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2025年临沧市地区中学高一3月月考
高一 数学 试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为
A. B.
C. D.
2.已知，为两条直线，，为两个平面，，，，则是的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若且，则的最小值为
A. B. C. D.
4.某日化用品厂家研发了一种新的牙膏产品，该产品的成本由生产成本和销售成本组成每批产品的销售成本元与生产该产品的数量千件满足指数函数模型，已知每件产品的生产成本为元，生产千件该产品时，总成本为元，若销售成本增加倍，则生产该产品的数量增加了 千件
A. B. C. D.
5.如图，正方形的边长为，为边的中点，为边上一点，若，则
A. B. C. D.
6.已知复数的共轭复数是，则复数在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7.已知正三棱柱的所有顶点都在球的表面上，若球的表面积为，则正三棱柱的体积的最大值为
A. B. C. D.
8.已知函数其中，为自然对数的底数．若的最小值为，则的取值范围为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列四个结论中正确的是
A. 函数的图象关于原点对称
B. 函数的最小正周期为
C. 的值域为
D. 设函数的奇偶性与函数相同，且函数在上单调递减，则的最小值为
10.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，是的三个内角，且点满足，则
A. 为的垂心
B.
C.
D.
11.如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则下列说法正确的是
A. B. 平面
C. 三棱锥的体积为定值 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数，，则的最大值是 ．
13.在用二分法求方程的近似解的过程中，已确定方程的一根，则再经过两次计算后，所在的开区间为__________．
14.一般地，若的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”，
若为的跟随区间，则 ；
若函数存在跟随区间，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求函数的解析式
若，，求的取值范围．
16.本小题分
习近平指出，倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染数量为设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，则第次改良后所排放的废气中的污染物数量，可由函数模型给出，其中是指改良工艺的次数．
试求改良后的函数模型；
依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过试问：至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？参考数据：取
17.本小题分
已知向量，，，且，．
求与；
若，，求向量，的夹角的大小．
18.本小题分
中国古代数学名著九章算术中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条线．刍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，．
求二面角的大小；
求三棱锥的体积；
点在直线上，满足，在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知是定义在上的奇函数，且当时，．
求函数的解析式；
当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.由题意，得，，
阴影部分表示的集合为或．
故选：．
2.，，所以，所以是的充分条件
，，，，只有垂直于两个平面的交线时，则，所以是的不必要条件．
所以是的充分不必要条件．
故选：．
3.由得，
令，，则且，，
所以
，
当且仅当，时取等号，
故的最小值为 ，
故选A．
4.设生产了千件该产品，
则生产总成本为．
因为，
所以，
所以，
所以．
所以，
设现在的销售成本为，对应的生产数量为，
原来的销售成本为，对应的生产数量为，
由销售成本增加一倍知，
所以，
故千件．
故选A．
5.法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立平面直角坐标系如图所示，
则，设，则，故，．
，，解得，
．
故选D．
法二：连接
由题意，，
，
是的中点，
设，
则，
在中，，
即，
解得，．
故选D．
6.，
由的幂的周期性可知，
则复数在复平面内对应的点位于第二象限．
故选B．
7.设正三棱柱上下底面的中心分别为，，连接．
根据对称性可知，线段的中点即为正三棱柱外接球的球心，线段即为该外接球的半径．
由已知得，所以．
设正三棱柱的底面边长为，则．
在中，，
所以，
所以正三棱柱的体积．
令，则，，
故，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以．
故选C．
8.当时，，当且仅当时取等号；
当时，，且
所以，当时，在时有解，且当时，的最小值为，
故只需时，的最小值大于或等于即可，
即，解得，所以当时，满足题意；
当或时，在时恒成立，
所以只需时，的最小值为即可，即，
解得，即满足条件；
当时，在时恒成立，
所以只需时，的最小值为即可，即，
解得，不满足题意；
综上所述，的取值范围为．
9.，
为偶函数，其图象关于轴对称，故A项错误；
，
函数的最小正周期为，故B项正确；
当时，，
，，，
函数的周期为，的值域为，故C项正确；
易知函数为偶函数，为偶函数，
，，又，，
，即，
由，，得，
函数在上单调递减，，解得，故D项错误．
故选：．
10.
A.因为，移项整理得：，即，故，同理可得、，故为的垂心，故选项A正确；
B.延长线段交边于，延长线段交边于，延长线段交边于，由图知，且，所以，故选项B正确；
C.在中，由正弦定理得：，故，故选项C错误；
D.由三角形面积公式及选项B的结论：，同理可得，由得，再由奔驰定理即得，故选项D正确．
故应选ABD．
11. 对于，连接、，
由于，，
所以平面，
又平面，
所以，
故A正确
对于，连接，，如图：
，，
四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面，
同理四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面，
，平面，平面，
平面平面，
平面，
平面，故B正确
对于，
由知，又平面，平面，
平面，
点到平面的距离等于点到平面的距离，
，故C错误
对于， 将平面和平面沿直线展开为一个平面，如图：
则当为与的交点时，取得最小值为的长度，
，
，
，
中，由余弦定理可得
，
即的最小值为，故D正确．
故选ABD．
12.，，
设，
则，
，其中，
当时，取得最大值，
从而得到的最大值为．
故答案为．
13.令，可知，
且，
故函数零点位于，
又，
所在的开区间为．
故答案为．
14.因为为的跟随区间，
所以函数的值域为，
因为，
所以二次函数的对称轴为，
因此函数，在上单调递增，
因此根据题中所给的定义有
函数的定义域为：，
因为函数存在跟随区间，
设跟随区间为，
所以的值域为，而函数是定义域内的递减函数，
因此有：，
因为，
所以，
因此，
所以，
令，，
所以，，
因此有，同理，
设函数，
因为，，
所以，，
因为，，
所以方程在时，有两个不相等的实数根．
因此直线与函数的图象有两个交点，
因此有
故答案为 ；
15.由图象有，最小正周期，
所以，所以．
由，得，，所以，．
又因为，所以所以 ．
由可知，
．
因为，所以，所以，
所以的取值范围为
16.解：由题意得，，
所以当时，，
即，
解得，
所以，
故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为．
由题意可得，
整理得，
两边同时取常用对数，得，
整理得，
将代入，可得，
又因为，所以，
综上，至少进行次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．
17.解：由，得，解得．
由，得，解得．
所以，．
因为，，
所以，，
．
所以，
又，．
所以向量，的夹角为．
18.解：过点分别作，，分别交，于，，连接，
则为二面角的平面角，
因为四边形为正方形，，
所以，，
由已知得，
所以．
过点作，垂足为．
因为，平面，平面，
所以平面．
因为，，
所以．
因为，，平面，
所以平面．
因为平面，
所以．
因为，，平面，
所以平面，
所以为三棱锥的高，．
因为，
所以．
方法一：
假设存在点．
当点在线段上时，连接交于，
则∽，
所以．
因为平面，平面，
平面平面，
所以，
所以．
当点在延长线上时，连接交于，
则∽，
所以．
因为平面，平面，
平面平面，
所以，
所以．
综上，在直线上存在点，使平面，的值为或．
方法二：
当点在线段上时，过点作交于，连接，过点作交于点，
因为，
所以平面平面．
因为平面，
所以平面．
因为平面，平面平面，
所以．
因为，，
所以∽，
所以，
所以，
所以．
当点在线段延长线上时，过点作交于，
又平面，平面，
所以平面，
又连接，过点作交于点，
又平面，平面，
所以平面，
又因为，平面，平面，
所以平面平面．
因为平面，
所以平面．
因为平面，平面平面，
所以．
因为，，
所以∽，
所以，
所以．
所以．
综上，在上存在点使得平面，此时或．

19.解：当时，，
则当时，，所以，
又是奇函数，，故，
当时，，
故函数
由，可得．
是奇函数，．
又是减函数，所以对恒成立．
令，则，
对恒成立．
方法一：令， ，
因为二次函数开口向上，所以为，中较大的值，
，解得．
实数的取值范围为．
方法二分离参数法对恒成立．
记，函数在区间上单调递减，
所以 ，
实数的取值范围为．

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