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广东省深圳市34校联考2025年6月中考第三次适应性联合测试数学试题
1．（2025·深圳三模） “音符是连接作曲家与听众心灵的桥梁.”下列音符图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·深圳三模） 截止到2025年4月12日，我国2025年度电影大盘票房（含预售）突破250亿，位居全球第一.将数据“250亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·深圳三模） 下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·深圳三模） 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，连接 CE，将沿 CE翻折得到 ，点 D 的对应点为点 D'，DE 交 BC 于点 F. 若，则 （　　）
A． B． C． D．
5．（2025·深圳三模） 若关于 x 的不等式组的解集为，则 m 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·深圳三模）《九章算术》中有一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四. 问：人数、物价各几何？”其大意是：假设共同买东西，如果每个人出8钱，则买东西后还剩下3钱；如果每个人出7钱，则买东西时还差4钱. 问：人数、物价各是多少？设人数为x人，物价为y钱，那么下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·深圳三模） 如图，某物理兴趣小组做小车从斜面下滑的实验时，将小车沿高度为h的斜面顶端向下滑，若斜面与水平面的夹角为，沿斜面下滑的时间为t，则小车在斜面上下滑的平均速度为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·深圳三模） 如图(a)，在中，， CH为边AB的高，，E， F分别为边AC， BC上的动点，且.设CE的长为x，的面积为y，图(b)为点E运动时y随x变化的关系图象，则AB的长度为（　　）
A．4 B．5 C． D．6
9．（2025·深圳三模）因式分解：　 　.
10．（2025·深圳三模） 周末，小亮打算在“甘坑古镇”、“大芬油画村”、“龙城公园”、“鹤湖新居”、“园山风景区”这五个景点中随机选择一个去游玩，恰好选中“龙城公园”的概率是　 　.
11．（2025·深圳三模）关于x的方程有两个不相等的实数根，请写出一个符合条件的m的值　 　.
12．（2025·深圳三模） 如图， 的边AB与轴重合，已知点A的坐标为， ， .将绕点A逆时针旋转得到（点B，C的对应点分别为点D，E），若点C，E都在反比例函数的图象上，则k的值为　 　.
13．（2025·深圳三模） 如图，在等边三角形ABC中，点D在边BC上，，连接AD，点E在线段AD上，连接CE.若，，则AD的值为　 　.
14．（2025·深圳三模）计算：.
15．（2025·深圳三模）先化简，再求值：，其中.
16．（2025·深圳三模） 科教兴国，科普为先. 某校组织七、八年级学生参加了“科技赋能，智行未来”科普知识竞赛，竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，对应等级得分依次记为10分，9分，8分，7分. 现从该校七、八年级学生中各随机抽取了40名学生的竞赛成绩进行整理，并绘制成了如下统计表和统计图（其中条形统计图不完整）.
年级 平均数 中位数 众数
七年级 8.5分 9分 a分
八年级 8.8分 b分 9分
（1） 根据以上信息填空：a=　 　，b=　 　.
（2） 把条形统计图补充完整.
（3） 若该校七、八年级各有1000名学生参加了此次科普知识竞赛，请估计这两个年级成绩达到A等级10分的学生共有多少人？
17．（2025·深圳三模） 根据表中素材，完成任务.
素材1 某校为了引导学生学习人工智能知识、激发学生的创新思维，特开展“青少年人工智能挑战赛”活动.已知该活动设置“特等奖”和“优秀奖”两种奖项，需要购置的“特等奖”奖杯的单价比“优秀奖”奖杯的单价贵10元，用500元购进的“特等奖”奖杯的数量和用400元购进的“优秀奖”奖杯的数量相同.
素材2 学校的要求如下： ①此次活动的获奖总人数是30人. ②获得“优秀奖”的人数不超过“特等奖”人数的2倍.
⑴任务1 根据以上信息，请求出“优秀奖”和“特等奖”奖杯的单价.
⑵任务2 为响应降本增效方针，在满足要求的情况下尽量降低采购总费用，请求出此次颁奖所需奖杯的最低采购费用.
18．（2025·深圳三模） 如图，AB是的直径，点在上，分别连接CO、BC，的切线AD与BC的延长线交于点，是AD的中点，连接CE.
（1） 求证：CE是的切线；
（2） 若，，求四边形AOCE的面积.
19．（2025·深圳三模）在物理实验中，光线从空气中射入液体中会发生折射现象. 某学习小组设计了如图所示的实验. 水槽横截面为矩形 MNFD，，O 为水槽水面 DF 的中点，水深 . 如图（a），小明同学从高出水面 30 cm 的 A 处发出一束激光，射到水槽水面上的 O 处，光在水中的路径为 OB，C 为水槽底部 MN 的中点，测得 .（图中点 M，C，B，N 在同一直线上；点 A，P，R，D，M 在同一直线上）
（1）【问题初探】
如图（a），， 分别为入射角、折射角，则 　 　，　 　.
（2）【深入探究】
小组成员探究如何才能使折射光线经过点 C.
① 小张同学设计了如图（b）所示的实验，在保持光线出发点 A、入射角、折射角不变的条件下，通过增加水面高度，使得折射光线经过点 C，请求出增加的水面高度 DP 的值.
② 小刚同学设计了如图（c）所示的实验，在保持入射角、折射角不变的条件下，通过把光线的出发点从点 A 降至点 R，也能使得折射光线经过点 C. 请求出下降高度 AR 的值.
（3）【问题拓展】
小组讨论后，认为在保持入射角、折射角不变的条件下，将光线出发点的高度降低 x cm，同时增加水面高度 y cm，也能使得折射光线经过点 C，请求出 y 与 x 之间的函数关系.
20．（2025·深圳三模）实践探究.
【定义】在中，P是边AC上一点，若，则称点P是边AC关于边AB的“白银点”.
（1）【概念理解】
如图(a)，请你利用尺规作图在中作出边AC关于边AB的“白银点”P.（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）【性质应用】
如图(b)，在中，若，，，点P是边AC关于边AB的“白银点”，请你求出BP的值.
（3）【拓展提升】
①如图(c)，在中，若，，，请你求出AC的值.
②如图(d)，在中，若，，，请你求出BC的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、轴对称图形；
B、中心对称图形；
C、既是中心对称图形，也是轴对称图形；
D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形；
故答案为： C.
【分析】如果把一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的图形能够完全重合，这个图形叫轴对称图形，这条直线叫它的对称轴；如果把一个图形绕某一点旋转后能与原图形完全重合，这个图形叫中心对称图形，这个点叫它的对称中心.
2．【答案】C
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：250亿=25000000000=2.51010
故答案为：C .
【分析】用科学记数法常把一个绝对值较大的数字表示成的形式，其中取这个数字整数部分数位个数与1的差.
3．【答案】D
【知识点】负整数指数幂；二次根式的性质与化简；完全平方式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、、结果错误；
B、、结果错误；
C、、结果错误；
D、、结果正确；
故答案为：D .
【分析】A、合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的指数都不变；
B、两数差的完全平方，等于这两数的平方和减去这两数乘积的2倍；
C、只有算术平方根的积等于积的算术平方根；
D、.
4．【答案】A
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形
关于直线CE对称
故答案为：A .
【分析】由折叠的性质得，再由矩形的对边平行得AD//BC，则由两直线平行内错角相等得即可.
5．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式得：
解不等式得：
不等式组的解集为：
解得：
故答案为：C .
【分析】先求各不等式的解集，再根据“同大取大、同小取小、大于小的且小于大的取中间、大于大的且小于小的无解”可得不等式，再不等式即可.
6．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设人数为x人，物价为y钱， 由题意得：
故答案为：A .
【分析】
设人数为x人，物价为y钱， 由相等关系“ 如果每个人出8钱，则买东西后还剩下3钱；如果每个人出7钱，则买东西时还差4钱 ”列方程组得：.
7．【答案】B
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：设斜面长为s、小车在斜面上下滑的平均速度为v.
故答案为：B .
【分析】先解直角三角形得斜面的长，再利用速度公式计算即可.
8．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；线段垂直平分线的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：观察图象知，抛物线的开口向下，顶点坐标为
当时，有最大值
，即当时，有最大值，此时有
，即EF为的中位线
故答案为： B.
【分析】观察图象知的面积y是关于边长CE即x的二次函数，由于抛物线开口向下，顶点坐标为，则当CE等于AC的一半即时，的面积有最大值，此时可由面积公式求得CF的长为2；由于CH是底边AB上的高，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得EH=EC，则由HL可判定，所以FH=FC，即EF是CH的垂直两部分线，则由同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行得EF//AB，再由平行线分线段成比例定理可得F为CB中点，则EF为的中位线，最后由勾股定理求出EF即可.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3a2-12=3(a2-4)=3(a+2)(a-2).
故答案为：3（a+2）（a-2）.
【分析】观察多项式可知：每一项含有公因式3，提公因式3后，括号内的因式符合平方差公式特征，于是再用平方差公式分解因式即可.
10．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】简单随机事件的概率直接利用概率公式计算即可.
11．【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 关于x的方程有两个不相等的实数根
且
且
故答案为：1 .
【分析】由一元二次根的判别式先得到关于m的一元一次不等式并求出解集，再根据一元二次方程二次项系数不为0可得且，再随机选取一个满足条件的值即可.
12．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数系数k的几何意义；旋转的性质；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，分别连接OE、OC，设AB=m
中
、
，即
解得：
故答案为： .
【分析】由于双曲线的一个分支在第一象限，即k>0，因此可分别连接OE、OC，则由反比例函数的几何意义知，此时可设AB=m，则解可分别表示出BC、AC，由旋转的性质可得AE=AC、，因为A，则OB=m+2，则利用反比例系数k的几何意义联立方程并求解可得，再代入求得k即可.
13．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作，垂足为G.
是等边三角形
、
设BD=m，则DG=m、BG=2m、AC=BC=4m
中、
再延长AD至F，使EF=EC，连接CF、BF
是等边三角形
、
，即
解得：
故答案为： .
【分析】由于是等边三角形，则过点A作边BC的垂线段AG，由等腰三角形三线合一结合已知可得，为便于计算可设BD=m，则DG、BG、AC均可表示出来，再解直角三角形ABG即可求出AG，再利用勾股定理可表示出AD；由于已知，则可延长AD至F，使EF=EC，连接CF、BF，则可得是等边三角形，且，由全等的性质结合对顶角相等可证，则利用相似比求出m的值即可.
14．【答案】解：原式
=.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】实数的混合运算，先分别计算0次幂，负整数指数幂，再分别化简绝对值并求特殊角的三角函数值，最后再进行加减运算即可.
15．【答案】解：原式=
，
当x=2时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先化简再代入字母的值进行计算，化简时先利用通分的性质计算括号内的算式，再化除法为乘法并同时对分子分母分解因式，再约分化结果为最简分式或整式，最后再代入字母的值计算即可.
16．【答案】（1）9；9
（2）解：
（3）解：（人）
（人）
（人）
答：两个年级成绩达到A级的学生共有400人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】
（1）众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个，也可能是几个；中位数是指按照从小到大的顺序对一组数据排序后，最中间的一个或最中间两个数据的平均值；
（2）可利用八年级抽样人数分别减去A、B和D类的人数即可得出C类的人数，再补全条形统计图即可；
（3）可先分别求出各年级中成绩达到A等级的学生占比，再分别乘以各年级总人数再求和即可.
17．【答案】解：⑴设优秀奖奖杯的价格为x元，则特等奖奖杯的价格为元。
根据题意得：
解得：
经检验：是原分式方程的解且符合题意.
答：优秀奖奖杯的价格为40元，特等奖奖杯的价格为50元.
⑵设采购费用为w元，获得特等奖人数为a人，则获得优秀奖人数为人
根据题意得：
根据题意得：
解得：
∴10 > 0
∴w 随着a的增大而增大，
∴当时，w有最小值，此时元.
答：此次颁奖所需奖杯的采购费用最低为1300元.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设优秀奖杯为x元，则特等奖杯为（x+10）元，由相等关系“用500元购进的特等奖杯的数量和用400元购进的优秀奖杯的数量相同”列分式方程并求解即可；
（2）设获得特等奖的人数为a人，则优秀人数为(30-a)人，由不等关系“获得优秀的人数不超过特等奖人数的2倍”列不等式并未出a的取值范围，再设采购总费用为w，则可得w是关于a的一次函数，再根据一次函数的增减性计算即可.
18．【答案】（1）证明：如图，连接AC，
是的切线
为直径，
，
点E是AD的中点
为半径
是的切线；
（2）解：∵AD是的切线
∴
∴
由（1）得：
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴，
【知识点】圆周角定理；切线的判定；几何图形的面积计算-割补法；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由于切线垂直于过切点的半径，因此可证明即可，因为直径所对的圆周角是直角，所以连接AC，则，因为点E平分AD，则EC=EA、又OC=OA，则由等边对等角可得；
（2）由于中线等分三角形面积，因此 和面积相等、和面积相等，即四边形AOCE的面积等于面积的一半，由于同角的余角相等，则，解可先出AC的值，再解求出CD的值，则BD可得，即面积可得.
19．【答案】（1）；
（2）解：设DP=m cm，则HG=(20+m)cm，AP=(30-m)cm，那么
在图1中，，
在图2中，，
由题意得
解得m=12cm
答：DP为12cm
②如图，设AR为n cm，则DR为(30-n)cm，DT=30cm，
由题意得
解得cm
（3）解：设AW为xcm，设DT=ycm，
则WT为，，，
解得：
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角关系；求正切值
【解析】【分析】（1）观察图形知，四边形ODMC为矩形，其中OD=40，AD=30，由平行线的性质可得，则；同理；
（2） ① 如图所示，过点H作MN的垂线段HG，则四边形PHGM为矩形，设DP=m，则AP=30-m，HG=20+m，先解可得，则，再解可得，再利用HG与DM的差等于PD列方程并求解即可；
② 如图所示，过点C作OB的平行线交水面DF于点T，则OT=BC=10，即DT=OD-OT=30，再过T作MN的垂线段TP、作TR平行OA交AM于点R，设AR=n，则RD=30-n，同理可得；
（3）如图所示，设降低的高度AW=x，水面上升的高度TD-y，则WT=30-x-y，CX=20+y，则由入射角和折射角不变得，、，所以，再整理即可.
20．【答案】（1）解：如图所示，点P即为所求作.
（2）解： 由 ， 可得 ，
故 ，即 ，
所以
（3）解：①延长 CA 到 Q，使得 QA=AB，
所以：
因为：所以：
所以：
所以：
从而：
从而：，即，从而得出，
所以
②过点B作，则：
因为：
所以：，
所以：
所以：
从而：
所以：，
因为：
设BG为x，则BC等于2x，由勾股定理可知：
【知识点】三角形的外角性质；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）利用尺规作图作即可；
（2）先由“白银点”的概念求出AP的长，再化等积式为比例式，由于 公共角相等可证，由相似比即可求出BP的长；
（3） ①如图c，因为，则延长CA至Q，使AQ=AB，连接BQ，则，所以，又是公共角，则可证，由相似比可分别求出QB、QC，则AC=QC-QA即可；
②如图d，因为，即，此时可过点B作交AC于点G，则，可借助外角的性质得，同上可判定，此时再利用相似比可得，即，再设BG=x，则BC=2x，在三角形BCG中应用勾股定理即可，
1 / 1广东省深圳市34校联考2025年6月中考第三次适应性联合测试数学试题
1．（2025·深圳三模） “音符是连接作曲家与听众心灵的桥梁.”下列音符图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、轴对称图形；
B、中心对称图形；
C、既是中心对称图形，也是轴对称图形；
D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形；
故答案为： C.
【分析】如果把一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的图形能够完全重合，这个图形叫轴对称图形，这条直线叫它的对称轴；如果把一个图形绕某一点旋转后能与原图形完全重合，这个图形叫中心对称图形，这个点叫它的对称中心.
2．（2025·深圳三模） 截止到2025年4月12日，我国2025年度电影大盘票房（含预售）突破250亿，位居全球第一.将数据“250亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：250亿=25000000000=2.51010
故答案为：C .
【分析】用科学记数法常把一个绝对值较大的数字表示成的形式，其中取这个数字整数部分数位个数与1的差.
3．（2025·深圳三模） 下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】负整数指数幂；二次根式的性质与化简；完全平方式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、、结果错误；
B、、结果错误；
C、、结果错误；
D、、结果正确；
故答案为：D .
【分析】A、合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的指数都不变；
B、两数差的完全平方，等于这两数的平方和减去这两数乘积的2倍；
C、只有算术平方根的积等于积的算术平方根；
D、.
4．（2025·深圳三模） 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，连接 CE，将沿 CE翻折得到 ，点 D 的对应点为点 D'，DE 交 BC 于点 F. 若，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形
关于直线CE对称
故答案为：A .
【分析】由折叠的性质得，再由矩形的对边平行得AD//BC，则由两直线平行内错角相等得即可.
5．（2025·深圳三模） 若关于 x 的不等式组的解集为，则 m 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式得：
解不等式得：
不等式组的解集为：
解得：
故答案为：C .
【分析】先求各不等式的解集，再根据“同大取大、同小取小、大于小的且小于大的取中间、大于大的且小于小的无解”可得不等式，再不等式即可.
6．（2025·深圳三模）《九章算术》中有一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四. 问：人数、物价各几何？”其大意是：假设共同买东西，如果每个人出8钱，则买东西后还剩下3钱；如果每个人出7钱，则买东西时还差4钱. 问：人数、物价各是多少？设人数为x人，物价为y钱，那么下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设人数为x人，物价为y钱， 由题意得：
故答案为：A .
【分析】
设人数为x人，物价为y钱， 由相等关系“ 如果每个人出8钱，则买东西后还剩下3钱；如果每个人出7钱，则买东西时还差4钱 ”列方程组得：.
7．（2025·深圳三模） 如图，某物理兴趣小组做小车从斜面下滑的实验时，将小车沿高度为h的斜面顶端向下滑，若斜面与水平面的夹角为，沿斜面下滑的时间为t，则小车在斜面上下滑的平均速度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：设斜面长为s、小车在斜面上下滑的平均速度为v.
故答案为：B .
【分析】先解直角三角形得斜面的长，再利用速度公式计算即可.
8．（2025·深圳三模） 如图(a)，在中，， CH为边AB的高，，E， F分别为边AC， BC上的动点，且.设CE的长为x，的面积为y，图(b)为点E运动时y随x变化的关系图象，则AB的长度为（　　）
A．4 B．5 C． D．6
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；线段垂直平分线的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：观察图象知，抛物线的开口向下，顶点坐标为
当时，有最大值
，即当时，有最大值，此时有
，即EF为的中位线
故答案为： B.
【分析】观察图象知的面积y是关于边长CE即x的二次函数，由于抛物线开口向下，顶点坐标为，则当CE等于AC的一半即时，的面积有最大值，此时可由面积公式求得CF的长为2；由于CH是底边AB上的高，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得EH=EC，则由HL可判定，所以FH=FC，即EF是CH的垂直两部分线，则由同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行得EF//AB，再由平行线分线段成比例定理可得F为CB中点，则EF为的中位线，最后由勾股定理求出EF即可.
9．（2025·深圳三模）因式分解：　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3a2-12=3(a2-4)=3(a+2)(a-2).
故答案为：3（a+2）（a-2）.
【分析】观察多项式可知：每一项含有公因式3，提公因式3后，括号内的因式符合平方差公式特征，于是再用平方差公式分解因式即可.
10．（2025·深圳三模） 周末，小亮打算在“甘坑古镇”、“大芬油画村”、“龙城公园”、“鹤湖新居”、“园山风景区”这五个景点中随机选择一个去游玩，恰好选中“龙城公园”的概率是　 　.
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】简单随机事件的概率直接利用概率公式计算即可.
11．（2025·深圳三模）关于x的方程有两个不相等的实数根，请写出一个符合条件的m的值　 　.
【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 关于x的方程有两个不相等的实数根
且
且
故答案为：1 .
【分析】由一元二次根的判别式先得到关于m的一元一次不等式并求出解集，再根据一元二次方程二次项系数不为0可得且，再随机选取一个满足条件的值即可.
12．（2025·深圳三模） 如图， 的边AB与轴重合，已知点A的坐标为， ， .将绕点A逆时针旋转得到（点B，C的对应点分别为点D，E），若点C，E都在反比例函数的图象上，则k的值为　 　.
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数系数k的几何意义；旋转的性质；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，分别连接OE、OC，设AB=m
中
、
，即
解得：
故答案为： .
【分析】由于双曲线的一个分支在第一象限，即k>0，因此可分别连接OE、OC，则由反比例函数的几何意义知，此时可设AB=m，则解可分别表示出BC、AC，由旋转的性质可得AE=AC、，因为A，则OB=m+2，则利用反比例系数k的几何意义联立方程并求解可得，再代入求得k即可.
13．（2025·深圳三模） 如图，在等边三角形ABC中，点D在边BC上，，连接AD，点E在线段AD上，连接CE.若，，则AD的值为　 　.
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作，垂足为G.
是等边三角形
、
设BD=m，则DG=m、BG=2m、AC=BC=4m
中、
再延长AD至F，使EF=EC，连接CF、BF
是等边三角形
、
，即
解得：
故答案为： .
【分析】由于是等边三角形，则过点A作边BC的垂线段AG，由等腰三角形三线合一结合已知可得，为便于计算可设BD=m，则DG、BG、AC均可表示出来，再解直角三角形ABG即可求出AG，再利用勾股定理可表示出AD；由于已知，则可延长AD至F，使EF=EC，连接CF、BF，则可得是等边三角形，且，由全等的性质结合对顶角相等可证，则利用相似比求出m的值即可.
14．（2025·深圳三模）计算：.
【答案】解：原式
=.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】实数的混合运算，先分别计算0次幂，负整数指数幂，再分别化简绝对值并求特殊角的三角函数值，最后再进行加减运算即可.
15．（2025·深圳三模）先化简，再求值：，其中.
【答案】解：原式=
，
当x=2时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先化简再代入字母的值进行计算，化简时先利用通分的性质计算括号内的算式，再化除法为乘法并同时对分子分母分解因式，再约分化结果为最简分式或整式，最后再代入字母的值计算即可.
16．（2025·深圳三模） 科教兴国，科普为先. 某校组织七、八年级学生参加了“科技赋能，智行未来”科普知识竞赛，竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，对应等级得分依次记为10分，9分，8分，7分. 现从该校七、八年级学生中各随机抽取了40名学生的竞赛成绩进行整理，并绘制成了如下统计表和统计图（其中条形统计图不完整）.
年级 平均数 中位数 众数
七年级 8.5分 9分 a分
八年级 8.8分 b分 9分
（1） 根据以上信息填空：a=　 　，b=　 　.
（2） 把条形统计图补充完整.
（3） 若该校七、八年级各有1000名学生参加了此次科普知识竞赛，请估计这两个年级成绩达到A等级10分的学生共有多少人？
【答案】（1）9；9
（2）解：
（3）解：（人）
（人）
（人）
答：两个年级成绩达到A级的学生共有400人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】
（1）众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个，也可能是几个；中位数是指按照从小到大的顺序对一组数据排序后，最中间的一个或最中间两个数据的平均值；
（2）可利用八年级抽样人数分别减去A、B和D类的人数即可得出C类的人数，再补全条形统计图即可；
（3）可先分别求出各年级中成绩达到A等级的学生占比，再分别乘以各年级总人数再求和即可.
17．（2025·深圳三模） 根据表中素材，完成任务.
素材1 某校为了引导学生学习人工智能知识、激发学生的创新思维，特开展“青少年人工智能挑战赛”活动.已知该活动设置“特等奖”和“优秀奖”两种奖项，需要购置的“特等奖”奖杯的单价比“优秀奖”奖杯的单价贵10元，用500元购进的“特等奖”奖杯的数量和用400元购进的“优秀奖”奖杯的数量相同.
素材2 学校的要求如下： ①此次活动的获奖总人数是30人. ②获得“优秀奖”的人数不超过“特等奖”人数的2倍.
⑴任务1 根据以上信息，请求出“优秀奖”和“特等奖”奖杯的单价.
⑵任务2 为响应降本增效方针，在满足要求的情况下尽量降低采购总费用，请求出此次颁奖所需奖杯的最低采购费用.
【答案】解：⑴设优秀奖奖杯的价格为x元，则特等奖奖杯的价格为元。
根据题意得：
解得：
经检验：是原分式方程的解且符合题意.
答：优秀奖奖杯的价格为40元，特等奖奖杯的价格为50元.
⑵设采购费用为w元，获得特等奖人数为a人，则获得优秀奖人数为人
根据题意得：
根据题意得：
解得：
∴10 > 0
∴w 随着a的增大而增大，
∴当时，w有最小值，此时元.
答：此次颁奖所需奖杯的采购费用最低为1300元.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设优秀奖杯为x元，则特等奖杯为（x+10）元，由相等关系“用500元购进的特等奖杯的数量和用400元购进的优秀奖杯的数量相同”列分式方程并求解即可；
（2）设获得特等奖的人数为a人，则优秀人数为(30-a)人，由不等关系“获得优秀的人数不超过特等奖人数的2倍”列不等式并未出a的取值范围，再设采购总费用为w，则可得w是关于a的一次函数，再根据一次函数的增减性计算即可.
18．（2025·深圳三模） 如图，AB是的直径，点在上，分别连接CO、BC，的切线AD与BC的延长线交于点，是AD的中点，连接CE.
（1） 求证：CE是的切线；
（2） 若，，求四边形AOCE的面积.
【答案】（1）证明：如图，连接AC，
是的切线
为直径，
，
点E是AD的中点
为半径
是的切线；
（2）解：∵AD是的切线
∴
∴
由（1）得：
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴，
【知识点】圆周角定理；切线的判定；几何图形的面积计算-割补法；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由于切线垂直于过切点的半径，因此可证明即可，因为直径所对的圆周角是直角，所以连接AC，则，因为点E平分AD，则EC=EA、又OC=OA，则由等边对等角可得；
（2）由于中线等分三角形面积，因此 和面积相等、和面积相等，即四边形AOCE的面积等于面积的一半，由于同角的余角相等，则，解可先出AC的值，再解求出CD的值，则BD可得，即面积可得.
19．（2025·深圳三模）在物理实验中，光线从空气中射入液体中会发生折射现象. 某学习小组设计了如图所示的实验. 水槽横截面为矩形 MNFD，，O 为水槽水面 DF 的中点，水深 . 如图（a），小明同学从高出水面 30 cm 的 A 处发出一束激光，射到水槽水面上的 O 处，光在水中的路径为 OB，C 为水槽底部 MN 的中点，测得 .（图中点 M，C，B，N 在同一直线上；点 A，P，R，D，M 在同一直线上）
（1）【问题初探】
如图（a），， 分别为入射角、折射角，则 　 　，　 　.
（2）【深入探究】
小组成员探究如何才能使折射光线经过点 C.
① 小张同学设计了如图（b）所示的实验，在保持光线出发点 A、入射角、折射角不变的条件下，通过增加水面高度，使得折射光线经过点 C，请求出增加的水面高度 DP 的值.
② 小刚同学设计了如图（c）所示的实验，在保持入射角、折射角不变的条件下，通过把光线的出发点从点 A 降至点 R，也能使得折射光线经过点 C. 请求出下降高度 AR 的值.
（3）【问题拓展】
小组讨论后，认为在保持入射角、折射角不变的条件下，将光线出发点的高度降低 x cm，同时增加水面高度 y cm，也能使得折射光线经过点 C，请求出 y 与 x 之间的函数关系.
【答案】（1）；
（2）解：设DP=m cm，则HG=(20+m)cm，AP=(30-m)cm，那么
在图1中，，
在图2中，，
由题意得
解得m=12cm
答：DP为12cm
②如图，设AR为n cm，则DR为(30-n)cm，DT=30cm，
由题意得
解得cm
（3）解：设AW为xcm，设DT=ycm，
则WT为，，，
解得：
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角关系；求正切值
【解析】【分析】（1）观察图形知，四边形ODMC为矩形，其中OD=40，AD=30，由平行线的性质可得，则；同理；
（2） ① 如图所示，过点H作MN的垂线段HG，则四边形PHGM为矩形，设DP=m，则AP=30-m，HG=20+m，先解可得，则，再解可得，再利用HG与DM的差等于PD列方程并求解即可；
② 如图所示，过点C作OB的平行线交水面DF于点T，则OT=BC=10，即DT=OD-OT=30，再过T作MN的垂线段TP、作TR平行OA交AM于点R，设AR=n，则RD=30-n，同理可得；
（3）如图所示，设降低的高度AW=x，水面上升的高度TD-y，则WT=30-x-y，CX=20+y，则由入射角和折射角不变得，、，所以，再整理即可.
20．（2025·深圳三模）实践探究.
【定义】在中，P是边AC上一点，若，则称点P是边AC关于边AB的“白银点”.
（1）【概念理解】
如图(a)，请你利用尺规作图在中作出边AC关于边AB的“白银点”P.（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）【性质应用】
如图(b)，在中，若，，，点P是边AC关于边AB的“白银点”，请你求出BP的值.
（3）【拓展提升】
①如图(c)，在中，若，，，请你求出AC的值.
②如图(d)，在中，若，，，请你求出BC的值.
【答案】（1）解：如图所示，点P即为所求作.
（2）解： 由 ， 可得 ，
故 ，即 ，
所以
（3）解：①延长 CA 到 Q，使得 QA=AB，
所以：
因为：所以：
所以：
所以：
从而：
从而：，即，从而得出，
所以
②过点B作，则：
因为：
所以：，
所以：
所以：
从而：
所以：，
因为：
设BG为x，则BC等于2x，由勾股定理可知：
【知识点】三角形的外角性质；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）利用尺规作图作即可；
（2）先由“白银点”的概念求出AP的长，再化等积式为比例式，由于 公共角相等可证，由相似比即可求出BP的长；
（3） ①如图c，因为，则延长CA至Q，使AQ=AB，连接BQ，则，所以，又是公共角，则可证，由相似比可分别求出QB、QC，则AC=QC-QA即可；
②如图d，因为，即，此时可过点B作交AC于点G，则，可借助外角的性质得，同上可判定，此时再利用相似比可得，即，再设BG=x，则BC=2x，在三角形BCG中应用勾股定理即可，
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