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2025年安徽省安庆市高三第三次模拟考试
数 学
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
2．等比数列中的，是函数的极值点，，则（ ）
A．1 B． C． D．
3．已知向量，满足，，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．曲线在点 处的切线与直线和 围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．1
5．已知函数满足，当时，，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．18
6．正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，若一个球的球心到正四棱台各个面的距离均等于该球的半径，则正四棱台与该球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
7．已知点在圆上，A（，0），，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
8．已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（ ）
A．事件，为互斥事件 B．事件B，C为独立事件
C． D．
10．设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，无极值点
C．，使在上是减函数
D．图象对称中心的横坐标不变
11．如图，棱长为2的正方体中，分别是棱，棱的中点，动点满足，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则三棱锥的体积为定值
C．若，则直线与直线所成角的最小值为60°
D．若动点在三棱锥外接球的表面上，则点的轨迹长度为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，则 .
13．已知函数的图象在处的切线经过坐标原点，则实数 ．
14．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，若在C上存在点P（不是顶点），使得，则C的离心率的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知数列中，，设为前n项和，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和
16.（15分）如图，四棱锥中，平面平面，为棱上一点.

(1)证明：；
(2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值.
17．（15分）已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响．规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局．
(1)如果约定先净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率；
(2)如果约定先净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜局．设甲在净胜局时，继续比赛甲获胜的概率为，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为，期望为．
①求甲获胜的概率；
②求．
18．（17分）已知点为椭圆的右端点，椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)试判断线段的中点是否为定点，若是，求出该点纵坐标，若不是，说明理由.
19．（17分）已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)若，求的值；
(3)求证：
答案及详解
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A A C B B A ACD BD
题号 11
答案 ABD
1．C ，所以复数的共轭复数为，
2．A由求导得.由或；由.
所以函数在和上单调递增，在上单调递减.所以函数的极大值点为，极小值点为.由题意可知，所以.
3．A由已知，即，又，则，解得，，
4．A ，所以在点处的切线方程为，它与的交点为，与的交点为，所以三角形面积为
5．C因为，所以．
因为，所以．
6．B如图作出正四棱台的轴截面图，可知这个等腰梯形的内切圆就是内切球的最大圆，根据，设球的半径为，则由直角三角形中的勾股定理得：，
利用等面积法：，
可得：，
解得：，再由棱台体积公式得：，
由球的体积公式得：，
所以正四棱台与球的体积之比是：，
7．B设，，，则，
整理后，
与已知轨迹方程展开整理得：，
对照，得，解得，所以.
则当、、三点共线时取得最小值
故选：B.
8．A因为，由可得，即函数的定义域为，
可得，
即，
构造函数，其中，则，故函数在上单调递增，
所以，可得，则，
即，其中，令，其中，
则，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，解得.
综上，
9．ACD第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A正确；
由于是红球有3个，白球有2个，事件发生时，两球同为白色或同为红色，，事件不发生，则两球一白一红，，不独立，B错；，C正确；事件发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件才发生，所以，D正确．故选：ACD．
10．BD对于A，当时，，求导得，
令得或，由，得或，由，
得，于是在，上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，因此最多有一个零点，A错误；对于B，，当时，，即恒成立，
函数在上单调递增，无极值点，B正确；
对于C，要使在上是减函数，则恒成立，
而不等式的解集不可能为，C错误；
对于D，由，
得图象对称中心坐标为，D正确.故选：BD
11．ABD以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，
所以，即 ，
所以，又，
所以，
所以，所以，故A正确；
因为，，所以点在直线上，又因为，，所以四边形是平行四边形，所心，又平面，平面，所以平面，所以到平面的距离为定值，又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；点为的中点，坐标为，点的坐标为 ，向量，向量，设直线与直线所成的角为，，
又因为，当 时，，
即直线与直线所成角的最小值为，故C错误； 因为三棱锥即为三棱锥，又底面是直角三角形，过的中点作平面，是三棱锥外接球的球心，
因为平面，所以，又，
所以三棱锥外接球的半径，
因为点在平面内，又在三棱锥外接球的表面上，
所以 的轨迹是平面截三棱锥外接球的截面圆，
又易得到平面的距离为1，所以截面圆的半径为，
所以 的轨迹的周长为 ，故D正确.故选：ABD.
12．因为，所以，
所以.
13．因为，所以，
所以，又，所以在处的切线方程为：，
又切线方程过原点，把代入得，解得：．
14． 设与轴交点，连接， 由对称性可知，，如图所示，又∵，∴，∴．又∵，∴，在中， ，∴，∴ ，由， ，即，则
15．（1）数列中，，为前n项和，当时，，，
当时，①，②，由②-①得：，，即，当时，，递推可得：，，，，由累乘法可得：，
，又因为，所以，即，所以；
（2）由（1）可知，，所以：
，所以
；所以数列的前n项和.
16．（1）取中点，连接平面平面，平面平面平面平面平面
，即又平面平面
平面（2）连接，设，连接平面平面，平面平面，易知取中点，连接，则两两互相垂直.
分别以为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系

则
，，
设平面的一个法向量则即令，则设直线与平面所成角为，即直线与平面所成角的.正弦值为
17．（1）4局结束比赛时甲获胜，则在前2局甲乙各胜一局，并且第3，4局甲胜，
概率为；4局结束比赛时乙获胜，则在前2局甲乙各胜一局，并且第3，4局乙胜，概率为，所以恰好4局结束比赛的概率为．
（2）①在甲净胜-2局前提下，继续比赛一局：
若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛获胜的概率为；
若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，
根据全概率公式，，同理，，，，由，，得，与联立消去，得，又，，得，
与联立消去，得，所以甲获胜的概率为．
18．（1）由题意得，，又，
解得，，，所以椭圆的标准方程为；
（2）设，，因为直线经过且与椭圆交于BC两点，所以直线BC的斜率一定存在，故设直线BC的方程为：，其中，
由得：，，得；+，，
又因为直线AB的方程:，得，同理
由+=
==故MN的中点为.
19．（（1）当时，，，
则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在处取得极小值，无极大值；
（2）由题意得，①当时，，所以在上单调递增，所以当时，，与矛盾；②当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，因为恒成立，所以，记，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以，又，所以，所以；
（3）证明：先证，设，则，
所以在区间上单调递减，所以，即，
所以，再证，
由（2）可知，当时等号成立，令，则，
即，所以，，，累加可得，
所以.

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