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浙江省丽水市龙泉市2025年5月第二学期九年级适应性考试（二）数学试题卷（二模）
1．（2025·龙泉二模）下表记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（　　）
北京 上海 天津 重庆
-4.6℃ 5.8℃ -3.2℃ 8.1℃
A．北京 B．上海 C．天津 D．重庆
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：由表格中的数据可得，北京与天津的气温都是0℃以下，需要比较-4.6与-3.2大小，负数比较大小时，绝对值大的数反而小，，，4.6＞3.2，因此-4.6＜-3.2，A正确.
故答案为：A.
【分析】本题考查有理数比较大小的方法，负数小于正数，且绝对值大的负数反而小，根据该方法即可判断气温最低的地方。
2．（2025·龙泉二模）如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故答案为：D．
【分析】根据简单组合体的三视图即可求出答案.
3．（2025·龙泉二模）2025年春节假期第四天，杭州西湖景区接待客流量约为580000人次，580000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示较大的数时，可表示成a（1≤a＜10）与10的幂相乘的积的形式.
A、a=0.58＜1，不符合科学记数法的表达要求，A错误；
D、a=58＞10，不符合科学记数法的表达要求，D错误；
B、与原来的数不相符，B错误.
故答案为：C.
【分析】使用科学记数法表示较大的数，应按照要求表示为a（1≤a＜10）与10的幂相乘的积的形式。用科学记数法表示后，也应与原数进行对照，看看是否与原数相等。
4．（2025·龙泉二模） 下列运算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能进行合并，A错误；
B、，B错误；
C、，C正确.
D、，D错误.
故答案为：C.
【分析】本题考查整式的幂运算，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；积的乘方等于乘方的积
5．（2025·龙泉二模）某市测得一周PM2.5的日均值（单位：微克每立方米)为：50，40，75，50，37，50，40。这组数据的众数是（　　）
A．75 B．50 C．40 D．37
【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。由已知条件中的数据可得，“50”出现了3次，“40”出现了2次，因此，这组数据的众数为50，B正确.
故答案为：B.
【分析】本题考查“众数”这一统计量的概念，一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数，根据众数的概念即可求解。
6．（2025·龙泉二模）如图，在直角坐标系中，△OCD与△OAB是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为3。则点A（2，-1）的对应点C的坐标为（　　）
A．（-6，3) B．（6， -3) C．（-3，6) D．（3，-6)
【答案】A
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵位似中心为原点O，位似比为3
∴点A（2，-1）的对应点C的坐标为（6，-3）或（-6，3）
∵由图象可得，点C在第二象限
∴C（-6，3），A正确.
故答案为：A.
【分析】当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为（x，y），位似图形与原图形的位似比为k，则位似图形上的对应点坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）。
7．（2025·龙泉二模）如图表示关于x的不等式x-a≤2的解，则a的值为（　　）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式的解集；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：∵x-a≤2
∴x≤2+a
∵数轴上x的取值范围是x≤-1
∴2+a=-1
∴a=-3，A正确。
故答案为：A.
【分析】能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，通过在数轴上表示不等式的解集，可以发现x≤-1，即可建立2+a与-1之间的关系，从而求出a的值。
8．（2025·龙泉二模）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，BM⊥CD，垂足为点M，BM交AC于点N，若OC=4，OD=2，则ON的长为（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴对角线AC、BD互相平分，且AC⊥BD
∵BM⊥CD
∴∠DCO=∠DBM
∵OC=4，OD=2 ∴
∴
∴ON=1，B正确.
故答案为：B.
【分析】利用菱形的形式可得菱形的对角线互相垂直，且BM⊥CD，可得∠DCO+∠ODC=90°，∠DBM+∠ODC=90°，所以∠DCO=∠DBM，再根据锐角三角函数发现线段数量关系，从而求出ON的长度。
9．（2025·龙泉二模） 已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则下列选项正确的是（　　）
A． B． C． D．或
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵与均在反比例函数的图象上
∴
∵
∴
由函数图象可得，当时，m＞2或m＜0，所以D正确.
故答案为：D.
【分析】本题可以利用反比例函数图象辅助问题解决， 反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的的增大而增大， 点 在反比例函数图象上，则，因此 转化为，从而求出m的取值范围。
10．（2025·龙泉二模） 在正方形 ABCD 中，， P 是对角线 AC上一动点，作 于点 E， 于点 F。若四边形 PFDE 的面积为 6，则 BP的长为（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；一元二次方程的应用-几何问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连结PD
∵四边形ABCD为正方形
∴∠DAC=45°，∠D=90°
∵PE⊥AD，PF⊥CD
∴四边形EPFD为矩形
易证得△APB≌△APD ∴BP=PD
设AE=a，则EP=a，ED=6-a
∵∴，解得
在Rt△EDP中，
当时，，则
当时，，则
∴，C正确.
故答案为：C.
【分析】由正方形ABCD的性质可得△AEP是等腰直角三角形，四边形EPFD是矩形，因此矩形的面积为6可以转化为EP×PF=6，而EP=AE，AE+ED=6，设AE=a，则需解关于a的一元二次方程，连结PD后，易证得△APB≌△APD ，所以BP=PD，在Rt△EDP中，利用勾股定理，即可求出PD的长度，因此可以得到PB的长度。
11．（2025·龙泉二模）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=a（a+5），
故答案为：a（a+5）.
【分析】先找出公因式a，然后再提公因式即可。
12．（2025·龙泉二模）一个布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中有3个红球，2个白球，从布袋里随机摸出一个球，则摸出白球的概率为　 　。
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵布袋里的5个球只有颜色不同
∴随机摸取一个球，每一个球被摸到的可能性相同
∴.
故答案为：.
【分析】本题考查简单事件的概率，事件发生的各种结果可能性相同且互相排斥，即布袋中每个球只有颜色不同，且随机摸出一个球，结果总数为n，布袋中有5个球，事件A包含其中结果数为m（m≤n），即布袋中有2个白球，因此可得。
13．（2025·龙泉二模）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切，B为切点，连结AC。若BC=3，AC=5，则直径AB的长为　 　。
【答案】4
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵ AB是⊙O的直径 ，AB与 ⊙O相切， B为切点
∴AB⊥BC，即∠ABC=90°
在Rt△ABC中，.
故答案为：4.
【分析】直线与圆相切时，根据切线的性质定理得到AB⊥BC，再根据勾股定理计算出AB的长度即可。
14．（2025·龙泉二模）若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m=　 　。
【答案】1
【知识点】根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根
∴
∵a=1，b=2，c=m
∴，解得m=1.
故答案为：1.
【分析】一元二次方程的根由代数式的值来决定，因为一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，所以，由一元二次方程的一般形式可以分别确定a、b、c，代入，可得，从而求出m的值。
15．（2025·龙泉二模）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E。已知∠ABC=60°，∠C=45°，CE=，则 BC的长为　 　。
【答案】
【知识点】等腰直角三角形；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：∵AE⊥BC
∴△AEB与△AEC为直角三角形
∵∠C=45° ，∴∠EAC=180°-90°-45°=45° ∴
∵∠ABC=60° ∴
∴.
故答案为：.
【分析】根据垂直的意义可以得到△AEB与△AEC为直角三角形，再根据直角三角形中特殊的角度30°和45°，发现边之间的数量关系，从而求出BC的长度。
16．（2025·龙泉二模）如图，在□ABCD中，BC=3，CD=4，点E是CD边上的中点，将△ADE沿AE翻折得△AFE，连结BF，点B，F，E恰好在同一直线上，延长AF交BC于点G。则△BFG与四边形AGCD的面积比为　 　.
【答案】1：
【知识点】三角形全等的判定；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：延长BE，交AD的延长线于点H
∵四边形ABCD为平行四边形，E点为CD中点
易证得，则DH=BC，EH=BE
∵∠ADC=∠H+∠DEH，且∠ABC=∠ADC ∴∠EBC+∠ABE=∠H+∠DEH ∴∠ABE=∠DEH=∠BEC
∵△ADE沿AE折叠 ∴∠ADC=∠AFE ，AD=AF，DE=EF
∴∠AFB=∠C
在△AFB与△BCE中
∴
∵AB=4，BC=3
∴BE=4，EF=DE=BF=EC=2
∴HF=HA=6，BF=BG=2，CG=3-2=1
又∵∠DAG=∠AGB，∠AFH=∠BFG
∴△BFG∽△HFA ∴
∴ 若△BGF中BG边上的高为h，则△HAF中AH边上的高为3h
∴
故答案为：1：8.
【分析】通过添加辅助线构造，从而可以推得，则DH=CB=3，EH=EB=4，进而可得BF=BG=2，CG=1，又因为∠DAG=∠AGB，∠AFH=∠BFG
所以△BFG∽△HFA ，，最后根据相似三角形对应边的高之比等于相似比，可以计算△BFG与四边形AGCD的面积比。
17．（2025·龙泉二模）计算：
【答案】解：原式=2-2+3=3
【知识点】有理数的倒数；有理数的加、减混合运算；化简含绝对值有理数；求算术平方根
【解析】【分析】由可以计算，由二次根式的性质可得，由绝对值的性质可以计算，最后进行有理数的混合运算即可。
18．（2025·龙泉二模）先化简，再求值：，其中 。
【答案】解：原式=
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】在对分式进行化简时，应关注分母的形式，可以先对分母进行因式分解得，再进行通分，，根据分式有意义的条件，可得a≠±3，将分子分母进行约分后完成化简，再将a的值代入即可。
19．（2025·龙泉二模）如图，D是等边三角形ABC的边AB上一点，AD=2，BD=1，DE⊥AC，垂足为E。
（1）求 DE 的长。
（2）求 tan∠DCE的值。
【答案】（1）解：∵ 是等边三角形，∴，
∵，，∴，
（2）解：∵，，，∴，
∴
【知识点】等边三角形的性质；解直角三角形—含30°角直角三角形；求正切值
【解析】【分析】（1）通过等边三角形的性质可得∠A=60°，且AB=AC=BC，因为 AD=2，BD=1，所以等边三角形的边长为3，又因为DE⊥AC，所以根据60°角的特殊直角三角形三边关系，可以求出DE的长度。
（2），由第（1）题可得，AE=1，因为等边三角形的边长为3，所以EC=2，从而可得tan∠DCE的值。
20．（2025·龙泉二模）随着科技的进步，越来越多的学习软件进入我们的生活，帮助学生学习知识。某校对学生最喜爱的学习辅助软件进行了抽样问卷调查，调查问卷和统计结果描述如下：
“你最喜爱的学习辅助软件”调查问卷 问题：在以下五个软件中，你最喜爱的是____. （A)作业帮（B)橙果错题集 （C)小猿搜题（D)豆包（E)DeepSeek
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求本次调查中最喜爱豆包软件的学生人数，并补全条形统计图。
（2）已知该校有学生1500人，根据统计信息，估算该校最喜爱DeepSeek软件的学生人数。
【答案】（1）解：70÷35% =200(人)
200×15%=30(人)
（2）解：200-70-20-50-30 =30 (人)
x1500 =225(人)
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）将条形统计图与扇形统计图放在一起分析，既知道选A的人数由70人，又知道选A的同学占总人数的百分比为35%，因此可以计算出本次抽查的总人数，从而能够得到选D的同学人数。
（2）用样本估计整体时，需要先知道抽取的样本中最喜爱DeepSeek软件的学生所占比例，再计算该校总人数与样本中最喜爱DeepSeek软件的学生所占比例的乘积，即可估算出该校最喜爱DeepSeek软件的学生人数。
21．（2025·龙泉二模）如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD小丽：如图2，以点B为圆心，AD长为半径作弧，交边BC于点E，连结DE。
小明：如图3，以点A为圆心，BD长为半径作弧，交边BC于点E，连结DE。
小慧：根据所学知识，我能判断出小丽的做法是正确的，但是对小明的作法我存在疑惑。
（1）请给出小丽作法中四边形ABED是矩形的证明。
（2）请判断小明作法是否正确，并说明理由。
【答案】（1）解：∵，∴，∴
∵，∴四边形 ABED 是平行四边形，
∴，∴四边形 ABED 是矩形。
（2）解：小明的作法正确
证明：连结AE，BD
∴四边形 ABED 是平行四边形，
∴四边形 ABED 是矩形
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）本题考查矩形的判定定理，已知 ∠A=∠B=90° ，可得AD//BC，小丽的作法先证明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再根据已知条件∠A=90°证得平行四边形ABED是矩形。
（2）小明利用判定直角三角形全等的方法，证明，从而得到四边形ABED为平行四边形，再根据已知条件∠A=90°证得平行四边形ABED是矩形。
22．（2025·龙泉二模）2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动。为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发0.5小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程s（km）关于时间（（h）的变化情况如图所示。
（1）分别求出小丽和小明骑行的速度。
（2）求线段BC所在直线的函数表达式。
（3）求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程。
【答案】（1）解：小丽的速度：30÷3=10(km/h)
小明的速度：10÷10=1(h)，1-0.5=0.5 (h)
10÷0.5 =20 (km/h)
（2）解：(30- 10)÷20=1 (h) ，2.5-1=1.5 (h) ，
∴B (1.5，10)
设BC线段的函数表达式为s=kt+b(k≠0)
把B(1.5，10) 和 C (2.5，30) 代人，
得
解得k=20，b=-20
∴s=20t-20
（3）解：设小丽的函数解析式为
把点D(3，30)代入，得
解得，代入
∴离山庄的路程为30-20=10
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）根据图象可以得到小丽的骑行速度30÷3=10(km/h)，因此小丽骑行10千米用时1小时，而小明比小丽晚出发半小时，可得小明仅用0.5小时骑行10千米，从而得到小明的骑行速度。
（2）若小明追上小丽后不休息，继续以20千米/时的速度骑行，剩余的20千米仅需1小时便可以完成，即当t=1.5时，s=30，但小明追上小丽后停下来休息了，根据图象，当t=2.5时，s=30，可以推得小明休息了1小时，可得B（1.5，10），又因为C点（2.5，30），将B、C两点坐标代入s=kt+b，即可得到线段BC所在直线的函数表达式。也可以利用小明骑行速度不变这一已知条件，得到，再将C点（2.5，30）代入，即可求出直线表达式。
（3） 利用求两条直线交点坐标的方法，即联立方程，便可以知道小明第二次追上小丽时的时间以及路程，从而得到距离山庄的路程。
23．（2025·龙泉二模）已知x的二次函数。
（1）当函数图象经过点（2，5)时。
①求该二次函数的表达式。
②若将平面内一点A（m，n)向左平移5个单位或向右平移4个单位，都恰好落在函数的图象上，求m的值。
（2）设点，是该函数图象上的两点，且。
求证：。
【答案】（1）解：①将(2，5)代入，得，解得。
∴二次函数的表达式为。
②方法一：
由题知，点A向左平移后的点为，点A向右平移后的点为，
∵对称轴是直线
∴
解得
②方法二：
∵点A向左平移后的点为，点A向右平移后的点为，
将这两个点代入
解得
（2）证明：∵，
∴，
∵M ，N 是二次函数 图象上两点，
∴，
∴
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）①二次函数的表达式中含有参数a，若要计算a的值，仅需将点（2，5）代入函数表达式中，即x=2，y=5，便得到关于a的一元一次方程，解出a的值后代会函数表达式即可。
②由已知条件“ 将平面内一点A（m，n)向左平移5个单位或向右平移4个单位，都恰好落在函数的图象上 ”可得，A'（m-5，n）与A''（m+4，n）关于直线对称，因此x=-1为m-5与m+4的中点，从而可以求出m的值。除此之外，也可以将A'与A''两点坐标代入到二次函数中，通过求解方程即可得到m的值。
（2）因为“ 点，是该函数图象上的两点，且 ”可以得到，再将两个点代入二次函数的表达式，得到+与的关系式，利用配方法可以求出最值，从而证明。
24．（2025·龙泉二模）如图，内接于⊙o，直径AE交BC于点，已知。
（1）求证：。
（2）设的度数为x，求的度数（用含x的代数式表示）。
（3）若，求的值。
【答案】（1）证明：∵AE是⊙O的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴。
（2）解：∵，。
∴。
∴。
∴
（3）解：连结 OB
由(2)知：
∵ CA=CB ∴ ∠CAB=∠CBA
∴△AOB是等腰直角三角形
令 的半径为
则
∵ ∠CBA=∠ADB
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；等腰直角三角形；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）因为AE是 ⊙o 直径，∠ACE=90°，可得，由，同角的余角相等，所以，CD=CE，在同一个三角形中，等角对等边。
（2）由（1）得，，且，因为∠1=x°，所以∠AEC=∠2=（90-x）°，因为三角形内角和为180°，所以，又因为在同圆（或等圆中）同弧或等弧所对的圆周角相等，可得∠BAE=∠BCE=2x°。
（3）由CA=CB，再利用相等的角度关系，可以证得△AOB是等腰直角三角形，从而得到，，即可得到AD与DE的比值。
1 / 1浙江省丽水市龙泉市2025年5月第二学期九年级适应性考试（二）数学试题卷（二模）
1．（2025·龙泉二模）下表记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（　　）
北京 上海 天津 重庆
-4.6℃ 5.8℃ -3.2℃ 8.1℃
A．北京 B．上海 C．天津 D．重庆
2．（2025·龙泉二模）如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·龙泉二模）2025年春节假期第四天，杭州西湖景区接待客流量约为580000人次，580000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·龙泉二模） 下列运算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·龙泉二模）某市测得一周PM2.5的日均值（单位：微克每立方米)为：50，40，75，50，37，50，40。这组数据的众数是（　　）
A．75 B．50 C．40 D．37
6．（2025·龙泉二模）如图，在直角坐标系中，△OCD与△OAB是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为3。则点A（2，-1）的对应点C的坐标为（　　）
A．（-6，3) B．（6， -3) C．（-3，6) D．（3，-6)
7．（2025·龙泉二模）如图表示关于x的不等式x-a≤2的解，则a的值为（　　）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
8．（2025·龙泉二模）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，BM⊥CD，垂足为点M，BM交AC于点N，若OC=4，OD=2，则ON的长为（　　）
A． B．1 C． D．
9．（2025·龙泉二模） 已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则下列选项正确的是（　　）
A． B． C． D．或
10．（2025·龙泉二模） 在正方形 ABCD 中，， P 是对角线 AC上一动点，作 于点 E， 于点 F。若四边形 PFDE 的面积为 6，则 BP的长为（　　）
A．4 B． C． D．
11．（2025·龙泉二模）因式分解：　 　．
12．（2025·龙泉二模）一个布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中有3个红球，2个白球，从布袋里随机摸出一个球，则摸出白球的概率为　 　。
13．（2025·龙泉二模）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切，B为切点，连结AC。若BC=3，AC=5，则直径AB的长为　 　。
14．（2025·龙泉二模）若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m=　 　。
15．（2025·龙泉二模）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E。已知∠ABC=60°，∠C=45°，CE=，则 BC的长为　 　。
16．（2025·龙泉二模）如图，在□ABCD中，BC=3，CD=4，点E是CD边上的中点，将△ADE沿AE翻折得△AFE，连结BF，点B，F，E恰好在同一直线上，延长AF交BC于点G。则△BFG与四边形AGCD的面积比为　 　.
17．（2025·龙泉二模）计算：
18．（2025·龙泉二模）先化简，再求值：，其中 。
19．（2025·龙泉二模）如图，D是等边三角形ABC的边AB上一点，AD=2，BD=1，DE⊥AC，垂足为E。
（1）求 DE 的长。
（2）求 tan∠DCE的值。
20．（2025·龙泉二模）随着科技的进步，越来越多的学习软件进入我们的生活，帮助学生学习知识。某校对学生最喜爱的学习辅助软件进行了抽样问卷调查，调查问卷和统计结果描述如下：
“你最喜爱的学习辅助软件”调查问卷 问题：在以下五个软件中，你最喜爱的是____. （A)作业帮（B)橙果错题集 （C)小猿搜题（D)豆包（E)DeepSeek
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求本次调查中最喜爱豆包软件的学生人数，并补全条形统计图。
（2）已知该校有学生1500人，根据统计信息，估算该校最喜爱DeepSeek软件的学生人数。
21．（2025·龙泉二模）如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD小丽：如图2，以点B为圆心，AD长为半径作弧，交边BC于点E，连结DE。
小明：如图3，以点A为圆心，BD长为半径作弧，交边BC于点E，连结DE。
小慧：根据所学知识，我能判断出小丽的做法是正确的，但是对小明的作法我存在疑惑。
（1）请给出小丽作法中四边形ABED是矩形的证明。
（2）请判断小明作法是否正确，并说明理由。
22．（2025·龙泉二模）2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动。为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发0.5小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程s（km）关于时间（（h）的变化情况如图所示。
（1）分别求出小丽和小明骑行的速度。
（2）求线段BC所在直线的函数表达式。
（3）求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程。
23．（2025·龙泉二模）已知x的二次函数。
（1）当函数图象经过点（2，5)时。
①求该二次函数的表达式。
②若将平面内一点A（m，n)向左平移5个单位或向右平移4个单位，都恰好落在函数的图象上，求m的值。
（2）设点，是该函数图象上的两点，且。
求证：。
24．（2025·龙泉二模）如图，内接于⊙o，直径AE交BC于点，已知。
（1）求证：。
（2）设的度数为x，求的度数（用含x的代数式表示）。
（3）若，求的值。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：由表格中的数据可得，北京与天津的气温都是0℃以下，需要比较-4.6与-3.2大小，负数比较大小时，绝对值大的数反而小，，，4.6＞3.2，因此-4.6＜-3.2，A正确.
故答案为：A.
【分析】本题考查有理数比较大小的方法，负数小于正数，且绝对值大的负数反而小，根据该方法即可判断气温最低的地方。
2．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故答案为：D．
【分析】根据简单组合体的三视图即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示较大的数时，可表示成a（1≤a＜10）与10的幂相乘的积的形式.
A、a=0.58＜1，不符合科学记数法的表达要求，A错误；
D、a=58＞10，不符合科学记数法的表达要求，D错误；
B、与原来的数不相符，B错误.
故答案为：C.
【分析】使用科学记数法表示较大的数，应按照要求表示为a（1≤a＜10）与10的幂相乘的积的形式。用科学记数法表示后，也应与原数进行对照，看看是否与原数相等。
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能进行合并，A错误；
B、，B错误；
C、，C正确.
D、，D错误.
故答案为：C.
【分析】本题考查整式的幂运算，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；积的乘方等于乘方的积
5．【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。由已知条件中的数据可得，“50”出现了3次，“40”出现了2次，因此，这组数据的众数为50，B正确.
故答案为：B.
【分析】本题考查“众数”这一统计量的概念，一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数，根据众数的概念即可求解。
6．【答案】A
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵位似中心为原点O，位似比为3
∴点A（2，-1）的对应点C的坐标为（6，-3）或（-6，3）
∵由图象可得，点C在第二象限
∴C（-6，3），A正确.
故答案为：A.
【分析】当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为（x，y），位似图形与原图形的位似比为k，则位似图形上的对应点坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）。
7．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式的解集；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：∵x-a≤2
∴x≤2+a
∵数轴上x的取值范围是x≤-1
∴2+a=-1
∴a=-3，A正确。
故答案为：A.
【分析】能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，通过在数轴上表示不等式的解集，可以发现x≤-1，即可建立2+a与-1之间的关系，从而求出a的值。
8．【答案】B
【知识点】菱形的性质；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴对角线AC、BD互相平分，且AC⊥BD
∵BM⊥CD
∴∠DCO=∠DBM
∵OC=4，OD=2 ∴
∴
∴ON=1，B正确.
故答案为：B.
【分析】利用菱形的形式可得菱形的对角线互相垂直，且BM⊥CD，可得∠DCO+∠ODC=90°，∠DBM+∠ODC=90°，所以∠DCO=∠DBM，再根据锐角三角函数发现线段数量关系，从而求出ON的长度。
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵与均在反比例函数的图象上
∴
∵
∴
由函数图象可得，当时，m＞2或m＜0，所以D正确.
故答案为：D.
【分析】本题可以利用反比例函数图象辅助问题解决， 反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的的增大而增大， 点 在反比例函数图象上，则，因此 转化为，从而求出m的取值范围。
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；一元二次方程的应用-几何问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连结PD
∵四边形ABCD为正方形
∴∠DAC=45°，∠D=90°
∵PE⊥AD，PF⊥CD
∴四边形EPFD为矩形
易证得△APB≌△APD ∴BP=PD
设AE=a，则EP=a，ED=6-a
∵∴，解得
在Rt△EDP中，
当时，，则
当时，，则
∴，C正确.
故答案为：C.
【分析】由正方形ABCD的性质可得△AEP是等腰直角三角形，四边形EPFD是矩形，因此矩形的面积为6可以转化为EP×PF=6，而EP=AE，AE+ED=6，设AE=a，则需解关于a的一元二次方程，连结PD后，易证得△APB≌△APD ，所以BP=PD，在Rt△EDP中，利用勾股定理，即可求出PD的长度，因此可以得到PB的长度。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=a（a+5），
故答案为：a（a+5）.
【分析】先找出公因式a，然后再提公因式即可。
12．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵布袋里的5个球只有颜色不同
∴随机摸取一个球，每一个球被摸到的可能性相同
∴.
故答案为：.
【分析】本题考查简单事件的概率，事件发生的各种结果可能性相同且互相排斥，即布袋中每个球只有颜色不同，且随机摸出一个球，结果总数为n，布袋中有5个球，事件A包含其中结果数为m（m≤n），即布袋中有2个白球，因此可得。
13．【答案】4
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵ AB是⊙O的直径 ，AB与 ⊙O相切， B为切点
∴AB⊥BC，即∠ABC=90°
在Rt△ABC中，.
故答案为：4.
【分析】直线与圆相切时，根据切线的性质定理得到AB⊥BC，再根据勾股定理计算出AB的长度即可。
14．【答案】1
【知识点】根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根
∴
∵a=1，b=2，c=m
∴，解得m=1.
故答案为：1.
【分析】一元二次方程的根由代数式的值来决定，因为一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，所以，由一元二次方程的一般形式可以分别确定a、b、c，代入，可得，从而求出m的值。
15．【答案】
【知识点】等腰直角三角形；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：∵AE⊥BC
∴△AEB与△AEC为直角三角形
∵∠C=45° ，∴∠EAC=180°-90°-45°=45° ∴
∵∠ABC=60° ∴
∴.
故答案为：.
【分析】根据垂直的意义可以得到△AEB与△AEC为直角三角形，再根据直角三角形中特殊的角度30°和45°，发现边之间的数量关系，从而求出BC的长度。
16．【答案】1：
【知识点】三角形全等的判定；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：延长BE，交AD的延长线于点H
∵四边形ABCD为平行四边形，E点为CD中点
易证得，则DH=BC，EH=BE
∵∠ADC=∠H+∠DEH，且∠ABC=∠ADC ∴∠EBC+∠ABE=∠H+∠DEH ∴∠ABE=∠DEH=∠BEC
∵△ADE沿AE折叠 ∴∠ADC=∠AFE ，AD=AF，DE=EF
∴∠AFB=∠C
在△AFB与△BCE中
∴
∵AB=4，BC=3
∴BE=4，EF=DE=BF=EC=2
∴HF=HA=6，BF=BG=2，CG=3-2=1
又∵∠DAG=∠AGB，∠AFH=∠BFG
∴△BFG∽△HFA ∴
∴ 若△BGF中BG边上的高为h，则△HAF中AH边上的高为3h
∴
故答案为：1：8.
【分析】通过添加辅助线构造，从而可以推得，则DH=CB=3，EH=EB=4，进而可得BF=BG=2，CG=1，又因为∠DAG=∠AGB，∠AFH=∠BFG
所以△BFG∽△HFA ，，最后根据相似三角形对应边的高之比等于相似比，可以计算△BFG与四边形AGCD的面积比。
17．【答案】解：原式=2-2+3=3
【知识点】有理数的倒数；有理数的加、减混合运算；化简含绝对值有理数；求算术平方根
【解析】【分析】由可以计算，由二次根式的性质可得，由绝对值的性质可以计算，最后进行有理数的混合运算即可。
18．【答案】解：原式=
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】在对分式进行化简时，应关注分母的形式，可以先对分母进行因式分解得，再进行通分，，根据分式有意义的条件，可得a≠±3，将分子分母进行约分后完成化简，再将a的值代入即可。
19．【答案】（1）解：∵ 是等边三角形，∴，
∵，，∴，
（2）解：∵，，，∴，
∴
【知识点】等边三角形的性质；解直角三角形—含30°角直角三角形；求正切值
【解析】【分析】（1）通过等边三角形的性质可得∠A=60°，且AB=AC=BC，因为 AD=2，BD=1，所以等边三角形的边长为3，又因为DE⊥AC，所以根据60°角的特殊直角三角形三边关系，可以求出DE的长度。
（2），由第（1）题可得，AE=1，因为等边三角形的边长为3，所以EC=2，从而可得tan∠DCE的值。
20．【答案】（1）解：70÷35% =200(人)
200×15%=30(人)
（2）解：200-70-20-50-30 =30 (人)
x1500 =225(人)
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）将条形统计图与扇形统计图放在一起分析，既知道选A的人数由70人，又知道选A的同学占总人数的百分比为35%，因此可以计算出本次抽查的总人数，从而能够得到选D的同学人数。
（2）用样本估计整体时，需要先知道抽取的样本中最喜爱DeepSeek软件的学生所占比例，再计算该校总人数与样本中最喜爱DeepSeek软件的学生所占比例的乘积，即可估算出该校最喜爱DeepSeek软件的学生人数。
21．【答案】（1）解：∵，∴，∴
∵，∴四边形 ABED 是平行四边形，
∴，∴四边形 ABED 是矩形。
（2）解：小明的作法正确
证明：连结AE，BD
∴四边形 ABED 是平行四边形，
∴四边形 ABED 是矩形
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）本题考查矩形的判定定理，已知 ∠A=∠B=90° ，可得AD//BC，小丽的作法先证明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再根据已知条件∠A=90°证得平行四边形ABED是矩形。
（2）小明利用判定直角三角形全等的方法，证明，从而得到四边形ABED为平行四边形，再根据已知条件∠A=90°证得平行四边形ABED是矩形。
22．【答案】（1）解：小丽的速度：30÷3=10(km/h)
小明的速度：10÷10=1(h)，1-0.5=0.5 (h)
10÷0.5 =20 (km/h)
（2）解：(30- 10)÷20=1 (h) ，2.5-1=1.5 (h) ，
∴B (1.5，10)
设BC线段的函数表达式为s=kt+b(k≠0)
把B(1.5，10) 和 C (2.5，30) 代人，
得
解得k=20，b=-20
∴s=20t-20
（3）解：设小丽的函数解析式为
把点D(3，30)代入，得
解得，代入
∴离山庄的路程为30-20=10
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）根据图象可以得到小丽的骑行速度30÷3=10(km/h)，因此小丽骑行10千米用时1小时，而小明比小丽晚出发半小时，可得小明仅用0.5小时骑行10千米，从而得到小明的骑行速度。
（2）若小明追上小丽后不休息，继续以20千米/时的速度骑行，剩余的20千米仅需1小时便可以完成，即当t=1.5时，s=30，但小明追上小丽后停下来休息了，根据图象，当t=2.5时，s=30，可以推得小明休息了1小时，可得B（1.5，10），又因为C点（2.5，30），将B、C两点坐标代入s=kt+b，即可得到线段BC所在直线的函数表达式。也可以利用小明骑行速度不变这一已知条件，得到，再将C点（2.5，30）代入，即可求出直线表达式。
（3） 利用求两条直线交点坐标的方法，即联立方程，便可以知道小明第二次追上小丽时的时间以及路程，从而得到距离山庄的路程。
23．【答案】（1）解：①将(2，5)代入，得，解得。
∴二次函数的表达式为。
②方法一：
由题知，点A向左平移后的点为，点A向右平移后的点为，
∵对称轴是直线
∴
解得
②方法二：
∵点A向左平移后的点为，点A向右平移后的点为，
将这两个点代入
解得
（2）证明：∵，
∴，
∵M ，N 是二次函数 图象上两点，
∴，
∴
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）①二次函数的表达式中含有参数a，若要计算a的值，仅需将点（2，5）代入函数表达式中，即x=2，y=5，便得到关于a的一元一次方程，解出a的值后代会函数表达式即可。
②由已知条件“ 将平面内一点A（m，n)向左平移5个单位或向右平移4个单位，都恰好落在函数的图象上 ”可得，A'（m-5，n）与A''（m+4，n）关于直线对称，因此x=-1为m-5与m+4的中点，从而可以求出m的值。除此之外，也可以将A'与A''两点坐标代入到二次函数中，通过求解方程即可得到m的值。
（2）因为“ 点，是该函数图象上的两点，且 ”可以得到，再将两个点代入二次函数的表达式，得到+与的关系式，利用配方法可以求出最值，从而证明。
24．【答案】（1）证明：∵AE是⊙O的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴。
（2）解：∵，。
∴。
∴。
∴
（3）解：连结 OB
由(2)知：
∵ CA=CB ∴ ∠CAB=∠CBA
∴△AOB是等腰直角三角形
令 的半径为
则
∵ ∠CBA=∠ADB
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；等腰直角三角形；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）因为AE是 ⊙o 直径，∠ACE=90°，可得，由，同角的余角相等，所以，CD=CE，在同一个三角形中，等角对等边。
（2）由（1）得，，且，因为∠1=x°，所以∠AEC=∠2=（90-x）°，因为三角形内角和为180°，所以，又因为在同圆（或等圆中）同弧或等弧所对的圆周角相等，可得∠BAE=∠BCE=2x°。
（3）由CA=CB，再利用相等的角度关系，可以证得△AOB是等腰直角三角形，从而得到，，即可得到AD与DE的比值。
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