮球、C．田径、D．乒乓球四类兴趣班活动．该校从七年级500名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种兴趣班活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题
1 2 3（甲） 4 5
（1）参加问卷调查的学生有________人；
（2）根据调查结果，可估计该校七年级500名学生中，最喜欢“田径”的人数大约有多少人？
（3）田径班第一组有甲、乙、丙、丁、戊共5名同学练习百米跑，甲在第3跑道，乙、丙、丁、戊随机选择1，2，4，5跑道，请用列表或画树状图的方法求乙恰好与甲相邻，但不与丙相邻的概率．
20．（2025·南部模拟）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数的取值范围，
（2）当时，设方程的两个实数根分别为，求的值．
21．（2025·南部模拟）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象在第一象限交于点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）D为第一象限反比例函数图象上的一动点，当的面积大于的面积时，直接写出点D的横坐标a的取值范围．
22．（2025·南部模拟）如图，过点C作外接圆，的切线与的延长线交于点D，交于点，垂足为点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求的长．
23．（2025·南部模拟）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．小敏按照政策投资销售本市生产的一种品牌服装．已知这种品牌服装的成本价为每件100元，出厂价为每件130元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间满足函数关系：．
（1）小敏在开始销售的第1月将服装销售单价定为160元，这个月她销售该服装可获利多少元？
（2）设小敏服装销售获得的月利润为（元），当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）物价部门规定，这种品牌服装的销售单价不得高于220元，如果小敏想要每月获得的利润不低于15000元，那么政府每个月为他承担的总差价最少为多少元？
24．（2025·南部模拟）在正方形中，点E是上一动点（不与点B，C重合），连接，将绕点E顺时针方向旋转至位置，连接，交于点G．
（1）如图1，当点G为的中点时，若正方形的边长为4，求的长
（2）如图2，过点E作于点P，其延长线交于点Q．
①连接，求证：平分；
②当时，求的值．
25．（2025·南部模拟）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于C点，对称轴直线．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，直线与抛物线，x轴分别交于点M，N，于点D，点E在坐标平面内，若以M，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；
（3）如图2，若过（2）中点D的直线与抛物线交于P、Q两点（点P在点Q左侧），过Q点的直线与抛物线交于点R，探究直线是否经过某个定点？若经过某定点，求该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：∵-10+2=8℃，-10-2=-12℃
∴适合储存这种食品的温度范围为，
A、∵-8℃＞-11℃＞-12℃，∴-11℃在 -12℃到-8℃的范围内，故此选项给出的温度适合存储这种食品；
B、∵-8℃＞-10℃＞-12℃，∴-10℃在 -12℃到-8℃的范围内，故此选项给出的温度适合存储这种食品；
C、∵-8℃＞-9℃＞-12℃，∴-9℃在 -12℃到-8℃的范围内，故此选项给出的温度适合存储这种食品；
D、∵-6℃＞-8℃，∴-6℃不在 -12℃到-8℃的范围内，故此选项给出的温度不适合存储这种食品.
故答案为：D．
【分析】由于食品的储存温度在-10℃加减2℃的范围内，根据有理数的加减运算法则，计算出具体的温度范围，再对各个选项进行判断，选择不适合储存该食品的温度.
2．【答案】A
【知识点】旋转的性质；两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：，，
．
由旋转可知，．
，
，
．
故答案为：A．
【分析】首先根据直角三角形的量锐角互余求出∠A的度数，再根据旋转的性质得出，进而根据二直线平行，内错角相等，可求出的度数，最后根据交的构成，由代值计算可得答案.
3．【答案】C
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：由扇形统计图知，可回收物所占百分比为，
所以生活垃圾的总质量为，
所以有害垃圾的质量为.
故答案为：C．
【分析】根据四类垃圾所占百分比之和为“1”求出可回收物所占百分比，用可回收垃圾的质量除以其所占的百分比求出生活垃圾的总质量，最后用生活垃圾的总质量乘以有害垃圾所占百分比即可求出有害垃圾收集的数量．
4．【答案】B
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵m-2n=1，
∴2n-m=-1，
∴
．
故答案为：B．
【分析】先根据等式性质将已知条件变形为，然后将待求式子利用单项式乘以多项式法则分别展开括号，再合并同类项化为最简形式，最后整体代入计算可得答案.
5．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
关于的分式方程的解是非负数，
，
∴，
，
，
解得：，
的取值范围是：且，
故答案为：C．
【分析】将k作为参数，根据解分式方程的步骤“去分母、去括号、移项合并同类项，系数化为1”解分式方程，用含k的式子表示出x，然后根据该分式方程的解是非负数可得x≥0且x≠1，据此列出关于字母k的不等式组，求解即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；求正切值
【解析】【解答】解：设菱形的边长为1，由图得，，，
，
是等边三角形，
，，
过点作于点，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得，
，，
，
，，
，
，
故答案为：B．
【分析】设菱形的边长为1，由图得，，，由由一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABD是等边三角形，进而根据等边三角形的三边相等得，过点作于点，由两直线平行，同旁内角互补求出的度数，由等边对等角及三角形的内角和定理求出∠EBF=30°，由含30°角直角三角形的性质求出EF的长，进而根据勾股定理可求出BF的长，由等腰三角形的三线合一得出EF的长，再由平角定义求出，从而根据正切函数的定义即可求出∠BAC的正切值．
7．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意，设这款电动汽车平均每千米的充电费为元，燃油车平均每千米的加油费元，
根据题意，得，
故答案为：D．
【分析】设这款电动汽车平均每千米的充电费为元，燃油车平均每千米的加油费元，根据总费用除以每千米的费用等于形式的总里程及“ 充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的5倍 ”列出方程即可.
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；切线长定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，
分别与相切于点，
∴PA=PB，
∵，
是等边三角形，
∴∠APB=60°，
∴∠APO=30°，
∴∠AOP=60°，
∵OA=OE，
∴是等边三角形，
∴DE=OD，
∵OA=OC，OD∥BC，
∴OD=，
∴DE=3.
故答案为：B。
【分析】连接，根据切线长定理可得PA=PB，结合已知条件，可得出是等边三角形，进而得出∠APB=60°，进一步得出∠AOP=60°，再由OA=OE，可得出是等边三角形，即可得出DE=OD，再根据三角形中位线定理可求得OD的长度，即可得出答案。
9．【答案】B
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：，，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】将已知两方程相减可b-a=2，然后根据完全平方公式的恒等变形得(a+b)2=(a-b)2+4ab，整体代入计算后再开平方可求出a+b得值，最后通分计算异分母分式的减法，并将运算结果的分子利用平方差公式分解因式，再整体代入计算可得答案.
10．【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：抛物线与直线交于两个不同交点，，
方程有两个不相等的实数根，
方程中，，
，
，
把代入得，，
，均在直线的左侧，
时，，
，
，
实数的取值范围是．
故答案为：C．
【分析】由于抛物线与直线有两个不同的交点，故联立两函数解析式得到方程有两个不相等的实数根，则一元二次方程根的判别式则△，据此建立关于的不等式求得；求出x=1时一次函数与二次函数相应的函数值，结合两函数图象交点P、Q均在直线x=1的左侧可判断出x=1时一次函数值小于二次函数值，据此建立关于的不等式，求解得到c＞-2，综上即可得出答案.
11．【答案】1
【知识点】一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：∵，
解得，
∵不等式的解集为，
∴，
解得，
故答案为：1．
【分析】将a作为参数，根据解不等式的步骤求解不等式，用含a的式子表示出该不等式的解集，结合该不等式的解集为，得到关于字母a的方程，再解该方程即可.
12．【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：该路口红灯30秒，绿灯60秒，黄灯3秒，
小伟乘坐的小汽车经过该路口恰好遇到绿灯的概率是，
故答案为：．
【分析】根据概率公式，用绿灯亮的时间比上三种灯亮的总时间计算即可.
13．【答案】
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，直线是正五边形的对称轴，因此，
五边形是正五边形，
，
，
故答案为：．
【分析】由正五边形的对称性得出BF⊥DE，由正n边形的每一个外角为“”求出外角∠EDF的度数，再由直角三角形两锐角互余得出结果．
14．【答案】0.6
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，，
即蓄电池的电压是，
与的函数关系式为，
当时，（A），
（A），
电流减少，
故答案为：0.6．
【分析】根据物理学知识得，然后将，代入求出的值，从而得到函数表达式，再把代入所求解析式求出，最后再求出即可．
15．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接、，
∵矩形OACB与反比例函数 的图象相交于点E、D，
，
，
又∵ 点的纵坐标为，点的横坐标为，
∴OA=m，OB=，
，
．
故答案为：．
【分析】根据反比例函数k的几何意义可得，结合三角形面积计算公式可得，从而代入OA、OB的值，化简整理可得结论.
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：根据图象可知点P在BC上运动时，BP不断增大，
由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为13，
即BC＝13，
由于Q是曲线部分的最低点，
∴此时BP最小，
即BP⊥AC时，BP＝12，
∴由勾股定理可知：PC＝5，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
∵图象右端点函数值为13，
∴AB＝BC＝10，
∴PA＝PC＝5（三线合一），
∴AC＝10，
∴△ABC的面积为：×12×10＝60，
∴点A到BC的距离＝60×2÷13＝，
故答案为：．
【分析】根据图象可知点P在BC上运动时，BP不断增大，点P从C向A运动时，BP先变小后变大．得到AB＝BC＝13，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，AC边上的高为12（此时BP＝12），这时根据勾股定理得到PC＝5，再根据三线合一得到AC＝12，最后利用等面积法即可求解．
17．【答案】解：
=
，
当时，
原式；
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用；二次根式的乘除法；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】首先根据平方差公式和多项式乘多项式法则进行整式的乘法运算，然后再合并同类项，得出最简结果；然后再把a，b的值代入化简后的代数式中，进行运算即可得出结果。
18．【答案】（1）证明：，，
，
．
∵，
，
．
在和中，
，
（2）解：，
，，
，，
，
∵，
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；直角三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；余角
【解析】【分析（1）首先根据垂直的定义得出，再根据余角的性质得出进而根据AAS得出；
（2）根据全等三角形的性质得出，，进一步得出，再根据勾股定理即可得出．
（1）证明：，，
，
．
∵，
，
．
在和中，
，
；
（2）解：，
，，
，，
，
∵，
．
19．【答案】（1）50
（2）解：由（1）得参加问卷调查学生人数为50人，
参加问卷调查的学生中最喜欢“田径”活动的人数为（人），
最喜欢“田径”的人数约为（人），
答：最喜欢“田径”的人数大约有60人；
（3）解：根据题意，乙，丙可随机选择在1，2，4，5跑道，结果列表如下：
乙 丙 1 2 3（甲） 4 5
1 1，2 1，4 1，5
2 2，1 2，4 2，5
3（甲）
4 4，1 4，2 4，5
5 5，1 5，2 5，4
可得乙，丙随机选择在1，2，4，5跑道共有12种等可能的结果，乙恰好与甲相邻，但不与丙相邻的结果有4种，
乙恰好与甲相邻，但不与丙相邻的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由统计图得参加问卷调查的学生中最喜欢项活动的有20人，占参加问卷调查人数的40%，
参加问卷调查的学生为（人），
故答案为：50；
【分析】（1）由统计图表提供的信息，用抽查中最喜欢B项活动的人数除以其占抽查人数的百分比，即可得抽查的人数；
（2）由喜欢四类活动的人数之和等于本次调查的总人数可求出抽查的学生中最喜欢“田径”活动的人数，然后用该校七年级学生的总人数乘以样本中最喜欢“田径”活动的人数占抽查人数的比例即可估计该校七年级学生最喜欢“田径”的人数；
（3）根据题意用列表法列出乙、丙随机选择1，2，4，5跑道的所有可能的结果，找到乙恰好与甲相邻，但不与丙相邻的结果数，然后除以所有可能的结果数即可得出答案.
20．【答案】（1）解：根据题意得，
解得；

（2）解：时，方程变为，
设方程的两个实数根分别为，，
，，
．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据根的判别式的意义，若一元二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，得到，然后解不等式即可；
（2）时，方程变为，利用根与系数的关系得到，，再结合整体代入的思想，将变形代入求解即可．
21．【答案】（1）解：把代入一次函数，
可得，
解得，
一次函数的表达式为，
把代入，可得，
，
把代入反比例函数可得，
解得，
反比例函数的表达式为；
（2）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】（2）解：如图，当的面积等于的面积时
当时，，
，
，
设点的纵坐标为，
则可得，
解得，
点的横坐标为，
当时，点的纵坐标大于，此时的面积大于的面积，
故．
【分析】（1）用待定系数法把代入一次函数，可求得k的值，即可求得一次函数的解析式；再把代入，求得=3，再把把代入反比例函数的中，即可求得反比例函数解析式；
（2）首先根据直线与坐标轴的交点坐标特征，求得点B的坐标，然后利用面积公式找到的面积等于的面积时，点的坐标，即可得到点D的横坐标a的取值范围．
（1）解：把代入一次函数，
可得，
解得，
一次函数的表达式为，
把代入，可得，
，
把代入反比例函数可得，
解得，
反比例函数的表达式为；
（2）解：如图，当的面积等于的面积时
当时，，
，
，
设点的纵坐标为，
则可得，
解得，
点的横坐标为，
当时，点的纵坐标大于，此时的面积大于的面积，
故．
22．【答案】（1）证明：连接，
∵的切线与的延长线交于点D，
∴，
∵，，
∴，，，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，，
∴
∴，
∴是的切线
（2）解：如图，延长交于点，连接，
∵是直径，
∴，
∵，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴
∴
∴．

【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接，根据切线的判定定理，只需要证明，即可证得是的切线；
（2）延长交于点，连接，首先求得，求出，再根据勾股定理得，可得，证明出四边形是正方形，则，则，继而，则，进而得出．
（1）证明：连接，
∵的切线与的延长线交于点D，
∴，
∵，，
∴，，，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，，
∴
∴，
∴是的切线；
（2）解：如图，延长交于点，连接，
∵是直径，
∴，
∵，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴
∴
∴．
23．【答案】（1）解：当x＝160时，，
，
这个月她销售该服装可获利16800元．
（2）解：依题意得，
∵，
∴当时，w有最大值20000．
即当销售单价定为200元时，每月可获得最大利润20000元．
（3）解：由题意得：，
解得：，
∵，抛物线开口向下，
∴当时，．
∵销售单价不得高于220元，
∴
设政府每个月为他承担的总差价为p元，
∴．
∵．
∴p随x的增大而减小，
∴当时，p有最小值4800．
即销售单价定为220元时，政府每个月为他承担的总差价最少为4800元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）把代入求出销售的件数，然后根据总利润=单件的利润×销售量即可求解；
（2）由总利润=单件的利润×销售量建立出w关于x的函数关系式，进而根据所得函数的性质求出最大利润；
（3）由总利润=单件的利润×销售量建立出一元二次方程，求出x的值，再结合销售单价不得高于220元，得出x的范围；然后设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据单件差价×销售数量等于总差价，建立出p关于x的函数关系式，进而根据所得函数的性质求出总差价的最小值．
24．【答案】（1）解：过点作于点，过点作于点，交于点
由旋转可知：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在正方形中，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵当点为的中点时，正方形的边长为4，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．

（2）解：①过点作于点，交于点，过点作于点，
∵过点作于点，
∴，
∴四边形为矩形，
由（1）可知：，
∴四边形是正方形，
∴，
∴平分，
②当时，即，
∴，
∴
∴，
∵在正方形中，，
∴，
由（1）得，
∴．
【知识点】正方形的判定与性质；解直角三角形；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）过点作于点，过点作于点，交于点，构造K字形全等，可得，，进而可得，再根据点为的中点时，可得，由此得出，进而可得，由此求出，再根据即可求出；
（2）①过点作于点，交于点，过点作于点，由（1）可证明四边形是正方形，再根据到角两边距离相等的点在角的平分线上即可得出结论；
②由已知可得，再根据，可得，由，即可得出．
（1）解：过点作于点，过点作于点，交于点
由旋转可知：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在正方形中，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵当点为的中点时，正方形的边长为4，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①过点作于点，交于点，过点作于点，
∵过点作于点，
∴，
∴四边形为矩形，
由（1）可知：，
∴四边形是正方形，
∴，
∴平分，
②当时，即，
∴，
∴
∴，
∵在正方形中，，
∴，
由（1）得，
∴．
25．【答案】（1） 解：∵抛物线与x轴交于点，对称轴为直线，
∴，
解得，
∴抛物线的关系式为；
（2）解：过点D作轴，于点H，
在中，令，得，
∴点，可得，
∴，
∴.
∵轴，
∴都是等腰直角三角形．
∵，
∴，
∴，
∴点.
在中，令得，
∴．
设点，又点，
分三种情况讨论：①为对角线，则的中点重合，
∴，
解得，
∴；
②为对角线，同理，得，
解得，
∴；
③为对角线，同理，得，
解得，
∴．
综上所述，点E得坐标为或或；
（3） 解：直线必经过某个定点，理由如下：
设过点的直线，则，
∴，
∴直线的关系式为，
由，得.
设点，则有，
∴．
设点，
∵点，在直线上，
∴，
∴，
整理得．
设直线的关系式为，把点，代入可得
，
解得，
∴直线的关系式为，
∵，
∴直线的关系式为.
∵，
∴直线的关系式为，
令得，
∴直线必过定点．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】对于（1），根据抛物线与x轴交于点，对称轴为直线，可得，求出解即可；
对于（2），过点D作轴，于点H，求出点，可得，进而得出，则都是等腰直角三角形，又，即点，再设点，分三种情况讨论：①为对角线，则的我中点重合，；②为对角线，同理，得；③为对角线，则的我中点重合，，解方程组可得答案；
对于（3），设过点的直线，则，即得直线的关系式为，进而得，再设点，则有，然后设点，可得，即可得，接下来设直线的关系式为，把点，代入可得关系式，最后直线的关系式为，故直线必过定点．
（1）解：∵抛物线与x轴交于点，对称轴为直线，
∴，
解得，
∴抛物线的关系式为；
（2）解：过点D作轴，于点H，
在中，令，得，
∴点，可得，
∴，
∴.
∵轴，
∴都是等腰直角三角形．
∵，
∴，
∴，
∴点.
在中，令得，
∴．
设点，又点，
分三种情况讨论：①为对角线，则的中点重合，
∴，
解得，
∴；
②为对角线，同理，得，
解得，
∴；
③为对角线，同理，得，
解得，
∴．
综上所述，点E得坐标为或或；
（3）解：直线必经过某个定点，理由如下：
设过点的直线，则，
∴，
∴直线的关系式为，
由，得.
设点，则有，
∴．
设点，
∵点，在直线上，
∴，
∴，
整理得．
设直线的关系式为，把点，代入可得
，
解得，
∴直线的关系式为，
∵，
∴直线的关系式为.
∵，
∴直线的关系式为，
令得，
∴直线必过定点．
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