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2025年数学五升六暑假知新培优精练（人教版）
专题08 数学广角-数形结合
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．用同样长的小棒摆出如下图形，照这样继续摆，第⑥个图形用（ ）根小棒。
……
A．7 B．11 C．13
2．餐厅里一张桌子可坐6人，按照下图的摆放规律，2张桌子可坐10人，n张桌子能坐（ ）人。
A．4n＋2 B．4n＋4 C．6n＋4 D．6n＋6
3．观察如图，按规律画下去，当某幅图中〇的个数有25个时，□的个数为（ ）。
A．144 B．121 C．100 D．81
4．■◇◇●●■◇◇●●■◇◇●●……，照这样的规律摆，第207个图形是（ ）。
A．■ B．◇ C．● D．无法确定
5．小雨遇到一道数图形的问题，她想到老师教的“化繁为简”的思想，就画表格从简单问题开始研究（如下表）。按照规律，序号是（ ）的图形中一共有48个三角形。
序号 1 2 3 4 …
图形 …
三角形的个数 1＋2＋3 （1＋2＋3）×2 （1＋2＋3）×3 （1＋2＋3）×4 …
A．12 B．8 C．5 D．6
6．下列三个情境中的问题能用“2y＋1”表示的是（ ）
①这个大长方形的面积是多少？ ②乐乐买了y支签字笔，每支2元。又买了一块橡皮花了1元。乐乐一共花了多少钱？ ③按下面的方法用三角形摆图形。 第一层：△△▲ 第二层：△△△△▲ 第三层：△△△△△△▲ …… 第y层用了多少个三角形？
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
7．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”，从图中可以发现，符合这一规律的是（ ）。
A．13＝3＋10 B．25＝9＋16 C．36＝15＋21 D．49＝18＋31
8．如图1所示，搭建单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图2、图3的方式串起来搭建。如果想串起来搭建5顶帐篷，那么需要钢管的根数是（ ）根。
A．59 B．60 C．61 D．62
9．如果图中的①②③④⑤分别表示自然数2、4、6、8、10，那么用这样的一个方格图，最多能表示出（ ）个不同的自然数。
A．22 B．23 C．24 D．25
10．小红用火柴棒摆金鱼，如图，第1幅图用8根火柴棒，第2幅图用14根火柴棒，第3幅图用20根火柴棒，……，按这样的规律摆下去，第7幅图用（ ）根火柴棒。
A．44 B．45 C．46 D．47
二、填空题
11．如图，摆6个同样的正方形需要小棒( )根。
12．将小正方体按如图的规律摆放：摆1个小正方体有5个面露在外面，摆2个小正方体有8个面露在外面，摆6个小正方体有( )个面露在外面，摆n个小正方体有( )个面露在外面。
13．如图，由边长为1cm的三角形组成新图形，5个三角形组成的图形周长是( )cm，( )个三角形组成的图形周长是81cm。
14．观察下图的图形规律，第5个图形是由( )个小正方形拼成的。
15．照这样的规律，第6个图形有( )个涂色小正方形，第个图形有( )个涂色小正方形。

16．观察下面三幅点阵图，按照这样的规律，第9幅图中共有( )个●，第n幅图中共有( )个●。
17．下图是小明用火柴搭的“金鱼”，认真观察图形，思考下面的问题。
(1)照这样的规律摆下去，搭n条“金鱼”需要( )根火柴。
(2)当摆到第50根小棒时，小明已经搭好了( )条“金鱼”。
18．明明是个善于观察，乐于思考的好孩子。他通过数形结合（如图），发现了求两个连续自然数平方差的规律。请你根据明明发现的规律，直接写出下面算式的结果：( )；( )。
19．观察下列图形，找规律再填空。
照这样下去，第6个图形中有( )个黑色方块；有74个黑色方块的是第( )个图形。
20．用边长为1cm的小三角形按图中的方式接着摆图形，摆第5个图形需要( )个小三角形，第9个图形的周长是( )cm，第n个图形的周长是( )cm。
21．正方形纸片按规律拼成如下的图案，第1个图案有5张正方形纸片，第4图案有( )张正方形纸片，第n个图形有( )张正方形纸片，第( )个图案中恰好有365张这样的纸片。
22．观察下面图形的规律，第9个框里有( )个点。
23．如图，聪聪将黑、白两种颜色的正方形自上而下一层层地排列下去，每层从左到右排列，第8层是( )色的正方形，8层共有( )个正方形。
24．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21…这样的数称为三角形数，而把1、4、9、16、25、36…这样的数称为“正方形数”。从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和。如果把“正方形数”64写成两个相邻的“三角形数”之和，这两个“三角形数”分别是( )和( )。
25．用同样大小的黑白两色正方形摆图形，如图所示，按照这样的规律摆第7个图形需要( )个白色正方形，摆n个图形需要( )个黑色正方形。
三、判断题
26．同一平面内的6条直线，最多有15个交点。( )
27．找规律：、、、、、、、（ ），括号里应填。( )
28．照这样画下去，第10个图形中黑色方块有10个，白色方块有53个。( )
29．有一组数：1、2、5、10、17、26…根据这组数的排列规律，第8个数应是50。( )
30．根据99×99＝9801，999×999＝998001，9999×9999＝99980001，可以直接得出99999×99999＝99998000001。( )
31．在1＋3＋5＋7＋9＋…中，从数“1”到数“15”的和是82。( )
32．、、、、…这列数越来越大，越来越接近1。( )
33．数列1、5、2、15、3、25…的第10项是45。( )
四、计算题
34．计算。
35．计算。
（1）1＋3＋5＋7＋9＋11＋13 （2）103＋105＋107＋…＋203＋205
36．找规律，算一算。
（1） （2）5＋7＋9＋11＋13＋…＋25
五、解答题
37．有3个细胞，在自然状态下每天每个细胞由1个分裂为2个，分裂后新旧细胞每天死去2个，1天后有细胞4个，2天后有细胞6个，依此类推，10天后有多少个细胞？
38．如下图在一些大小相等的正方形内分别排列着一些同样大小的圆。
（1）请观察上图并填写下表。
图形编号 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 图（6）
圆的个数
（2）你能试着表示出第n个正方形中圆的个数吗？用你发现的规律计算出第18个图形中有多少个圆。
39．学校一年一度的艺术节即将开幕，五（2）班的节目是一个团体操表演。在排练时，同学们排成了下面的队形。廖老师觉得阵容不够大，所以她决定再增加一些人参加团体操表演，但是要保持队伍形状不变，至少应该增加多少人？
40．元旦联欢晚会上，大家围坐在一起，一张桌子可以围坐6个人，两张桌子拼起来可以围坐10个人，如下图所示。
（1）每多一张桌子，可多坐（ ）人，按此规律，n张桌子可坐（ ）人。
（2）五（1）班有54人，至少需要多少张桌子？
41．为庆祝国庆，某学校举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如下图所示。
(1)按照上面的规律，摆6条“金鱼”需要( )根火柴棒，摆n条“金鱼”需要( )根火柴棒。
(2)如果要摆4组“金鱼”，每组摆8条，按照上面的摆法，需要准备( )根火柴棒。
(3)准备88根火柴棒最多能摆( )条这样的“金鱼”。
42．餐馆内有一种长方形桌子，每张桌子周围放4把椅子，如果客人多，就按如图所示的方式拼桌。
现有14位客人要坐在一起，一共需要拼几张桌子？（可以选择画一画或算一算等方法）
43．现有a（a＞50）根长度相同的小棒，按图1摆放恰好可以摆成2m个三角形，按图2摆放恰好可以摆成2n个小正方形。
（1）求a的最小值；
（2）若这a根小棒还可以按图3恰好摆成p个五边形，且a＜200，求a的最大值。
44．把棱长为2cm的小正方体摆放在地面上。
（1）如果按图1方式摆放50个这样的小正方体，有几个面露在外面？露在外面的面积是多少平方厘米？
（2）如果按图2方式摆放49个这样的小正方体，有几个面露在外面？露在外面的面积是多少平方厘米？
45．一个人从中央标有0的位置出发，先向东、向北各走1米，再向西、向南各走2米，再向东、向北各走3米，再向西、向南各走4米……如此继续下去，他每走1米，就把所走的路程累计数标出（如图），当他走到距中央正东200米处时，他共走了多少米？
46．材料：数形结合是一种重要的数学思想方法。在我国，“数形结合”最早出现在数学家华罗庚撰写的科普读物《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的一首词中：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”这首词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质。
（1）如下图，你能利用数形结合的知识发现（a＋b）（a－b）与a2－b2之间的关系吗？利用你所学的面积计算的知识，探索一下。
（2）
观察上面的点阵图规律，请问第（5）个有（ ）个点，第（7）个有（ ）个点。
那么：第（n）个点阵图有多少个点？请根据数与形结合的规律，分析和归纳，并表达你总结的方法。
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参考答案与试题解析
1．C
【分析】第1个图形的小棒数为3根，即2×1＋1；第2个图形的小棒数为5根，即2×2＋1；第3个图形的小棒数为7根，即2×3＋1；……第⑥个图形用的小棒数为：2×6＋1，据此解答。
【解析】2×6＋1
＝12＋1
＝13（根）
第⑥个图形用13根小棒。
故答案为：C
2．A
【分析】观察可知，1张桌子可坐（人），2张桌子可坐（人），可得规律4×桌子数＋2＝能坐的人数，将字母n代入算式进行分析。
【解析】1张桌子坐： （人）
2张桌子坐： （人）
以此类推，按照题图中的摆放规律，n张桌子能坐（4n＋2）人。
故答案为：A
3．A
【分析】观察图形可知：第1个图中〇有1个，没有□；第2个图中〇有3个，1个□（1×1）；第3个图中〇有5个，4个□（2×2）；第4个图中〇有7个，9个□（3×3）……可以发现□的个数是〇个数去掉左下角一个后，数列〇数乘横排〇数，且数列〇数等于横排〇数。
【解析】〇的个数有25个时，去掉左下角1个〇：25－1＝24（个）
24÷2＝12（个）
所以□的个数为：12×12＝144（个）
故答案为：A
4．B
【分析】观察图形，发现从左一开始5个图形构成一个循环，故看207个图形有几个循环，有余数时，余数是几就从左起数几即可。
【解析】207÷5＝41（组）……2（个）
所以，第207个图形是◇。
故答案为：B
5．B
【分析】序号1三角形的个数是（1＋2＋3）×1，序号2三角形的个数是（1＋2＋3）×2，序号3三角形的个数是（1＋2＋3）×3，序号4三角形的个数是（1＋2＋3）×4……序号n三角形的个数是（1＋2＋3）×n，由此可知，当有48个三角形时，（1＋2＋3）×n＝48，求出n的结果即可解答。
【解析】由题意可知：序号n三角形的个数是（1＋2＋3）×n
（1＋2＋3）×n＝48
解：6n＝48
6n÷6＝48÷6
n＝8
所以序号是8的图形中一共有48个三角形。
故答案为：B
6．C
【分析】①根据长方形的面积＝长×宽列式；②根据总价＝单价×个数，用乘法求出买签字笔的钱数，然后加上买橡皮花的钱数；③第几层就有几乘2个△，再加上1个▲就是那一层的三角形个数，由此列加法算式；最后判断表达式的正误即可解答。
【解析】①图形面积（y＋1）×2＝2y＋2；
②一共花了（2y＋1）元；
③第y层有（2y＋1）个三角形；
所以三个情境中的问题能用“2y＋1”表示的是②③。
故答案为：C
7．C
【分析】根据“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21、28、36、45…，“正方形数”的规律为1、4、9、16、25、36、49…，且任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，据此逐项判断即可。
【解析】A．13＝3＋10，3和10不是相邻的“三角形数”，不符合题意。
B．25＝9＋16，9和16都不是“三角形数”，不符合题意。
C．36＝15＋21，15和21是相邻的“三角形数”，且36是“正方形数”，符合题意。
D．49＝18＋31，18和31都不是“三角形数”，不符合题意。
古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”，从图中可以发现，符合这一规律的是36＝15＋21。
故答案为：C
8．C
【分析】观察可知，搭1顶帐篷，需要17根钢管，即1×11＋6；搭2顶帐篷，需要28根钢管，即2×11＋6；搭3顶帐篷，需要39根钢管，即3×11＋6……搭n顶帐篷，需要的钢管根数为：n×11＋6＝11n＋6。据此解答。
【解析】搭5顶帐篷，需要钢管的根数是11×5＋6
＝55＋6
＝61（根）
如果想串起来搭建5顶帐篷，需要钢管的根数是61根。
故答案为：C
9．C
【分析】观察图形可知，方格图的左边一个圆表示1，右边一个圆表示5。找出方格图能表示的最小的数和最大的数，据此可知最多能表示出几个不同的自然数。
【解析】
如图：，左边1个圆表示1，所以方格图能表示的最小的数是1；
如图：，左边4个圆表示4，右边4个圆，表示5×4＝20，所以方格图能表示的最大的数是24；
综上所述，方格图能表示的数是1～24，最多能表示出24个不同的自然数。
故答案为：C
10．A
【分析】观察图形可知：
第1幅图用火柴棒8根，8＝1×6＋2；
第2幅图用火柴棒14根，14＝2×6＋2；
第3幅图用火柴棒20根，20＝3×6＋2；
……
规律：第n幅图用（6n＋2）根火柴棒；
据此规律解答。
【解析】规律：第n幅图用（6n＋2）根火柴棒。
当n＝7时
6n＋2
＝6×7＋2
＝42＋2
＝44（根）
第7幅图用44根火柴棒。
故答案为：A
11．19
【分析】仔细观察可以发现，每增加一个正方形增加3根小棒，摆1个正方形需要4根小棒，摆2个正方形需要（4＋3×1）根小棒，摆3个正方形需要（4＋3×2）根小棒……则摆6个正方形需要（4＋3×5）根小棒.。据此解答。
【解析】4＋3×5
＝4＋15
＝19（根）
所以摆6个同样的正方形需要小棒19根。
12．20 3n＋2
【分析】从图中可知，摆1个、2个、3个小正方体分别有5个、8个、11个面露在外面，发现每增加一个小正方体，露在外面的面就会增加3个，据此找出规律，并按规律解答。
【解析】观察图形可知：
摆1个小正方体有5个面露在外面，5＝1×3＋2；
摆2个小正方体有8个面露在外面，8＝2×3＋2；
摆3个小正方体有11个面露在外面，11＝3×3＋2；
……
摆6个小正方体露在外面的面有：
3×6＋2
＝18＋2
＝20（个）
……
规律：摆n个小正方体露在外面的面有（3n＋2）个。
填空如下：
摆6个小正方体有（20）个面露在外面，摆n个小正方体有（3n＋2）个面露在外面。
13．7 79
【分析】如图所示的这种“首尾相接”的拼法中，每添加一个三角形（与已有图形共享一条边）时，周长只增加1 cm，则
1个三角形组成的图形周长是3cm，
2个三角形组成的图形周长是4cm，
3个三角形组成的图形周长是5cm，
4个三角形组成的图形周长是6cm，
5个三角形组成的图形周长是7cm，
……
n个三角形组成的图形周长是（2＋n）cm。
【解析】根据分析可知：n个三角形组成的图形周长是（2＋n）cm，
所以，5 个三角形的周长是： 2＋5＝7（厘米）；
又因周长是 81 cm，则2 ＋ n ＝ 81，解得n＝81－2＝79，
所以，由边长为1cm的三角形组成新图形，5个三角形组成的图形周长是7cm，79个三角形组成的图形周长是81cm。
14．25
【分析】观察可知，第1幅图由1个小正方形拼成，第2幅图由（1＋3）个小正方形拼成，第3幅图由（1＋3＋5）个小正方形拼成，可知第4幅图由（1＋3＋5＋7）个小正方形拼成，第5幅图由（1＋3＋5＋7＋9）个小正方形拼成。
【解析】（个）
第5个图形是由25个小正方形拼成的。
15．13 （n＋1）2－n2
【分析】根据题中给的规律，第几个图形的涂色数量，就是两个相邻的数的平方相减即可；第几个图形，第一个数就是几加1的平方，第二个数就是几的平方，即第n个图形的涂色小正方形的个数：（n＋1）2－n2，据此即可填空。
【解析】第6个图形：
72－62
＝49－36
＝13（个）
第6个图形有13个涂色小正方形，第n个图形有（n＋1）2－n2个涂色小正方形。
16．30 3n＋3
【分析】注意观察前三幅图形中圆点的个数可以发现分别为：6，9，12，后一个图形中的圆点个数比前一个图形中圆点多3，所以原点总数S与第n幅图之间的关系用字母表示为：S＝3（n＋1）＝3n＋3，据此解答即可。
【解析】第一幅图有6＝3×（1＋1）个圆点；
第二幅图有9＝3×（2＋1）个圆点；
第三幅图有12＝3×（3＋1）个圆点；
第四幅图有3×（4＋1）＝15个圆点；
……
第9幅图有3×（9＋1）＝30个圆点；
……
第n幅图有3（n＋1）＝（3n＋3）个圆点；
因此，第9幅图中共有30个●，第n幅图中共有（3n＋3）个●。
17．(1)6n＋2
(2)
【分析】（1）搭1条“金鱼”需8根火柴，搭2条“金鱼”需14根火柴，搭3条“金鱼”需20根火柴……，发现每增加1条“金鱼”，火柴增加6根，从中找出规律，并用含字母的式子表示规律。
（2）求50根小棒可以摆多少条“金鱼”，令6n＋2＝50，根据等式的性质求出方程的解即可。
【解析】（1）图①，搭1条“金鱼”需8根火柴，8＝1×6＋2；
图②，搭2条“金鱼”需14根火柴，14＝2×6＋2；
图③，搭3条“金鱼”需20根火柴，20＝3×6＋2；
……
照这样的规律摆下去，搭n条“金鱼”需要（6n＋2）根火柴。
（2）6n＋2＝50
解：6n＋2－2＝50－2
6n＝48
6n÷6＝48÷6
n＝8
当摆到第50根小棒时，小明已经搭好了（8）条“金鱼”。
18．11 4049
【分析】由图可知：每个图形阴影部分的面积＝大正方形面积－空白部分正方形面积。假设大正方形边长为a（a为整数），空白正方形边长则为（a－1），阴影部分面积S＝a2－（a－1）2，即两个相邻自然数的平方差；由算式可知：两个相邻自然数的平方差其结果为两个相邻自然数的和，据此解答。
【解析】6＋5＝11；2025＋2024＝4049。
19．14 36
【分析】第1个图形有4个黑色方块，即（1＋1）×2个；第2个图形有6个黑色方块，即（2＋1）×2个；第3个图形有8个黑色方块，即（3＋1）×2个；根据图形的变化规律，第n个图中黑色方块有：（n＋1）×2个；已知一共有多少个黑色方块，先用黑色方块数除以2，再减1，即可求出是第几个图形；据此解答。
【解析】（6＋1）×2
＝7×2
＝14（个）
74÷2－1
＝37－1
＝36（个）
因此第6个图形中有14个黑色方块；有74个黑色方块的是第36个图形。
20．25 27 3n
【分析】观察图形可知：摆第1个图形需要1个小三角形，摆第2个图形需要4个小三角形，摆第3个图形需要9个小三角形，而1＝12，4＝22，9＝32，由此可得：小三角形的个数＝图形序数的平方，据此用5乘5即可求出摆第5个图形需要多少个小三角形。
第1个图形的周长是1×3＝3（cm），第2个图形的周长是2×3＝6（cm），第3个图形的周长是3×3＝9（cm），由此可得：图形的周长＝图形的序数×3，据此求出第9个和第n个图形的周长。
【解析】通过分析可得：小三角形的个数＝图形序数的平方
图形的周长＝图形的序数×3
52＝25（个），则摆第5个图形需要25个小三角形；
9×3＝27（cm），则第9个图形的周长是27cm，第n个图形的周长是3ncm。
21．17 1＋4n/4n＋1 91
【分析】观察可知规律，第1个图案有张正方形纸片，第2个图案有张正方形纸片，第3个图案有张正方形纸片，第4个图案有张正方形纸片第n个图形有张正方形纸片，设第个图案中恰好有365张这样的纸片，根据规律可知等量关系式1＋4＝365，据此求解即可。
【解析】
（张）
解：设第个图案中恰好有365张这样的纸片。
据分析可知，正方形纸片按规律拼成如下的图案，第1个图案有5张正方形纸片，第4图案有17张正方形纸片，第n个图形有（1＋4n）或（4n＋1）张正方形纸片，第91个图案中恰好有365张这样的纸片。
22．33
【分析】根据题图可知，每增加一个框就增加4个点，第n个框里有4（n－1）＋1＝（4n－3）个点，再将n＝9代入含字母的式子解答即可。
【解析】由分析可知：第n个框里有4（n－1）＋1＝（4n－3）个点，把n＝9代入4n－3，得：
4×9－3
＝36－3
＝33（个）
所以第9个框里有33个点。
23．黑 64
【分析】自上而下一层层排列下去，奇数层排列的是白色的正方形，偶数层排列的黑色的正方形，据此确定第8层排列正方形的颜色；第一层有1个正方形，第2层有3个正方形，第3层有5个正方形，以此类推，下面一层均比它的上面一层增加2个正方形，也就是将（1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15）依次加起来，所得结果即为8层共有的正方形个数。
【解析】第8层是偶数层，因此第8层是黑色的正方形。
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝64（个）
因此8层共有64个正方形。
24．28 36
【分析】观察图形可知：
第1个正方形数是4（4＝2×2），4＝1＋3，其中第一个加数是1，第二个加数是3＝1＋2；
第2个正方形数是9（9＝3×3），9＝3＋6，其中第一个加数是3＝1＋2，第二个加数是6＝1＋2＋3；
第3个正方形数是16（16＝4×4），16＝6＋10，其中第一个加数是6＝1＋2＋3，第二个加数是10＝1＋2＋3＋4；
……
发现规律：如果正方形数＝n×n，则这个正方形数＝（1＋2＋3＋…＋n－1）＋（1＋2＋3＋…＋n），据此规律解答。
【解析】64＝8×8
1＋2＋3＋…＋6＋7
＝（1＋7）×7÷2
＝8×7÷2
＝28
1＋2＋3＋…＋7＋8
＝（1＋8）×8÷2
＝9×8÷2
＝36
所以，64＝28＋36。
这两个“三角形数”分别是（28）和（36）。
25．22 3n＋2
【分析】仔细观察图形可以发现，每增加一个图形，白色正方形增加3个，第1个图形有4个白色正方形，第2个图形有（4＋3）个白色正方形，第3个图形有（4＋3×2）个白色正方形……第7个图形有（4＋3×6）个白色正方形；第一个图形有5个黑色正方形，每增加1个图形，黑色正方形增加3个，摆n个图形，增加（n－1）个图形，即摆n个图形需要[5＋3×（n－1）]个黑色正方形。据此解答。
【解析】由分析可知：摆第7个图形需要白色正方形：
4＋3×6
＝4＋18
＝22（个）
摆n个图形需要黑色正方形：
5＋3×（n－1）
＝5＋3n－3
＝（3n＋2）个
所以摆第7个图形需要22个白色正方形，摆n个图形需要（3n＋2）个黑色正方形。
26．√
【分析】2条直线相交，最多有1个交点。3条直线两两相交，最多增加2个交点，最多有3个交点。1＋2＝3个。4条直线两两相交，最多增加3个交点，最多有6个交点。1＋2＋3＝6个。5条直线两两相交，最多增加4个交点，最多有10个交点。1＋2＋3＋4＝10个。6条直线两两相交，最多增加5个交点，最多有15个交点。1＋2＋3＋4＋5＝15个。根据以上规律可知，n条直线两两相交，最多有1＋2＋3＋4＋…＋（n－1）个交点。
【解析】由分析可知：
1＋2＋3＋4＋5
＝3＋3＋4＋5
＝6＋4＋5
＝10＋5
＝15（个）
则同一平面内的6条直线，最多有15个交点。原题干说法正确。
故答案为：√
27．√
【分析】观察可知，分子从1开始不断加1，直到分子只比分母小1，然后分母加1，分母加1后，分子继续从1开始不断加1，直到分子只比分母小1，然后分母加1，据此规律进行分析。
【解析】1＋1＝2
找规律：、、、、、、、，括号里应填，原题说法正确。
故答案为：√
28．√
【分析】由图可知，第1个图形一共有9个方块，可以写成：3×[3＋2×（1－1）]个方块；
第2个图形一共有15个方块，可以写成：3×[3＋2×（2－1）]个方块；
第3个图形一共有21个方块，可以写成：3×[3＋2×（3－1）]个方块；
…
第n个图形一共有3×[3＋2×（n－1）]个方块；
第1个图形一共有1个黑色方块，第2个图形一共有2个黑色方块，第3个图形一共有3个黑色方块……则第n个图形有n个黑色方块；
白色方块的数量＝方块的总数量－黑色方块的数量，据此求出第10个图形中黑色方块和白色方块，再进行比较，即可解答。
【解析】根据分析可知，第10个图形方块有：
3×[3＋2×（10－1）]
＝3×[3＋2×9]
＝3×[3＋18]
＝3×21
＝63（个）
黑色方块有10个；
白色方块有：63－10＝53（个）
照这样画下去，第10个图形中黑色方块有10个，白色方块有53个。
原题干说法正确。
故答案为：√
29．√
【分析】这组数据每相邻的两个数之间的差分别是1、3、5、7、9、11、13……，根据这个规律可以知道第七个数字和第八个数字分别是多少。
【解析】第七个数字：
第八个数字：
故答案为：√
30．×
【分析】算式中两个因数都相同，且每个数位上的数都是9，通过观察发现，积前面几位9的个数比因数9的个数少一个，积写完几个9之后，就是数字8，接着是0，积中0的个数比因数9的个数少1个，积最后一位是数字1，据此解答。
【解析】根据99×99＝9801，999×999＝998001，9999×9999＝99980001，可以直接得出99999×99999＝9999800001，原题说法错误。
故答案为：×
31．√
【分析】连续几个奇数的和等于奇数的个数的平方。据此判断即可。
【解析】由分析可知：
1＋3＋5＋7＋9＋…15＝82＝8×8＝64。原题干说法正确。
故答案为：√
32．√
【分析】观察数列可知，由、、、、，这几个数从第二个数起，每个分数的分子是前一个数的分母，而分母都比分子多1，那么数列整体呈现出分数单位越来越小，分子越来越大的规律，因此越来越接近1；据此解答。
【解析】根据分析，、、、、…，这列数越来越大，越来越接近1，说法正确；
故答案为：√
33．√
【分析】观察数列，奇数项是1、2、3…，从1开始依次递增，所以第7项是4，第9项是5，偶数是5、15、25…，15－5＝10，25－15＝10，后一项比前一项多10，所以第8项＝25＋10＝35，第10项＝35＋10＝45。据此解答。
【解析】根据分析得，第10项＝25＋10＋10＝45。
故答案为：√
34．
【分析】观察每个分数，其分子都是1，分母是两个相邻自然数相乘的形式；先把每个分数写成两个分数相减的形式，即（，）；中间的分数可以相互抵消，据此解答。
【解析】
35．（1）49；（2）8008
【分析】（1）计算规律：从1开始，几个连续奇数相加，和等于加数个数的平方，据此计算即可；
（2）103＋205＝105＋203……，一共有（52÷2）组，据此解答即可。
【解析】（1）
（2）
36．（1）；（2）165
【分析】（1）将拆成（1－），拆成（－），拆成（－），拆成（－），拆成（－），再去括号，括号前边是减号，去掉括号，括号里的减号变加号，前边抵消后，只剩下，据此计算；
（2）可以将数列分为5对数， 每对数的和都是30，即（5＋25）＋（7＋23）＋（9＋21）＋（11＋19）＋（13＋17） ， 除了中间的15，先计算出5对数的和，再加上15即可。
【解析】（1）
＝
＝
＝
（2） 5＋7＋9＋11＋13＋…＋25
＝（5＋25）＋（7＋23）＋（9＋21）＋（11＋19）＋（13＋17）＋15
＝30×5＋15
＝150＋15
＝165
37．1026个
【分析】第一天后：3×2－2＝4（个）＝（21＋2）个
第二天后：4×2－2＝6（个）＝（22＋2）个
第三天后：6×2－2＝10（个）＝（23＋2）个
第四天后：10×2－2＝18（个）＝（24＋2）个
……
第10天后：（29＋2）×2－2＝（210＋2）个
【解析】210＋2
＝2×2×2×2×2×2×2×2×2×2＋2
＝4×4×4×4×4＋2
＝16×16×4＋2
＝256×4＋2
＝1024＋2
＝1026（个）
答：10天后有1026个细胞。
38．（1）1；4；9；16；25；36
（2）n2；324个
【分析】（1）通过观察图，可以发现圆的个数依次增加。得出规律如下
图（1）中圆的个数：1＝1×1＝1 ；
图（2）中圆的个数：4＝2×2＝2 ；
图（3）中圆的个数：9＝3×3＝3 ；
……
图（n）中圆的个数：n×n＝n 。
因此可得：
图（4）中圆的个数：4 ＝16；
图（5）中圆的个数：5 ＝25；
图（6）中圆的个数：6 ＝36；
（2）由（1）可得，第n个正方形中圆的个数是n ，通过发现的规律计算出第18个图形中有18 个圆，据此解答。
【解析】（1）填表如下：
图形编号 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 图（6）
圆的个数 1 4 9 16 25 36
（2）n×n＝n
18 ＝18×18＝324（个）
答：第n个正方形中圆的个数是n ，第18个图形中有324个圆。
39．9人
【分析】观察队形可知，原来的队形第一排有1人，第二排有2人，……，总人数是1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝4×4＝16（人），要保持队形不变，人数增加最少，第五排应有5人，总人数可以变成1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝5×5＝25（人），增加人数就是25－16＝9（人）。
【解析】1＋2＋3＋4＋3＋2＋1
＝4×4
＝16（人）
1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1
＝5×5
＝25（人）
25－16＝9（人）
答：至少应该增加9人。
40．（1）4；4n＋2
（2）13张
【分析】（1）先观察图形，找出桌子数量和能坐人数之间的规律。通过对比一张桌子、两张桌子能坐的人数，来确定每多一张桌子多坐的人数。
一张桌子可以围坐：4×1＋2＝4＋2＝6（人）
两张桌子拼起来可以围坐：4×2＋2＝8＋2＝10（人）
三张桌子拼起来可以围坐：4×3＋2＝12＋2＝14（人）
四张桌子拼起来可以围坐：4×4＋2＝16＋2＝18（人）
……
n张桌子拼起来可以围坐：4×n＋2＝（4n＋2）人
一张桌子可以围坐6个人，两张桌子拼起来可以围坐10个人，10－6＝4（人），所以每多一张桌子，可多坐 4 人。
（2）五（1）班有54人，设至少需要x张桌子，由（1）可得4x＋2＝54，解出方程，即可求出五（1）班有54人，至少需要多少张桌子。
【解析】（1）由分析可得：每多一张桌子，可多坐4人，按此规律，n张桌子可坐（4n＋2）人。
（2）解：设至少需要x张桌子。
4x＋2＝54
4x＝54－2
4x＝52
x＝52÷4
x＝13
答：五（1）班有54人，至少需要13张桌子。
41．(1) 38 6n＋2
(2)200
(3)14
【分析】（1）根据题意分析可得：摆1条金鱼需8根火柴棒，此后，每条金鱼都比前一条金鱼多用6根，故按照上面的规律，摆n条“金鱼”需用火柴棒的根数为8＋（n－1）×6根；据此解答。
（2）根据（1）求出8条金鱼需要多少根火柴棒，即一组需要多少根火柴棒，进而求出4组需要的火柴棒。
（3）我们需要用88根火柴棒减去2根火柴棒，因为第一条金鱼用的是8根火荣棒。其余都是用的6根。所以减去第一条多的2根，再除以6，就可以得到88根火柴最多可以摆多少这样的金鱼。当剩下不足6根火柴棒是不能组成一条“金鱼”。
【解析】（1）8＋（6－1）×6
＝8＋5×6
＝8＋30
＝38（根）
8＋（n－1）×6
＝8＋（6n－6）
＝8＋6n－6
＝（6n＋2）根
按照上面的规律，摆6条“金鱼”需要38根火柴棒，摆n条“金鱼”需要（6n＋2）根火柴棒。
（2）当n＝8时，
6n＋2
＝6×8＋2
＝48＋2
＝50（根）
50×4＝200（根）
如果要摆4组“金鱼”，每组摆8条，按照上面的摆法，需要准备200根火柴棒。
（3）（88－2）÷6
＝86÷6
≈14（条）
准备88根火柴棒最多能摆14条这样的“金鱼”。
42．6张
【分析】根据题意可知1张桌子4个人，2张桌子6个人，3张桌子8个人，可得到规律：每多1张桌子，会多2人，先用14－4求出第一张桌子坐满后多的人数，再除以2即可求出需要多加多少张桌子，再加上1即为一共需要拼几张桌子。据此解答即可。
【解析】14－4＝10（人）
10÷2＝5（张）
5＋1＝6（张）
答：一共需要拼6张桌子。
43．（1）57；（2）177
【分析】（1）对图1分析：
m＝1时，就是有2个三角形时，需要5＝1＋4根小棒；
m＝2时，就是有4个三角形时，需要9＝1＋4×2根小棒；
m＝3时，就是有6个三角形时，需要13＝1＋4×3根小棒；
……
需要小棒的数量＝1＋4m。
对图2分析：
n＝1时，就是2个正方形时，需要7＝2＋5根小棒；
n＝2时，就是4个正方形时，需要12＝2＋5×2根小棒；
n＝3时，就是6个正方形时，需要17＝2＋5×3根小棒；
……
需要小棒的数量＝2＋5n。
摆成两种图形小棒的数量是一样的，则
a＝1＋4m＝2＋5n，a的值大于50，则m最小13，n最小是10，且m、n、a都是整数。当m＝13时，n＝10.2不符合；m＝14时，n＝11符合。
（2）分析图3：
p＝2时，就是有2个五边形，需要小棒9根小棒；
p＝4时，就是有4个五边形，需要小棒15＝3×4＋3根小棒；
p＝6时，就是有6个五边形，需要小棒21＝3×6＋3根小棒；
……
需要小棒的根数＝3p＋3＝3（p＋1），即a的值是3的倍数，在满足（1）的情况下，a的取值是：57、77、97、117、137、157、177，
其中77、97、137、157不是3的倍数，57、117、177是3的倍数。
【解析】（1）摆成三角形需要小棒的数量：1＋4m。
摆成正方形需要小棒的数量：2＋5n。
1＋4m＝5n＋2
4m＝5n＋1
m＝
当m＝14，n＝11时，
1＋4×14
＝1＋56
＝57（根）
答：a的最小值57根。
（2）a＝3（p＋1）
a的取值是：57、77、97、117、137、157、177，
57、117、177是3的倍数，177最大。
答：a的最大值177根。
44．（1）152个；608平方厘米；
（2）77个；308平方厘米
【分析】（1）按照图1的方式摆放，就是2个正方体放在一起摆放，一层一层的往上叠加。一层是前后各有2个，就是4个，上面是2个，左右各1个，就是2个。二层是前后各2×4＝8个，上面是2个，左右各2个就是2×2＝4个。第三层是前后共3×4＝12个，上面是2个，左右共3×2＝6个。也就是每增加一层前后就多4个，左右就多2个，上面的不变。根据这样的规律，每2个为一组，50个正方体就有25层小正方体，就有25层4个的前后小正方形，25层2个的左右小正方形，再加上2个上面的小正方形。就有152个面露在外面，一个正方体的一个正方形面的面积＝棱长×棱长。即152个小正方形的面积＝152×每个正方形的面积。
（2）按照图2的方式摆放，一层只有1个正方体，是5个面露在外面。二层是每边放2个，一共4个，上面是2×2＝4个，前后左右4个面，每个面是2个。第三层每边是3个，一共9个，上面是3×3＝9个，前后左右4个面，每个面是3个。根据以上的规律，49个小正方体就是每边7个，上面是7×7＝49个，前后左右每一面是7个，一共有28个面，合在一起就是77个面。即77个小正方形的面积＝77×每个正方形的面积。
【解析】（1）50÷2＝25（组）
2＋25×4＋25×2
＝2＋100＋50
＝152（个）
152×2×2＝608（平方厘米）
答：有152个面露在外面，露在外面的面积是608cm2。
（2）49＝7×7
7×7＋4×7
＝49＋28
＝77（个）
2×2×77＝308（平方厘米）
答：有77个面露在外面，露在外面的面积是308平方厘米。
45．159400米
【分析】观察右下角拐弯处的数的规律：第1个拐弯处为1＝12＝（1×2－1）2；第2个拐弯处为9＝32＝（2×2－1）2；第3个拐弯处为25＝52＝（3×2－1）2；……因此第n个拐弯处的数为（2n－1）2，再加上n－1即可求出距离正东n米时一共走了多少米；所以第200个拐弯处时，已经走了[（200×2－1）2]米，再往北走199米就可以到距中央正东200米处；所以用（200×2－1）2＋199即可求出走到距中央正东200米处时共走的米数。
【解析】（200×2－1）2＋（200－1）
＝（400－1）2＋199
＝3992＋199
＝159201＋199
＝159400（米）
答：他共走了159400米。
46．（1）相等；过程见详解
（2）18；24；（3n＋3）个；过程见详解
【分析】
（1）利用长方形和正方形面积公式，长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，如图，红色长方形的长（a＋b），宽（a－b），面积（a＋b）（a－b）；，边长a的正方形面积－边长b的正方形面积＝ a2－b2，只要说明两个黄色部分的面积相等即可发现（a＋b）（a－b）与a2－b2是相等的。
（2）观察可知，点的个数＝第几个图形就用几×3＋3，据此分析。
【解析】
（1）如图，①＋②是个长方形，长（a＋b），宽（a－b），面积：（a＋b）（a－b）；①＋③的面积：a2－b2。长方形②的长＝（a－b），宽＝b，面积：（a－b）b；长方形③的长＝（a－b），宽＝b，面积：（a－b）b，即②＝③，所以①＋②＝①＋③，即（a＋b）（a－b）＝a2－b2。
（2）如图将最左侧3个点圈起来，右边斜着每列3个点，第几个图形就有斜着几列。
第（1）个点阵图：1×3＋3＝3＋3＝6（个）
第（2）个点阵图：2×3＋3＝6＋3＝9（个）
第（3）个点阵图：3×3＋3＝9＋3＝12（个）
第（4）个点阵图：4×3＋3＝12＋3＝15（个）
第（5）个点阵图：5×3＋3＝15＋3＝18（个）
第（6）个点阵图：6×3＋3＝18＋3＝21（个）
第（7）个点阵图：7×3＋3＝21＋3＝24（个）
……
第（n）个点阵图：n×3＋3＝（3n＋3）个
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