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无锡市第一中学2024-2025学年度第二学期期中试卷
高 一 数 学（文科班） 2025.4
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知的内角所对的边分别为，若，，，则
2．用斜二测画法画一个边长为的正三角形的直观图，则直观图的面积是
3．已知是三条不重合的直线，是三个不重合的平面，则下列结论正确的是
若，，则 若，，则
若，，，则 若，，则
在中，
如图，长方体被一个平面截成两个几何体，其中，这两个几何体分别是
三棱柱和四棱柱 三棱柱和五棱柱
三棱台和五棱台 三棱柱和六棱柱
6．已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为
锐角三角形 直角三角形 等腰三角形 等腰或直角三角形
7．已知，，且，则
或
8．龙光塔位于锡山山顶.它是无锡的地标，登塔可以俯瞰锡城，感受城市日新月异；它是无锡文风昌盛的象征，多年来屡次出现在文人墨客的笔下，见证了无锡的人杰地灵.有同学想测量塔顶距离地面的高度.选取与山脚在同一水平面的两个测量基点与.现测得，，，在和处测得的仰角为和，则塔顶距离地面高度必定可以表示为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知向量，，则下列说法中正确的是
当时，
当时，向量在向量上的投影向量为
当与的夹角为锐角时，
与向量垂直的单位向量为
10. 在中，角所对的边分别为，则下列说法中正确的是
若，，，则符合条件的有两个
若，则是等腰三角形
若，则是的垂心
若，则是的重心
11．如图，在棱长为2的正方体中，点分别为线段上的动点，则下列说法中正确的是
当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形
取得最小值
当四面体的顶点在一个体积为的球面上时，
对任意点，平面平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知某圆台轴截面的周长为，母线与底面成角，圆台的高为，该圆台的体积为 ．
在中，角的平分线交于，，，，则 .
若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态.已知，，与的夹角为，则与夹角的大小为 ,
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知，是夹角为的两个单位向量，，（λ∈R）．
(1)若，可以作为一组基底，求实数λ的取值范围；
(2)若，垂直，求实数λ的值．
16．（15分）
如图，在正三棱柱中，为棱的中点，为棱中点，.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面.
17．（15分）
如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M.
(1)求∠EMF的余弦值；
(2)设＝λ，求λ的值及点M的坐标．
18．（17分）
在①；②；③；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
问题：已知的内角的对边分别为且满足______．
(1)求角的大小；
(2)若边上的中线长为，求的面积.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
19．（17分）
如图，在三棱锥中，，.
(1)求证：；
(2)若，，是的中点，分别在线段上移动.
①求与平面所成角的正切值；
②若，求线段长度的最小值．
无锡市第一中学2024-2025学年度第二学期期中试卷参考答案
高 一 数学（文科班） 2025.4
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
D A D A B C B A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. BC 10. BCD 11.ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13. 14.
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.【详解】（1）因为可以作为一组基底，所以不平行，
又不共线，所以，即， .................... 4分
所以，实数的取值范围为. ..............................6分
（2）因为垂直，所以， ............................8分
即，
所以，解得. ......................13分
16.【详解】（1）连结交于，连结
在正三棱柱中且
所以四边形是平行四边行，为的中点，
因为为的中点
所以为的中位线， ................3分
因为，
所以 ..............................6分
在正三棱锥柱中，且，
所以四边形是正方形
所以
因为分别是的中点，所以是的中位线
所以
又因为，所以
在正三棱柱中，，所以
在正三角形中，为的中点，所以
因为，
所以 .....................12分
因为，所以
因为
所以
因为，所以 .....................15分
17.解　(1)如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系，
则D(0,6)，E(3,0)，A(0,0)，F(6,2)，
∴＝(3，－6)，＝(6,2)，.....................3分
由于∠EMF就是，的夹角，
∴cos∠EMF＝cos〈，〉
＝＝，
∴∠EMF的余弦值为......................7分
(2)∵＝λ，
则＝(6λ，2λ)，则M(6λ，2λ)，
又D，M，E三点共线，
则设＝t，0即(6λ，2λ－6)＝t(3，－6)，
则解得λ＝，
故M......................15分
18.【详解】（1）①在中，由，得，
由正弦定理，得， .........................................2分
则
结合已知条件得，因为， ........................................4分
∴，或者，解得． .....................................8分
②由题意有，
即有，
由正弦定理得：，...4分
又，所以，则，所以； .......................................8分
③在中因为，
由正弦定理得，
所以， ...............................4分
即，
又因为，，所以，所以 ............................8分
（2）设BC的中点为D，根据向量的平行四边形法则可知，
所以，即， ..........12分
因为，，
所以，解得（负值舍去
所以 .............................17分
19.【详解】（1）证明：作
因为平面平面，平面平面，平面
所以平面
因为平面
所以 ..........................3分
因为，，所以
因为，
所以，
又，所以 ......................6分
（2）由（1）得平面
所以为在平面的射影，为与平面所成角 ......................8分
在中，，
在直角中， ............................10分
所以与平面所成角的正切值为 ........................11分
过作的垂线，垂足为，过作，交
因为，，所以
又因为，
所以
因为 ，，所以
同理
因为，，所以 ..........14分
因为 ，所以
设
所以，，，
在直角中， ()
当时， ................................................16分
...... ............................................................ 17分

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