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陕西省2025年中考数学真题试卷（B卷）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（2025·陕西） 计算：（　　）
A．1 B． C．9 D．
2．（2025·陕西） 上马石是古人上下马的工具，形状如图①．它可以看作图②所示的几何体，该几何体的俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·陕西） 如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·陕西） 计算的结果为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·陕西） 如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（2025·陕西） 在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·陕西） 如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（　　）
A．10 B．8 C．5 D．4
8．（2025·陕西） 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　　）
A．图象的开口向下
B．当时，的值随值的增大而增大
C．函数的最小值小于
D．当时，
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9．（2025·陕西） 满足的整数可以是　 　（写出一个符合题意的数即可）．
10．（2025·陕西） 生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为　 　．
11．（2025·陕西） 草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多．已知小康平均每小时采摘，小悦平均每小时采摘，小康采摘的时长是　 　小时．
12．（2025·陕西） 如图，为的直径，，，则的度数为　 　．
13．（2025·陕西） 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为　 　．
14．（2025·陕西） 如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为　 　．
三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程）
15．（2025·陕西） 计算：．
16．（2025·陕西） 解不等式组：
17．（2025·陕西） 化简：．
18．（2025·陕西） 如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法）
19．（2025·陕西） 如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：．
20．（2025·陕西） 某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同．
（1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为　 　；
（2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率．
21．（2025·陕西） 小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点处安装测角仪，测得信号杆顶端的仰角为，与坡面的夹角为，又测得点与信号杆底端之间的距离为．已知，点，，在同一条直线上，，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，）
22．（2025·陕西） 研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积与气体温度成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如下表：
气体温度 … 25 30 35 …
气体体积 … 596 606 616 …
（1）求与的函数关系式；
（2）为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到时停止加热．求停止加热时的气体温度．
23．（2025·陕西） 为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分 满分100分 均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图：
其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）B组15个成绩的平均数为　 　分；
（2）本次被抽取的所有成绩的个数为　 　，本次被抽取的所有成绩的中位数为　 　分；
（3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数．
24．（2025·陕西） 如图，点在的边上，以为半径的⊙与相切于点，与相交于点，为⊙的直径，与相交于点，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
25．（2025·陕西） 某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）已知抛物线的函数表达式为，，求的长．
26．（2025·陕西） 问题探究
（1）如图①，在中，请画出一个，使得点，，分别在边，，上；
（2）如图②，在矩形中，，，为矩形内一点，且满足，周长的最小值；
（3）问题解决
为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，区域为草地，线段为花海边沿，点为游客服务中心，线段为步道，点和点为步道口，点为观景台．按照设计要求，点，分别在边，上，且满足，为的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使最大．已知，，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口与游客服务中心之间的距离．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：-1
故答案为：B
【分析】根据有理数的加法即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
该几何体的俯视图为
故答案为：D
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】角平分线的概念；补角
【解析】【解答】解：∵平分，
∴∠AOC=2∠1=104°
∴∠2=180°-∠AOC=76°
故答案为：A
【分析】根据角平分线定义可得∠AOC=2∠1=104°，再根据补角即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：=
故答案为：D
【分析】根据单项式乘以单项式即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；余角
【解析】【解答】解：∵，为边上的中线
∴
∴CD=AD=BD
∴∠B=∠BCD
∵AD=CD，DE⊥AC
∴∠ADE=∠CDE
∵∠A+∠ADE=90°，∠A+∠B=90°
∴图中与∠A互余的角共有4个
故答案为：C
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得CD=AD=BD，根据等边对等角可得∠B=∠BCD，根据等腰三角形性质可得∠ADE=∠CDE，再根据余角定义即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：设直线解析式为y=kx+b
将点，代入可得
解得：
∴直线解析式为y=-2x+2
将直线向上平移3个单位后的直线解析式为y=-2x+2+3=-2x+5
当x=1时，y=-2×1+5=3，经过(1，3)，A错误，B正确
当x=-3时，y=-2×(-3)+5=11，经过(-3，11)，C错误
当x=3时，y=-2×3+5=-1，经过(3，-1)，D错误
故答案为：B
【分析】设直线解析式为y=kx+b，根据待定系数法将点，代入解析式可得直线解析式为y=-2x+2，则将直线向上平移3个单位后的直线解析式为y=-2x+5，再将各点坐标代入解析式逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AD=BC=4，∠A=∠B=90°
∵E为AB的中点
∴AE=BE=2
∴
∵EF⊥EC
∴∠AEF+∠BEC=90°
∵∠BCE+∠BEC=90°
∴∠AEF=∠BCE
∴△AEF∽△BCE
∴，即，解得：
∴
故答案为：c
【分析】根据正方形性质可得AB=AD=BC=4，∠A=∠B=90°，根据线段中点可得AE=BE=2，再根据勾股定理可得CE，根据角之间的关系可得∠AEF=∠BCE，根据相似三角形判定定理可得△AEF∽△BCE，则，代值计算可得，再根据三角形面积即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧
∴方程的两根异号
∴
解得：0∴二次项系数a<0，开口向上，A错误
∵对称轴为直线
∴当x>1时，y随x的增大而增大，B错误
当x=1时，y=-3
∴最小值为-3，C错误
当x=2时，y=4a-4a+a-3=a-3
∵0∴此时y<0，D正确
故答案为：D
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
9．【答案】3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵
∴2≤a<5
∴a的值可以是3（答案不唯一）
故答案为：3（答案不唯一）
【分析】估算无理数的范围即可求出答案.
10．【答案】21
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由题意可得
第1个图案用了3个矩形，即3=2×1+1
第2个图案用了5个矩形，即5=2×2+1
第3个图案用了7个矩形，即7=2×3+1
......
∴第n个图案用了(2n+1)个矩形
∴第10个图案需要矩形的个数为2×10+1=21个
故答案为：21
【分析】根据前3个图案所用矩形的个数总结规律，即可求出答案.
11．【答案】1.2
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设小康采摘了x小时
由题意可得：6x-4x=2.4
解得：x=1.2
故答案为：1.2
【分析】设小康采摘了x小时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵
∴∠CAB=∠CDB=24°
∵为的直径
∴AB⊥CD
∴∠ACD=90°-∠CAB=66°
故答案为：66°
【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得∠CAB=∠CDB=24°，根据垂径定理可得AB⊥CD，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
13．【答案】9
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点
∴A，B两点关于原点O对称
∴，解得：
∴A(3，3)
将点A(3，3)代入，得
解得：k=9
故答案为：9
【分析】根据题意可得A，B两点关于原点O对称，根据关于原点对称的点的坐标特征克的m，n的值，求出点A坐标，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
14．【答案】5
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：连接AP交BC于点H
∵四边形ABCD为平行四边形，∠B=60°
∴∠BAD=120°
∵△MNP为等边三角形
∴MP=PN，∠PMN=∠PNM=60°，
∵AM=AN，AP=AP
∴△AMP≌△ANP(SSS)
∴∠BAP=∠DAP=60°，∠APM=∠APN=30°
∴∠AMP=90°
∴
∴
∴
当AP最大时，△MNP的面积最大
∵∠B=∠BAH=60°
∴△ABH是等边三角形
∴AB=AH=6
∵AM=AN，AP=AP
∴点P在MN上运动
∵点P始终在的内部或边上
∴AP的最大值为AH的长，即AP=6
∴AM=AN=3
∴DN=5
故答案为：5
【分析】连接AP交BC于点H，根据平行四边形性质可得∠BAD=120°，再根据等边三角形性质可得MP=PN，∠PMN=∠PNM=60°，，再根据全等三角形判定定理可得△AMP≌△ANP(SSS)，则∠BAP=∠DAP=60°，∠APM=∠APN=30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得，则，即，当AP最大时，△MNP的面积最大，根据等边三角形判定定理可得△ABH是等边三角形，则AB=AH=6，可得点P在MN上运动，根据题意可得AP的最大值为AH的长，即AP=6，再根据边之间的关系即可求出答案.
15．【答案】解：原式=
=6+1
=7
【知识点】零指数幂；二次根式的乘除法；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】根据二次根式的乘法，绝对值性质，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
16．【答案】解：
解不等式①可得：x<2
解不等式②可得：x>-3
∴不等式组的解集为
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.
17．【答案】解：原式=
=
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简即可求出答案.
18．【答案】解：如图，点即为所求；
理由如下：
由作图可知：是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴点即为所求．
【知识点】平行线的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】由作图可知：是的平分线，根据角平分线定义可得，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
19．【答案】证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
20．【答案】（1）
（2）解：依题意，画树状图如下所示：
∴一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种，
∴这两个小组研究方向不同的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）由题意可得
从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为
故答案为：
【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出其中这两个小组研究方向不同的等可能结果，再根据概率公式即可求出答案.
21．【答案】解：过点E作于点，过点D作于点，如图所示：
∵，均与水平线垂直．
∴
∴，
∵
∴
在中，，
则，
在中，，
则，
过点E作于点，过点D作于点，
∴，
∴四边形是矩形
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
信号杆的高为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点E作于点，过点D作于点，根据直线平行性质可得，解直角三角形可得HD，BH，过点E作于点，过点D作于点，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，再根据等腰直角三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
22．【答案】（1）解：设与的函数关系式为，
则，解得，
故与的函数关系式为
（2）解：令，
则，解得：，
答：停止加热时的气体温度为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设与的函数关系式为，根据待定系数法将x=25，y=596，x=30，y=606代入解析式即可求出答案.
（2）将y=700代入解析式即可求出答案.
23．【答案】（1）84
（2）50；80
（3）解：500×24%=120人
答：本次竞赛的获奖人数为120人
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）B组15个成绩的平均数为
故答案为：84
（2）本次被抽取的所有成绩的个数为15÷30%=50
∴A组人数为50×24%=12
将50个成绩按从小到大的顺序排列，在最中间的两个数分别为80，80
∴本次被抽取的所有成绩的中位数为
故答案为：50；80
【分析】（1）根据平均数的定义即可求出答案.
（2）根据B组的成绩个数与占比可得本次被抽取的所有成绩的个数，再根据中位数的定义即可求出答案.
（3）根据500乘以A组的占比即可求出答案.
24．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵以为半径的⊙与相切于点，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
设的半径为，
∴，，而，，
∴，
解得：，
∴，，，
∵，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】平行线的判定与性质；切线的性质；已知正弦值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据切线性质可得，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，即，根据直线平行判定定理可得，则，根据等边对等角可得，则，再根据等角对等边即可求出答案.
（2）设的半径为，则，，根据正弦定义建立方程，解方程可得r=3，根据勾股定理可得AD，DF，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
25．【答案】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
∵，
∴结合二次函数的对称性得，
将代入，
得
则，
∴；
（2）解：由（1）得抛物线的函数表达式，
∵，，．，且抛物线的函数表达式为，
∴，
整理得，
∴，
∴，
解得，
∴
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）由（1）得抛物线的函数表达式，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
26．【答案】（1）解：依题意，先作，交于点，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点，连接，
则，
∵
∴四边形是平行四边形，
即如图所示：
（2）解：如图2，过点作于点，
∵，
∴，
解得，
过点作且分别与，交于，
即在线段上运动的，
则，
当有最小值时，则的周长有最小值，
作点关于的对称点
∴，，
∴，
当三点共线时，有最小值，即的长，
即的周长有最小值，
∵ 四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
此时的周长；
（3）解：如图3，取的中点，取的中点，连接，
∴是的中位线，
过点作，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
连接
∵是的中点，且四边形是平行四边形，
∴，
∴是的中点
过点作于点，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，过点作于点，
∴为定值，
∴为定值，
则点在的中位线上运动，
作的外接圆，当且仅当与相切时，的值最大，
∵，
故，
如图4，连接，作于点，于点，连接
∵与相切于点
∴，
∵于点，
∴，
∵，
∴，
故三点共线，
∴，
则，
∴，
∵，是的中点，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵点是的中点，是的中点
∴是三角形的中位线，
∴
∴．
【知识点】三角形的外接圆与外心；切线的性质；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边；尺规作图-平行线
【解析】【分析】（1）作，交于点，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点，连接，则，根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）过点作于点，根据三角形面积建立方程，解方程可得，过点作且分别与，交于，即在线段上运动的，根据三角形周长可得，当有最小值时，则的周长有最小值，作点关于的对称点，则，，即，当三点共线时，有最小值，即长，即的周长有最小值，根据矩形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）取的中点，取的中点，连接，根据三角形中位线判定定理可得是的中位线，过点作，则，根据相似三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，连接，根据平行四边形性质可得，过点作于点，过点作于点，根据相似三角形判定定理可得，则，过点作于点，则为定值，即为定值，可得点在的中位线上运动，作的外接圆，当且仅当与相切时，的值最大，再根据角之间的关系可得，连接，作于点，于点，连接根据切线性质可得，根据直线平行性质可得，故三点共线，根据边之间的关系可得MB，再根据余弦定义建立方程，解方程可得BK，可得MO；，再根据三角形中位线定理可得BD，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1陕西省2025年中考数学真题试卷（B卷）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（2025·陕西） 计算：（　　）
A．1 B． C．9 D．
【答案】B
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：-1
故答案为：B
【分析】根据有理数的加法即可求出答案.
2．（2025·陕西） 上马石是古人上下马的工具，形状如图①．它可以看作图②所示的几何体，该几何体的俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
该几何体的俯视图为
故答案为：D
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
3．（2025·陕西） 如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角平分线的概念；补角
【解析】【解答】解：∵平分，
∴∠AOC=2∠1=104°
∴∠2=180°-∠AOC=76°
故答案为：A
【分析】根据角平分线定义可得∠AOC=2∠1=104°，再根据补角即可求出答案.
4．（2025·陕西） 计算的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：=
故答案为：D
【分析】根据单项式乘以单项式即可求出答案.
5．（2025·陕西） 如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；余角
【解析】【解答】解：∵，为边上的中线
∴
∴CD=AD=BD
∴∠B=∠BCD
∵AD=CD，DE⊥AC
∴∠ADE=∠CDE
∵∠A+∠ADE=90°，∠A+∠B=90°
∴图中与∠A互余的角共有4个
故答案为：C
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得CD=AD=BD，根据等边对等角可得∠B=∠BCD，根据等腰三角形性质可得∠ADE=∠CDE，再根据余角定义即可求出答案.
6．（2025·陕西） 在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：设直线解析式为y=kx+b
将点，代入可得
解得：
∴直线解析式为y=-2x+2
将直线向上平移3个单位后的直线解析式为y=-2x+2+3=-2x+5
当x=1时，y=-2×1+5=3，经过(1，3)，A错误，B正确
当x=-3时，y=-2×(-3)+5=11，经过(-3，11)，C错误
当x=3时，y=-2×3+5=-1，经过(3，-1)，D错误
故答案为：B
【分析】设直线解析式为y=kx+b，根据待定系数法将点，代入解析式可得直线解析式为y=-2x+2，则将直线向上平移3个单位后的直线解析式为y=-2x+5，再将各点坐标代入解析式逐项进行判断即可求出答案.
7．（2025·陕西） 如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（　　）
A．10 B．8 C．5 D．4
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AD=BC=4，∠A=∠B=90°
∵E为AB的中点
∴AE=BE=2
∴
∵EF⊥EC
∴∠AEF+∠BEC=90°
∵∠BCE+∠BEC=90°
∴∠AEF=∠BCE
∴△AEF∽△BCE
∴，即，解得：
∴
故答案为：c
【分析】根据正方形性质可得AB=AD=BC=4，∠A=∠B=90°，根据线段中点可得AE=BE=2，再根据勾股定理可得CE，根据角之间的关系可得∠AEF=∠BCE，根据相似三角形判定定理可得△AEF∽△BCE，则，代值计算可得，再根据三角形面积即可求出答案.
8．（2025·陕西） 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　　）
A．图象的开口向下
B．当时，的值随值的增大而增大
C．函数的最小值小于
D．当时，
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧
∴方程的两根异号
∴
解得：0∴二次项系数a<0，开口向上，A错误
∵对称轴为直线
∴当x>1时，y随x的增大而增大，B错误
当x=1时，y=-3
∴最小值为-3，C错误
当x=2时，y=4a-4a+a-3=a-3
∵0∴此时y<0，D正确
故答案为：D
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9．（2025·陕西） 满足的整数可以是　 　（写出一个符合题意的数即可）．
【答案】3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵
∴2≤a<5
∴a的值可以是3（答案不唯一）
故答案为：3（答案不唯一）
【分析】估算无理数的范围即可求出答案.
10．（2025·陕西） 生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为　 　．
【答案】21
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由题意可得
第1个图案用了3个矩形，即3=2×1+1
第2个图案用了5个矩形，即5=2×2+1
第3个图案用了7个矩形，即7=2×3+1
......
∴第n个图案用了(2n+1)个矩形
∴第10个图案需要矩形的个数为2×10+1=21个
故答案为：21
【分析】根据前3个图案所用矩形的个数总结规律，即可求出答案.
11．（2025·陕西） 草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多．已知小康平均每小时采摘，小悦平均每小时采摘，小康采摘的时长是　 　小时．
【答案】1.2
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设小康采摘了x小时
由题意可得：6x-4x=2.4
解得：x=1.2
故答案为：1.2
【分析】设小康采摘了x小时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
12．（2025·陕西） 如图，为的直径，，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵
∴∠CAB=∠CDB=24°
∵为的直径
∴AB⊥CD
∴∠ACD=90°-∠CAB=66°
故答案为：66°
【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得∠CAB=∠CDB=24°，根据垂径定理可得AB⊥CD，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
13．（2025·陕西） 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为　 　．
【答案】9
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点
∴A，B两点关于原点O对称
∴，解得：
∴A(3，3)
将点A(3，3)代入，得
解得：k=9
故答案为：9
【分析】根据题意可得A，B两点关于原点O对称，根据关于原点对称的点的坐标特征克的m，n的值，求出点A坐标，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
14．（2025·陕西） 如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为　 　．
【答案】5
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：连接AP交BC于点H
∵四边形ABCD为平行四边形，∠B=60°
∴∠BAD=120°
∵△MNP为等边三角形
∴MP=PN，∠PMN=∠PNM=60°，
∵AM=AN，AP=AP
∴△AMP≌△ANP(SSS)
∴∠BAP=∠DAP=60°，∠APM=∠APN=30°
∴∠AMP=90°
∴
∴
∴
当AP最大时，△MNP的面积最大
∵∠B=∠BAH=60°
∴△ABH是等边三角形
∴AB=AH=6
∵AM=AN，AP=AP
∴点P在MN上运动
∵点P始终在的内部或边上
∴AP的最大值为AH的长，即AP=6
∴AM=AN=3
∴DN=5
故答案为：5
【分析】连接AP交BC于点H，根据平行四边形性质可得∠BAD=120°，再根据等边三角形性质可得MP=PN，∠PMN=∠PNM=60°，，再根据全等三角形判定定理可得△AMP≌△ANP(SSS)，则∠BAP=∠DAP=60°，∠APM=∠APN=30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得，则，即，当AP最大时，△MNP的面积最大，根据等边三角形判定定理可得△ABH是等边三角形，则AB=AH=6，可得点P在MN上运动，根据题意可得AP的最大值为AH的长，即AP=6，再根据边之间的关系即可求出答案.
三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程）
15．（2025·陕西） 计算：．
【答案】解：原式=
=6+1
=7
【知识点】零指数幂；二次根式的乘除法；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】根据二次根式的乘法，绝对值性质，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
16．（2025·陕西） 解不等式组：
【答案】解：
解不等式①可得：x<2
解不等式②可得：x>-3
∴不等式组的解集为
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.
17．（2025·陕西） 化简：．
【答案】解：原式=
=
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简即可求出答案.
18．（2025·陕西） 如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图，点即为所求；
理由如下：
由作图可知：是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴点即为所求．
【知识点】平行线的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】由作图可知：是的平分线，根据角平分线定义可得，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
19．（2025·陕西） 如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
20．（2025·陕西） 某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同．
（1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为　 　；
（2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率．
【答案】（1）
（2）解：依题意，画树状图如下所示：
∴一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种，
∴这两个小组研究方向不同的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）由题意可得
从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为
故答案为：
【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出其中这两个小组研究方向不同的等可能结果，再根据概率公式即可求出答案.
21．（2025·陕西） 小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点处安装测角仪，测得信号杆顶端的仰角为，与坡面的夹角为，又测得点与信号杆底端之间的距离为．已知，点，，在同一条直线上，，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，）
【答案】解：过点E作于点，过点D作于点，如图所示：
∵，均与水平线垂直．
∴
∴，
∵
∴
在中，，
则，
在中，，
则，
过点E作于点，过点D作于点，
∴，
∴四边形是矩形
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
信号杆的高为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点E作于点，过点D作于点，根据直线平行性质可得，解直角三角形可得HD，BH，过点E作于点，过点D作于点，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，再根据等腰直角三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
22．（2025·陕西） 研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积与气体温度成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如下表：
气体温度 … 25 30 35 …
气体体积 … 596 606 616 …
（1）求与的函数关系式；
（2）为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到时停止加热．求停止加热时的气体温度．
【答案】（1）解：设与的函数关系式为，
则，解得，
故与的函数关系式为
（2）解：令，
则，解得：，
答：停止加热时的气体温度为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设与的函数关系式为，根据待定系数法将x=25，y=596，x=30，y=606代入解析式即可求出答案.
（2）将y=700代入解析式即可求出答案.
23．（2025·陕西） 为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分 满分100分 均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图：
其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）B组15个成绩的平均数为　 　分；
（2）本次被抽取的所有成绩的个数为　 　，本次被抽取的所有成绩的中位数为　 　分；
（3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数．
【答案】（1）84
（2）50；80
（3）解：500×24%=120人
答：本次竞赛的获奖人数为120人
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）B组15个成绩的平均数为
故答案为：84
（2）本次被抽取的所有成绩的个数为15÷30%=50
∴A组人数为50×24%=12
将50个成绩按从小到大的顺序排列，在最中间的两个数分别为80，80
∴本次被抽取的所有成绩的中位数为
故答案为：50；80
【分析】（1）根据平均数的定义即可求出答案.
（2）根据B组的成绩个数与占比可得本次被抽取的所有成绩的个数，再根据中位数的定义即可求出答案.
（3）根据500乘以A组的占比即可求出答案.
24．（2025·陕西） 如图，点在的边上，以为半径的⊙与相切于点，与相交于点，为⊙的直径，与相交于点，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵以为半径的⊙与相切于点，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
设的半径为，
∴，，而，，
∴，
解得：，
∴，，，
∵，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】平行线的判定与性质；切线的性质；已知正弦值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据切线性质可得，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，即，根据直线平行判定定理可得，则，根据等边对等角可得，则，再根据等角对等边即可求出答案.
（2）设的半径为，则，，根据正弦定义建立方程，解方程可得r=3，根据勾股定理可得AD，DF，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
25．（2025·陕西） 某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）已知抛物线的函数表达式为，，求的长．
【答案】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
∵，
∴结合二次函数的对称性得，
将代入，
得
则，
∴；
（2）解：由（1）得抛物线的函数表达式，
∵，，．，且抛物线的函数表达式为，
∴，
整理得，
∴，
∴，
解得，
∴
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）由（1）得抛物线的函数表达式，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
26．（2025·陕西） 问题探究
（1）如图①，在中，请画出一个，使得点，，分别在边，，上；
（2）如图②，在矩形中，，，为矩形内一点，且满足，周长的最小值；
（3）问题解决
为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，区域为草地，线段为花海边沿，点为游客服务中心，线段为步道，点和点为步道口，点为观景台．按照设计要求，点，分别在边，上，且满足，为的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使最大．已知，，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口与游客服务中心之间的距离．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计）
【答案】（1）解：依题意，先作，交于点，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点，连接，
则，
∵
∴四边形是平行四边形，
即如图所示：
（2）解：如图2，过点作于点，
∵，
∴，
解得，
过点作且分别与，交于，
即在线段上运动的，
则，
当有最小值时，则的周长有最小值，
作点关于的对称点
∴，，
∴，
当三点共线时，有最小值，即的长，
即的周长有最小值，
∵ 四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
此时的周长；
（3）解：如图3，取的中点，取的中点，连接，
∴是的中位线，
过点作，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
连接
∵是的中点，且四边形是平行四边形，
∴，
∴是的中点
过点作于点，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，过点作于点，
∴为定值，
∴为定值，
则点在的中位线上运动，
作的外接圆，当且仅当与相切时，的值最大，
∵，
故，
如图4，连接，作于点，于点，连接
∵与相切于点
∴，
∵于点，
∴，
∵，
∴，
故三点共线，
∴，
则，
∴，
∵，是的中点，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵点是的中点，是的中点
∴是三角形的中位线，
∴
∴．
【知识点】三角形的外接圆与外心；切线的性质；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边；尺规作图-平行线
【解析】【分析】（1）作，交于点，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点，连接，则，根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）过点作于点，根据三角形面积建立方程，解方程可得，过点作且分别与，交于，即在线段上运动的，根据三角形周长可得，当有最小值时，则的周长有最小值，作点关于的对称点，则，，即，当三点共线时，有最小值，即长，即的周长有最小值，根据矩形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）取的中点，取的中点，连接，根据三角形中位线判定定理可得是的中位线，过点作，则，根据相似三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，连接，根据平行四边形性质可得，过点作于点，过点作于点，根据相似三角形判定定理可得，则，过点作于点，则为定值，即为定值，可得点在的中位线上运动，作的外接圆，当且仅当与相切时，的值最大，再根据角之间的关系可得，连接，作于点，于点，连接根据切线性质可得，根据直线平行性质可得，故三点共线，根据边之间的关系可得MB，再根据余弦定义建立方程，解方程可得BK，可得MO；，再根据三角形中位线定理可得BD，再根据边之间的关系即可求出答案.
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