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2025年数学五升六暑假巩固培优精练（人教版）
专题08 数学广角-找次品
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．有19枚硬币，其中一枚是假的（稍微重一些），借助没有砝码的天平，至少称（ ）次能保证找出假硬币。
A．2 B．3 C．4 D．5
2．有5个零件，其中只有一个是次品，重量稍重。根据如图所示可以推断（ ）号零件一定是正品。
A．①② B．②③④ C．①⑤ D．③④⑤
3．松果店有9盒质量相同的松果，馋嘴的小松鼠偷吃了某一盒中的3颗松果。假如用天平称，至少称（ ）次能保证找出被偷吃的这盒松果。
A．2 B．3 C．4
4．有5瓶饮料，其中一瓶是次品（略轻）。用天平称了两次，找出了这个次品。下列选项中，（ ）能表示两次称的过程。（□表示饮料）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
5．有100盒饼干，其中99盒质量相同，只有一盒略重，如果要保证找出这盒略重的饼干，且称的次数最少，那第一次称时应按下面的第（ ）种分法来称。
A．2份（50，50） B．2份（99，1） C．3份（33，33，34） D．3份（20，30，50）
6．在65件产品中含有一件不合格产品（不合格产品略轻一些），用天平秤，至少称（ ）次，就一定能找出这件不合格产品。
A．3 B．4 C．6 D．5
7．有6颗外观一样的铁球，其中有5颗一样重，另外1颗比其他5颗稍微轻一些，如果用天平称2次就能保证找出这颗稍轻的铁球，下列分法中不正确的是（ ）。
A．按（2、2、2）分成三份
B．按（3、3）分成两份
C．按（3、2、1）分成三份
D．技（1、1、2、2）分成四份
8．一批零件有81个，按要求它们的质量应该相同，已知有一个内部有缺陷，如果要求用天平称量找到有缺陷的零件，要使称量的次数最少，最合理的分组是（ ）。
A．（40、41） B．（20、20、20、21）
C．（27、27、27） D．（25、25、31）
9．有26枚金币，其中一枚是假的（假金币轻一些）。要找出假金币，第一次用天平称，方法（ ）最好。
A．天平左右两边各放10枚，旁边放6枚
B．天平左右两边各放8枚，旁边放10枚
C．天平左右两边各放9枚，旁边放8枚
10．12个羽毛球特征相同，其中只有一个质量异常。现在要用一架没有砝码的天平去称，至少要称（ ）次才能找出那个质量异常的羽毛球。
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．有12瓶水，其中11瓶质量相同，另外1瓶是盐水，比其他的水略重一些。用天平称，至少称( )次能保证找出这瓶盐水。
12．有26袋糖，其中有1袋糖质量偏轻，用天平称，至少称( )次能保证找出次品。
13．一堆药丸有35颗，不小心丢进了一颗不合格的药丸（要轻一些），为了尽快找出这颗不合格药丸，如果用天平称，至少称( )次才能保证找到。
14．有12个乒乓球，其中11个质量相同，另有一个质量稍轻。如果用天平称，至少称( )次才可以保证找到这个乒乓球。
15．在27件物品中有一件次品（次品比正品质量重一些），要想找出次品，至少称( )次就能找到这件次品。
16．有10个羽毛球（外观完全相同），其中9个质量相同，另有1个次品略轻一些，至少称( )次就一定能找出这个次品羽毛球。
17．有15个外表一模一样的螺丝，其中一个稍重一些，其他的14个质量相同，用天平称，至少称( )次保证找出稍重的那一个。
18．有9个乒乓球，其中一个是次品，比其它的轻一些。如果用天平称，至少称( )次保证可以找出次品。称第一次时，可以将9个乒乓球分为( )组。
19．28个乒乓球，其中有27个质量合格，一个是次品，比质量合格的乒乓球略轻，假如用天平称，至少称( )次能保证找出这个次品。
20．有8个外观一样的乒乓球，其中有一个是次品，次品比其他球轻一些，用天平最少称( )次才能保证找到次品；天平左、右两边各放( )个，有可能一次就找出次品。
21．有5包奶糖，其中4包质量相同，另外一包比其他的轻，可以用( )的方法把轻的那包找出来。在天平两边的托盘各放( )包奶糖，如果天平平衡了，剩下的那包就是( )；如果天平不平衡，再将天平高的那边的两包再称一次就可以找出来了，所以要保证能找出那包较轻的奶糖，至少要称( )次。
22．一批银币中只有一枚是假币，假币较轻，用天平最少称4次才能确保找出假币，这些银币至少有( )枚，最多有( )枚。
23．现有12个乒乓球特征相同，其中只有一个比其他乒乓球略重，现在要求用一架没有砝码的天平去称，至少称( )次才能将这个质量异常的球找出来。
24．有8瓶口香糖，其中7瓶质量相同，有一瓶少了2粒，用天平至少称 次一定能找出这瓶少的口香糖。
25．有5瓶酸奶，其中有1瓶质量不足。如果用天平称，每次称1瓶，需称( )次才能保证找到这瓶酸奶，如果每次称2瓶，需称( )次才能保证找到这瓶酸奶。
26．有15袋红茶叶，其中14袋每袋50克，另一袋不足50克，如果用天平称，至少称 次可以找出这袋茶叶。
三、判断题
27．11个零件中有一个是次品，用天平称，至少称2次就能找出这个次品。( )
28．有13个乒乓球，其中有12个质量相同，另有一个较轻，如果用天平称，至少称3次保证能找出这个较轻的乒乓球。( )
29．有6个羽毛球（外观完全相同），其中5个质量相等，另外1个次品略重一些，至少称2次就一定能找出这个次品羽毛球。( )
30．从12个同一型号的零件中找出一个质量重的次品，至少要称3次。( )
31．有5枚硬币，其中一枚轻一些，用天平称，至少称2次能保证找出这枚硬币。( )
32．8个零件中，有1个是比较轻的次品，如果用天平称，至少要称3次才能保证找出次品。( )
33．11颗同样大小的珍珠，一颗较轻，用天平至少称3次能保证找到较轻珍珠。( )
34．有12枚金币，其中1枚是假的（假金币重一些），如果借助天平，至少需要称3次才能保证将假金币找出来。( )
35．28瓶饮料中有1瓶轻些，至少要称3次才能保证找出轻的那瓶。( )
36．20个物品中有一个略轻的次品，用天平称，至少称3次能保证找出次品。( )
四、解答题
37．外表相同的20个小球中，有4克和5克两种重量的球各若干个，从20个球中取出2个放在天平左边，另外18个球分成9对，分别放在天平右边与这2个球比较重量，发现有3对比那两个球重，有5对比那两个球轻，有一对与那两个球相等；则这20个球的总重量是多少克？
38．有5个砝码，它们的质量分别为100克、101克、102克、104克、107克，但它们的外观完全相同，无法看出轻重。现有一台带指针的台秤，它可以称出300克以内的物体的质量，怎样称至少3次就可以保证找出质量为100克的砝码？请写出操作步骤。
39．有10盒零件，其中1盒是次品，次品那盒中的每个零件都比标准质量（10克）轻1克；由于管理员粗心，忘记是哪一盒，一时难以分辨；你能用天平称1次就把那盒次品找出来吗？说说你称的过程。
40．有一台与众不同的天平，它有三个托盘，每个托盘内都可以放物品，并且能测量出三个托盘中所放物品最轻的一个托盘，现有63个外观相同的乒乓球，其中一个为次品（较轻），则用该天平最少称几次就保证能找出这个乒乓球？写出称法。
41．有16盒糖果，其中15盒质量相同，另有1盒少了一块。假如用天平称，至少称几次就能够保证找出这盒糖果？用画图或文字等方式表示称重过程。
42．六一儿童节到了，李老师给幼儿园的小朋友买了28盒饼干，其余27盒质量相同，有1盒少了几块，假如用天平称，至少称几次能保证找到这盒饼干？请写出称的过程。
43．平遥牛肉是平遥县的特色名菜，中华老字号“冠云”牌平遥牛肉驰名中外。分管质检的张叔叔，发现在8袋外观相同的牛肉中有1袋质量较轻的次品。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？用你喜欢的方式记录找次品的过程。
44．有个制造小球的工厂，生产了6箱小球，每个箱子里有100个小球。正品小球每个重10克，次品小球每个重11克。由于每个箱子里的小球由同一车间生产，如果一个箱子里有次品，则这个箱子里的球肯定都是次品。现在假设只有一个箱子里有次品，利用有砝码的天平，如何称一次把这个箱子找出来？
45．有4枚外表完全相同的硬币，其中有3枚真币和1枚伪币，伪币与真币的重量不同，但是不知道伪币比真币轻还是重。现在只有一架没有砝码的天平。请问至少用天平称几次，就能保证弄清楚伪币究竟更轻还是重？
46．近年来我国新能源汽车制造业发展迅速，截止到2022年我国新能源汽车产销连续8年全球第一，这归功于新能源汽车制造企业的科技研发和精益求精。质检员王师傅发现19个零件中有一个不合格的零件，比其他零件轻一些，他用天平至少称几次能保证找到这个不合格的零件？
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《08》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A D C B C C C A
1．B
【分析】利用天平找假硬币的问题，把19枚硬币分成3组（6，6，7），首先称两组6枚硬币，若平衡，假硬币在第三组；若不平衡，假硬币在重的组，最终通过天平平衡与否逐步缩小假硬币所在范围，直至确定假硬币。
【解析】第一次：把19枚硬币分3组（6，6，7），称两组6枚硬币，若平衡，假硬币在第三组（将硬币缩小至7枚）；若不平衡，假硬币在重的组（将范围缩至6枚）；第二次：把含假硬币的7枚分3组（2，2，3），称两组2枚硬币，若平衡，假硬币在第三组（将硬币缩小至3枚）；若不平衡，假硬币在重的组（将范围缩至2枚）；或者是把含假硬币的6枚分3组（2，2，2），称两组，若平衡，假硬币在第三组；若不平衡，假硬币在重的组（将范围缩至2枚）； 第三次：把含假硬币的3枚分3组（1，1，1），称一次就可找出假硬币，称两组，若平衡，假硬币在第三组；若不平衡，假硬币在重的组（将范围缩至1枚）；或者是把含假硬币的2枚分2组（1，1），假硬币在重的组称一次就可找出（将范围缩至1枚）。
故答案为：B
2．D
【分析】根据题意可知，次品比其他正品的重量稍重，①②的总重量重于③④的总重量，说明次品在①②之间，所以③④⑤是正品。
【解析】根据分析可知，次品在①②之间，所以③④⑤号零件是正品。
故答案为：D
3．A
【分析】利用分组法结合天平特性，通过最少次数确定被偷吃的松果盒；一般是把待测物品分成3份，能平均分的就平均分，不能平均分的，使其中的2份相同，第3份比这两份多1或少1，再称其中相同的2份，根据天平平衡、不平衡进行判断，如果不能找出次品，继续把含有次品的份数再分成3份，方法同上，直到找出次品。
【解析】第一次称量：将9盒松果分成3组，每组3盒。取其中两组各3盒放在天平两侧：
若平衡，被偷吃的盒在剩余3盒中；
若不平衡，被偷吃的盒在较轻一侧的3盒中。
第二次称量：从确定的3盒中任取2盒称量：
若平衡，剩余1盒为被偷吃的盒；
若不平衡，较轻的1盒为被偷吃的盒。
综上所述，至少需称2次。
故答案为：A
4．D
【分析】本题主要考查找次品，把称重物品分成尽可能平均的三组（2，2，1），先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上翘的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，据此解答。
【解析】
第一次天平两端各放2瓶饮料，如果天平平衡，如图，说明剩下的1瓶饮料是次品，称重一次就找出了这个次品；如果天平不平衡，如图，已知次品略轻，左端的天平上翘，说明次品在天平左端；第二次用天平称左端的2瓶饮料，此时天平一定不平衡，如图，那么天平上翘的一端是次品，所以②④能表示两次称的过程。
故答案为：D
5．C
【分析】找次品问题中，最少称重次数的最优策略是将物品尽可能均分为3份，因为每次称量可以将问题规模缩小至原规模的，因此分3份能最快定位次品，据此解答。
【解析】100÷3＝33（盒）……1（盒）
33＋1＝34（盒）
有100盒饼干，其中99盒质量相同，只有一盒略重，如果要保证找出这盒略重的饼干，且称的次数最少，那第一次称时应按（33，33，34）来称。
故答案为：C
6．B
【分析】把65分成22、22、21，第一次把22和22放在天平两端，如果平衡，就把21分成7、7、7，第二次把任意两个7放在天平两端，如果平衡，就把剩下的7分成2、2、3，第三次把2、2放在天平两端，如果平衡就把3分成1、1、1，第四次把任意两个1放在两端，可找出次品。
如果22、22放在天平两端不平衡，就把较轻的22分成7、7、8，第二次把7、7放在天平两端，如果不平衡就把较轻的7分成2、2、3，第三次把2、2放在两端，如果不平衡，就把较轻的2分成1、1，第四次把1、1放在两端，可找出次品。如果7、7平衡，就把8分成3、3、2，第三次把3、3放天平两端，如果不平衡，就把较轻的3分成1、1、1，第四次把任意1、1放在天平两端，可找出次品。
【解析】由分析可知：
在65件产品中含有一件不合格产品（不合格产品略轻一些），用天平秤，至少称4次，就一定能找出这件不合格产品。
故答案为：B
7．C
【分析】用天平称保证找出这颗稍轻的铁球，每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【解析】A．按（2、2、2）分成三份，称其中的（2、2），无论平衡不平衡，都可确定稍轻的铁球在其中2个，将2个分成（1、1），再称一次即可确定稍轻的铁球，共2次；
B．按（3、3）分成两份，称1次确定稍轻的铁球在其中3个，将3个分成（1、1、1），称其中的（1、1），无论平衡不平衡，都可确定稍轻的铁球，共2次；
C．按（3、2、1）分成三份，没有相等的个数，无法用天平去称；
D．技（1、1、2、2）分成四份，称（2、2），如果平衡，再称（1、1），即可确定稍轻的铁球，共2次；称（2、2），如果不平衡，稍轻的铁球在较轻的2个中，将2个分成（1、1），再乘1次即可确定稍轻的铁球，共2次。
分法中不正确的是按（3、2、1）分成三份。
故答案为：C
8．C
【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1，这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少，据此解答。
【解析】有81个零件，其中有一件是次品，比其它略轻。
第一次称重：先分成（27，27，27），天平两边各放27个，①若天平平衡，则次品就在剩下的27个中；②若天平不平衡，次品就在较轻的那27个中；
第二次称重：把27个分成（9，9，9），天平两边各放9个，①若天平平衡，则次品就在剩下的那9个中；②若天平不平衡，次品就在较轻的那9个中；
第三次称重：先分成（3，3，3），天平两边各放3个，①若天平平衡，则次品就在剩下的3个中；②若天平不平衡，次品就在较轻的那3个中；
第四次称重：先分成（1，1，1），天平两边各放1个，①若天平平衡，则次品就是剩下的1个；②若天平不平衡，次品就是较轻的那1个。
一批零件有81个，按要求它们的质量应该相同，已知有一个内部有缺陷，如果要求用天平称量找到有缺陷的零件，要使称量的次数最少，最合理的分组是（27、27、27）。
故答案为：C
9．C
【分析】根据找次品的方法，要尽量将物品平均分成3份来称，这样能较快找出次品。所以需要判断将26枚金币按各选项的分法，是否符合尽量平均分成3份的原则。
【解析】A．若天平左右两边各放10枚，旁边放6枚，此时分成的三份数量分别为10、10、6。10与6相差10－6＝4，没有做到尽量平均分成3份。
B．若天平左右两边各放8枚，旁边放10枚分成的三份数量是8、8、10。10与8相差10－8＝2，也没有做到尽量平均分成3份。
C．若天平左右两边各放9枚，旁边放8枚，分成的三份数量为9、9、8。9与8相差9－8＝1，符合尽量平均分成3份，能使多的一份与少的一份相差1，这种分法最好。
所以第一次用天平称，天平左右两边各放9枚，旁边放8枚最好。
故答案为：C
10．A
【分析】根据题意，12个羽毛球特征相同，其中只有一个质量异常，但不知轻重，分组称重时，考虑天平平衡或不平衡时的各种情况，逐一讨论，得出至少称的次数。
【解析】第1次称量，将12个羽毛球平均分为三份①②③（每份4个），先把①和②放在天平的两边，如果天平平衡，则③里面有异常球；如果天平不平衡，则①和②中有异常羽毛球，③都是正常羽毛球；第2次称量，把①和②中的任意一份取下来，把③放上去，即可判断异常羽毛球在哪一份里，并且知道异常羽毛球的轻重；第3次称量，把有异常羽毛球的4个球平均分成两份（每份2个），把它们放在天平的两边，天平不平衡，根据轻重，判断出异常羽毛球在哪一份里；第4次称量，再把有异常羽毛球的2个球分成两份（每份1个），把它们放在天平的两边，天平不平衡，根据轻重，判断出异常羽毛球是哪一个。
所以至少要称4次才能找出那个质量异常的羽毛球。
故答案为：A
11．
3
【分析】先将12瓶水分成3组，每组4瓶，将其中的2组分别放在天平的两边，天平平衡，则盐水在剩余的一组，若不平衡，哪边重，盐水就在哪边；选出有盐水的一组后，将这4瓶盐水分成两组，每组2瓶，哪边重盐水就在哪边；最后将选出的2瓶分别放在天平的两边，即可找出盐水。
【解析】第一次：将12瓶水分成3组，每组4瓶，将其中的2组分别放在天平的两边，天平平衡，则盐水在剩余的一组，若不平衡，哪边重，盐水就在哪边，选出有盐水的一组；
第二次：将选出的这4瓶盐水分成两组，每组2瓶，放在天平的两边，哪边重盐水就在哪边，选出有盐水的那一组；
第三次：将选出的2瓶分别放在天平的两边，哪边重，那瓶就是盐水。
因此，至少需称3次能保证找出这瓶盐水。
12．3
【分析】找次品问题的最优策略是将物品尽量均分三组，通过天平比较缩小范围。对于26袋糖，第一次分成（9，9，8），称量后次品在9或8袋中；第二次将9分成（3，3，3）或将8分成（3，3，2），进一步缩小范围；第三次即可确定次品。
【解析】第一次称量：将26袋分成（9，9，8），取两组9袋放在天平两侧，若不平衡，次品在较轻的9袋中；若平衡，次品在剩下的8袋中。
第二次称量：若次品在9袋中，分成（3，3，3），取其中两组3袋放在天平两侧，若不平衡：次品在较轻的3袋；若平衡：次品在剩下的3袋。
若次品在8袋中，分成（3，3，2），取其中两组3袋的放在天平两侧，若不平衡：次品在较轻的3袋；若平衡：次品在剩下的2袋。
第三次称量：
若次品在3袋中，分成（1，1，1），取其中两组1袋放在天平两侧；若不平衡：次品是较轻的这袋；若平衡：次品在剩下的这袋。
所以至少称3次可保证找出次品。
13．4
【分析】把35颗药丸分成（12，12，11）。
第一次称：把两个12颗的分别放在天平秤两端，若平衡，次品在11颗那组；若不平衡，次品在较轻的12颗那组。
情况一：若在11颗组，分成（4，4，3）。
第二次称：把两个4颗的称，平衡则次品在3颗组，不平衡在较轻4颗组。
若在3颗组，第三次称：任取2颗称，平衡则剩下1颗是次品，不平衡较轻的是次品。
若在4颗组，分成（2，2），第三次称，次品在较轻2颗组，第四次称这2颗，较轻的是次品。
情况二：若在12颗组，分成（4，4，4）。
第二次称：任取两个4颗称，平衡则次品在剩下4颗组，不平衡在较轻4颗组。
第三次称：把有次品的4颗分成（2，2），称后次品在较轻2颗组。
第四次称：这2颗称，较轻的是次品。
据此解答。
【解析】综上分析所述，至少称4次才能保证找到。
14．3
【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。
【解析】把12个乒乓球平均分成三份即（4，4，4），将其中任意两份放在天平两端称，如果天平平衡，则次品在剩下的那一份中；如果不平衡，则次品在天平高的那端；
将含有次品的4个乒乓球分成三份即（1，1，2），天平两端各放1个，如果天平不平衡，则次品在天平高的那端；如果天平平衡，那么次品就在剩下的2个中；
把有次品的2个乒乓球分成（1，1），第三次称，天平两端各放1个，次品就是天平高的那一端。
所以，如果用天平称，至少称3次才可以保证找到这个乒乓球。
15．3
【分析】利用天平找次品的问题，把27件物品平均分成3组，每次称两组，若平衡，次品在第三组，若不平衡，次品在重的组，最终通过天平平衡与否逐步缩小次品所在范围，直至确定次品。
【解析】第一次：把27件分3组（9，9，9），称两组，若平衡，次品在第三组；若不平衡，次品在重的组（将范围缩至9件 ）；第二次：把含次品的9件分3组（3，3，3），称两组，若平衡，次品在第三组；若不平衡，次品在重的组（将范围缩至3件 ）； 第三次：把含次品的3件分3组（1，1，1），称两组，若平衡，次品在第三组；若不平衡，次品在重的组（将范围缩至1件 ），即可找出次品。
所以要想找出次品，至少称3次就能找到这件次品。
16．3
【分析】找次品时把物品数量分成尽可能平均的三组，先称其中的两组，分天平平衡和不平衡两种情况，依次称重找出次品所在的组，称到只剩下2个物品时即可找出次品，根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。
【解析】把10个羽毛球分成（3，3，4）三组，第一次先称（3，3）这两组。
①如果天平平衡，则次品在剩余的一组中；再把剩余的4个羽毛球分成（1，1，2）三组，第二次称（1，1）两组，如果天平不平衡，则次品在天平翘起的一端；如果天平平衡，则次品在剩余的2个羽毛球中，最后把2个羽毛球分成（1，1）两组，第三次称（1，1）两组，天平翘起的一端为次品。
②如果天平不平衡，则次品在天平翘起的一端中；再把翘起的这一端的3个羽毛球分成（1，1，1）三组，第二次随意选择（1，1）两组称，如果天平平衡，则次品在没有称的一组；如果天平不平衡，则次品在天平翘起的一端。
因此有10个羽毛球（外观完全相同），其中9个质量相同，另有1个次品略轻一些，至少称3次就一定能找出这个次品羽毛球。
17．3
【分析】找次品的方法：一般是把待测物品分成3份，能平均分的就平均分，不能平均分的，使其中的2份相同，第3份尽量与这两份相同，再称其中的2份，根据天平平衡、不平衡进行判断，如果不能找出次品，继续把含有次品的份数再分成3份，方法同上，直到找出次品。
找次品的公式计算规律：
2～3个物品称1次；
4～9个物品称2次；
10～27个物品称3次；
28～81个物品称4次（以上是知道次品轻重的，不知道次品轻重要称多一次）。
【解析】15在10～27个之间，所以用天平称，至少称3次保证找出稍重的那一个。
18．2/两 3/三
【分析】把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上翘的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。
【解析】分析可知：
综上所述，如果用天平称，至少称2次保证可以找出次品，称第一次时，可以将9个乒乓球分为3组。
19．4
【分析】找次品时尽量把总数平均分成3份，如果不能平均分，也要使多或少的那份比其它的少1或多1；这样称1次就能把次品所在的范围缩小到最少。找出次品称的次数也会最少。我们可以根据规律：当所测的物品的个数符合“3n－1＋1≤物品的数量≤3n（n≥1）”时，所称次数至少为n次；据此即可解答。
【解析】33＜28＜34，所以至少称4次能保证找出这个次品。
20．2 1
【分析】把这8个乒乓球分成3个、3个、2个三组，先在天平两边各放3个：
（1）如果天平平衡，说明次品在没称的2个里面，再把这2个乒乓球分别放在天平秤两端，天平秤较高的那端乒乓球，即为次品；
（2）若天平秤不平衡，从天平秤较高端的一侧任意取出2个，放在天平两边，如果平衡，没称的那个就是次品；如果不平衡，较轻的一个就是次品；
若左右各放1个球：若天平不平衡，轻的一侧即为次品，一次即可找到；若平衡，次品在剩下的6个中，但题目仅要求“有可能”一次找到（即次品恰好在被称量的两球中时），因此左右各放1个符合条件。据此解答即可。
【解析】由分析可知：
有8个外观一样的乒乓球，其中有一个是次品，次品比其他球轻一些，用天平最少称2次才能保证找到次品；天平左、右两边各放1个，有可能一次就找出次品。
21．天平称 2 轻的那包 2
【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1，这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少，据此解答。
【解析】有5包奶糖，其中有一包是次品，比其它略轻。
第一次称重：先分成（2，2，1），天平两边各放2包，①若天平平衡，则次品就是剩下的1包；②若天平不平衡，次品就在较轻的那2包中；
第二次称重：把2包分成（1，1），天平两边各放1包，次品就是较轻的那1包。
有5包奶糖，其中4包质量相同，另外一包比其他的轻，可以用天平称的方法把轻的那包找出来。在天平两边的托盘各放2包奶糖，如果天平平衡了，剩下的那包就是轻的那包；如果天平不平衡，再将天平高的那边的两包再称一次就可以找出来了，所以要保证能找出那包较轻的奶糖，至少要称2次。
22．28 81
【分析】根据天平平衡原理，可知：
根据表格中的规律，可得称n次时，能判断研究对象的个数最多为（3n）个，最少为（3n－1＋1）个，据此求出n为4时，这些银币最多有多少个，最少有多少个，据此解答。
【解析】根据分析可知，
最少：33＋1
＝27＋1
＝28（个）
最多：34＝81（个）
一批银币中只有一枚是假币，假币较轻，用天平最少称4次才能确保找出假币，这些银币至少有28枚，最多有81枚。
23．3
【分析】利用天平称重的方式，通过合理分组，逐步缩小范围，找出较重的那个乒乓球，关键在于每次分组后利用天平平衡与否确定次品所在组，从而确定最少的称重次数。
【解析】12分成（4，4，4），把任意两组的放在天平上称，可找出有次品的一组；再把有次品的一组4分成（2，2）放在天平上称，可找出有次品的一组；再把2分成（1，1），放在天平上称，可找出次品；共需3次。
所以至少称3次才能将这个质量异常的球找出来。
24．2
【分析】有一瓶少了2粒，看作次品；将8瓶口香糖分成（3、3、2）三组，先称量（3、3）两组，若天平平衡，则次品在2瓶那组里，再称一次即可找出；若天平不平衡，也再需要称一次即可。
【解析】第一次称重：把两份3瓶的分别放在天平秤两端。
若天平平衡，则少2粒的那瓶口香糖在未取的2瓶中（再称一次即可找出）。第二次称重：把剩下的2瓶分别放在天平秤两端，较高一端的那瓶即为少2粒的。
若天平不平衡，则少2粒的那瓶口香糖在天平较高一端的3瓶中。
第二次称重：从天平较高一端的3瓶口香糖中，任取2瓶，分别放在天平秤两端。
若天平平衡，则未取那瓶即为少2粒的。
若天平不平衡，较高一端的那瓶即为少2粒的。
用天平至少称2次一定能找出这瓶少的口香糖。
25．4 2
【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1，这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少；分析题目，若每次称1瓶，最差的情况是最后一次才找出质量不足的，所以需要称（5－1）次才能保证找到这瓶质量不足的酸奶；如果每次称2瓶，每次称的时候左右各放1瓶，据此进一步解答。
【解析】若每次称1瓶，则最差的情况是：前4瓶天平都平衡，则最后剩余的1瓶即为质量不足的，所以需要称4次才能保证找到这瓶质量不足的酸奶；
如果每次称2瓶，第一次称2瓶，两边各1瓶，若左右相等，则说明质量不足的在剩下的3瓶中，若左右不相等，则质量不足的就是这两瓶中较轻的那一个；
再从剩下的3瓶中拿出2瓶，天平两边各放1瓶，若天平平衡，则剩下的1瓶就是质量不足的，若天平不平衡，较轻的那瓶就是质量不足的。
有5瓶酸奶，其中有1瓶质量不足。如果用天平称，每次称1瓶，需称4次才能保证找到这瓶酸奶，如果每次称2瓶，需称2次才能保证找到这瓶酸奶。
26．3
【分析】找次品的方法：一般是把待测物品分成3份，能平均分的就平均分，不能平均分的，使其中的2份相同，第3份尽量与这两份相同，再称其中的2份，根据天平平衡、不平衡进行判断，如果不能找出次品，继续把含有次品的份数再分成3份，方法同上，直到找出次品。
【解析】第一次称重：将15袋茶叶分成三组，每组5袋。将其中两组放在天平的两边进行比较。
如果两边平衡，说明不足的那一袋在第三组。
如果不平衡，较轻的一边包含不足的那一袋。
第二次称重：从包含不足那一袋的5袋中，取出3袋，其中两袋放在天平的两边进行比较。
如果两边平衡，说明不足的那一袋在剩下的那一袋。
如果不平衡，较轻的一边就是不足的那一袋。
第三次称重：如果第二次称重后仍不确定，只需将剩下的两袋中的一袋与已知正常的茶叶进行比较，即可找出不足的那一袋。
通过以上步骤，最多只需要3次称重即可找出不足的那一袋茶叶。
27．×
【分析】根据找次品的最优策略，将物品尽量平均分成三组。这11个零件，第1次分成4、4、3，若第1次称量4、4平衡，则次品在剩下3个零件中，需再称2次；若第1次称量4、4不平衡，则次品在这8个零件中，剩下的3个零件是正品，将这8个零件重新分组3，3，2，先称数量相同的两组，若天平平衡，则次品在剩下一组里面，需再称1次；若天平不平衡，称其中一组和另外3个正品，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。
【解析】
综上所述，11个零件中有一个是次品，用天平称，至少称4次就能找出这个次品，所以题目说法错误。
故答案为：×
【点评】本题主要考查找次品问题，因为不知道次品比正品轻还是比正品重，需要多次称重才能确定次品在哪一组里面，逐步缩小范围直到最后确定次品是解答题目的关键。
28．√
【分析】找次品的方法：一般是把待测物品分成3份，能平均分的就平均分，不能平均分的，使其中的2份相同，第3份尽量与这两份相同，再称其中的2份，根据天平平衡、不平衡进行判断，如果不能找出次品，继续把含有次品的份数再分成3份，方法同上，直到找出次品。
找次品的公式计算规律：
2～3个物品称1次；
4～9个物品称2次；
10～27个物品称3次；
28～81个物品称4次（以上是知道次品轻重的，不知道次品轻重要称多一次）。
……
【解析】13在10～27个之间，由分析可知，10～27个物品至少称3次。
所以原题说法正确。
故答案为：√
29．√
【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【解析】将6个羽毛球分成（2，2，2），取其中两组各2个称量。无论平衡不平衡，都可确定次品在其中2个；将2个分成（1、1），再称一次即可确定次品，共2次，所以原题说法正确。
故答案为：√
30．√
【分析】把12个零件分成三份（4，4，4）；
第一次：把其中两份分别放在天平两端，若天平平衡，则次品即在未取的4个零件中；若天平不平衡，次品在天平较低端的4个零件中；
第二次：含次品的4个零件，平均分成3份（1，1，2），把1个、1个分别放在天平两端，较低端的1个零件是次品；若平衡，则次品在另外2个零件中；
第三次：把含有次品的2个零件分别放在天平两端，较低端那个零件为次品，所以至少要称3次。据此解答。
【解析】根据分析可知，从12个同一型号的零件中找出一个质量重的次品，至少要称3次。
原题干说法正确。
故答案为：√
31．√
【分析】把5枚硬币分成3份，即（2，2，1），第一次称，天平两边各放2枚，如果天平不平衡，次品就在较轻的2枚中；如果天平平衡，次品就是剩个的那一枚；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的2枚硬币分成2份，即（1，1），第二次称，天平两边各放1枚，较轻的就是次品。所以至少称2次能保证找出这枚硬币。
【解析】
有5枚硬币，其中一枚轻一些，用天平称，至少称2次能保证找出这枚硬币。
原题说法正确。
故答案为：√
32．×
【分析】把待称的物品分成三份，能够平均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使多的一份与少的一分只相差1，据此解答。
【解析】把8个零件分成三份：3个、3个、2个，先在天平两边分别放3个，会有两种情况出现：情况一：左右平衡，则次品在剩下的2个中，即可进行第二次称量：把剩下的2个，放在天平的两边，托盘翘起的一边则为次品；情况二：左右不平衡，托盘翘起的一边有次品，然后取该托盘中的任意2个分别放在天平的两边，如果平衡，剩下的一个是次品，如果不平衡，托盘翘起的一边则为次品。两种情况，都只称2次就能保证找出次品。
故答案为：×
【点评】
33．√
【分析】把待称的物品分成三份，能够平均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1，据此解答。
【解析】把11颗珍珠分成3份（4，4，3），取4颗的两份分别放在天平两端，若天平平衡，则次品在未取的一份中，再从剩余3颗中任取2颗，分别放在天平两端，若天平平衡，则未取的一颗为次品，若不平衡，较轻的一颗为次品；若天平不平衡，次品在较轻的一份中，把较轻的4颗平均分成2份，分别放在天平两端，次品在较轻的一份中，再把较轻的2颗分别放在天平两端，较轻的一颗为次品。所以至少称3次能保证找到较轻珍珠。该题说法正确。
故答案为：√
34．√
【分析】可把12枚金币任意4个一组分成3组，把任意两组放在天平上称，根据平衡与否的情况，再逐步分成等份进行称重对比，找出不同情况需要的次数，取最多的次数即为所得。
【解析】可把12枚金币任意4个一组分成3组，把任意两组放在天平上称，如平衡，则把没称的一组，再分成（2，2）放在天平上称，再把重的一组分成（1，1）放在天平上称，可找出次品。需要3次。如不平衡，则把重的一组，再分成（2，2）放在天平上称，找出重的一组分成（1，1）放在天平上称，可找出次品。需要3次。
故答案为：√
35．×
【分析】根据二分查找的思想，可以将28瓶饮料平均分成两组，比较两组的重量，将重量较轻的一组留下，重量较重的一组淘汰。这样，较轻的饮料只可能存在于重量较轻的一组中。然后，将重量较轻的一组继续分成两组，重复上述步骤，直到最后只剩下一瓶饮料为止。这瓶饮料就是轻的那瓶。
【解析】为了找出28瓶饮料中较轻的一瓶， 我们可以使用天平进行称重。 首先， 将28瓶饮料平均分成两份， 每份14瓶。
第一次称重： 将两份分别放在天平的两端， 较轻的那份饮料中包含较轻的那瓶饮料。
第二次称重： 将第一次称重中较轻的那份14瓶饮料再次平均分成两份， 每份7瓶， 分别放在天平两端， 较轻的那份饮料中包含较轻的那瓶饮料。
第三次称重： 将第二次称重中较轻的那份7瓶饮料取出6瓶， 平均分成两份， 每份3瓶， 分别放在天平两端。 如果天平平衡， 则未称的那瓶是较轻的； 如果不平衡， 较轻的那端所对应的3瓶中包含较轻的那瓶饮料。
第四次称重： 将第三次称重中确定的3瓶饮料取出2瓶， 分别放在天平两端。 如果天平平衡， 则未称的那瓶是较轻的； 如果不平衡， 较轻的那端所对应的2瓶中包含较轻的那瓶饮料。 通过这样的步骤， 我们至少需要4次称重才能保证找出那瓶较轻的饮料。
故答案为：×
36．√
【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【解析】将20个物品分成（7、7、6），称（7、7），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，不平衡，次品在7个中；将7个分成（2、2、3），称（2、2），平衡，次品在3个中；将3分成（1、1、1），称（1、1），无论平衡不平衡，都可确定次品，共3次，所以原题说法正确。
故答案为：√
37．88克
【分析】由于天平右边的9对中，既有比左边轻的，也有比左边重的，还有与左边一样重的，说明左边的两个球一定不是2个5克，也不是2个4克，则一定是1个4克和1个5克，这样可推出右边较重的3对中都是5克的球，较轻的5对中都是4克的球，一样重的一对中有1个4克和1个5克，进而可求出这些球的总质量。
【解析】3×（5＋5）＋5×（4＋4）＋2×（4＋5）
＝3×10＋5×8＋2×9
＝30＋40＋18
＝88（克）
答：这20个球的总重量是88克。
38．见详解
【分析】先根据砝码的组合进行筛选，确定范围，再继续精确寻找。先写出第一次称2个砝码，质量有10种可能：201克、202克、204克、207克、203克、205克、208克、206克、209克、211克；如果是前4种，那么100克砝码就在这两个砝码中，再称一次就可以找出来；如果是后6种，那么100克砝码就在没有称的三个砝码中，需要进一步称。据此解答即可。
【解析】第一次称2个砝码，如果质量是201克、202克、204克、207克，那么100克砝码就在这两个砝码中，再称一次就可以找出来；
如果质量是203克、205克、208克、206克、209克、211克，那么100克砝码就在没有称的三个砝码中，再一个一个称两次，就可以找出100克的砝码。
39．见详解
【分析】可以通过一个巧妙的方法来实现这一点。首先，我们给这10盒零件依次编号，然后按照编号取出一定数量的零件。具体来说，从第1盒取出1个零件，从第2盒取出2个零件，以此类推，直到从第10盒取出10个零件，我们一共取出了1＋2＋3＋……＋10＝55个零件。接下来，我们把这55个零件放在天平的左端，然后在天平的右端放上和取出零件相等重量（如果都是标准件）的砝码，即550克。如果天平平衡，那么说明所有零件都是标准件；如果天平不平衡，那么次品就在取出的零件中。
【解析】把10盒零件依次编号①至⑩，然后按编号数分别取对应个数零件，也就是①号盒取1个，②号盒取2个……⑩号盒取10个，一共取出55个零件。把取出的55个零件一起放在天平左端，在天平右端放550克砝码，天平放砝码的一端低，在天平左端一个一个地放1克的砝码，直到天平平衡，放几个1克砝码，那么几号盒中的零件就是次品。
【点评】解答本题的关键是取零件时，按照编号数取，即几号盒就取几个零件；放几个1克砝码，那么几号盒中的零件就是次品。
40．3次；称法见详解
【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
因为这台与众不同的天平有三个托盘，因此按照找次品的最优策略，将待分物品分成4份即可。
【解析】将63个乒乓球分成（16、16、16、15），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，称（16、16、16），不平衡，次品在轻的16个中；将16个分成（4、4、4、4），称（4、4、4），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中4个；将4个分成（1、1、1、1），称（1、1、1），无论平衡不平衡，都可确定次品，共3次。
答：用该天平最少称3次就保证能找出这个乒乓球。
41．3次
【分析】本题考查了利用天平判断物体质量的技能，解决这类问题的关键是每次称重后都要有效地缩小搜索范围。在首次称重时，尽量将物体分为数量相近的三组，这样可以最大化每次称重的信息量。每次称重后，根据结果排除一部分正常或不可能的选项，缩小搜索范围。最终找到质量不同的那一盒。
【解析】一、首次称重：
将16盒糖果分为三组，分别为5盒、5盒和6盒。选择两组各5盒的糖果进行称重。
情况A：如果两边平衡，说明这10盒糖果都是正常的，少一块的糖果一定在未被称重的那组6盒里。
情况B：如果两边不平衡，则说明少一块的糖果一定在较轻的那组5盒里。
二、对于情况A的后续称重：
第二次称重：将这6盒糖果分为三组，每组2盒，任选两组进行称重。
如果两边平衡，说明少一块的糖果在未被称重的2盒中。
如果不平衡，则少一块的糖果在较轻的那组2盒中。
第三次称重：从疑似的2盒糖果中任选一盒与正常的一盒糖果进行称重。
如果平衡，则未称重的那盒是少一块的。
如果不平衡，则较轻的那盒是少一块的。
三、对于情况B的后续称重：
第二次称重：将这5盒糖果分为三组，分别为2盒、2盒和1盒。选择两组各2盒的进行称重。
如果两边平衡，说明少一块的糖果是单独的那1盒。
如果不平衡，则少一块的糖果在较轻的那组2盒中。
如果在第二次称重后确定少一块的糖果在2盒中，则第三次称重与情况A中的第三次称重相同，即任选一盒与正常的一盒糖果进行称重，以确定哪一盒是少一块的。
综上所述，至少需要三次才能找出来。
答：至少称3次就能够保证找出这盒糖果。
【点评】对于这类题，一定要用好“分组策略”和“排除法”。 通过合理的分组和称重策略，去排除一部分正常或不可能的情况，缩小搜索范围。一般采用“三分法”，即首次称重时把物体分成尽可能相等的三份。对于未确定的部分，要继续采用类似的分组和称重策略，直到找到异常物体。
42．
4次，见详解
【分析】根据找次品的办法，一般把饼干平均分，不平均可以让第三份少一些，然后进行称量，由此进行解答即可。
【解析】称第一次：把28盒分成两组，每组14盒，天平每边各放一组，少几块的那盒会在轻的一边；
称第二次：把有少几块盒的那组14盒分成两组，分别是7盒，7盒，少几块的盒在轻的那一边；
称第三次：把有少几块盒的那组7盒分成三组，分别是2盒，2盒，3盒，天平每边放2盒，平衡则少几块的盒就是未称的一盒；不平衡则是少几块的盒在轻的那一边；
称第四次：若少几块的那一盒在2盒中，把这2盒分成两组，天平每边各放1盒，少几块的那盒在轻的一边；若少几块的那一盒在3盒中，把这3盒平均分成3组，先称2盒，平衡则少几块的盒就是未称的一盒；不平衡则是少几块的盒在轻的那一边。
答：至少称4次可以保证找出这盒饼干。
【点评】本题考查找次品，解答本题的关键是掌握找次品的方法。
43．两次
【分析】第一次：把8袋牛肉分成三份（3，3，2），天平两端各放3份，如果平衡，次品就在剩下的2袋中，再把剩下的2袋放在天平上，一边1袋，如果不平衡，则再轻的一边，把轻的一边的3份再平均分成3份（1，1，1），天平两边各放1份，如果平衡，次品在比较轻的一端，如果不平衡，剩下的1个是次品，所以至少秤2次能保证找出次品。
【解析】结合分析可知：把8袋牛肉分成三份（3，3，2），称一次，无论次品是在3袋中还是在2袋中，只要再称一次即可找到次品。
答：至少称两次能找出次品。
44．见详解
【分析】本题的解题关键在于给每个箱子设置不同点，通过不同点来确定箱子，如（方法不唯一）：给六个箱子分别编号1、2、3、4、5、6号，从每个箱子里取出对应编号数量的小球，共取21个，给这21个小球称重，实际重量必然大于210克，根据多出的重量即可确定次品箱。
【解析】给六个箱子分别编号1、2、3、4、5、6号，从每个箱子里取出对应编号数量的小球，共取出：1＋2＋3＋4＋5＋6＝21（个）
应重：21×10＝210（克）
实际重量必定多于210克，多了几克，几号箱中就是次品（如：若5号箱重为次品，那就会多5克，实际重量为215克。）
45．2次
【分析】本题的目的是弄清楚伪币比真币轻还是重，但在称时我们还是可以使用三分法来分物品，把4枚硬币分为（1，1，2）先称数量相同的两份，再根据情况称剩下的一份（方法不唯一）。
【解析】 把4枚硬币分为（1，1，2），第一次称前两份：若天平平衡，说明这两枚都是真币，把这两枚放在天平一端，剩下一份（有伪币）放在另一端称第二次：若伪币这端更轻说明伪币比真币轻，反之则更重。 若天平不平衡，说明这两枚中有一枚是假币，剩下的一份为真币，分别放在天平两端称第二次：若伪币这端更轻说明伪币比真币轻，反之则更重。（方法不唯一）
答：至少用天平称2次，就能保证弄清楚伪币究竟更轻还是重。
46．3次
【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【解析】将19个零件分成（6、6、7），先称（6、6），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，即次品在7个中；将7个分成（2、2、3），先称（2、2），考虑最不利的情况，即次品在3个中；将3个分成（1、1、1），称（1、1），无论平衡不平衡都可确定次品，共3次。
答：他用天平至少称3次能保证找到这个不合格的零件。
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