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2024-2025年广东中山杨仙逸中学高二下学期数学期中考试(4月)
一、单选题
1.设三次函数f(x)的导函数为f’(x)，函数y=xf’(x)的图象的一部分如图所示，则正确的是（ ）
A．f(x)的极大值为f()，极小值为f()
B．f(x)的极大值为f() ，极小值为f()
C．f(x)的极大值为f(-3)，极小值为f(3)
D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(-3)
2.设n∈，化简（ ）
A． B． C． D．
3.某同学计划2023年高考结束后，在A,B,C,D,E五所大学中随机选两所去参观，则A大学恰好被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
4.若曲线在点(1,a)处的切线与直线l:2x-y+5=0垂直，则实数a=（ ）
A． B．1 C． D．2
5.已知函数f(x)及其导函数f’(x)，若存在使得f()=f’()，则称是f(x)的一个“巧值点”，下列选项中没有“巧值点”的函数是（ ）
A．y=x B．y= C．y=cosx D．y=
6.设函数f(x)，g(x)在R上的导函数存在，且f’(x)A．f(x)g(x) C．f(x)+g(a)7.如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（ ）
A．72 B．56 C．48 D．36
8.已知a=，b=，c=，则a，b，c之间的大小关系为（ ）
A．a二、多选题
9.下列问题属于排列问题的是（ ）
A．从6人中选2人分别去游泳和跳绳
B．从10人中选2人去游泳
C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
D．从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数
10.已知函数f(x)=-ax+1的图象在x=2处切线的斜率为9，则下列说法正确的是（ ）
A．a=3
B．f(x)在[-1,1]上单调递减
C．
D．f(x)的图象关于原点中心对称
11.已知函数，则（ ）
A．有两个极值点
B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
三、填空题
12. 函数的最大值为_________．
13.圆周上有2n个等分点(n>1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为_______
14.函数有两个零点，则k的取值范围是________
四、解答题
15.计算题
(1)计算：
(2)已知，求x．
16.已知数列满足：，(n≥2)．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式及其前n项和的表达式．
17.已知函数f(x)=-4x+2．
(1)求函数f(x)在x=3处的切线方程；
(2)求函数f(x)在[0,3]上的最大值与最小值．
18.设函数f(x)=In(2x+3)+
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求f(x)在区间的最大值和最小值．
19.已知函数f(x)=，其中a>0．
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处切线的方程；
(2)试讨论函数f(x)的单调区间．
参考答案与试题解析
1.D
【解析】当x<-3时，y=xf'(x)>0，即f'(x)<0，
当-3当x>3时，f'(x)<0，
所以f(x)的极大值是f(3)，f(x)的极小值是f(-3)．
2.B
【解析】因,
所以，则，
故，
故选：B．
3.B
【解析】在A,B,C,D,E五所大学中随机选两所去参观的基本事件总数为：，
A大学恰好被选中的基本事件为：，
所以A大学恰好被选中的概率为：，
故选，B
4.C
【解析】【答案】C
【详解】由题得，f(x)=，x>0，
所以，
则曲线在点(1,a)处的切线的斜率为，k=，
又因曲线在点(1,a)处的切线与直线l垂直，直线l：2x-y+5=0的斜率是2，
所以(1-a)×2=-1，解得。
故选，C
5.D
【解析】【答案】D
【详解】对于A，f(x)=x，则f'(x)=1，令f(x)=f'(x)，则x=1，故有巧值点。
对于B，f(x)=，则f'(x)=，令f(x)=f'(x)，方程有解，故有巧值点。
方程有解，故有巧值点。
对于C，f(x)=cosx，则f'(x)=-sinx，令f(x)=f'(x)，则sinx+cosx=0，
即，解得，
对于D，f(x)=的定义域为，则，
而f(x)>0，显然f(x)=f'(x)无根，故无巧值点。
故选，D
6.C
【解析】【答案】C
【详解】对于AB，设f(x)=-2x，g(x)=1，则f'(x)=-2，g(x)=0，满足题意，
若x=-1，则f(x)=2>1=g(x)，故A错误。
若x=0，则f(x)=0<1=g(x)，故B错误。
对于CD，因函数f(x)，g(x)在R上的导函数存在，且f’(x)令h(x)=f(x)-g(x)，则h'(x)=f'(x)-g'(x)<0，所以h(x)在R上单调递减，
因x∈(a,b)，所以h(b)由h(x)同理得f(x)+g(b)>g(x)+f(b)，故D错误。
故选，C
7.C
【解析】将四个区域标记为ABCD，第一步涂A，有4种涂法。第二步涂B，有3种涂法。第三步涂C，有2种涂法。第四步涂D，有2种涂法。
根据分步乘法计算原理可得，共有4×3×2×2=48种着色方法，
故选，C
8.B
【解析】【答案】B
【详解】设，则，
令f'(x)>0得01，
所以f(x)在(0,1)上单调递增，在上单调递减，
又因a==f(4)，b=，c==，
且，所以，即b>c>a，
故选，B
9.A,D
【解析】对于A，从6人中选2人分别去游泳和跳绳 ，选出的2人有分工不同，是排列问题；
对于B，从10人中选2人去游泳，与顺序无关，不是排列问题；
对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题；
对于D，从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题。
故选：AD
10.A,B,C
【解析】f(x)=-ax+1，则，
因函数f(x)d 图像在x=2处的切线斜率为9，
所以f'(2)=12-a=9，解得a=3，故A正确。
f(x)=-3x+1，，，
令f'(x)0，得，所以f(x)在[-1,1]上单调递减，故B正确。
由于，故C正确。
函数f(x)=-3x+1，，，
所以f(x)+f(-x)=2，则f(x)的图象关于点(0,1)中心对称，故D错误。
故选，ABC
11.A,C
【解析】在上单调递减，在，上单调递增，
所以是极值点，故正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故正确；
可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，
故错误，
故选．
12.
【解析】设，
，
，
为开口向下，对称轴为的二次函数，
在上单调递增，在上单调递减，
在时取得最大值．
13.2n(n-1)
【解析】由题得，只有三角形的一条边过圆心，才能组成直角三角形，
因圆周上有2n个等分点，所以共有n条直径，
每条直径可以和除去本身的两个定点外的点组成直角三角形，
所以可作2n-2个直角三角形，
根据分步乘法计数原理得共有n(2n-2)=2n(n-1)个。
14.
【解析】函数有两个零点，
有两个根，即方程有两根，
设g(x)=，则函数g(x)与y=的图像有两个交点，
，
当时，g'(x)>0，g(x)单调递增，
当时，g'(x)<0，g(x)单调递减，
所以函数g(x)在x=e时，取最大值g(e)=，
又因当x→0时，g(x)→，当x→时，g(x)>0且g(x)→0，
故函数g(x)的大致图像如下所示：
由图得，所以。
15.
(1)-5
【解析】【答案】-5
【详解】
(2)x=2或x=3
【解析】，
所以3x=2x+2或3x+2x+2=17
解得，x=2或x=3
16.(1)解答见详解
【解析】【详解】由题得，，
，
所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列。
(2)解答见详解
【解析】【详解】由（1）得，，即，
所以前n项和
17.
(1)解答见详解
【解析】【详解】因f(x)=-4x+2，所以，
则所求切线的斜率为f'(3)=5，且f(3)=-1，
故所求切线方程为y=5x-16。
(2)解答见详解
【解析】【详解】因f(x)=-4x+2，，
所以，
令f'(x)=0，得x=2或x=-2（舍去）
当，，函数f(x)单调递减，
当，，函数f(x)单调递增，
所以f(x)的极小值为f(2)=，
又f(0)=2，f(3)=-1，
所以f(x)的最大值为2，最小值为。
18.
(1)解答见详解；
【解析】f(x)=In(2x+3)+，定义域为，
且，
当或时，f'(x)>0，
当时，f'(x)<0，
所以f(x)在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
(2)解答见详解
【解析】由 (1) 得，f(x)在区间的最小值为，
又，
所以f(x)在区间的最大值为。
19.
(1)解答见详解
【解析】【详解】当a=1时，f(x)=，则，
所以f'(1)=0，又f(1)=，
所以f(x)在点(1，f(1))处切线的方程为y=。
(2)解答见详解
【解析】【详解】由题得，，
令f'(x)=0，解得x=a或x=，
若0，
所以f(x)的单调增区间为(0,a)和(,+)，单调递减区间为(a,)，
若a>1，，
所以f(x)的单调增区间为(0,)和(a,+)，单调递减区间为(,a)，
若a=1，则f'(x)0，函数f(x)的单调增区间为，
综上，当0当a>1时，f(x)的单调增区间为(0,)和(a,+)，单调递减区间为(,a)，
当a=1时，f(x)的单调增区间为，

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