资源简介

嘉祥教育集团质量监测命题多维细目表—— 数学学科（高二）
考察目的：半期阶段性检测 考试时间： 120 分钟 试卷满分： 150分 试卷总体难度： 0.6
序号 考察内容 题号 题型 分值 难度预估 考察目标 权重比例
教材章节/单元 知识点 记忆 理解 应用 分析 评价 创造
1 选择性必修二第五章 导数的运算 1 单选题 5 0.95 √ 1/30
2 选择性必修二第四章 等差数列基本量运算 2 单选题 5 0.9 √ 1/30
3 选择性必修二第五章 切线方程 3 单选题 5 0.9 √ 1/30
4 选择性必修二第五章 函数的奇偶性与单调性 4 单选题 5 0.85 √ √ 1/30
5 选择性必修二第四章 等比数列前n项和的单调性 5 单选题 5 0.65 √ √ 1/30
6 选择性必修二第五章 函数的单调性与最值 6 单选题 5 0.65 √ √ 1/30
7 选择性必修二第四章 等比数列的下标和性质 7 单选题 5 0.65 √ √ 1/30
8 选择性必修二第五章 导数的运算；函数的零点 8 单选题 5 0.5 √ √ 1/30
9 选择性必修二第五章 导数的运算 9 多选题 6 0.7 √ √ 1/25
10 选择性必修二第四章 数列的通项公式与前n项和；数列的应用 10 多选题 6 0.65 √ √ √ √ 1/25
11 选择性必修二第五章 函数与导数的综合应用 11 多选题 6 0.3 √ √ √ 1/25
12 选择性必修二第五章 函数的单调区间 12 填空题 5 0.85 √ 1/30
13 选择性必修二第五章 切线条数 13 填空题 5 0.65 √ √ 1/30
14 选择性必修二第四章 数列的通项公式与前n项和；恒成立问题 14 填空题 5 0.2 √ √ √ √ 1/30
15 选择性必修二第四章 数列的通项公式与前n项积 15 解答题 13 0.8 √ √ 13/150
16 选择性必修二第五章 函数的单调性与零点个数 16 解答题 15 0.7 √ √ 1/10
17 选择性必修二第四、五章 数列的通项公式与前n项和；证明不等式 17 解答题 15 0.6 √ √ √ 1/10
18 选择性必修二第五章 函数的极值；恒成立问题；证明不等式 18 解答题 17 0.4 √ √ √ √ 17/150
19 选择性必修二第四章 错位相减法；新定义 19 解答题 17 0.2 √ √ √ 17/150
试题数量：选择题 11 个，非选择题 8 个，共计 19 个题。嘉祥教育集团2024－2025学年高二下学期质量监测试题
数 学
注意事项：
1．在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存．
2．选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效．
4．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等．
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知函数f（x）= x2 + ln x，则=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．等差数列{ an }单调递增，且满足a1 = 1，a5 = a22，则公差为（ ）
A．1 B．2 C．0或1 D．0或2
3．函数f（x）= x ln x的图象在点（e，e）处的切线方程为（ ）
A．y = x B．y = 2x C．y = x－e D．y = 2x－e
4．函数f（x）= x2 + 2 cos x的图象大致为（ ）
(
x
y
y
y
y
x
x
x
O
O
O
O
)
A． B． C． D．
5．若等比数列{ an }的前n项和为Sn，则“a1＞0”是“Sn单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．函数f（x）= x sin x + cos x 在区间 [ 0，2 ] 上的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
7．等比数列{ an }满足a5 = 2，，则a1 + a3 + a5 + a7 + a9 =（ ）
A．22 B．20 C．12 D．10
8．对于函数f（x），设是函数f（x）的导函数，把满足f（x）=的x值叫做函数f（x）的“自足点”.若函数f（x）= xex + 2，g（x）= ln x + 3，h（x）= x3－2的“自足点”分别记为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＞b＞c D．b＞a＞c
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．有2个正确答案的，每选对1个，得3分；有3个正确答案的，每选对1个，得2分；凡选错1个答案的，得0分．）
9．下列求导运算正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．已知数列{ an }的前n项和为Sn，且a1 = 2，an+1 = 2Sn + 2（n∈N*）,则（ ）
A．{ an }为等比数列
B．a2 + a4 + … + a2n = 3n+1－3
C．当最小时，n = 3
D．存在数列{ an }中的三项am，ak，ap成等差数列，其中m，k，p为正整数，且m＜k＜p
11．已知奇函数f（x）及其导函数的定义域都是R，f（2）=－f（1）≠0，且对任意x，y∈R，，则（ ）
A．f′（1）= B．f（9）= 0 C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．函数f（x）=的单调递增区间为 ．
13．若曲线y =（x + a）ex 存在过原点的切线，则实数a的取值范围为 ．
14．若xn为关于x的方程的实数根，且xn＞0．若，其中[ x ]表示不超过x的最大整数．记数列{ an }的前n项和为Sn，有Sn≥n－1恒成立，则实数 的取值范围为 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本题满分13分）正项等比数列{ an }的前n项和为Sn，满足4（a2 + a3）= 3a1，S3 = 56．
（1）求{ an }的通项公式；
（2）若Tn 为{ an }的前n项积，求Tn的最大值（可以用指数式表示），并求出Tn最大时n的值．
16．（本题满分15分）已知函数，a＞0．
（1）讨论f（x）单调性；
（2）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．
17．（本题满分15分）数列{ an }满足a1 = 2，2an－anan+1 = 1．
（1）求证：数列 {} 为等差数列；
（2）设bn = ln an，证明：数列{ bn }的前n项和Sn＜n．
18．（本题满分17分）已知函数f（x）= ex，g（x）= ln x．
（1）设h（x）= x f（x），求函数h（x）的极值；
（2）若k·f（kx）≥g（x）恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若直线l与曲线f（x），g（x）分别相切于点（x1，f（x1）），（x2，g（x2）），且x1＞1．
求证：x1－x2＞1．
19．（本题满分17分）欧拉函数（n）（n∈N*）在密码学中具有重要应用，尤其是在公玥密码体制如RSA算法中扮演核心角色．欧拉函数（n）的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素（互素：公约数只有1）的正整数的个数，例如：（1）= 1，（4）= 2，（6）= 2．
（1）直接写出（12），（27）的值；
（2）设an = （3n），求数列{ an }的通项公式，并求数列{ nan }的前n项和Sn；
（3）设p，q为两个不相等的素数，a，b∈N*，证明：
① （pq）=（p－1）（q－1）； ② （paqb）= pa－1qb－1（p－1）（q－1）．嘉祥教育集团2024-2025学年下学期质量监测试题
高二年级数学学科参考答案
一、选择题（总分40分，每小题5分）
1 2 3 4 5 6 7 8
B B D A B D A B
二、多项选择题（总分18分，每小题6分）
9 10 11
BCD AC ABD
三、填空题（总分15分，每小题5分）
12. （1，+∞） 13. （-∞，-4 ]∪[ 0，+∞） 14.（-∞，1 ]
四、解答题（77分）
15.解：（1）设数列{ an }公比为q，则 4（a2 + a3）= 4a1（q + q2）= 3a1，解得q =或（舍）.
2分
，解得a1 = 32. 4分
6分
法一：当n≤5时，an＞1；当n = 6时，an = 1；当n＞6时，0＜an＜1. 8分
所以当n = 5或6时，Tn最大； 10分
Tn的最大值为a1a2a3a4a5 = a1a2a3a4a5a6 = 215. 13分
法二：Tn = a1a2a3…an== 9分
当n = 5或6时，最小，此时Tn最大； 11分
Tn的最大值为215. 13分
16. 解：（1）f (x) 的定义域为（0，+∞）， . 2分
令，解得，或（舍） 4分
∴ f(x)在单调递增，在（0，）单调递减. 6分
（2）. 8分
若函数f（x）有两个零点，还需满足 12分
即，解得a＞. 15分
17.解：（1）， 3分
，为常数， 5分
又因为，所以数列 {} 是首项为1，公差为1的等差数列. 6分
（2）由（1）知，. 8分
法一：， 9分
Sn = b1 + b2 + b3 +…+ bn = ln2-ln1 + ln3-ln2 + ln4-ln3 +…+ ln（n + 1）-lnn = ln（n + 1）.
12分
令，
恒成立，所以f（x）在 [ 1，+∞）单调递增.
又因为n∈N*，所以f（n）≥f（1）= 1-ln 2＞0，即n-ln（n + 1）＞0恒成立.
所以Sn＜n，证毕. 15分
法二： . 9分
Sn = b1 + b2 + b3 +…+ bn
= 12分
后面同法一.
18.解：（1）. 令，解得x＞-1.
所以h（x）在（-1，+∞）单调递增，在（-∞，-1）单调递减， 2分
所以当x =-1时，h（x）取得极小值，为；无极大值. 3分
（2）显然k＞0.
① 当x∈（0，1 ] 时，kekx＞0，lnx≤0，所以kekx≥lnx恒成立； 4分
② 当x∈（1，+∞）时，不等式kekx≥lnx变为kxekx≥xlnx，即为 h（kx）≥h（lnx），
此时kx，lnx＞0，由（1）知h（x）在（-1，+∞）单调递增，
所以h（kx）≥h（lnx）的解为kx≥lnx，即恒成立. 8分
令，x∈（1，+∞）.，令，解得.
所以H（x）在（1，e）单调递增，在（e，+∞）单调递减.H（x）最大值为H（e）=.
所以. 10分
（3）直线l与曲线f（x）相切的切线方程为
，即为......①
直线l与曲线g（x）相切的切线方程为
，即为......②
联立①、②，有 12分
法1 由③得 ，即lnx2 =-x1 ......⑤
将③⑤代入④，得，即 14分
法2 由③式可得．代入④式可得（1－x1）=－1－x1.
即，即x2= 14分
法2.1 15分
令t=x1+1，t＞2.易知函数在t∈（2，+∞）单调递增，所以，
∴ x1-x2＞3-2 = 1. 17分
法2.2 x1-x2-1 =，故x1-x2＞1．
17分
19.解：（1） 2分
（2）不超过3n，且与3n不互素的数有3，3×2，3×3，...，3×3n-1，共3n-1个 4分
所以an= 6分
Sn = 2×30 + 4×31 + 6×32 + … + 2（n-1)×3n-2 + 2n×3n-1， ①
3Sn = 2×31 + 4×32 + 6×33 + … + 2（n-1)×3n-1 + 2n×3n， ②
①-②：-2Sn = 2 + 2×（31 + 32 + … + 3n-1）-2n×3n 8分
= 2 + 2×-2n×3n =（1-2n）×3n-1
Sn = 10分
（3）①不超过pq，且与p不互素的数有p，p×2，p×3，…，p×q，共q个；
不超过pq，且与q不互素的数有q，q×2，q×3，…，q×p，共p个.
所以不超过pq，且与pq不互素的数有p，p×2，p×3，…，p×q；q，q×2，q×3，…，q×p.其中重复的数有pq.
所以pq-（p+q-1）=（p-1）（q-1），证毕. 13分
② 不超过paqb，且与p不互素的数有p，p×2，p×3，...，p×pa-1qb，共pa-1qb个；
不超过paqb，且与q不互素的数有q，q×2，q×3，...，q×paqb-1，共paqb-1个.
所以不超过paqb，且与paqb不互素的数有p，p×2，p×3，...，p×pa-1qb；q，q×2，q×3，...，q×paqb-1.其中重复的数有pq，pq×2，pq×3，...，pq×pa-1qb-1，共有pa-1qb-1个.
∴
=，证毕. 17分
部分选填题详解
8.，即xex + 2 =（x + 1）ex，即ex = 2，解得x = ln2 = a；
由，即，即.
令，恒成立，所以G(x)在（0，+∞）单调递增.
又因为，，由零点存在性定理可知，
存在唯一，使得G(x0)= 0，即.
，即，即.
令，.令，解得x＜0或x＞2.
所以H（x）在（-∞，0），（2，+∞）单调递增，在（0，2）单调递减.
又因为H（0）=-2＜0，H（2）=-6＜0，H（4）=14＞0，
由零点存在性定理可知，存在唯一，使得H（x）=0，即c∈（2，4）.
综上，b＜a＜c，选B.
11．令x = y = 1，因为f（2）=－f（1）≠0，此时
f（2）= 2 f（1）·f'（1） f′（1）=，故选项A正确．
令y = 1，则 f（x + 1）=； ①
令y =－1，则 f（x－1）=． ②
由①+②可得 f（x－1）+ f（x）+ f（x + 1）= 0，则 f（x）+ f（x + 1）+ f（x + 2）= 0，
结合上述两式，可得 f（x－1）= f（x + 2） f（x）的周期为T = 3，
于是f（9）= f（0）= 0，故选项B正确．
此时674 [ f（1）+ f（2）+ f（3）] + f（1）+ f（2）= 674×0 + 0 = 0，故选项C错误．
由①－②，可得f（x + 1）－ f（x－1）= 2 f（1）·f'（x） ，
于是
=，
故选项 D正确．
综上所述，正确答案是ABD．
14．当x = n + 1时，；
当x = n时，.
又因为x≥1时，单调递增，所以.
当n为偶数时，；当n为奇数时，.
当n为奇数时，
，此时Sn≥n－1，即为，
当n = 1，或n = 3时，最小，所以≤1。
当n为偶数时，
，此时Sn≥n－1，即为，
当n = 2时，最小，所以≤1。
综上： 的取值范围为（-∞，1 ]。

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