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遂宁中学2024~2025学年度下期半期考试
高一数学
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1.答卷前、考生务必将自己的班级、姓名和准考证号填写在试卷和答题卡上。
2.选择题用2B铅笔在对应的题号涂黑答案。主观题用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡上对应的答题区域内。
3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡上交。
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（ ）
A． B． C． D．
2．如图，向量，，，则向量可以表示为（ ）
A． B． C． D．
3．已知为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．若向量，，则“”是“向量，的夹角为锐角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知函数，相邻两个零点的距离为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．关于点对称
C．将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于原点对称
D．在区间上单调递增
6．如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．3
7．已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得两次最大值1，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）
9．下列函数中最小正周期为的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，线段是的弦，其中，，点为上任意一点，则以下结论正确的是（ ）
A． B．的最大值是78
C．当时， D．
11．平行四边形中，，，.动点满足，，下列选项中正确的有（ ）
A．时，的取值范围是
B．时，存在使得
C．时，动点纵坐标取值范围的长为
D．且最大时，在上的投影向量为
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．计算________________.
13．已知梯形中，，，且三个顶点坐标分别为，，，则顶点的坐标为______________.
14．设与图象的相邻3个公共点自左向右依次为，，，若，则的值为________________.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.）
15．（13分）已知向量，，若，，与的夹角为60°.
（1）求；
（2）当为何值时，向量与向量互相垂直？
16．（15分）如图，单位圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，为正三角形.
（1）求的值；
（2）化简，并求其值.
17．（15分）已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）已知，，，，，求的值.
18．（17分）已知函数的一个最高点的坐标为.
（1）求的解析式；
（2）将的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，且在区间上至少有2个零点，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当取得最小值时，对，都有成立，求的取值范围.
19．（17分）如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，，分别是与轴、轴同方向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的斜坐标.
（1）若，，，求；
（2）若，，，求在上的投影向量斜坐标.
（3）若，，，，求的最小值.
遂宁中学20242025学年度下期半期考试
高一数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C A B D C B C ACD AD AB
（附：部分选择题详解）
6．C 【详解】如图，延长交于点，因点是的重心，
则，①
因，，三点共线，则，使，
因，，代入得，，②由①，②联立，可得，，消去即得，，
则，当且仅当时等号成立，即，时，取得最小值，为.故选：C.
7．B 【详解】由函数在区间上是增函数，则有
，由可得，所以，又函数在区间上恰好取得两次最大值1，得，
所以，即，故选：B.
8．C 【详解】，分别表示与方向的单位向量，
以，这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，故所在直线为的平分线所在直线，，的平分线与垂直.
故，取的中点，连接，则，由题意得，
，，.
如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，，故.
设，则，，
，，
当时，取得最小值，最小值为，故选：C.
9．ACD 【详解】对于A，函数的最小正周期为，故A正确；
对于B，因为，所以的最小正周期为，故B错误；
对于C，的最小正周期为，故C正确；
对于D，作的图象，如图，由图可知的最小正周期为，故D正确.
故选：ACD.
10．AD 【详解】点为上一动点，可知当点，，三点共线的时候，的值最大是，故选A；
，故选D；
当时，即，此时，点在上有两个位置，如图所示，故不止一个答案，所以，排除C选项.
对于B选项，如图1所示，建立平面直角坐标系，则点坐标设为，点坐标是，点坐标是.
则，，，所以，当，即时，取得最大值72，因此B不正确，故选：AD.
11．AB 【详解】解：对于A，若，则在线段上（含端点），
所以的取值范围是，故A正确；在平行四边形中，作，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，则，，
所以，则，对于C，
，则，所以，由，
得到，所以动点形成的轨迹的长为，故C错误；对于B，若，则，所以，，
所以令，解得，符合题意，所以时，存在使得，故B正确；对于D，过点作，若，则在上，又因为最大，所以与重合，作.
则在上的投影向量为，由，则在上的投影向量为，故D错误，故选：AB.
12．
13． 【详解】由题意，设顶点的坐标为，则，，所以，解得，所以顶点的坐标为.故答案为：.
14． 【详解】作出函数的大致图象，如图，令，，解得，，
则函数的图象与直线连续的三个公共点，，，且，
则，关于直线，对称，且，
所以，所以点的横坐标为，
.
15．（1），
.
（2）当向量与向量互相垂直时，，
即，即，解得，
所以当时，向量与向量互相垂直.
16．（1）
，
由图知：角对应的终边为，因为点的坐标为，
且圆为单位圆，由三角函数定义得.
（2）
其中，
由（1）知：，，
所以.
17．（1），，即，，
（2），，，
，，且①，，，
，，且②
由①②知，.
18．（1）由题意，，，又，
所以，，所以，
（2）由题意，，当时，，
在区间上至少有2个零点，
则，解得，所以的取值范围为；
（3）的最小值为，即.
因为当时，，，，
所以的最大值为3，故，，
解得：或.
19．（1），，，，
，，解得.
（2），，，，
由题意得，，，故，
，
，
在上的投影向量为，
在上的投影向量斜坐标为.
（3），，
，，即，
，，，
，，，，
，，
，
，
令，则，，
，函数在上单调递减，
函数在上单调递增，
当时，，即的最小值为.

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