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山东省青岛、枣庄、日照、临沂、聊城、菏泽2025年中考真题数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025·山东）如图，数轴上表示的点是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】 解：观察数轴知，M表示的数字是-2，N表示的是原点，P表示的数字是+1，Q表示的数字是+3.
故答案为：A.
【分析】数轴上原点左边的点表示的数字是负数，原点右边的点表示的数字是正数，这个点到原点的距离即这个数的绝对值.
2．（2025·山东）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形；
故答案为：B.
【分析】如果把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的图形能够完全重合，这个图形叫轴对称图形，这条直线叫它的对称轴；如果把一个图形绕一个点旋转后与原图形完全重合，这个图形叫中心对称图形，这个点叫它的对称中心.
3．（2025·山东）我国“深蓝号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、既不是主视图，也不是左视图，也不是俯视图；
B、既不是主视图，也不是左视图，也不是俯视图；
C、是主视图；
D、是俯视图
故答案为：C.
【分析】从物体的正面观察得到的图形叫主视图.
4．（2025·山东）好客山东以其宽厚仁德的人文情怀、风景秀丽的河海山川吸引了来自世界各地的朋友，据统计，山东省年全年接待游客超亿人次．数据“亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：9亿
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示一个绝对值较大的数字时，常把这个数表示成的形式，其中取这个数字整数部分数位个数与1的差.
5．（2025·山东）已知，则下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，结果错误；
B、，结果正确；
C、与不是同类项，不能合并，结果错误；
D、，结果错误；
故答案为：B.
【分析】A、合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的指数都不变；B、积的乘方，先积的每个因式先乘方，再把所得的幂相乘；C、整式的加减，不是同类项不能合并；D、同底数幂的除法，底数不变，指数相减.
6．（2025·山东）某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表得：
　 亚醜钺 蛋壳黑陶杯 颂簋
亚醜钺
蛋壳黑陶杯
颂簋
故答案为：A.
【分析】两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据，
7．（2025·山东）明代数学家吴敬的九章算法比类大全中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有个头只手的哪吒若干，有个头只手的夜叉若干，两方交战，共有个头，只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设哪吒有个，夜叉有个， 由题意列方程得
故答案为：D.
【分析】设哪吒有个，夜叉有个，根据相等关系“ 共有个头，只手 ”列方程组即可.
8．（2025·山东）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂径定理；几何图形的面积计算-割补法；内切圆与外接圆的综合运用
【解析】【解答】解：如图所示，连接OD、OC、OE
与相切
故答案为：D.
【分析】由于圆内接正方形的中心角是直角，则由切线的性质知内切圆半径OE垂直CD，再由垂径定理知OE平分CD，由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD=4，再由勾股定理可得OD的平方等于8，则阴影部分面积等于外接圆面积与内切圆面积的差.
9．（2025·山东）如图，在平面直角坐标系中，，两点在坐标轴上，四边形是面积为的正方形．若函数的图象经过点，则满足的的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：反比例函数图象的一个分支在第一象限，
当时，随的增大而减小
当时，
时，
故答案为：A.
【分析】由反比例函数的几何意义结合图象的大体位置知，则在每一个分支内，随的增大而减小，则当时，.
10．（2025·山东）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度厘米天和光照强度勒克斯之间存在一定关系．在低光照强度范围内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（　　）
A．当时，随的增大而减小
B．当时，有最大值
C．当时，
D．当时，
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：观察图象知，直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，则抛物线对称轴为，由于抛物线开口向下，则当时，随的增大而减小；当，有最大值；当时，；由于，则直线与抛物线有两个交点，即或与；
故答案为：B.
【分析】A、观察图象知，抛物线与直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，即抛物线上两点 与关于对称轴对称，则对称轴为直线，由于抛物线开口向下，则在对称右侧，即当时随的增大而减小；B、由于抛物线开口向下，则当时，有最大值 ；C、观察图象知，当时，对应在自变量的取值范围为；D、由于在对称轴左侧，即时，随的增大而增大，因为，所以直线与抛物线也有两个交点，即的值应该有两个，且到对称轴的距离相等.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（2025·山东）写出使分式有意义的的一个值　 　．
【答案】不唯一
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：
故答案为：1（任意一个不等于的数都可以）.
【分析】分式有意义的条件是分母不等于0.
12．（2025·山东）在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位长度，得到的对应点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】平面直角坐标系点的平移规律：上加下减（纵坐标）、左加右减（横坐标）.
13．（2025·山东）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：方程有两个不相等的实数根
故答案为：.
【分析】一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时 ，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根.
14．（2025·山东）取直线上一点，过点作轴的垂线，交于点；过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；关于坐标轴对称的点的坐标特征；探索数与式的规律；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A1（1，-1），由题意知A2（1，1），A3（-1，1），A4（-1，-1），A5（1，-1）
即每四个操作一个循环，
A2025（1，-1），
故答案为：.
【分析】先由直线和双曲线上点的坐标特征可先分别求出A2（1，1），A3（-1，1），A4（-1，-1），A5（1，-1），可发现每4个操作一个循环，即可得出规律，再利用2025除以4的余数即可得出结果.
15．（2025·山东）如图，在中，，，点为边上异于的一点，以，为邻边作，则线段的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图所示，设PQ交AB于点O
四边形APBQ是平行四边形
、
则当时，PO最小，即PQ最小
此时，即
，即
故答案为：.
【分析】如图所示，设AB交PQ于点O，由于平行四边形的对角线互相平分，因此PQ=2PO，因为点O是直线AC外一点，则当时，OP最小，则PQ最小，此时可证明，由相似比得，则可借助勾股定理求出AC，则OP值可求，即PQ值可求.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（2025·山东）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）解：
（2）
；
当时，原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）实数的混合运算，先分别计算0次和开方，再化简绝对值代数式，再进行乘法运算，最后再进行加法运算即可；
（2）分式的化简求值，先化简最后再代入求值，化简时先对括号内的异分母分式通分再相加，下来再进行乘法运算，运算时同时对分子分母分别分解因式并约分，从而化结果为最很简分式或整式，再代入字母的值进行计算即可.
17．（2025·山东）在中，，，的平分线交于点．
如图．
（1）求的度数；
（2）已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点如图，求的长．
【答案】（1）解：，，
，
是的平分线，
，
（2）解：由作图知是线段的垂直平分线，
，
，
，
，，
，，
，，
，
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先由直角三角形两锐角互余求出，再利用角平分线的概念求出，最后利用三角形外角的性质即可；
（2）先由线段垂直平分线的概念得，再由等角对等边得，再由直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半得，则可利用证明，所以，再解求出AD即可.
18．（2025·山东）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．
已知本次注水前蓄水池的水位高度为米，注水时水位高度每小时上升米．
（1）请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度米与注水时间小时之间的关系式；
（2）已知蓄水池的底面积为万平方米，每立方米的水可供发电千瓦时，求注水多长时间可供发电万千瓦时？
【答案】（1）解：由题意可得：蓄水池的水位高度米与注水时间小时之间的关系式
（2）解：根据题意，得，
解得．
答：注水小时可供发电万千瓦时
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）直接由题意可得蓄水池的水位高度米是注水时间小时的一次函数，由待定系数法可直接得出关系式；
（2）先由发电总量和单位每小时的发电量可得蓄水池的蓄水方量，即此时水的上升高度与底面积的积，列方程并求解即可.
19．（2025·山东）在年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的值进行了检测，并对一天小时内每小时的值进行了整理、描述及分析．
【收集数据】
甲基地水体的值数据：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
乙基地水体的值数据：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
【整理数据】
甲
乙
【描述数据】
【分析数据】
平均数 众数 中位数 方差
甲
乙
根据以上信息解决下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）填空：　 　 ，　 　 ；
（3）请判断甲、乙哪个基地水体的值更稳定，并说明理由；
（4）已知两基地对水体值的日变化量值最大值与最小值的差要求为，分别判断并说明该日两基地的值是否符合要求．
【答案】（1）解：根据题意得，
补全频数分布直方图如图；
；
（2）；
（3）解：甲的方差为，乙的方差为，，
甲基地水体的值更稳定
（4）解：甲基地对水体值的日变化量：，
乙基地对水体值的日变化量：，
该日两基地的值甲符合要求，乙不符合要求
【知识点】条形统计图；中位数；分析数据的波动程度；众数
【解析】【分析】（1）由抽样总数分别减去已知4个小组的频数即可得出a；
（2）众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个，也可能是多个；中位数是指按照从小到大的顺序对一组数据排序后，再根据抽样总数取最中间一个或最中间两个数据的平均值；
（3）方差是衡量一组数据稳定性的量，方差越小，数据越稳定，波动越小，反之，数据越不稳定，波动越大.
20．（2025·山东）如图，在中，点在上，边交于点，于点．是的平分线．
（1）求证：为的切线；
（2）若的半径为，，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
是的平分线，
，
，
即且为半径，
为的切线
（2）解：，又，
等腰直角三角形，
的半径为，
，
，
【知识点】切线的性质；切线的判定；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）由角平分线的概念得，由直角三角形两锐角互余得，由等边对等角得，，等量代换得即可；
（2）由切线的性质结合已知可得为等腰直角三角形，则由勾股定理可得，则BC=OB-OC即可.
21．（2025·山东）【问题情境】
年月日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用打印完成，如图．
【问题提出】
部件主视图如图所示，由于的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求．
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法．
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱圆柱．
操作步骤：如图，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图，分别与，相切于点，用游标卡尺测量出的长度．
【问题解决】
已知，的长度要求是．
（1）求的度数；
（2）已知钢柱的底面圆半径为，现测得根据以上信息，通过计算说明该部件的长度是否符合要求．参考数据：
（3）【结果反思】本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由．
【答案】（1）解：分别与，相切于点，，
，
（2）解：如图所示，过点O作CM的垂线段OF，则四边形OBCF是正方形.
钢柱的底面圆半径为，
，
，，
，
，
同理，
，
，
该部件的长度符合要求
（3）能，将圆柱换成正方体．如图，
设正方体的棱长为，用游标卡尺测量出的长度．
，
，
，
，
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的判定与性质；切线长定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由切线长定理可得AB=AD，因为OA是公共边，则由HL可证，由全等的性质可得；
（2）如图所示，过点O作CM的垂线段OF，则四边形OBCF是正方形，则BC=OB=1，解可得，即，同理，则利用可求得即可；
（3）能，如图所示，用正方体代替圆柱也可以，同理先可得，则AC可求，则，再利用可得.
22．（2025·山东）已知二次函数，其中，为两个不相等的实数．
（1）当、时，求此函数图象的对称轴；
（2）当时，若该函数在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围；
（3）若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由
【答案】（1）解：当、时，二次函数可化为：，
此函数图象的对称轴为
（2）解：当时，二次函数可化为：，
抛物线对称轴为，
，
抛物线开口方向向上，
在时，随的增大而减小；
，
在时，随的增大而增大；
，
（3）解：若点，，均在该函数的图象上，
，
，
；
；
，
，整理得：
，为两个不相等的实数，
，
，解得：
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）把和的值代入到函数解析式中可得抛物线解析式，再利用即可；
（2）把代入到函数解析式中可得，则抛物线开口向上，对称轴为直线，由二次函数的性质知，在对称轴左侧，随的增大而减小 ；在对称轴右侧，随的增大而增大 ，所以；
（3）先利用二次函数图象上点的坐标特征分别表示出，再整理得，由于，显然当时，，即存在这样的值.
23．（2025·山东）【图形感知】
如图，在四边形中，已知，，．
（1）求的长；
（2）【探究发现】
老师指导同学们对图所示的纸片进行了折叠探究．
在线段上取一点，连接将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是，的对应点．
其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：
甲：点恰好落在边上，延长交于点，如图判断四边形的形状，并说明理由；
乙：点恰好落在边上，如图求的长；
（3）如图，连接交于点，连接当点在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
，，，
，
，
；
（2）四边形是矩形，理由如下，
由折叠的性质得，，
，
，
四边形是矩形；
延长和相交于点，连接，
由折叠的性质得，，，
点恰好落在边上，
，，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
点在对角线上，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
（3）由折叠的性质得，，
是线段的垂直平分线，
，
点在以为直径的上，连接，，
，即点在上时，线段存在最小值，
，
线段的最小值为
【知识点】正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；定点定长辅助圆模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由于同旁内角互补两直线平行，则，又，则，此时可由勾股定理先求出BD，再利用相似比即可求出CD；
（2）由折叠的性质知，、，则，即四边形DBA`F是矩形；
如图所示，延长AD交A`D`于点Q，则由折叠的性质可判定四边形ABA`Q为正方形，由已知知则点D恰好为AQ的中点，由勾股定理可求得，则同正方形的对边平行可判定，由相似比可，即；
（3）如图所示，取的斜边BD的中点O，则点P在BD为直径的上运动，由于点C是圆外一定点，点P是圆上一动点，显然当点P在线段OC上时，CP最小，即，此时利用勾股定理求出OC的长即可.
1 / 1山东省青岛、枣庄、日照、临沂、聊城、菏泽2025年中考真题数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025·山东）如图，数轴上表示的点是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·山东）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·山东）我国“深蓝号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·山东）好客山东以其宽厚仁德的人文情怀、风景秀丽的河海山川吸引了来自世界各地的朋友，据统计，山东省年全年接待游客超亿人次．数据“亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·山东）已知，则下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·山东）某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·山东）明代数学家吴敬的九章算法比类大全中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有个头只手的哪吒若干，有个头只手的夜叉若干，两方交战，共有个头，只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·山东）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·山东）如图，在平面直角坐标系中，，两点在坐标轴上，四边形是面积为的正方形．若函数的图象经过点，则满足的的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·山东）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度厘米天和光照强度勒克斯之间存在一定关系．在低光照强度范围内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（　　）
A．当时，随的增大而减小
B．当时，有最大值
C．当时，
D．当时，
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（2025·山东）写出使分式有意义的的一个值　 　．
12．（2025·山东）在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位长度，得到的对应点的坐标是　 　．
13．（2025·山东）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　 　．
14．（2025·山东）取直线上一点，过点作轴的垂线，交于点；过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是　 　．
15．（2025·山东）如图，在中，，，点为边上异于的一点，以，为邻边作，则线段的最小值是　 　．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（2025·山东）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
17．（2025·山东）在中，，，的平分线交于点．
如图．
（1）求的度数；
（2）已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点如图，求的长．
18．（2025·山东）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．
已知本次注水前蓄水池的水位高度为米，注水时水位高度每小时上升米．
（1）请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度米与注水时间小时之间的关系式；
（2）已知蓄水池的底面积为万平方米，每立方米的水可供发电千瓦时，求注水多长时间可供发电万千瓦时？
19．（2025·山东）在年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的值进行了检测，并对一天小时内每小时的值进行了整理、描述及分析．
【收集数据】
甲基地水体的值数据：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
乙基地水体的值数据：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
【整理数据】
甲
乙
【描述数据】
【分析数据】
平均数 众数 中位数 方差
甲
乙
根据以上信息解决下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）填空：　 　 ，　 　 ；
（3）请判断甲、乙哪个基地水体的值更稳定，并说明理由；
（4）已知两基地对水体值的日变化量值最大值与最小值的差要求为，分别判断并说明该日两基地的值是否符合要求．
20．（2025·山东）如图，在中，点在上，边交于点，于点．是的平分线．
（1）求证：为的切线；
（2）若的半径为，，求的长．
21．（2025·山东）【问题情境】
年月日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用打印完成，如图．
【问题提出】
部件主视图如图所示，由于的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求．
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法．
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱圆柱．
操作步骤：如图，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图，分别与，相切于点，用游标卡尺测量出的长度．
【问题解决】
已知，的长度要求是．
（1）求的度数；
（2）已知钢柱的底面圆半径为，现测得根据以上信息，通过计算说明该部件的长度是否符合要求．参考数据：
（3）【结果反思】本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由．
22．（2025·山东）已知二次函数，其中，为两个不相等的实数．
（1）当、时，求此函数图象的对称轴；
（2）当时，若该函数在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围；
（3）若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由
23．（2025·山东）【图形感知】
如图，在四边形中，已知，，．
（1）求的长；
（2）【探究发现】
老师指导同学们对图所示的纸片进行了折叠探究．
在线段上取一点，连接将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是，的对应点．
其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：
甲：点恰好落在边上，延长交于点，如图判断四边形的形状，并说明理由；
乙：点恰好落在边上，如图求的长；
（3）如图，连接交于点，连接当点在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】 解：观察数轴知，M表示的数字是-2，N表示的是原点，P表示的数字是+1，Q表示的数字是+3.
故答案为：A.
【分析】数轴上原点左边的点表示的数字是负数，原点右边的点表示的数字是正数，这个点到原点的距离即这个数的绝对值.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形；
故答案为：B.
【分析】如果把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的图形能够完全重合，这个图形叫轴对称图形，这条直线叫它的对称轴；如果把一个图形绕一个点旋转后与原图形完全重合，这个图形叫中心对称图形，这个点叫它的对称中心.
3．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、既不是主视图，也不是左视图，也不是俯视图；
B、既不是主视图，也不是左视图，也不是俯视图；
C、是主视图；
D、是俯视图
故答案为：C.
【分析】从物体的正面观察得到的图形叫主视图.
4．【答案】C
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：9亿
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示一个绝对值较大的数字时，常把这个数表示成的形式，其中取这个数字整数部分数位个数与1的差.
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，结果错误；
B、，结果正确；
C、与不是同类项，不能合并，结果错误；
D、，结果错误；
故答案为：B.
【分析】A、合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的指数都不变；B、积的乘方，先积的每个因式先乘方，再把所得的幂相乘；C、整式的加减，不是同类项不能合并；D、同底数幂的除法，底数不变，指数相减.
6．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表得：
　 亚醜钺 蛋壳黑陶杯 颂簋
亚醜钺
蛋壳黑陶杯
颂簋
故答案为：A.
【分析】两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据，
7．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设哪吒有个，夜叉有个， 由题意列方程得
故答案为：D.
【分析】设哪吒有个，夜叉有个，根据相等关系“ 共有个头，只手 ”列方程组即可.
8．【答案】D
【知识点】垂径定理；几何图形的面积计算-割补法；内切圆与外接圆的综合运用
【解析】【解答】解：如图所示，连接OD、OC、OE
与相切
故答案为：D.
【分析】由于圆内接正方形的中心角是直角，则由切线的性质知内切圆半径OE垂直CD，再由垂径定理知OE平分CD，由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD=4，再由勾股定理可得OD的平方等于8，则阴影部分面积等于外接圆面积与内切圆面积的差.
9．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：反比例函数图象的一个分支在第一象限，
当时，随的增大而减小
当时，
时，
故答案为：A.
【分析】由反比例函数的几何意义结合图象的大体位置知，则在每一个分支内，随的增大而减小，则当时，.
10．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：观察图象知，直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，则抛物线对称轴为，由于抛物线开口向下，则当时，随的增大而减小；当，有最大值；当时，；由于，则直线与抛物线有两个交点，即或与；
故答案为：B.
【分析】A、观察图象知，抛物线与直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，即抛物线上两点 与关于对称轴对称，则对称轴为直线，由于抛物线开口向下，则在对称右侧，即当时随的增大而减小；B、由于抛物线开口向下，则当时，有最大值 ；C、观察图象知，当时，对应在自变量的取值范围为；D、由于在对称轴左侧，即时，随的增大而增大，因为，所以直线与抛物线也有两个交点，即的值应该有两个，且到对称轴的距离相等.
11．【答案】不唯一
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：
故答案为：1（任意一个不等于的数都可以）.
【分析】分式有意义的条件是分母不等于0.
12．【答案】
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】平面直角坐标系点的平移规律：上加下减（纵坐标）、左加右减（横坐标）.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：方程有两个不相等的实数根
故答案为：.
【分析】一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时 ，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根.
14．【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；关于坐标轴对称的点的坐标特征；探索数与式的规律；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A1（1，-1），由题意知A2（1，1），A3（-1，1），A4（-1，-1），A5（1，-1）
即每四个操作一个循环，
A2025（1，-1），
故答案为：.
【分析】先由直线和双曲线上点的坐标特征可先分别求出A2（1，1），A3（-1，1），A4（-1，-1），A5（1，-1），可发现每4个操作一个循环，即可得出规律，再利用2025除以4的余数即可得出结果.
15．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图所示，设PQ交AB于点O
四边形APBQ是平行四边形
、
则当时，PO最小，即PQ最小
此时，即
，即
故答案为：.
【分析】如图所示，设AB交PQ于点O，由于平行四边形的对角线互相平分，因此PQ=2PO，因为点O是直线AC外一点，则当时，OP最小，则PQ最小，此时可证明，由相似比得，则可借助勾股定理求出AC，则OP值可求，即PQ值可求.
16．【答案】（1）解：
（2）
；
当时，原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）实数的混合运算，先分别计算0次和开方，再化简绝对值代数式，再进行乘法运算，最后再进行加法运算即可；
（2）分式的化简求值，先化简最后再代入求值，化简时先对括号内的异分母分式通分再相加，下来再进行乘法运算，运算时同时对分子分母分别分解因式并约分，从而化结果为最很简分式或整式，再代入字母的值进行计算即可.
17．【答案】（1）解：，，
，
是的平分线，
，
（2）解：由作图知是线段的垂直平分线，
，
，
，
，，
，，
，，
，
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先由直角三角形两锐角互余求出，再利用角平分线的概念求出，最后利用三角形外角的性质即可；
（2）先由线段垂直平分线的概念得，再由等角对等边得，再由直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半得，则可利用证明，所以，再解求出AD即可.
18．【答案】（1）解：由题意可得：蓄水池的水位高度米与注水时间小时之间的关系式
（2）解：根据题意，得，
解得．
答：注水小时可供发电万千瓦时
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）直接由题意可得蓄水池的水位高度米是注水时间小时的一次函数，由待定系数法可直接得出关系式；
（2）先由发电总量和单位每小时的发电量可得蓄水池的蓄水方量，即此时水的上升高度与底面积的积，列方程并求解即可.
19．【答案】（1）解：根据题意得，
补全频数分布直方图如图；
；
（2）；
（3）解：甲的方差为，乙的方差为，，
甲基地水体的值更稳定
（4）解：甲基地对水体值的日变化量：，
乙基地对水体值的日变化量：，
该日两基地的值甲符合要求，乙不符合要求
【知识点】条形统计图；中位数；分析数据的波动程度；众数
【解析】【分析】（1）由抽样总数分别减去已知4个小组的频数即可得出a；
（2）众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个，也可能是多个；中位数是指按照从小到大的顺序对一组数据排序后，再根据抽样总数取最中间一个或最中间两个数据的平均值；
（3）方差是衡量一组数据稳定性的量，方差越小，数据越稳定，波动越小，反之，数据越不稳定，波动越大.
20．【答案】（1）证明：，
，
，
，
是的平分线，
，
，
即且为半径，
为的切线
（2）解：，又，
等腰直角三角形，
的半径为，
，
，
【知识点】切线的性质；切线的判定；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）由角平分线的概念得，由直角三角形两锐角互余得，由等边对等角得，，等量代换得即可；
（2）由切线的性质结合已知可得为等腰直角三角形，则由勾股定理可得，则BC=OB-OC即可.
21．【答案】（1）解：分别与，相切于点，，
，
（2）解：如图所示，过点O作CM的垂线段OF，则四边形OBCF是正方形.
钢柱的底面圆半径为，
，
，，
，
，
同理，
，
，
该部件的长度符合要求
（3）能，将圆柱换成正方体．如图，
设正方体的棱长为，用游标卡尺测量出的长度．
，
，
，
，
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的判定与性质；切线长定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由切线长定理可得AB=AD，因为OA是公共边，则由HL可证，由全等的性质可得；
（2）如图所示，过点O作CM的垂线段OF，则四边形OBCF是正方形，则BC=OB=1，解可得，即，同理，则利用可求得即可；
（3）能，如图所示，用正方体代替圆柱也可以，同理先可得，则AC可求，则，再利用可得.
22．【答案】（1）解：当、时，二次函数可化为：，
此函数图象的对称轴为
（2）解：当时，二次函数可化为：，
抛物线对称轴为，
，
抛物线开口方向向上，
在时，随的增大而减小；
，
在时，随的增大而增大；
，
（3）解：若点，，均在该函数的图象上，
，
，
；
；
，
，整理得：
，为两个不相等的实数，
，
，解得：
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）把和的值代入到函数解析式中可得抛物线解析式，再利用即可；
（2）把代入到函数解析式中可得，则抛物线开口向上，对称轴为直线，由二次函数的性质知，在对称轴左侧，随的增大而减小 ；在对称轴右侧，随的增大而增大 ，所以；
（3）先利用二次函数图象上点的坐标特征分别表示出，再整理得，由于，显然当时，，即存在这样的值.
23．【答案】（1）解：，
，
，
，
，
，，，
，
，
；
（2）四边形是矩形，理由如下，
由折叠的性质得，，
，
，
四边形是矩形；
延长和相交于点，连接，
由折叠的性质得，，，
点恰好落在边上，
，，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
点在对角线上，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
（3）由折叠的性质得，，
是线段的垂直平分线，
，
点在以为直径的上，连接，，
，即点在上时，线段存在最小值，
，
线段的最小值为
【知识点】正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；定点定长辅助圆模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由于同旁内角互补两直线平行，则，又，则，此时可由勾股定理先求出BD，再利用相似比即可求出CD；
（2）由折叠的性质知，、，则，即四边形DBA`F是矩形；
如图所示，延长AD交A`D`于点Q，则由折叠的性质可判定四边形ABA`Q为正方形，由已知知则点D恰好为AQ的中点，由勾股定理可求得，则同正方形的对边平行可判定，由相似比可，即；
（3）如图所示，取的斜边BD的中点O，则点P在BD为直径的上运动，由于点C是圆外一定点，点P是圆上一动点，显然当点P在线段OC上时，CP最小，即，此时利用勾股定理求出OC的长即可.
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