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浙江省杭州市景荷中学2024-2025学年七年级下学期数学期中试题
1．（2025七下·杭州期中）下列各方程中，是二元一次方程的是
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解： 、 是一元一次方程，不符合题意；
、 是二元一次方程，符合题意；
、 是一元二次方程，不符合题意；
、 是二元二次方程，不符合题意.
答案： .
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，逐项进行判断，即可得出答案.
2．（2025七下·杭州期中）下列图形中，与不是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】 解：∵A、C、D都是两条直线被第三条直线所截得到的同位角，而B选项中是四条直线，∠1和∠2没有一条边在同一条直线上，不是同位角.
故答案为：B.
【分析】根据同位角的定义分析、判断即可得出结论.
3．（2025七下·杭州期中）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：3a2·a=3a3； （a3）3=a9； a3+a3=2a3； a6·a2=a8.
故答案为：A.
【分析】根据单项式乘单项式法则、幂的乘方的法则、合并同类项法则和同底数幂的乘法法则分别对各选项分析即可得到正确结论.
4．（2025七下·杭州期中）下列多项式的乘法运算可以运用平方差公式计算的是 (　　)
A．． B．．
C．． D．．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、(x+1)(x+1)，不符合平方差公式，A不符合题意；
B、(a+2b)(a-2b)，符合平方差公式，B符合题意；
C、(-a+b)(a-b)，不符合平方差公式，C不符合题意；
D、(-m-n)(m+n)，不符合平方差公式，D不符合题意．
故答案为：B.
【分析】两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式.
5．（2025七下·杭州期中）下列说法错误的是（　　）
A．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
B．过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D．同旁内角互补，两直线平行
【答案】C
【知识点】平行线的定义与现象；平行公理；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。∴A选项正确；
∵根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线。∴B选项正确；
∵根据平行线的性质：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；而不是两条直线被第三条直线所截。∴C选项错误；
∵根据平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行。∴D选项正确.
故答案为：C.
【分析】根据平行线的概念；平行公理以及平行线的性质和判断即可得到正确答案.
6．（2025七下·杭州期中）如图，在下列结论给出的条件：中，不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：当∠2+∠A=180°时，根据同旁内角互补，两直线平行，∴AB∥DF.∴选项A正确；
当∠A=∠3时，根据同位角相等，两直线平行。∴AB∥DF，∴选项B正确；
当∠1=∠4时，根据内错角相等，两直线平行。∴AB∥DF，∴选项C正确；
当∠1=∠A时，根据同位角相等，两直线平行。∴DE∥AF，∴选项D错误.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判断方法逐选项分析判断，即可得到正确结论.
7．（2025七下·杭州期中）已知的乘积项中不含的一次项，则与的关系是（　　）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．乘积为-1
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，而已知的乘积项中不含的一次项，
∴p+q=0.
∴a与q的关系是互为相反数.
故答案为：B.
【分析】先展开（x+p）（x+q）合并同类项，可知一次项系数为p+q，而已知的乘积项中不含的一次项，所以可知p+q=0.进而可以得到a与q的关系.
8．（2025七下·杭州期中）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空”。诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，据此求客房和客人的数量，对于甲、乙、丙三人的解题方案，判断正确的个数是（　　）
甲：设客房有间，则；乙：设客人有人，则；
丙：设客房有间，客人有人，则。
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：若设客房有间，可得：7x+7=9（x-1），∴甲是正确的；
若设客人有人，可得：，∴乙是错误的；
若设 客房有间，客人有人 ，则.∴丙是错误的.
∴正确答案有2个.
故答案为：C.
【分析】若设客房有间，根据客人人数相等可得：7x+7=9（x-1）；若设客人有人，根据 空出一间客房 。可知住人的房间比实际房间少一间。可得：；若设 客房有间，客人有人 ，根据 每一间客房住7人的客人人数和总人数相等和 每一间客房住9人的客人人数和总人数相等分别列方程，则。即可得出正确结论.
9．（2025七下·杭州期中）若关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，则关于a，b的二元一次方程组 的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： 关于 ， 的二元一次方程组 的解是 ，
，
，
，
，
关于 ， 的二元一次方程组是 ，
，
，
，
，
，
，
关于 ， 的二元一次方程组 的解为： .
故答案为：A.
【分析】先求出m，n的值，从而得出关于a，b的方程组，解方程组即可.
10．（2025七下·杭州期中）如图，将长方形ABCD的一角折叠，以CE（点在AB上，不与A，B重合）为折痕，得到，连结，设的度数分别为，若，则之间的关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵AB'∥CE，
∴∠AB'E=∠CEB'=，
由折叠可知：
∠BEC=∠CEB'=，∠B=∠B'=90°，
∴∠BCE=∠B'CE=90°-，
∵∠BCD=90°，
∴∠BCE+∠B'CE+∠B'CD=90°，
∴90°-+90°-+=90°，
∴.
故答案为：B.
【分析】由AB'∥CE，可得∠AB'E=∠CEB'=，再由折叠可知：∠BEC=∠CEB'=，∠B=∠B'=90°，
由三角形内角和为180°。所以∠BCE=∠B'CE=90°-，由矩形可知∠BCD=90°，
所以∠BCE+∠B'CE+∠B'CD=90°，换成90°-+90°-+=90°，即可求得.
11．（2025七下·杭州期中）已知方程 ，用含x的代数式表示y，则 　 　.
【答案】
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：∵2y-3x=6，
∴2y=3x+6，
∴y= .
故答案为： .
【分析】根据2y-3x=6，移项得2y=3x+6，两边再除以2，即可得出y= .
12．（2025七下·杭州期中）如图，沿BC所在直线向右平移得到，已知，则平移的距离为　 　cm．
【答案】2cm
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可知：BC=CF。
∴BE=CF，
∵EC=1cm，BF=5cm，
∴BE+CF=4cm，
∴BE=CF=2cm.
故平移的距离为2cm.
故答案为：2cm.
【分析】由平移的性质可知：BC=CF，进而可知：BE=CF。由已知EC=1cm，BF=5cm，可知BE+CF=4cm，所以BE=CF=2cm.即可知平移的距离为2cm.
13．（2025七下·杭州期中）如图，直线为直角，则等于　 　．
【答案】134°
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图：
过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥EF。
∴∠FAE=∠C.
∵∠C=44°，
∴∠FAE=44°。
∵∠E为直角，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEF=∠AEC-∠FEC=90°-44°=46°。
∵AB∥EF，
∴∠BAE=∠AEF=46°。
∴∠1=180°-∠BAE=180°-46°=134°.
故答案为：134°.
【分析】过点E作EF∥AB，由AB∥CD，可以得到：CD∥EF，进而得到∠FAE=∠C，再由已知∠C的度数可以得出∠FAE的度数，由∠E为直角，进而可以求出∠AEF的角度，由AB∥EF，可得∠BAE=∠AEF，再由∠1和∠BAE是邻补角即可求出∠1的度数.
14．（2025七下·杭州期中）已知，则　 　：　 　．
【答案】4；20
【知识点】同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵3m=5， 3n=2，
∴32n=（3n）2=22=4， 3m+2n=3m×32n=3m×（3n）2=5×22=20.
故答案为：4； 20.
【分析】根据幂的乘方的逆运算，可以得出32n=（3n）2=22=4；
根据幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法的逆运算可以把3m+2n化为3m×32n进而转化为
3m×（3n）2再把数值代入可得：5×22=20即可.
15．（2025七下·杭州期中）如果与的两边分别平行，比的3倍少，则的度数为　 　．
【答案】18°或54°
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵ 如果与的两边分别平行 ，
∴=或者+=180°。
又∵比的3倍少 ，
∴=3-。
∴或
解得：或.
故答案为：18°或54°.
【分析】 根据与的两边分别平行，可得=或者+=180°。再结合 比的3倍少 ，进而可得方程组或。解方程组，求出的之即可.
16．（2025七下·杭州期中）已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的是　 　．
①当时，方程组的解也是方程的解；
②当x，y的值互为相反数时，；
③不存在一个实数，使得；
④若，则．
【答案】②③④.
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：①把a=1代入方程组得：，解得：，
∴x+y=38.
∴①错误；
②把a=20代入方程组得：，解得：，
∴x+y=0.
∴x、y互为相反数。
∴②正确；
③当x=y时，原方程组可化为：，解得：a=a-5，矛盾，
∴ 不存在一个实数，使得；
∴③正确；
④∵2x·8y=64，
∴2x·（23）y=26，
∴2x·23y=26，
∴x+3y=6.
解方程组得：，
∴x+3y=25-a+3(15-a)=70-4a.
∴70-4a=6，
∴a=16.
∴④正确.
∴正确的选项是：②③④.
故答案为：②③④.
【分析】①把a=1代入方程组得：，解得：，所以x+y=38.
②把a=20代入方程组得：，解得：，进而x+y=0.进而可得x、y互为相反数。
③当x=y时，原方程组可化为：，解得：a=a-5，矛盾，进而可得不存在一个实数，使得；④由2x·8y=64，可得：2x·（23）y=26， 所以2x·23y=26，x+3y=6.而解方程组得：，所以x+3y=70-4a.进而70-4a=6，a=16.进而可以得出正确答案.
17．（2025七下·杭州期中）如图所示，正方形网格中，为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上），每个小正方形的边长都是单位1．
（1）过点作AB的平行线；
（2）画出向上平移3个单位，再向右平移4个单位所得的．
【答案】（1）解： 见解析；
（2）解： 见解析；
【知识点】作图﹣平移；作图-平行线
【解析】【解答】解：（1）如图，
（2）如图， 即为所作.
【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行作图即可.
（2）先分别找到三角形ABC的每个顶点A、B、C平移后的位置，再分别连接三点即可得到平移后的三角形.
18．（2025七下·杭州期中）解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：把①代入②，得：y=.
把y=代入①，得：x=.
∴此方程组的解是：
（2）解：设x+y=a， x-y=b， 原方程组可变形为：
①×4+②×3，得：a=1，
把a=1代入②，得：b=1.
∴
③+④，得：x=1，
把x=1代入③得：y=0.
∴原方程组的解是
【知识点】解二元一次方程组；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）把方程①代入方程②，求出y的值；再把y的值代入①求出x的值，即可得到方程组的解.
（2）此方程组比较复杂，所以设x+y=a， x-y=b， 原方程组可变形为：，解出此方程组，求出a、b的值。进而可以得到方程组，再次解此方程组，即可得出原方程组的解.
19．（2025七下·杭州期中）化简：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=2a2-ab+12a2-3a-8a+2
=14a2-ab-11a+2
（2）解：原式=9a2-4b2-（4a2-4ab+b2）
=9a2-4b2-4a2+4ab-b2 =5a2+4ab-5b2
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据单项式乘单项式和多项式乘多项式法则，展开、合并同类项即可.
（2）根据平方差公式和完全平方公式展开、合并同类项即可.
20．（2025七下·杭州期中）如图，已知
（1）请你判断CF与BD的位留关系，并证明你的结论；
（2）若平分，试求的度数．
【答案】（1）解：CF∥BD，理由如下：
∵BC⊥AE，DE⊥AE，
∴DE∥BC，
∴∠3+∠DBC=180°。
∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=∠DBC，
∴CF∥BD
（2）解：∵CF∥BD，∠1=80°，
∴∠ABD=∠1=80°，∠2=∠CBD，
∵BC平分∠ABD，
∴∠CBD=∠ABD=40°，
∴∠2=40°。
∵BC⊥AE，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACF=∠ACB-∠2=90°-40°=50°
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【分析】（1）根据BC⊥AE，DE⊥AE，可以得到：DE∥BC，由∠3与∠DBC是同旁内角，进而可以知道：∠3与∠DBC互补。结合已知：∠2+∠3=180°，进而得到：∠2=∠DBC， 所以CF∥BD.
（2）由CF∥BD，∠1=80°，可以得到：∠ABD=∠1，∠2=∠CBD。由BC平分∠ABD，所以∠CBD=∠ABD，所以可以求出∠2的度数。由BC⊥AE，所以可以得到：∠ACF的度数.
21．（2025七下·杭州期中）定义一种新运算“”，规定：，除新运算“”外，其它运算完全按有理数和整式的运算进行。
（1）直接写出－的结果为 ▲ ；
（2）化简：；
（3）解方程：．
【答案】（1）－ =-2-2×3=-8
（2）解：=2x+y-2×3y=2x-5y
（3）解：2（1-2x）=-2x，
2-2×（1-2x）=-2x，
2-2+4x=-2x，
x=
【知识点】整式的混合运算；解一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据已知把 － 转化为常规运算，计算出结果即可.
（2） 把转化为一般的整式的计算，计算出结果即可.
（3） 把转化为常规的一元一次方程，然后解方程，求出x的值即可.
22．（2025七下·杭州期中）完全平方公式是同学们比较熟悉的公式．例如：，.
（1）若，求的值；
（2）如图，在正方形ABCD中，点在边AB上，．以AE，EB为一边在上方分别作正方形AEFG和正方形EBMN，连接AN．若，求阴影部分的面积．
【答案】（1）解：∵a+b=6， ab=6.
∴（a+b）2=36，
∴a2+2ab+b2=36，
∴a2+b2=24
（2）解：∵S△AEN=4，S△AEC=AE·EN，
∴AE·EN=8，
∵AE=a， EB=b，
∴ab=8.
∵S阴影=S正方形ABCD-S正方形AEFG-S正方形EBMN，
∴S阴影=（a+b）2-a2-b2
=2ab
=16
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】(1)应用完全平方公式变形求解即可；
(2)由 得 阴影的面积等于正方形ABCD的面积减去正方形AEFG和正方形EBMN的面积和，即阴影部分的面积为
23．（2025七下·杭州期中）某校计划建一间多功能数学实验室，将采购两类桌椅：类是三角形桌，每桌可坐3人，B类是五边形桌，每桌可坐5人．学校拟选择甲、乙两家公司中的一家来采购，两家公司的标价均相同，且规定两类桌椅均只能在同一家公司采购。甲公司对两类桌椅均是以标价出售；乙公司对A类桌椅涨价20%、B类桌椅降价20%出售，经咨询，两家公司给出的数量和费用如下表：
A类桌椅（套） B类桌椅（套） 总费用（元）
甲公司 6 5 1900
乙公司 5 5 1700
（1）设甲公司一套A类桌椅标价为x元，一套B类桌椅标价为y元，则乙公司出售一套A类桌椅的售价为 ▲ 元；一套B类桌椅的售价为 ▲ 元；
（2）求A、B两类桌椅每套的价格分别是多少？
（3）如果该数学实验室需设置48个座位，学校到甲公司采购，应分别采购A、B两类桌椅各多少套时所需费用最少？
【答案】（1）解：依题意得：
乙公司出售一套A类桌椅的售价为 ：（1+20％）·x=1.2x（元），
乙公司出售一套B类桌椅的售价为：（1-20％）·y=0.8y（元）.
（2）解：依题意列方程组得：
解得：
答：A类桌椅每套150元，B类桌椅每套200元
（3）解：设应采购A类桌椅a套，B类桌椅b套，依题意得：
3a+5b=48，
∵a、b为非负整数，
∴或或或.
∴当a=1， b=9时，总费用为：1×150+9×200=1950（元）；
当a=6， b=6时，总费用为：6×150+6×200=2100（元）；
当a=11， b=3时，总费用为：11×150+3×200=2250（元）；
当a=16， b=0时，总费用为：16×150+0×200=2400（元）。
∵1950<2100<2250<2400
∴应分别采购A类桌椅1套，B类桌椅9套，所需费用最少
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）依题意可得：乙公司出售一套A类桌椅的售价为 ：（1+20％）x，出售一套B类桌椅的售价为：（1-20％）y.计算出结果即可.
（2）依题意列方程组得：进而解方程组即可得到A、B两类桌椅每套的价格.
（3）设应采购A类桌椅a套，B类桌椅b套，依题意得：3a+5b=48，由a、b为非负整数，可得：或或或.然后分别讨论每种情况下的总费用。再比较总费用，可得：
分别采购A类桌椅1套，B类桌椅9套，所需费用最少.
24．（2025七下·杭州期中）如图，已知直线，直线和直线交于点和，点是直线CD上的一个动点．
（1）如图1，点在线段，则 ▲ ；
（2）如果点运动到C，D之间时，试探究之间的关系，并说明理由；
（3）若点在C，D两点的外侧运动时（点与点C，D不重合），，之间的关系是否发生改变？请说明理由．
【答案】（1）解：∵过点P在直线CD的左侧作射线PE，使PE∥l1，
∴∠PAC=∠APE，
∵l1∥l2，
∴l2∥PE，
∴∠EPB=∠PBD.
∵∠APB=∠APE+∠EPB，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD.
∵∠PAC=30°，∠PBD=45°，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD=30°+45°=75°
（2）解： 当点运动到C，D之间时，∠APB=∠PAC+∠PBD.理由如下：
过点P在直线CD的左侧作射线PE，使PE∥l1，
∴∠PAC=∠APE，
∵l1∥l2，
∴l2∥PE，
∴∠EPB=∠PBD.
∵∠APB=∠APE+∠EPB，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD
（3）解：①当点P在直线l1的上方运动时，∠PBD=∠PAC+∠APB，理由如下：
过点P在直线CD的左侧作射线PE，使PE∥l1，
∴∠PAC=∠EPA，
∵l1∥l2，
∴l2∥PE，
∴∠EPB=∠PBD.
∵∠APB=∠EPB-∠APE，
∴∠APB=∠PBD-∠PAC.
即∠PBD=∠PAC+∠APB.
②当点P在直线l2的下方运动时，∠PBD=∠PAC-∠APB，理由如下：
过点P在直线CD的左侧作射线PE，使PE∥l1，
∴∠PAC=∠EPA，
∵l1∥l2，
∴l2∥PE，
∴∠EPB=∠PBD.
∵∠APB=∠APE-∠EPB，
∴∠APB=∠PAC-∠PBD.
∴∠PBD=∠PAC-∠APB
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和判定，可得：∠APB=∠PAC+∠PBD=75°.
（2）过点P在直线CD的左侧作射线PE，使PE∥l1，所以∠PAC=∠APE，因为l1∥l2，所以l2∥PE，进而可得：∠EPB=∠PBD.因为∠APB=∠APE+∠EPB，所以∠APB=∠PAC+∠PBD.
③当点P在C，D两点的外侧运动时，分在l1的上方和l2的下方两种情况讨论。可以得到：当点P在直线l1的上方运动时，∠PBD=∠PAC+∠APB；当点P在直线l2的下方运动时，∠PBD=∠PAC-∠APB.
1 / 1浙江省杭州市景荷中学2024-2025学年七年级下学期数学期中试题
1．（2025七下·杭州期中）下列各方程中，是二元一次方程的是
A． B． C． D．
2．（2025七下·杭州期中）下列图形中，与不是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·杭州期中）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025七下·杭州期中）下列多项式的乘法运算可以运用平方差公式计算的是 (　　)
A．． B．．
C．． D．．
5．（2025七下·杭州期中）下列说法错误的是（　　）
A．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
B．过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D．同旁内角互补，两直线平行
6．（2025七下·杭州期中）如图，在下列结论给出的条件：中，不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025七下·杭州期中）已知的乘积项中不含的一次项，则与的关系是（　　）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．乘积为-1
8．（2025七下·杭州期中）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空”。诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，据此求客房和客人的数量，对于甲、乙、丙三人的解题方案，判断正确的个数是（　　）
甲：设客房有间，则；乙：设客人有人，则；
丙：设客房有间，客人有人，则。
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．（2025七下·杭州期中）若关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，则关于a，b的二元一次方程组 的解是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025七下·杭州期中）如图，将长方形ABCD的一角折叠，以CE（点在AB上，不与A，B重合）为折痕，得到，连结，设的度数分别为，若，则之间的关系是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025七下·杭州期中）已知方程 ，用含x的代数式表示y，则 　 　.
12．（2025七下·杭州期中）如图，沿BC所在直线向右平移得到，已知，则平移的距离为　 　cm．
13．（2025七下·杭州期中）如图，直线为直角，则等于　 　．
14．（2025七下·杭州期中）已知，则　 　：　 　．
15．（2025七下·杭州期中）如果与的两边分别平行，比的3倍少，则的度数为　 　．
16．（2025七下·杭州期中）已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的是　 　．
①当时，方程组的解也是方程的解；
②当x，y的值互为相反数时，；
③不存在一个实数，使得；
④若，则．
17．（2025七下·杭州期中）如图所示，正方形网格中，为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上），每个小正方形的边长都是单位1．
（1）过点作AB的平行线；
（2）画出向上平移3个单位，再向右平移4个单位所得的．
18．（2025七下·杭州期中）解方程组：
（1）
（2）
19．（2025七下·杭州期中）化简：
（1）
（2）
20．（2025七下·杭州期中）如图，已知
（1）请你判断CF与BD的位留关系，并证明你的结论；
（2）若平分，试求的度数．
21．（2025七下·杭州期中）定义一种新运算“”，规定：，除新运算“”外，其它运算完全按有理数和整式的运算进行。
（1）直接写出－的结果为 ▲ ；
（2）化简：；
（3）解方程：．
22．（2025七下·杭州期中）完全平方公式是同学们比较熟悉的公式．例如：，.
（1）若，求的值；
（2）如图，在正方形ABCD中，点在边AB上，．以AE，EB为一边在上方分别作正方形AEFG和正方形EBMN，连接AN．若，求阴影部分的面积．
23．（2025七下·杭州期中）某校计划建一间多功能数学实验室，将采购两类桌椅：类是三角形桌，每桌可坐3人，B类是五边形桌，每桌可坐5人．学校拟选择甲、乙两家公司中的一家来采购，两家公司的标价均相同，且规定两类桌椅均只能在同一家公司采购。甲公司对两类桌椅均是以标价出售；乙公司对A类桌椅涨价20%、B类桌椅降价20%出售，经咨询，两家公司给出的数量和费用如下表：
A类桌椅（套） B类桌椅（套） 总费用（元）
甲公司 6 5 1900
乙公司 5 5 1700
（1）设甲公司一套A类桌椅标价为x元，一套B类桌椅标价为y元，则乙公司出售一套A类桌椅的售价为 ▲ 元；一套B类桌椅的售价为 ▲ 元；
（2）求A、B两类桌椅每套的价格分别是多少？
（3）如果该数学实验室需设置48个座位，学校到甲公司采购，应分别采购A、B两类桌椅各多少套时所需费用最少？
24．（2025七下·杭州期中）如图，已知直线，直线和直线交于点和，点是直线CD上的一个动点．
（1）如图1，点在线段，则 ▲ ；
（2）如果点运动到C，D之间时，试探究之间的关系，并说明理由；
（3）若点在C，D两点的外侧运动时（点与点C，D不重合），，之间的关系是否发生改变？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解： 、 是一元一次方程，不符合题意；
、 是二元一次方程，符合题意；
、 是一元二次方程，不符合题意；
、 是二元二次方程，不符合题意.
答案： .
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，逐项进行判断，即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】 解：∵A、C、D都是两条直线被第三条直线所截得到的同位角，而B选项中是四条直线，∠1和∠2没有一条边在同一条直线上，不是同位角.
故答案为：B.
【分析】根据同位角的定义分析、判断即可得出结论.
3．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：3a2·a=3a3； （a3）3=a9； a3+a3=2a3； a6·a2=a8.
故答案为：A.
【分析】根据单项式乘单项式法则、幂的乘方的法则、合并同类项法则和同底数幂的乘法法则分别对各选项分析即可得到正确结论.
4．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、(x+1)(x+1)，不符合平方差公式，A不符合题意；
B、(a+2b)(a-2b)，符合平方差公式，B符合题意；
C、(-a+b)(a-b)，不符合平方差公式，C不符合题意；
D、(-m-n)(m+n)，不符合平方差公式，D不符合题意．
故答案为：B.
【分析】两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式.
5．【答案】C
【知识点】平行线的定义与现象；平行公理；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。∴A选项正确；
∵根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线。∴B选项正确；
∵根据平行线的性质：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；而不是两条直线被第三条直线所截。∴C选项错误；
∵根据平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行。∴D选项正确.
故答案为：C.
【分析】根据平行线的概念；平行公理以及平行线的性质和判断即可得到正确答案.
6．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：当∠2+∠A=180°时，根据同旁内角互补，两直线平行，∴AB∥DF.∴选项A正确；
当∠A=∠3时，根据同位角相等，两直线平行。∴AB∥DF，∴选项B正确；
当∠1=∠4时，根据内错角相等，两直线平行。∴AB∥DF，∴选项C正确；
当∠1=∠A时，根据同位角相等，两直线平行。∴DE∥AF，∴选项D错误.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判断方法逐选项分析判断，即可得到正确结论.
7．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，而已知的乘积项中不含的一次项，
∴p+q=0.
∴a与q的关系是互为相反数.
故答案为：B.
【分析】先展开（x+p）（x+q）合并同类项，可知一次项系数为p+q，而已知的乘积项中不含的一次项，所以可知p+q=0.进而可以得到a与q的关系.
8．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：若设客房有间，可得：7x+7=9（x-1），∴甲是正确的；
若设客人有人，可得：，∴乙是错误的；
若设 客房有间，客人有人 ，则.∴丙是错误的.
∴正确答案有2个.
故答案为：C.
【分析】若设客房有间，根据客人人数相等可得：7x+7=9（x-1）；若设客人有人，根据 空出一间客房 。可知住人的房间比实际房间少一间。可得：；若设 客房有间，客人有人 ，根据 每一间客房住7人的客人人数和总人数相等和 每一间客房住9人的客人人数和总人数相等分别列方程，则。即可得出正确结论.
9．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： 关于 ， 的二元一次方程组 的解是 ，
，
，
，
，
关于 ， 的二元一次方程组是 ，
，
，
，
，
，
，
关于 ， 的二元一次方程组 的解为： .
故答案为：A.
【分析】先求出m，n的值，从而得出关于a，b的方程组，解方程组即可.
10．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵AB'∥CE，
∴∠AB'E=∠CEB'=，
由折叠可知：
∠BEC=∠CEB'=，∠B=∠B'=90°，
∴∠BCE=∠B'CE=90°-，
∵∠BCD=90°，
∴∠BCE+∠B'CE+∠B'CD=90°，
∴90°-+90°-+=90°，
∴.
故答案为：B.
【分析】由AB'∥CE，可得∠AB'E=∠CEB'=，再由折叠可知：∠BEC=∠CEB'=，∠B=∠B'=90°，
由三角形内角和为180°。所以∠BCE=∠B'CE=90°-，由矩形可知∠BCD=90°，
所以∠BCE+∠B'CE+∠B'CD=90°，换成90°-+90°-+=90°，即可求得.
11．【答案】
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：∵2y-3x=6，
∴2y=3x+6，
∴y= .
故答案为： .
【分析】根据2y-3x=6，移项得2y=3x+6，两边再除以2，即可得出y= .
12．【答案】2cm
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可知：BC=CF。
∴BE=CF，
∵EC=1cm，BF=5cm，
∴BE+CF=4cm，
∴BE=CF=2cm.
故平移的距离为2cm.
故答案为：2cm.
【分析】由平移的性质可知：BC=CF，进而可知：BE=CF。由已知EC=1cm，BF=5cm，可知BE+CF=4cm，所以BE=CF=2cm.即可知平移的距离为2cm.
13．【答案】134°
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图：
过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥EF。
∴∠FAE=∠C.
∵∠C=44°，
∴∠FAE=44°。
∵∠E为直角，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEF=∠AEC-∠FEC=90°-44°=46°。
∵AB∥EF，
∴∠BAE=∠AEF=46°。
∴∠1=180°-∠BAE=180°-46°=134°.
故答案为：134°.
【分析】过点E作EF∥AB，由AB∥CD，可以得到：CD∥EF，进而得到∠FAE=∠C，再由已知∠C的度数可以得出∠FAE的度数，由∠E为直角，进而可以求出∠AEF的角度，由AB∥EF，可得∠BAE=∠AEF，再由∠1和∠BAE是邻补角即可求出∠1的度数.
14．【答案】4；20
【知识点】同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵3m=5， 3n=2，
∴32n=（3n）2=22=4， 3m+2n=3m×32n=3m×（3n）2=5×22=20.
故答案为：4； 20.
【分析】根据幂的乘方的逆运算，可以得出32n=（3n）2=22=4；
根据幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法的逆运算可以把3m+2n化为3m×32n进而转化为
3m×（3n）2再把数值代入可得：5×22=20即可.
15．【答案】18°或54°
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵ 如果与的两边分别平行 ，
∴=或者+=180°。
又∵比的3倍少 ，
∴=3-。
∴或
解得：或.
故答案为：18°或54°.
【分析】 根据与的两边分别平行，可得=或者+=180°。再结合 比的3倍少 ，进而可得方程组或。解方程组，求出的之即可.
16．【答案】②③④.
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：①把a=1代入方程组得：，解得：，
∴x+y=38.
∴①错误；
②把a=20代入方程组得：，解得：，
∴x+y=0.
∴x、y互为相反数。
∴②正确；
③当x=y时，原方程组可化为：，解得：a=a-5，矛盾，
∴ 不存在一个实数，使得；
∴③正确；
④∵2x·8y=64，
∴2x·（23）y=26，
∴2x·23y=26，
∴x+3y=6.
解方程组得：，
∴x+3y=25-a+3(15-a)=70-4a.
∴70-4a=6，
∴a=16.
∴④正确.
∴正确的选项是：②③④.
故答案为：②③④.
【分析】①把a=1代入方程组得：，解得：，所以x+y=38.
②把a=20代入方程组得：，解得：，进而x+y=0.进而可得x、y互为相反数。
③当x=y时，原方程组可化为：，解得：a=a-5，矛盾，进而可得不存在一个实数，使得；④由2x·8y=64，可得：2x·（23）y=26， 所以2x·23y=26，x+3y=6.而解方程组得：，所以x+3y=70-4a.进而70-4a=6，a=16.进而可以得出正确答案.
17．【答案】（1）解： 见解析；
（2）解： 见解析；
【知识点】作图﹣平移；作图-平行线
【解析】【解答】解：（1）如图，
（2）如图， 即为所作.
【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行作图即可.
（2）先分别找到三角形ABC的每个顶点A、B、C平移后的位置，再分别连接三点即可得到平移后的三角形.
18．【答案】（1）解：把①代入②，得：y=.
把y=代入①，得：x=.
∴此方程组的解是：
（2）解：设x+y=a， x-y=b， 原方程组可变形为：
①×4+②×3，得：a=1，
把a=1代入②，得：b=1.
∴
③+④，得：x=1，
把x=1代入③得：y=0.
∴原方程组的解是
【知识点】解二元一次方程组；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）把方程①代入方程②，求出y的值；再把y的值代入①求出x的值，即可得到方程组的解.
（2）此方程组比较复杂，所以设x+y=a， x-y=b， 原方程组可变形为：，解出此方程组，求出a、b的值。进而可以得到方程组，再次解此方程组，即可得出原方程组的解.
19．【答案】（1）解：原式=2a2-ab+12a2-3a-8a+2
=14a2-ab-11a+2
（2）解：原式=9a2-4b2-（4a2-4ab+b2）
=9a2-4b2-4a2+4ab-b2 =5a2+4ab-5b2
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据单项式乘单项式和多项式乘多项式法则，展开、合并同类项即可.
（2）根据平方差公式和完全平方公式展开、合并同类项即可.
20．【答案】（1）解：CF∥BD，理由如下：
∵BC⊥AE，DE⊥AE，
∴DE∥BC，
∴∠3+∠DBC=180°。
∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=∠DBC，
∴CF∥BD
（2）解：∵CF∥BD，∠1=80°，
∴∠ABD=∠1=80°，∠2=∠CBD，
∵BC平分∠ABD，
∴∠CBD=∠ABD=40°，
∴∠2=40°。
∵BC⊥AE，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACF=∠ACB-∠2=90°-40°=50°
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【分析】（1）根据BC⊥AE，DE⊥AE，可以得到：DE∥BC，由∠3与∠DBC是同旁内角，进而可以知道：∠3与∠DBC互补。结合已知：∠2+∠3=180°，进而得到：∠2=∠DBC， 所以CF∥BD.
（2）由CF∥BD，∠1=80°，可以得到：∠ABD=∠1，∠2=∠CBD。由BC平分∠ABD，所以∠CBD=∠ABD，所以可以求出∠2的度数。由BC⊥AE，所以可以得到：∠ACF的度数.
21．【答案】（1）－ =-2-2×3=-8
（2）解：=2x+y-2×3y=2x-5y
（3）解：2（1-2x）=-2x，
2-2×（1-2x）=-2x，
2-2+4x=-2x，
x=
【知识点】整式的混合运算；解一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据已知把 － 转化为常规运算，计算出结果即可.
（2） 把转化为一般的整式的计算，计算出结果即可.
（3） 把转化为常规的一元一次方程，然后解方程，求出x的值即可.
22．【答案】（1）解：∵a+b=6， ab=6.
∴（a+b）2=36，
∴a2+2ab+b2=36，
∴a2+b2=24
（2）解：∵S△AEN=4，S△AEC=AE·EN，
∴AE·EN=8，
∵AE=a， EB=b，
∴ab=8.
∵S阴影=S正方形ABCD-S正方形AEFG-S正方形EBMN，
∴S阴影=（a+b）2-a2-b2
=2ab
=16
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】(1)应用完全平方公式变形求解即可；
(2)由 得 阴影的面积等于正方形ABCD的面积减去正方形AEFG和正方形EBMN的面积和，即阴影部分的面积为
23．【答案】（1）解：依题意得：
乙公司出售一套A类桌椅的售价为 ：（1+20％）·x=1.2x（元），
乙公司出售一套B类桌椅的售价为：（1-20％）·y=0.8y（元）.
（2）解：依题意列方程组得：
解得：
答：A类桌椅每套150元，B类桌椅每套200元
（3）解：设应采购A类桌椅a套，B类桌椅b套，依题意得：
3a+5b=48，
∵a、b为非负整数，
∴或或或.
∴当a=1， b=9时，总费用为：1×150+9×200=1950（元）；
当a=6， b=6时，总费用为：6×150+6×200=2100（元）；
当a=11， b=3时，总费用为：11×150+3×200=2250（元）；
当a=16， b=0时，总费用为：16×150+0×200=2400（元）。
∵1950<2100<2250<2400
∴应分别采购A类桌椅1套，B类桌椅9套，所需费用最少
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）依题意可得：乙公司出售一套A类桌椅的售价为 ：（1+20％）x，出售一套B类桌椅的售价为：（1-20％）y.计算出结果即可.
（2）依题意列方程组得：进而解方程组即可得到A、B两类桌椅每套的价格.
（3）设应采购A类桌椅a套，B类桌椅b套，依题意得：3a+5b=48，由a、b为非负整数，可得：或或或.然后分别讨论每种情况下的总费用。再比较总费用，可得：
分别采购A类桌椅1套，B类桌椅9套，所需费用最少.
24．【答案】（1）解：∵过点P在直线CD的左侧作射线PE，使PE∥l1，
∴∠PAC=∠APE，
∵l1∥l2，
∴l2∥PE，
∴∠EPB=∠PBD.
∵∠APB=∠APE+∠EPB，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD.
∵∠PAC=30°，∠PBD=45°，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD=30°+45°=75°
（2）解： 当点运动到C，D之间时，∠APB=∠PAC+∠PBD.理由如下：
过点P在直线CD的左侧作射线PE，使PE∥l1，
∴∠PAC=∠APE，
∵l1∥l2，
∴l2∥PE，
∴∠EPB=∠PBD.
∵∠APB=∠APE+∠EPB，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD
（3）解：①当点P在直线l1的上方运动时，∠PBD=∠PAC+∠APB，理由如下：
过点P在直线CD的左侧作射线PE，使PE∥l1，
∴∠PAC=∠EPA，
∵l1∥l2，
∴l2∥PE，
∴∠EPB=∠PBD.
∵∠APB=∠EPB-∠APE，
∴∠APB=∠PBD-∠PAC.
即∠PBD=∠PAC+∠APB.
②当点P在直线l2的下方运动时，∠PBD=∠PAC-∠APB，理由如下：
过点P在直线CD的左侧作射线PE，使PE∥l1，
∴∠PAC=∠EPA，
∵l1∥l2，
∴l2∥PE，
∴∠EPB=∠PBD.
∵∠APB=∠APE-∠EPB，
∴∠APB=∠PAC-∠PBD.
∴∠PBD=∠PAC-∠APB
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和判定，可得：∠APB=∠PAC+∠PBD=75°.
（2）过点P在直线CD的左侧作射线PE，使PE∥l1，所以∠PAC=∠APE，因为l1∥l2，所以l2∥PE，进而可得：∠EPB=∠PBD.因为∠APB=∠APE+∠EPB，所以∠APB=∠PAC+∠PBD.
③当点P在C，D两点的外侧运动时，分在l1的上方和l2的下方两种情况讨论。可以得到：当点P在直线l1的上方运动时，∠PBD=∠PAC+∠APB；当点P在直线l2的下方运动时，∠PBD=∠PAC-∠APB.
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