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高一下学期期中模拟检测数学试题（五）
测试范围：人教A版第5、6、7章（三角函数+平面向量+复数）
一、单选题
1． 复数则在复平面内，对应的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
2. 在中，已知，则角等于（ ）
A. 或 B. 或 C. D.
3. 已知，为坐标原点，则下列说法正确的是
A. B. 三点共线
C. 三点共线 D.
4．如图所示的△ABC中，点D是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点，则＝（　　）
A． B．
C． D．
5．函数（其中）的部分图象如图所示，为了得到的图象，只要将的图象（ ）
A．先向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
B．先向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
C．先向左平移个单位长度 ，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．先向左平移个单位长度， 再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
6．已知，则sin2θ的值是（　　）
A． B． C． D．
7．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（　　）海里．
A．10 B．20 C．10 D．20
8．在△ABC中，a2+b2﹣ab＝c2＝2S△ABC，则△ABC一定是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
二、多选题
9．已知，，则正确的有（　　）
A． B．与同向的单位向量是
C．和的夹角是 D．与垂直的单位向量是
10．对于，有如下命题，其中正确的有（ ）
A. 若，则是等腰三角形
B. 若是锐角三角形，则不等式恒成立
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，则为钝角三角形
11．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A. 若，则为△ABC的重心
B. 若为△ABC的内心，则
C. 若，，为△ABC的外心，则
D. 若为△ABC的垂心，，则
三、填空题
12．若向量、的夹角为150°，||＝，||＝4，则|2+|＝　 　．
13．在△ABC中，内角所对的边分别是.若，，则______，△ABC面积的最大值为______．
14．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及其内部的动点，设向量（m，n为实数），则m＋n的最大值为______．
四、解答题
15．已知复数z＝．
（1）求z的共轭复数；
（2）若az+b＝1﹣i，求实数a，b的值．
16．已知函数，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若，，求sin2α的值．
17．在①；②；
③这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答问题.
在中，内角、、的对边分别为、、，且 _________ .
(1)求角的大小；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
18. 边长为1的正三角形，、分别是边、上的点，若，，其中，设的中点为，中点为.
（1）若、、三点共线，求证：；
（2）若，求最小值.
19. 已知函数，且当时，的最大值为.
（1）求的值；
（2）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围.高一下学期期中模拟检测数学试题（五）参考答案
1.B 2.D 3.B 4.B 5.A 6.A 7.A 8.B 9.ABC 10.BD 11.ABD
12．2 13． ①. 1 ②. 14．5
15． 解：（1）．∴＝1﹣i．
（2）a（1+i）+b＝1﹣i，即a+b+ai＝1﹣i，∴，
解得a＝﹣1，b＝2．
16． 解：（1）因为
＝+sin2x﹣
＝sin（2x﹣），
所以函数f（x）的最小正周期T＝＝π，
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
可得函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；
（2）若，即sin（2α﹣）＝，可得sin（2α﹣）＝＞0，
因为，2α﹣∈（﹣，），
所以2α﹣∈（0，），可得cos（2α﹣）＝＝，
所以sin2α＝sin（2α﹣+）＝sin（2α﹣）cos+cos（2α﹣）sin＝+＝．
17. 选①，由及正弦定理可得，
、，则，所以，，故；
选②，由及正弦定理可得，
因为，则，所以，，故；
选③，由及正弦定理可得，
由余弦定理可得，因为，故.
(2)解：因为为锐角三角形，且，则，可得，，
由正弦定理，则，
所以，.
18．(1)由三点共线,得共线,
根据共线向量定理可得,存在使得,
即,
所以,
根据平面向量基本定理可得,所以.
(2)因为,
又,所以,
因为三角形是边长为1的正三角形,所以,,
所以
,所以时,取得最小值.
19.（1）∵
，
令，则在上的最大值为，且，，
则，解得，当时，则的开口向下，对称轴为，
故当时，取到最大值，则，解得或（舍去），故的值为2.
（2）由（1）可得：，令，则的开口向下，对称轴为，故当或时，取到最小值，故在上的值域，又∵，则，故，
设在上的值域为，
若对任意的，总存在，使得，则，
当时，则，显然不成立，不合题意，舍去；
当时，则，可得，解得；
当时，则，可得，解得；
综上所述：实数的取值范围为

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