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浙江省杭州市文澜中学2024-2025学年七年级下学期数学期中考试试卷
1．（2025七下·杭州期中）如图是deepseek的标志，通过平移该标志可以得到的图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A.不可通过平移得到；
B.不可通过平移得到；
C.不可通过平移得到；
D.可通过平移得到；
故答案为：D.
【分析】根据平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移前后图形的形状大小不变，判断即可得出答案.
2．（2025七下·杭州期中）已知某国产芯片突破0.000005毫米制程工艺，数据0.000005用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.000005=5×10-6，
故答案为：A.
【分析】根据科学记数法的表示形式即可得出答案.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1 ≤ a < 10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值< 1时，n是负数.
3．（2025七下·杭州期中）下列是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A.，含一个未知数，且未知数的次数为1，不是二元一次方程，故不A符合题意；
B.，含两个未知数，且未知数的次数为2，不是二元一次方程，故B不符合题意；
C.，含分式，不是二元一次方程，不是二元一次方程，故C不符合题意；
D.，含两个未知数，且未知数的次数为1，是二元一次方程，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据 二元一次方程定义：含有两个未知数、且未知数对应项的次数为1的整式方程，叫作二元一次方程，判断即可得出答案.
4．（2025七下·杭州期中）点为直线BC外一点，于．点是直线BC上的动点，则线段AP长可能是（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC于D，AD=6，
∴AP≥AD，
即AP≥6，
∴只有选项D符合题意，
故答案为：D.
【分析】利用垂线段最短得到AP≥AC，然后对各选项进行判断.
5．（2025七下·杭州期中）下列各式中，计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，正确，故A符合题意；
B.，错误，故B不符合题意；
C.与不是同类项，不能合并，故C不符合题意；
D.，错误，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】 根据合并同类项法则，同底数幂乘法则，幂的乘方，积的乘方，计算，即可判断得出正确答案.
同底数幂乘法：底数不变，指数相加，即a ·an=a +n；
幂的乘方：底数不变，指数相乘，即(a )n=a n；
积的乘方：各因式分别乘方再相乘，即(ab)n=anbn.
6．（2025七下·杭州期中）如图，下列图形中的和不是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：A. 图形中的和 是同位角，故A不符合题意；
B. 图形中的和 是同位角，故B不符合题意；
C. 图形中的和 不是同位角，故C符合题意；
D. 图形中的和 是同位角，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据同位角的定义：在两条直线被第三条直线（称为横截线）相交时，位于相同侧且与横截线同侧的两个角是同位角，判断即可得出答案.
7．（2025七下·杭州期中）《九章算术》中记载：今有上等稻6捆，其所得谷粒减去18升相当于下等稻10捆所得谷粒；下等稻15捆，其所得谷粒减去5升相当于上等稻5捆所得谷粒。问上等稻、下等稻每捆各出谷粒几升？若设上等稻每捆出谷粒升，下等稻每捆出谷粒升，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵上等稻6捆，其所得谷粒减去18升(1斗=10升)，相当于下等稻10捆所得谷粒，
∴6x-18 =10y，
∵下等稻15捆，其所得谷粒减去5升，相当于上等稻5捆所得谷粒，
∴15y-5=5x，
则根据题意可列出方程组
故答案为：B.
【分析】根据“上等稻6捆，其所得谷粒减去18升，相当于下等稻10捆所得谷粒；下等稻15捆，其所得谷粒减去5升，相当于上等稻5捆所得谷粒”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，即可得出答案.
8．（2025七下·杭州期中）下列说法中正确的个数为（　　）
①不相交的两条直线叫做平行线；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
④两条直线被第三条直线所截，同位角相等。
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】垂线的概念；平行公理及推论；平行线的定义与现象；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故①错误，不符合题意；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②正确，符合题意；
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故③正确，符合题意；
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故④正错误，不符合题意；
综上所述，符合题意的有2个；
故答案为：C.
【分析】根据平行线的判定与性质、平行公理及推论判断即可得出答案.
9．（2025七下·杭州期中）将一副三角板按如图的所示放置，下列结论中不正确的是（　　）
A．若，则有
B．
C．若，则有
D．如果，必有
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：
A. ∵∠2=30°，
∴∠1=60°，
又∠E=60°，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，
故A正确，不符合题意；
B. ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠2+∠2+∠3=180°，
即∠BAE+∠CAD=180°，
故B正确，不符合题意；
C.∵BC∥AD，
∴∠1+∠2+∠3+∠C=180°
∵∠C=45°，∠1+∠2=90°，
∴∠3=45°，
∴∠2=90°-45°= 45°，
故C不正确，符合题意；
D∵∠D=30°，∠CAD =150°，
∴∠D+∠CAD=180°，
∴AC∥DE，
∴∠4=∠C，
故D正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据一幅三角板中各角的度数：对于A根据已知可求出∠1的度数，再根据∠E=60°，结合么∠1与∠E的位置关系，即可判断；根据角的关系判断B，根据平行线的性质定理判断C，结合A的结论和平行线的性质定理判断D.
10．（2025七下·杭州期中）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（　　）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论取什么实数，的值始终不变；
④当方程组的解x，y都为自然数时，则有唯一值为0；
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
①-②得，4y=4-4a，
解得y=1-a，
将y=1-a代入②中得，x=2a+1，
则方程组的解为：，
① 当方程组的解x，y的值互为相反数时，
则x+y=0，即2a+1+1-a=0，
解得a=-2，故①正确；
② 当时，则方程组的解为：，
则x+y=3，
故②正确；
③x+2y=2a+1+2（1-a）=3，
∴ 无论取什么实数，的值始终不变，
故③正确；
④∵方程组的解x，y都为自然数，
∴方程组的自然数的解是，，
则a的值为1或0，
故④错误；
综上所述，正确的是①②③；
故答案为：B.
【分析】先解出方程组，得出x，y的值用含a表示，再根据题意逐一验证即可.
11．（2025七下·杭州期中）若有意义，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解： ∵有意义，
∴，
解得：
故答案为：.
【分析】 根据零指数幂的定义，任何非零实数的零次方都等于1 ，即，列出不等式，解出即可知m的取值范围.
12．（2025七下·杭州期中）如果的乘积中不含的一次项，则的值为　 　．
【答案】1
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
=x2-x+mx-m
=x2（m-1）x-m，
∵ 乘积中不含的一次项，
∴m-1=0，
解得m=1；
故答案为：1.
【分析】先通过多项式乘多项式将代数式展开，再根据已知中不含一次项，即可列出关于m的方程，解出即可得出m的值.
13．（2025七下·杭州期中）已知是二元一次方程的一个解，则k的值为　 　．
【答案】4
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：将 代入方程中得，
2+3k=14，
解得：k=4；
故答案为：4.
【分析】 将已知解代入原方程，转化为关于k的一元一次方程，解出k的值即可求解.
14．（2025七下·杭州期中）计算：　 　.
【答案】-2
【知识点】积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解： 原式=
=
=-2
故答案为：-2.
【分析】先将原式化为同指数部分，利用积的乘方计算即可得出答案.
积的乘方： (ab)n=an · bn （n为正整数）.
15．（2025七下·杭州期中）如图，三角形中，，将三角形沿方向移动至三角形，此时测得，，则阴影部分的面积为　 　．
【答案】27
【知识点】三角形的面积；平移的性质
【解析】【解答】解：∵ 将三角形沿方向移动至三角形，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
故答案为：27．
【分析】根据平移的性质可得和的面积相等，进而可得阴影部分的面积梯形的面积，然后求出梯形的上底即可解答．
16．（2025七下·杭州期中）若（为整数），用含的代数式表示，则　 　.
【答案】
【知识点】幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴=；
故答案为：.
【分析】将关于x，y的等式变形，并代入变换即可得出答案.
17．（2025七下·杭州期中）如图，将一张长方形纸条折叠，若，则的度数为　 　度．
【答案】120
【知识点】平行线的判定与性质的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠BCE=∠ABC
由折叠可得：∠ACB=∠BCE=∠ABC，
∵∠BCE+∠ACB+∠ACD=180°，4∠ABC=∠ACD，
∴6∠ABC =180°，
∴∠ABC =30°，
∴∠ACD=4∠ABC=120°；
故答案为：120.
【分析】根据平行线的性质可得∠BCE=∠ABC，再根据折叠可得：∠ACB=∠BCE，进而根据平角的定义即可得到答案.
18．（2025七下·杭州期中）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就．观察如图各式及其展开式，请问展开式中，共有　 　项，含项的系数是　 　．
【答案】2026；-2025
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律；探索规律-系数规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：由题可知，
因为 (x 1)2 的展开式共有3项，且含x的项系数为-2；
(x 1)3 的展开式共有4项，且含x的项系数为-3；
(x 1)4 的展开式共有5项，且含x的项系数为-4；
...
所以 (x 1)n的展开式共有(n+1)项，且含xn-1的项系数为-n；
当n=2025时， (x 1)2025的展开式共有2026项，且含x2024的项系数为-2025；
故答案为：2026；-2025.
【分析】根据题意，依次求出 (x 1)n展开式得项数及xn-1的系数，发现规律，即可得出答案.
19．（2025七下·杭州期中）如图，7个形状、大小完全相同的小长方形放在一个大长方形中，已知大长方形的周长为32，小长方形的周长为14，则小长方形的长为　 　，AB与CD的差为　 　．
【答案】6；3
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，设小长方形的长为x，宽为y，
则大长方形的长为x+3y、宽为x+y，
由题意得，
解得：，
∴x+3y=9，
∴AB+EF=6，CD+EF=9-6=3，
∴AB-CD=6-3=3，
故答案为：6；3.
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，则大长方形的长为x+3y，宽为x+y，根据大长方形的周长为32，小长方形的周长为14，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题.
20．（2025七下·杭州期中）已知：如图，，若为平面内一点．当点在直线AB，CD之间时，于P，DQ平分，连接AQ，使，设，请写出与之间的数量关系　 　。
【答案】α+β=185
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：延长AP与CD的延长线交于点M，
∵AB∥CD，
∴∠PMD=∠PAB=β°，
∵APIPD
∴∠PDM=90°-β°，
∴∠PDC=180°-(90°-β°)=90°+β°，
∵DQ平分∠PDC，
∴∠PDQ=∠PDC=45°+β°，
由四边形的内角和为360°得，
40°+45°+β°+90°+α°=360°，
整理得，α°+β°=185°，
∴α与β之间的数量关系为：α+β=185，
故答案为：α+β=185.
【分析】延长AP与CD的延长线交于点M，根据平行线的性质及角平分线的定义依次表示出∠PDM和∠PDQ，最后结合四边形的内角和即可得出α与β之间的关系.
21．（2025七下·杭州期中）计算：
（1）．
（2）．
（3）
（4）．
【答案】（1）解：原式=-1+4+1=4；
（2）解：原式=
=402 =1600；
（3）解：原式=；
（4）解：原式=4x2-1-4x2+4x
=4x+1.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】(1)先算乘方，负整数指数幂，0次幂，再算加法；
(2)利用完全平方公式计算即可；
(3)先计算乘方，再去括号即可；
(4)先根据平方差公式，单项式乘多项式将代数式展开，再合并同类项即可.
22．（2025七下·杭州期中）解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
②×3+①式得：8m=24，
解得：m=3，
将m=3代入②式得：6-n=4，
解得n=2，
∴此方程组的解为；
（2）解：
①×3-②式得：7x=14，
解得：x=2，
将x=2代入①式得：6-2y=7，
解得：，
∴此方程组的解为.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加法消元法解二元一次方程组即可；
（2）利用减法消元法解二元一次方程组即可.
23．（2025七下·杭州期中）如图，在边长为1的方格纸内将三角形ABC经过一次平移后得到三角形，图中标出了点的对应点。
（1）补全三角形；
（2）若连接，则这两条线段之间的关系是　 　；
（3）求线段BC平移过程中扫过的面积．
【答案】（1）如图， 三角形 即为所求；
（2）平行且相等
（3）线段BC平移过程中扫过的面积为：
S =S四边形BB'C'C=4×5=20.
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（2）由平移得，这两条线段之间的关系是平行且相等，
故答案为：平行且相等.
【分析】（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据平移的性质即可得出答案；
（3）根据图与平移的性质可知： 线段BC平移过程中扫过的面积是平行四边形的面积，求解即可.
24．（2025七下·杭州期中）如图，已知，点E，G分别在AB，CD上，连结DE，BG，延长AD和BG交于点。
（1）判断AF与BC是否平行，并说明理由．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：AF∥BC，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠A=∠FDC，
∵∠A=∠C，
∴∠FDC=∠C，
∴AF∥BC；
（2）解：∵AB∥CD，DE∥BF，
∴∠A=∠FDC，∠F=∠ADE，
∵∠A+∠F=110°，
∴∠FDC+∠ADE=110°，
∵∠FDC+∠EDG+∠ADE=180°，
∴∠EDG=70°.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和已知条件可得∠FDC=∠C，再根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行，即可得证；
（2）根据平行线的性质及平角的定义计算即可得出答案.
25．（2025七下·杭州期中）某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表：
牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元）
方案一 20 10 1100
方案二 25 20 1750
（1）则牛奶每箱为　 　元；咖啡每箱为　 　元；
（2）超市中该款牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的牛奶和原价咖啡，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，求此次按原价采购的咖啡有多少箱．
【答案】（1）30；50
（2）解：设所有牛奶、咖啡的总箱数为a箱，原价采购的咖啡有b箱，
则购买打折的牛奶箱数是箱，
则原价购买牛奶的箱数是箱，即箱，
打折牛奶的每箱价格为：30×0.6=18（元），
则列方程为：，
整理得：
，
则，
∵a，b均为正整数，
∴或，
∵a＞b，
∴，
即此次按原价采购的咖啡有6箱.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）设牛奶单价为x元/箱，咖啡单价为y元/箱，
根据表格可列方程组为：，
解得：，
答：牛奶每箱30元，咖啡每箱50元，
故答案为：30；50.
【分析】（1）设牛奶单价为x元/箱，咖啡单价为y元/箱，根据表格列出关于x，y的二元一次方程组，解出即可得出答案；
（2）设所有牛奶、咖啡的总箱数为a箱，原价采购的咖啡有b箱，则原价购买牛奶的箱数为箱，由题意可列方程，求出正数解即可.
26．（2025七下·杭州期中）探究与实践
（1）【探索发现】
用四个长为、宽为的长方形拼成如图①所示的正方形，由此得到、ab的等量关系是　 　；
（2）【解决问题】
①若，则　 　；
②当时，求的值；
（3）【拓展提升】
如图②，某小区物业准备在小区内规划设计一块休闲娱乐区，其中BE、CF为两条互相垂直的道路，且，四边形ABGF与四边形CDEG为长方形，现计划在两个三角形区域种植花草，两个长方形区域铺设塑胶地面，按垁划要求，道路BE的长度为80米，若种植花草每平方米需要100元，铺设塑胶地面每平方米需要30元，若物业为本次修建休闲娱乐区筹集了26万刚好用完，求的值．（道路的宽度均不计）
【答案】（1）(a+b)2-(a-b)2=4ab
（2）①±5②(2x-4025)2=[(x-2025)-(2000-x)] 2=[(x-2025)+(2000-x)]2-4(x-2025)(2000-x)=625-400=22，即(2x-4025) 2的值为225；
（3）解：设GE=a，BG=b(a>b)，
由题意得：BG=CG=b，EG=FG=a，
BE=CF=a+b=80，
∵S△BGC=，S△EFG=，
长方形ABGF与长方形CDEG的面积均为ab，
∴100·(+)+30×2ab=260000，
即5(a2+b2)+6ab=26000，
∵a2+b2+2ab=(a+b) 2=6400，
∴5(6400-2ab)+6ab=26000，
解得4ab=6000，
(a-b)2=(a+b)2-4ab=6400-6000=400，
∵a>b，
∴a-b=20，
即GE-BG的值为20.
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）S大正方形=(a+b)2，
S小正方形=(a-b)2，4个长方形的面积均为ab，
由图形可知：(a+b)2-(a-b)2=4ab，
故答案为：(a+b)2-(a-b)2=4ab；
(2)①由(1)中结论可得：(x+2y)2=(x-2y) 2+4x·2y=4+8×=19=6+9=25，
∴x+2y=5或x+2y=-5，
故答案为：±5；
②(2x-4025)2=[(x-2025)-(2000-x)] 2=[(x-2025)+(2000-x)]2-4(x-2025)(2000-x)=625-400=22，
即(2x-4025) 2的值为225；
【分析】（1）根据题图分别表示出大正方形的面积，小正方形的面积，长方形的面积即可得出结论；
（2）①根据（1）中的结论代入相关数值计算即可得出答案；
②将（2x-4025）拆分成两个代数式，再根据（1）中结论将代数式转化变形，即可得出结论；
（3）设EG=a，BG=b(a>b)，由题意可得BG=CG=b，EG=FG=a，BE=CF=a+b=80，△BGC的面积与△EFG的面积即两个长方形的面积均用含a，b的代数式表示，再根据题意可列出关于a，b的方程，利用(1)问中公式即可求出a-b，即GE-BG的值.
1 / 1浙江省杭州市文澜中学2024-2025学年七年级下学期数学期中考试试卷
1．（2025七下·杭州期中）如图是deepseek的标志，通过平移该标志可以得到的图形是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·杭州期中）已知某国产芯片突破0.000005毫米制程工艺，数据0.000005用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·杭州期中）下列是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025七下·杭州期中）点为直线BC外一点，于．点是直线BC上的动点，则线段AP长可能是（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
5．（2025七下·杭州期中）下列各式中，计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025七下·杭州期中）如图，下列图形中的和不是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025七下·杭州期中）《九章算术》中记载：今有上等稻6捆，其所得谷粒减去18升相当于下等稻10捆所得谷粒；下等稻15捆，其所得谷粒减去5升相当于上等稻5捆所得谷粒。问上等稻、下等稻每捆各出谷粒几升？若设上等稻每捆出谷粒升，下等稻每捆出谷粒升，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025七下·杭州期中）下列说法中正确的个数为（　　）
①不相交的两条直线叫做平行线；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
④两条直线被第三条直线所截，同位角相等。
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．（2025七下·杭州期中）将一副三角板按如图的所示放置，下列结论中不正确的是（　　）
A．若，则有
B．
C．若，则有
D．如果，必有
10．（2025七下·杭州期中）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（　　）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论取什么实数，的值始终不变；
④当方程组的解x，y都为自然数时，则有唯一值为0；
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
11．（2025七下·杭州期中）若有意义，则的取值范围是　 　．
12．（2025七下·杭州期中）如果的乘积中不含的一次项，则的值为　 　．
13．（2025七下·杭州期中）已知是二元一次方程的一个解，则k的值为　 　．
14．（2025七下·杭州期中）计算：　 　.
15．（2025七下·杭州期中）如图，三角形中，，将三角形沿方向移动至三角形，此时测得，，则阴影部分的面积为　 　．
16．（2025七下·杭州期中）若（为整数），用含的代数式表示，则　 　.
17．（2025七下·杭州期中）如图，将一张长方形纸条折叠，若，则的度数为　 　度．
18．（2025七下·杭州期中）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就．观察如图各式及其展开式，请问展开式中，共有　 　项，含项的系数是　 　．
19．（2025七下·杭州期中）如图，7个形状、大小完全相同的小长方形放在一个大长方形中，已知大长方形的周长为32，小长方形的周长为14，则小长方形的长为　 　，AB与CD的差为　 　．
20．（2025七下·杭州期中）已知：如图，，若为平面内一点．当点在直线AB，CD之间时，于P，DQ平分，连接AQ，使，设，请写出与之间的数量关系　 　。
21．（2025七下·杭州期中）计算：
（1）．
（2）．
（3）
（4）．
22．（2025七下·杭州期中）解方程组：
（1）
（2）
23．（2025七下·杭州期中）如图，在边长为1的方格纸内将三角形ABC经过一次平移后得到三角形，图中标出了点的对应点。
（1）补全三角形；
（2）若连接，则这两条线段之间的关系是　 　；
（3）求线段BC平移过程中扫过的面积．
24．（2025七下·杭州期中）如图，已知，点E，G分别在AB，CD上，连结DE，BG，延长AD和BG交于点。
（1）判断AF与BC是否平行，并说明理由．
（2）若，求的度数．
25．（2025七下·杭州期中）某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表：
牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元）
方案一 20 10 1100
方案二 25 20 1750
（1）则牛奶每箱为　 　元；咖啡每箱为　 　元；
（2）超市中该款牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的牛奶和原价咖啡，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，求此次按原价采购的咖啡有多少箱．
26．（2025七下·杭州期中）探究与实践
（1）【探索发现】
用四个长为、宽为的长方形拼成如图①所示的正方形，由此得到、ab的等量关系是　 　；
（2）【解决问题】
①若，则　 　；
②当时，求的值；
（3）【拓展提升】
如图②，某小区物业准备在小区内规划设计一块休闲娱乐区，其中BE、CF为两条互相垂直的道路，且，四边形ABGF与四边形CDEG为长方形，现计划在两个三角形区域种植花草，两个长方形区域铺设塑胶地面，按垁划要求，道路BE的长度为80米，若种植花草每平方米需要100元，铺设塑胶地面每平方米需要30元，若物业为本次修建休闲娱乐区筹集了26万刚好用完，求的值．（道路的宽度均不计）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A.不可通过平移得到；
B.不可通过平移得到；
C.不可通过平移得到；
D.可通过平移得到；
故答案为：D.
【分析】根据平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移前后图形的形状大小不变，判断即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.000005=5×10-6，
故答案为：A.
【分析】根据科学记数法的表示形式即可得出答案.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1 ≤ a < 10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值< 1时，n是负数.
3．【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A.，含一个未知数，且未知数的次数为1，不是二元一次方程，故不A符合题意；
B.，含两个未知数，且未知数的次数为2，不是二元一次方程，故B不符合题意；
C.，含分式，不是二元一次方程，不是二元一次方程，故C不符合题意；
D.，含两个未知数，且未知数的次数为1，是二元一次方程，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据 二元一次方程定义：含有两个未知数、且未知数对应项的次数为1的整式方程，叫作二元一次方程，判断即可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC于D，AD=6，
∴AP≥AD，
即AP≥6，
∴只有选项D符合题意，
故答案为：D.
【分析】利用垂线段最短得到AP≥AC，然后对各选项进行判断.
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，正确，故A符合题意；
B.，错误，故B不符合题意；
C.与不是同类项，不能合并，故C不符合题意；
D.，错误，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】 根据合并同类项法则，同底数幂乘法则，幂的乘方，积的乘方，计算，即可判断得出正确答案.
同底数幂乘法：底数不变，指数相加，即a ·an=a +n；
幂的乘方：底数不变，指数相乘，即(a )n=a n；
积的乘方：各因式分别乘方再相乘，即(ab)n=anbn.
6．【答案】C
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：A. 图形中的和 是同位角，故A不符合题意；
B. 图形中的和 是同位角，故B不符合题意；
C. 图形中的和 不是同位角，故C符合题意；
D. 图形中的和 是同位角，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据同位角的定义：在两条直线被第三条直线（称为横截线）相交时，位于相同侧且与横截线同侧的两个角是同位角，判断即可得出答案.
7．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵上等稻6捆，其所得谷粒减去18升(1斗=10升)，相当于下等稻10捆所得谷粒，
∴6x-18 =10y，
∵下等稻15捆，其所得谷粒减去5升，相当于上等稻5捆所得谷粒，
∴15y-5=5x，
则根据题意可列出方程组
故答案为：B.
【分析】根据“上等稻6捆，其所得谷粒减去18升，相当于下等稻10捆所得谷粒；下等稻15捆，其所得谷粒减去5升，相当于上等稻5捆所得谷粒”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，即可得出答案.
8．【答案】C
【知识点】垂线的概念；平行公理及推论；平行线的定义与现象；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故①错误，不符合题意；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②正确，符合题意；
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故③正确，符合题意；
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故④正错误，不符合题意；
综上所述，符合题意的有2个；
故答案为：C.
【分析】根据平行线的判定与性质、平行公理及推论判断即可得出答案.
9．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：
A. ∵∠2=30°，
∴∠1=60°，
又∠E=60°，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，
故A正确，不符合题意；
B. ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠2+∠2+∠3=180°，
即∠BAE+∠CAD=180°，
故B正确，不符合题意；
C.∵BC∥AD，
∴∠1+∠2+∠3+∠C=180°
∵∠C=45°，∠1+∠2=90°，
∴∠3=45°，
∴∠2=90°-45°= 45°，
故C不正确，符合题意；
D∵∠D=30°，∠CAD =150°，
∴∠D+∠CAD=180°，
∴AC∥DE，
∴∠4=∠C，
故D正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据一幅三角板中各角的度数：对于A根据已知可求出∠1的度数，再根据∠E=60°，结合么∠1与∠E的位置关系，即可判断；根据角的关系判断B，根据平行线的性质定理判断C，结合A的结论和平行线的性质定理判断D.
10．【答案】B
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
①-②得，4y=4-4a，
解得y=1-a，
将y=1-a代入②中得，x=2a+1，
则方程组的解为：，
① 当方程组的解x，y的值互为相反数时，
则x+y=0，即2a+1+1-a=0，
解得a=-2，故①正确；
② 当时，则方程组的解为：，
则x+y=3，
故②正确；
③x+2y=2a+1+2（1-a）=3，
∴ 无论取什么实数，的值始终不变，
故③正确；
④∵方程组的解x，y都为自然数，
∴方程组的自然数的解是，，
则a的值为1或0，
故④错误；
综上所述，正确的是①②③；
故答案为：B.
【分析】先解出方程组，得出x，y的值用含a表示，再根据题意逐一验证即可.
11．【答案】
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解： ∵有意义，
∴，
解得：
故答案为：.
【分析】 根据零指数幂的定义，任何非零实数的零次方都等于1 ，即，列出不等式，解出即可知m的取值范围.
12．【答案】1
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
=x2-x+mx-m
=x2（m-1）x-m，
∵ 乘积中不含的一次项，
∴m-1=0，
解得m=1；
故答案为：1.
【分析】先通过多项式乘多项式将代数式展开，再根据已知中不含一次项，即可列出关于m的方程，解出即可得出m的值.
13．【答案】4
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：将 代入方程中得，
2+3k=14，
解得：k=4；
故答案为：4.
【分析】 将已知解代入原方程，转化为关于k的一元一次方程，解出k的值即可求解.
14．【答案】-2
【知识点】积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解： 原式=
=
=-2
故答案为：-2.
【分析】先将原式化为同指数部分，利用积的乘方计算即可得出答案.
积的乘方： (ab)n=an · bn （n为正整数）.
15．【答案】27
【知识点】三角形的面积；平移的性质
【解析】【解答】解：∵ 将三角形沿方向移动至三角形，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
故答案为：27．
【分析】根据平移的性质可得和的面积相等，进而可得阴影部分的面积梯形的面积，然后求出梯形的上底即可解答．
16．【答案】
【知识点】幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴=；
故答案为：.
【分析】将关于x，y的等式变形，并代入变换即可得出答案.
17．【答案】120
【知识点】平行线的判定与性质的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠BCE=∠ABC
由折叠可得：∠ACB=∠BCE=∠ABC，
∵∠BCE+∠ACB+∠ACD=180°，4∠ABC=∠ACD，
∴6∠ABC =180°，
∴∠ABC =30°，
∴∠ACD=4∠ABC=120°；
故答案为：120.
【分析】根据平行线的性质可得∠BCE=∠ABC，再根据折叠可得：∠ACB=∠BCE，进而根据平角的定义即可得到答案.
18．【答案】2026；-2025
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律；探索规律-系数规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：由题可知，
因为 (x 1)2 的展开式共有3项，且含x的项系数为-2；
(x 1)3 的展开式共有4项，且含x的项系数为-3；
(x 1)4 的展开式共有5项，且含x的项系数为-4；
...
所以 (x 1)n的展开式共有(n+1)项，且含xn-1的项系数为-n；
当n=2025时， (x 1)2025的展开式共有2026项，且含x2024的项系数为-2025；
故答案为：2026；-2025.
【分析】根据题意，依次求出 (x 1)n展开式得项数及xn-1的系数，发现规律，即可得出答案.
19．【答案】6；3
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，设小长方形的长为x，宽为y，
则大长方形的长为x+3y、宽为x+y，
由题意得，
解得：，
∴x+3y=9，
∴AB+EF=6，CD+EF=9-6=3，
∴AB-CD=6-3=3，
故答案为：6；3.
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，则大长方形的长为x+3y，宽为x+y，根据大长方形的周长为32，小长方形的周长为14，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题.
20．【答案】α+β=185
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：延长AP与CD的延长线交于点M，
∵AB∥CD，
∴∠PMD=∠PAB=β°，
∵APIPD
∴∠PDM=90°-β°，
∴∠PDC=180°-(90°-β°)=90°+β°，
∵DQ平分∠PDC，
∴∠PDQ=∠PDC=45°+β°，
由四边形的内角和为360°得，
40°+45°+β°+90°+α°=360°，
整理得，α°+β°=185°，
∴α与β之间的数量关系为：α+β=185，
故答案为：α+β=185.
【分析】延长AP与CD的延长线交于点M，根据平行线的性质及角平分线的定义依次表示出∠PDM和∠PDQ，最后结合四边形的内角和即可得出α与β之间的关系.
21．【答案】（1）解：原式=-1+4+1=4；
（2）解：原式=
=402 =1600；
（3）解：原式=；
（4）解：原式=4x2-1-4x2+4x
=4x+1.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】(1)先算乘方，负整数指数幂，0次幂，再算加法；
(2)利用完全平方公式计算即可；
(3)先计算乘方，再去括号即可；
(4)先根据平方差公式，单项式乘多项式将代数式展开，再合并同类项即可.
22．【答案】（1）解：，
②×3+①式得：8m=24，
解得：m=3，
将m=3代入②式得：6-n=4，
解得n=2，
∴此方程组的解为；
（2）解：
①×3-②式得：7x=14，
解得：x=2，
将x=2代入①式得：6-2y=7，
解得：，
∴此方程组的解为.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加法消元法解二元一次方程组即可；
（2）利用减法消元法解二元一次方程组即可.
23．【答案】（1）如图， 三角形 即为所求；
（2）平行且相等
（3）线段BC平移过程中扫过的面积为：
S =S四边形BB'C'C=4×5=20.
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（2）由平移得，这两条线段之间的关系是平行且相等，
故答案为：平行且相等.
【分析】（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据平移的性质即可得出答案；
（3）根据图与平移的性质可知： 线段BC平移过程中扫过的面积是平行四边形的面积，求解即可.
24．【答案】（1）解：AF∥BC，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠A=∠FDC，
∵∠A=∠C，
∴∠FDC=∠C，
∴AF∥BC；
（2）解：∵AB∥CD，DE∥BF，
∴∠A=∠FDC，∠F=∠ADE，
∵∠A+∠F=110°，
∴∠FDC+∠ADE=110°，
∵∠FDC+∠EDG+∠ADE=180°，
∴∠EDG=70°.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和已知条件可得∠FDC=∠C，再根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行，即可得证；
（2）根据平行线的性质及平角的定义计算即可得出答案.
25．【答案】（1）30；50
（2）解：设所有牛奶、咖啡的总箱数为a箱，原价采购的咖啡有b箱，
则购买打折的牛奶箱数是箱，
则原价购买牛奶的箱数是箱，即箱，
打折牛奶的每箱价格为：30×0.6=18（元），
则列方程为：，
整理得：
，
则，
∵a，b均为正整数，
∴或，
∵a＞b，
∴，
即此次按原价采购的咖啡有6箱.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）设牛奶单价为x元/箱，咖啡单价为y元/箱，
根据表格可列方程组为：，
解得：，
答：牛奶每箱30元，咖啡每箱50元，
故答案为：30；50.
【分析】（1）设牛奶单价为x元/箱，咖啡单价为y元/箱，根据表格列出关于x，y的二元一次方程组，解出即可得出答案；
（2）设所有牛奶、咖啡的总箱数为a箱，原价采购的咖啡有b箱，则原价购买牛奶的箱数为箱，由题意可列方程，求出正数解即可.
26．【答案】（1）(a+b)2-(a-b)2=4ab
（2）①±5②(2x-4025)2=[(x-2025)-(2000-x)] 2=[(x-2025)+(2000-x)]2-4(x-2025)(2000-x)=625-400=22，即(2x-4025) 2的值为225；
（3）解：设GE=a，BG=b(a>b)，
由题意得：BG=CG=b，EG=FG=a，
BE=CF=a+b=80，
∵S△BGC=，S△EFG=，
长方形ABGF与长方形CDEG的面积均为ab，
∴100·(+)+30×2ab=260000，
即5(a2+b2)+6ab=26000，
∵a2+b2+2ab=(a+b) 2=6400，
∴5(6400-2ab)+6ab=26000，
解得4ab=6000，
(a-b)2=(a+b)2-4ab=6400-6000=400，
∵a>b，
∴a-b=20，
即GE-BG的值为20.
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）S大正方形=(a+b)2，
S小正方形=(a-b)2，4个长方形的面积均为ab，
由图形可知：(a+b)2-(a-b)2=4ab，
故答案为：(a+b)2-(a-b)2=4ab；
(2)①由(1)中结论可得：(x+2y)2=(x-2y) 2+4x·2y=4+8×=19=6+9=25，
∴x+2y=5或x+2y=-5，
故答案为：±5；
②(2x-4025)2=[(x-2025)-(2000-x)] 2=[(x-2025)+(2000-x)]2-4(x-2025)(2000-x)=625-400=22，
即(2x-4025) 2的值为225；
【分析】（1）根据题图分别表示出大正方形的面积，小正方形的面积，长方形的面积即可得出结论；
（2）①根据（1）中的结论代入相关数值计算即可得出答案；
②将（2x-4025）拆分成两个代数式，再根据（1）中结论将代数式转化变形，即可得出结论；
（3）设EG=a，BG=b(a>b)，由题意可得BG=CG=b，EG=FG=a，BE=CF=a+b=80，△BGC的面积与△EFG的面积即两个长方形的面积均用含a，b的代数式表示，再根据题意可列出关于a，b的方程，利用(1)问中公式即可求出a-b，即GE-BG的值.
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