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浙江省杭州市上城区2025年第二学期九年级学情调查数学试题卷（二模）
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025·上城二模） 下列各数：-4，0，，，其中最大的数是（　　）
A．-3 B．0 C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的大小比较；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴最大的数是，
故答案为：C.
【分析】正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小.
2．（2025·上城二模）在平面直角坐标系中，点P(-1，3）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点P(-1，3)在第二象限，
故答案为：B.
【分析】第一象限(+，+)，第二象限(-，+)，第三象限(-，-)，第四象限(+，-).
3．（2025·上城二模）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，它的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：A.，是这个几何体的主视图；
B.，是这个几何体的左视图；
C.，是这个几何体的俯视图；
D.，不是这个几何体的视图．
故选：B．
【分析】根据由左向右观察物体的视图叫做左视图．从该几何体的左侧看，一共两列，左边高度为二，右边高度为一，逐项判断解答即可．
4．（2025·上城二模） 下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a4+a4=2a4，故此选项错误；
B、a4-a3不能合并同类项，故原题计算错误；
C、a8÷a4=a4，故原题计算错误；
D、(-a3)2=a6，故原题计算正确；
故答案为：D.
【分析】根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘分别进行计算即可.
5．（2025·上城二模）下列四组数据中方差最大的一组是（　　）
A．3，3，3，3，3 B．2， 3，3，3，4
C．1，2， 3，4， 5 D．0，0，3，6，6
【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：A、平均数是3，方差是0；
B、平均数数是3，方差为；
C、平均数数是3，方差为；
D、平均数数是3，方差为；
∴方程最大的一组是D，
故答案为：D.
【分析】根据方差的计算，再比较方差的结果即可求解.
6．（2025·上城二模）若a>b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a-7＜b-7 B．-3a>-3b C．a+1>b-1 D．a2>b2
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A.a-7>b-7，则此项不成立，不符合题意；
B.-3a<-3b，则此项不成立，不符合题意；
C.a+1>b+1，则此项成立，符合题意；
D.a2不一定>b2，则此项不成立，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据不等式的基本性质：不等式两边加上或减去同一个数，不等号方向不变；不等式两边乘以或除以正数时，不等号方向不变；乘以或除以负数时，不等号方向改变.
7．（2025·上城二模）今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱：如果每人出7钱，则少了4钱，问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，则根据题意列出方程正确的是（　　）
A．8x-3=7x+4 B．8x+3=7x-4 C．8x-3=7x-4 D．8x+3=7x+4
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意可列出方程为：8x-3=7x+4.
故答案为：A.
【分析】根据购买物品总钱数得出等式，进而得出答案.
8．（2025·上城二模）如图，在ABC中，以点A为圆心，适当长度为半径作弧，与AB，AC交于点D，E，分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F，作射线AF交BC于点G.以点C为圆心，AC长为半径作弧，与AB交于点H，连结CH，交AG于点M，若∠B=34°，∠ACB=78°，则∠AMH的度数为（　　）
A．88° B．78° C．68° D．58°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：由尺规作图可知AF平分∠BAC，CA=CH，
∴∠CHA=∠CAB=180°-∠B-∠ACB=68°
∴，
∴∠AMH=180°-∠CHA-∠BAG=78°
故答案为：B.
【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的性质得出∠CHA=∠CAB=68°，∠BAG=34°，最后利用三角形内角和定理即可求解.
9．（2025·上城二模） 已知点，，是反比例函数(k为常数）图像上的三点，若，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵k2+1>0，
∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
A、若x1x2<0，则A(x1，y1)在第三象限，B(x2，y2)，C(x3，y3)在第一象限，
∵x1∴y2>y3，故选项A错误，不符合题意；
B、若x1x2>0，则点A、B在同一个象限
假如三点都在第三象限，y2>y3，
假如AB在第三象限，点C在第一象限，则有y2故选项B错误，不符合题意；
C、若x2x3<0，则A(x1，y1)，B(x2，y2)在第三象限，C(x3，y3)在第一象限，
∵x1∴y1>y2，选项C正确，符合题意；
D、若x2x3>0，则B、C两点在同一象限，
假如三点都在第三象限，则y1>y2，
假如BC在第一象限，A在第三象限，则y1故答案为：C.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质逐项分析判断即可.
10．（2025·上城二模）如图，点E、F是边长为1的正方形ABCD的边AD、BC上的点，将正方形沿EF折叠，使得点B的对应点B'在边CD上，AB的对应边A'B'交AD于点G，记B'C长为x，AG长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B．(y+1）X(x+1）
C．xy D．x2+y2
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由正方形的性质可得AD=BC=CD=1，∠D=∠B=∠C=90°，
由折叠的性质可得B'F=BF，∠A'B'F=∠B=90°，
设CF=m，则B'F=BF=BC-CF=1-m，
在Rt△B'FC中，由勾股定理得B'F2=CF2+B'C2，
∴(1-m)2=m2+x2
∴
∴
∵∠DGB'+∠DB'G=∠DB'G+∠CB'F，
∴∠DGB'=∠CB'F
∴△DGB'=△CB'F，
∴，
∴，
∴
∴AD=AG+DG=1
∴
∴2x+xy+y=1+x
∴xy+x+y=1
∴(x+1)(y+1)=2
故答案为：B.
【分析】折叠的性质可得B'F=BF，∠AB'F=∠B=90°，设CF=m，则B'F=BF=BC-CF=1-m，由勾股定理可(1-m)2=m2+x2，则，证明△DGB'~△CB'F得到，则，根据AD=AG+DG=1，得到，则(x+1)(y+1)=2，据此可得答案.
二、填空题：每小题3分，共18分.
11．（2025·上城二模）2025年杭州市参加中考人数约为41000人，将41000用科学记数法表示为　 　。
【答案】4.1×104
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：41000=4.1×104.
故答案为：4.1×104.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.
12．（2025·上城二模）“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶(相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”获得的。现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性相同，现有音乐小球从4处进入小洞发出“羽”音的概率是　 　。
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由于小球进入每个小洞的可能性相同，且共有五个音阶，
∴小球进入“羽”音对应的小洞的概率为：，
故答案为：.
【分析】根据概率公式即可求解.
13．（2025·上城二模） 如图，A，B，C是在⊙O上的点，∠C=30°，OA=2，则的长为　 　(结果保留π）
【答案】
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵∠C=30°，
∴∠AOB=2∠C=60°，
∴的长度，
故答案为：.
【分析】根据圆周角定理得到∠AOB=2∠C=60°，根据弧长的公式即可得到结论.
14．（2025·上城二模） 将公式y=变形成用y表示x，则x=　 　。
【答案】
【知识点】解二元一次方程；解分式方程
【解析】【解答】解：由原式，
两边同乘x得：yx=1-x
移项得：yx+x=1
提取公因式x：x(y+1)=1
解得：
故答案为：.
【分析】将y当作已知数来求解即可.
15．（2025·上城二模）春节假期小明一家自驾车从杭州到离家约900km的青岛旅游，出发前将油箱加满油。下表记录了轿车行驶的路程x（km）与油箱剩余油量y（L）之间的部分数据：
轿车行驶的路程x/km 0 100 200 300 400 ……
油箱剩余油量y/L 50 42 34 26 18 ……
若该轿车满油为50L，假设该轿车正常行驶时每千米耗油量相同，油箱内至少要有5L及以上汽油才能保证汽车正常行驶，则小明家的轿车至多开　 　公里就必须去加油。
【答案】562.5
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：设轿车行驶x公里时油箱剩余油量为y升，
根据题意得：y=50-0.08x.
当y=5时，x=562.5
故答案为：562.5.
【分析】根据初始油量和耗油量，写出剩余油量与行驶路程必的函数关系式，当剩余油量等于最低安全油量(5升)时，解方程求出对应的最大行驶路程.
16．（2025·上城二模）如图，线段AB绕点A逆时针旋转得到线段AC，AD，已知∠BAD=108°，连接线段DC并延长，与∠CAB的平分线交于点E，若 AE=DE，DC=1，则线段AE 的长为　 　。
【答案】
【知识点】旋转的性质；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由旋转的性质得，AD=AC=AB，
∴∠D=∠ACD
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠BAE.
又∵AE=AE.
∴△ACE≌△ABE(SAS)，
∴∠ACE=∠B，∠AEC=∠AFB，
∵∠ACE+∠ACD=180°
∴∠B+∠D=180°.
∵四边形ABED的内角和为360°，
∴∠BED=360°-∠BAD-(∠B+∠D)=360°-108°-180°=72°
∴，
∵AE=DE
∴，
∴∠ACD=∠D=72°，
∴∠CAE=∠ACD-∠AEC=720-36°=36°，
∴∠CAE=∠AEC，
∴AC=CF
设CE=a，则AD=AC=a，DE=CE+DC=a+1，
∴AE=DE=a+1.
∵∠ACD=∠D=∠EAD=72°，
∴△ACD~△EAD
∴，即
解得：，（舍去负值）
∴
故答案为：.
【分析】 根据旋转的性质得AD=AC=AB，由角平分线的定义得到∠CAE=∠BAE，推出△ACE≌△ABE，得到∠ACE=∠B，∠AEC=∠AEB，进而得出∠B+∠D=180°，再利用四边形的内角和为360°以及∠BAD=108°，算出∠BED=72°，利用等边对等角推出，再利用等角对等边推出AC=CE，设CE=a，表示出DE的长，通过证明△ACD∽△EAD得到，代入数据解出a的值，即可求出线段AE的长.
三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（2025·上城二模）
（1）计算：；
（2）化简：。
【答案】（1）解：原式=1-2+3
=2
（2）解：原式=x2-2x+1-x2+2x
=1
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】(1)先计算零指数幂，负整数指数幂，算术平方根，再加减计算即可；
(2)先去括号，再合并同类项即可求解.
18．（2025·上城二模）解方程：
（1）；
（2）。
【答案】（1）解：3x-3-2x=-6
3x-2x=-6+3
x=-3
（2）解：x2+3(x+1)=(x+1)x
x2+3x+3=x2+x
2x=-3
X=-
经检验x+1≠0，x≠0，x=是方程的解
【知识点】解含括号的一元一次方程；去分母法解分式方程
【解析】【分析】(1)去括号、移项、合并同类项等步骤解一元次方程；
(2)通过通分转化为整式方程，去括号、移项、合并同类项，分式方程去分母后需验证解.
19．（2025·上城二模）某校组织全校1000名学生进行“西湖经典诗词诵背”活动。为了解本次系列活动的效果，学校团委在活动之初，随机抽取40名学生调查“西湖经典诗词诵背”情况，根据调查结果绘制了如下统计图：
活动结束后，再次调查这40名学生“西湖经典诗词诵背”情况，绘制了如下统计图：
请根据调查的信息分析：
（1）估计活动结束后该校学生能诵背7首（含7首）以上的人数；
（2）m=　 　，=　 　.
中位数 众数 平均数
活动前“西湖经典诗词诵背”数量（单位：首） 4 m 4.35
活动后“西湖经典诗词诵背”数量（单位：首） 6 6
（3）选择适当的统计量，至少从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校”西湖经典诗词诵背”系列活动的效果。
【答案】（1）解：100×=275人
答：估计活动结束后有275人能背诵7首及其以上.
（2）3；5.525
（3）解：活动后，从平均数分析，样本的人均诵背数量增加了1首多；众数从3到6，说明效果明显，中位数从4提升到了6，说明大部分人都在进步.活动取得了较好的效果.
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(2)由条形统计图可得会背3首的人数最多，
∴m=3
故答案为：3，5.525.
【分析】(1)用1000乘以能诵背7首(含7首)以上的占比即可；
(2)根据众数和平均数的定义求解；
(3)从平均数、中位数和众数的角度分析即可.
20．（2025·上城二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC边上的垂直平分线分别交BC、AC于点D和点E，连结AD、BE。
（1）求证：∠ADB=2∠EBD；
（2）若 BC=8，DE=3，求AE的长度。
【答案】（1）证明：∵，D为BC中点
∴
∴
∴
∵DE为BC的中垂线
∴
∴
∴
（2）解：∵DE为BC的中垂线，
∴，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)由直角三角形斜边中线性质得到∠DAC=∠C，线段的垂直平分线得到BE=CE，则∠C=∠EBD，再由三角形的外角即可求证；
(2)先由勾股定理求得BE=CE=5，再证明△EDC~△BAC，即可求解.
21．（2025·上城二模）单摆是一种能够产生往复摆动的装置，如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动(摆线的长度变化忽略不计）。如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，过点B作BD⊥OA于点D。当摆球运动至点C时，过点C作CE⊥OA于点E，(点O，A，B，C，D，E在同一平面内）。
（1）若 BD=8，AD=4，求 OB的长；
（2）若∠BOA=46°，∠AOC=28°，ED=10cm，求OA的长。
(sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04，sin28°≈0.47， cos28°≈0.88， tan28°≈0.53，结果精确到 0.1cm）
【答案】（1）解：设OD=x，则OA=OB=x+4，
在Rt△OBD中，OB2=BD2+OD2，
∴(x+4)2=x2+82
∴x=6，
∴OB=10
（2）解：∵摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，于点D. 当摆球运动至点C时，于点E，
∴，
在中，
，
，
∴，，
∴，
∵，
∴.
【知识点】勾股定理；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)设OD=x，在Rt△OBD中，利用勾股定理列式计算即可求解；
(2)在Rt△BOD中，利用三角函数的定义求得OD≈0.69OB，OE≈0.88OC，根据ED=OE-OD，列式计算即可求解.
22．（2025·上城二模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别为BC，AB中点，连结DE并延长，使 DE=EF。
（1）求证：四边形ADBF为矩形；
（2）记∠ADE=α， ∠AEM=β。
①求∠DEM(用含α，β的代数式表示）；
②若β=90°-2α，求证：2DE2=DM·DA。
【答案】（1）证明：在△ABC中，AB=AC，又D为BC中点
∴AD⊥BD
∴∠ADB=90°
又∵E为AB中点
∴AE=BE…
∴DE=EF
∴四边形ADBF为平行四边形
又∠ADB=90°
∴□ADBF为矩形

（2）解：①四边形ADBF为矩形
∴AE=DE， ∠DAF=90°，DF=2DE
∴∠ADE=∠MAE=α
又∵∠AEM=β
∴∠DME=∠MAE+∠AEM=α+β
∴∠DEM=180°-∠DME-∠ADE=180°-2α-β
②∵β=90°-2α
∴∠DEM=180°-2α-β=90°
∴∠DEM=∠DAF
又∵∠MDE=∠FDA
∴△DEM∽△DAF
∴
∴DM·DA=DE·DF
即 DM·DA=DE·2DE
∴2DE2=DM·DA·
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)先根据已知得AF=BF，DE=EF，可证胆四边形ADBF为平行四边形，再根据等腰三角形的性质得AD⊥BD，即∠ADB=90°，即可得出结论；
(2)①根据矩形的性质得AE=DE，∠DAF=90°，DF=2DE，进而得∠ADE=∠MAE=α，∠DME=∠MAE+∠AEM=α+β，再根据三角形内角和定理可得∠DEM；
②由已知推出∠DEM=∠DAF，即可证明△DEM∽△DAF，得，变形即可得出结论.
23．（2025·上城二模）已知二次函数y=x2+bx+c(b，c为常数），
（1）若b=4，c=3，求此二次函数的顶点坐标；
（2）若此函数图象与x轴只有一个交点，且过点(3，1），求函数表达式；
（3）若此函数的对称轴为直线x=1，且当-1≤x≤t时，函数取到最大值为1，求c的取值范围。
【答案】（1）解：y=x2+4x+3= (x+2) 2-1
∴顶点坐标为（-2，-1)
（2）解：由题意得：，，
解得或；
或
（3）解： y=x2-2x+c，
当t≤3时，x=-1 时取到最大值。
把x=-1代入函数得：3+c=1，c=-2；
当t>3时，x=t时取到最大值。
把x=t代入函数得：t2-2t+c=1
c=t2+2+1=- (t-1) 2+2，
t>3 时，c<-2。
综上所述，c≤-2。
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的对称变换
【解析】【分析】(1)利用顶点坐标公式直接计算；
(2)通过判别式确定二次函数与x轴的交点个数，结合已知点坐标联立方程求解参数；
(3)根据对称轴确定参数关系，结合开口方向分析区间最值.
24．（2025·上城二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB中点，E是BC上的动点（不与端点B，C重合），连结AE与CD交于点F，过E，F，D三点的圆与BD交于点G（不与B，D重合），连结EG。
（1）若，，求的度数；
（2）若，求的值；
（3）求证：。
【答案】（1）解：∵D是斜边AB上的中点
∴CD=BD
∴∠DCE=∠B=50°
∵CE=CF
∴∠CFE=∠CEF=65°
∵四边形EFDG内接于圆
∴∠EGD=∠CFE=65°
（2）解：如图，过E作EH//CD交BD于点H。
∵，
∵AD=BD
∵EH∥CD
（3）证明：如图，过B作BM//CD，交AE延长线于点M，在BD上作BH=BM。
∵BM//CD，AD=DB
∴AF=FM
∵BM//CD
∴∠MBE=∠DCB=∠CBD
∠M=∠CFE=∠EGD
又∵BM=BH，BE=BE
∴△EMB≌△EHB(SAS)
∴EH=EM， ∠EHG=∠M=∠EGH
∴EH=EG
∴EG+EF=EM+EF=FM=AF
【知识点】圆内接四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】(1)首先根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知CD=BD，进一步解得∠CFE的值，然后根据圆内接四边形的性质求解即可；
(2)过E作EH//CD交BD于点H，由平行线分线段成比例定理可得及，结合AD=BD可知，然后根据平行线分线段成比例定理即可获得答案；
(3)过B作BM//CD，交AE延长线于点M，在BD上作BH=BM，根据平行线分线段成比例定理证明AF=FM，进而证明△EMB≌△EHB，得EH=EM，∠EHG=∠M=∠EGH，可知EH=EG，即可证明结论.
1 / 1浙江省杭州市上城区2025年第二学期九年级学情调查数学试题卷（二模）
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025·上城二模） 下列各数：-4，0，，，其中最大的数是（　　）
A．-3 B．0 C． D．
2．（2025·上城二模）在平面直角坐标系中，点P(-1，3）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2025·上城二模）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，它的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·上城二模） 下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·上城二模）下列四组数据中方差最大的一组是（　　）
A．3，3，3，3，3 B．2， 3，3，3，4
C．1，2， 3，4， 5 D．0，0，3，6，6
6．（2025·上城二模）若a>b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a-7＜b-7 B．-3a>-3b C．a+1>b-1 D．a2>b2
7．（2025·上城二模）今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱：如果每人出7钱，则少了4钱，问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，则根据题意列出方程正确的是（　　）
A．8x-3=7x+4 B．8x+3=7x-4 C．8x-3=7x-4 D．8x+3=7x+4
8．（2025·上城二模）如图，在ABC中，以点A为圆心，适当长度为半径作弧，与AB，AC交于点D，E，分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F，作射线AF交BC于点G.以点C为圆心，AC长为半径作弧，与AB交于点H，连结CH，交AG于点M，若∠B=34°，∠ACB=78°，则∠AMH的度数为（　　）
A．88° B．78° C．68° D．58°
9．（2025·上城二模） 已知点，，是反比例函数(k为常数）图像上的三点，若，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2025·上城二模）如图，点E、F是边长为1的正方形ABCD的边AD、BC上的点，将正方形沿EF折叠，使得点B的对应点B'在边CD上，AB的对应边A'B'交AD于点G，记B'C长为x，AG长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B．(y+1）X(x+1）
C．xy D．x2+y2
二、填空题：每小题3分，共18分.
11．（2025·上城二模）2025年杭州市参加中考人数约为41000人，将41000用科学记数法表示为　 　。
12．（2025·上城二模）“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶(相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”获得的。现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性相同，现有音乐小球从4处进入小洞发出“羽”音的概率是　 　。
13．（2025·上城二模） 如图，A，B，C是在⊙O上的点，∠C=30°，OA=2，则的长为　 　(结果保留π）
14．（2025·上城二模） 将公式y=变形成用y表示x，则x=　 　。
15．（2025·上城二模）春节假期小明一家自驾车从杭州到离家约900km的青岛旅游，出发前将油箱加满油。下表记录了轿车行驶的路程x（km）与油箱剩余油量y（L）之间的部分数据：
轿车行驶的路程x/km 0 100 200 300 400 ……
油箱剩余油量y/L 50 42 34 26 18 ……
若该轿车满油为50L，假设该轿车正常行驶时每千米耗油量相同，油箱内至少要有5L及以上汽油才能保证汽车正常行驶，则小明家的轿车至多开　 　公里就必须去加油。
16．（2025·上城二模）如图，线段AB绕点A逆时针旋转得到线段AC，AD，已知∠BAD=108°，连接线段DC并延长，与∠CAB的平分线交于点E，若 AE=DE，DC=1，则线段AE 的长为　 　。
三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（2025·上城二模）
（1）计算：；
（2）化简：。
18．（2025·上城二模）解方程：
（1）；
（2）。
19．（2025·上城二模）某校组织全校1000名学生进行“西湖经典诗词诵背”活动。为了解本次系列活动的效果，学校团委在活动之初，随机抽取40名学生调查“西湖经典诗词诵背”情况，根据调查结果绘制了如下统计图：
活动结束后，再次调查这40名学生“西湖经典诗词诵背”情况，绘制了如下统计图：
请根据调查的信息分析：
（1）估计活动结束后该校学生能诵背7首（含7首）以上的人数；
（2）m=　 　，=　 　.
中位数 众数 平均数
活动前“西湖经典诗词诵背”数量（单位：首） 4 m 4.35
活动后“西湖经典诗词诵背”数量（单位：首） 6 6
（3）选择适当的统计量，至少从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校”西湖经典诗词诵背”系列活动的效果。
20．（2025·上城二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC边上的垂直平分线分别交BC、AC于点D和点E，连结AD、BE。
（1）求证：∠ADB=2∠EBD；
（2）若 BC=8，DE=3，求AE的长度。
21．（2025·上城二模）单摆是一种能够产生往复摆动的装置，如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动(摆线的长度变化忽略不计）。如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，过点B作BD⊥OA于点D。当摆球运动至点C时，过点C作CE⊥OA于点E，(点O，A，B，C，D，E在同一平面内）。
（1）若 BD=8，AD=4，求 OB的长；
（2）若∠BOA=46°，∠AOC=28°，ED=10cm，求OA的长。
(sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04，sin28°≈0.47， cos28°≈0.88， tan28°≈0.53，结果精确到 0.1cm）
22．（2025·上城二模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别为BC，AB中点，连结DE并延长，使 DE=EF。
（1）求证：四边形ADBF为矩形；
（2）记∠ADE=α， ∠AEM=β。
①求∠DEM(用含α，β的代数式表示）；
②若β=90°-2α，求证：2DE2=DM·DA。
23．（2025·上城二模）已知二次函数y=x2+bx+c(b，c为常数），
（1）若b=4，c=3，求此二次函数的顶点坐标；
（2）若此函数图象与x轴只有一个交点，且过点(3，1），求函数表达式；
（3）若此函数的对称轴为直线x=1，且当-1≤x≤t时，函数取到最大值为1，求c的取值范围。
24．（2025·上城二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB中点，E是BC上的动点（不与端点B，C重合），连结AE与CD交于点F，过E，F，D三点的圆与BD交于点G（不与B，D重合），连结EG。
（1）若，，求的度数；
（2）若，求的值；
（3）求证：。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的大小比较；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴最大的数是，
故答案为：C.
【分析】正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小.
2．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点P(-1，3)在第二象限，
故答案为：B.
【分析】第一象限(+，+)，第二象限(-，+)，第三象限(-，-)，第四象限(+，-).
3．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：A.，是这个几何体的主视图；
B.，是这个几何体的左视图；
C.，是这个几何体的俯视图；
D.，不是这个几何体的视图．
故选：B．
【分析】根据由左向右观察物体的视图叫做左视图．从该几何体的左侧看，一共两列，左边高度为二，右边高度为一，逐项判断解答即可．
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a4+a4=2a4，故此选项错误；
B、a4-a3不能合并同类项，故原题计算错误；
C、a8÷a4=a4，故原题计算错误；
D、(-a3)2=a6，故原题计算正确；
故答案为：D.
【分析】根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘分别进行计算即可.
5．【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：A、平均数是3，方差是0；
B、平均数数是3，方差为；
C、平均数数是3，方差为；
D、平均数数是3，方差为；
∴方程最大的一组是D，
故答案为：D.
【分析】根据方差的计算，再比较方差的结果即可求解.
6．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A.a-7>b-7，则此项不成立，不符合题意；
B.-3a<-3b，则此项不成立，不符合题意；
C.a+1>b+1，则此项成立，符合题意；
D.a2不一定>b2，则此项不成立，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据不等式的基本性质：不等式两边加上或减去同一个数，不等号方向不变；不等式两边乘以或除以正数时，不等号方向不变；乘以或除以负数时，不等号方向改变.
7．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意可列出方程为：8x-3=7x+4.
故答案为：A.
【分析】根据购买物品总钱数得出等式，进而得出答案.
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：由尺规作图可知AF平分∠BAC，CA=CH，
∴∠CHA=∠CAB=180°-∠B-∠ACB=68°
∴，
∴∠AMH=180°-∠CHA-∠BAG=78°
故答案为：B.
【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的性质得出∠CHA=∠CAB=68°，∠BAG=34°，最后利用三角形内角和定理即可求解.
9．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵k2+1>0，
∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
A、若x1x2<0，则A(x1，y1)在第三象限，B(x2，y2)，C(x3，y3)在第一象限，
∵x1∴y2>y3，故选项A错误，不符合题意；
B、若x1x2>0，则点A、B在同一个象限
假如三点都在第三象限，y2>y3，
假如AB在第三象限，点C在第一象限，则有y2故选项B错误，不符合题意；
C、若x2x3<0，则A(x1，y1)，B(x2，y2)在第三象限，C(x3，y3)在第一象限，
∵x1∴y1>y2，选项C正确，符合题意；
D、若x2x3>0，则B、C两点在同一象限，
假如三点都在第三象限，则y1>y2，
假如BC在第一象限，A在第三象限，则y1故答案为：C.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质逐项分析判断即可.
10．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由正方形的性质可得AD=BC=CD=1，∠D=∠B=∠C=90°，
由折叠的性质可得B'F=BF，∠A'B'F=∠B=90°，
设CF=m，则B'F=BF=BC-CF=1-m，
在Rt△B'FC中，由勾股定理得B'F2=CF2+B'C2，
∴(1-m)2=m2+x2
∴
∴
∵∠DGB'+∠DB'G=∠DB'G+∠CB'F，
∴∠DGB'=∠CB'F
∴△DGB'=△CB'F，
∴，
∴，
∴
∴AD=AG+DG=1
∴
∴2x+xy+y=1+x
∴xy+x+y=1
∴(x+1)(y+1)=2
故答案为：B.
【分析】折叠的性质可得B'F=BF，∠AB'F=∠B=90°，设CF=m，则B'F=BF=BC-CF=1-m，由勾股定理可(1-m)2=m2+x2，则，证明△DGB'~△CB'F得到，则，根据AD=AG+DG=1，得到，则(x+1)(y+1)=2，据此可得答案.
11．【答案】4.1×104
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：41000=4.1×104.
故答案为：4.1×104.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.
12．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由于小球进入每个小洞的可能性相同，且共有五个音阶，
∴小球进入“羽”音对应的小洞的概率为：，
故答案为：.
【分析】根据概率公式即可求解.
13．【答案】
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵∠C=30°，
∴∠AOB=2∠C=60°，
∴的长度，
故答案为：.
【分析】根据圆周角定理得到∠AOB=2∠C=60°，根据弧长的公式即可得到结论.
14．【答案】
【知识点】解二元一次方程；解分式方程
【解析】【解答】解：由原式，
两边同乘x得：yx=1-x
移项得：yx+x=1
提取公因式x：x(y+1)=1
解得：
故答案为：.
【分析】将y当作已知数来求解即可.
15．【答案】562.5
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：设轿车行驶x公里时油箱剩余油量为y升，
根据题意得：y=50-0.08x.
当y=5时，x=562.5
故答案为：562.5.
【分析】根据初始油量和耗油量，写出剩余油量与行驶路程必的函数关系式，当剩余油量等于最低安全油量(5升)时，解方程求出对应的最大行驶路程.
16．【答案】
【知识点】旋转的性质；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由旋转的性质得，AD=AC=AB，
∴∠D=∠ACD
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠BAE.
又∵AE=AE.
∴△ACE≌△ABE(SAS)，
∴∠ACE=∠B，∠AEC=∠AFB，
∵∠ACE+∠ACD=180°
∴∠B+∠D=180°.
∵四边形ABED的内角和为360°，
∴∠BED=360°-∠BAD-(∠B+∠D)=360°-108°-180°=72°
∴，
∵AE=DE
∴，
∴∠ACD=∠D=72°，
∴∠CAE=∠ACD-∠AEC=720-36°=36°，
∴∠CAE=∠AEC，
∴AC=CF
设CE=a，则AD=AC=a，DE=CE+DC=a+1，
∴AE=DE=a+1.
∵∠ACD=∠D=∠EAD=72°，
∴△ACD~△EAD
∴，即
解得：，（舍去负值）
∴
故答案为：.
【分析】 根据旋转的性质得AD=AC=AB，由角平分线的定义得到∠CAE=∠BAE，推出△ACE≌△ABE，得到∠ACE=∠B，∠AEC=∠AEB，进而得出∠B+∠D=180°，再利用四边形的内角和为360°以及∠BAD=108°，算出∠BED=72°，利用等边对等角推出，再利用等角对等边推出AC=CE，设CE=a，表示出DE的长，通过证明△ACD∽△EAD得到，代入数据解出a的值，即可求出线段AE的长.
17．【答案】（1）解：原式=1-2+3
=2
（2）解：原式=x2-2x+1-x2+2x
=1
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】(1)先计算零指数幂，负整数指数幂，算术平方根，再加减计算即可；
(2)先去括号，再合并同类项即可求解.
18．【答案】（1）解：3x-3-2x=-6
3x-2x=-6+3
x=-3
（2）解：x2+3(x+1)=(x+1)x
x2+3x+3=x2+x
2x=-3
X=-
经检验x+1≠0，x≠0，x=是方程的解
【知识点】解含括号的一元一次方程；去分母法解分式方程
【解析】【分析】(1)去括号、移项、合并同类项等步骤解一元次方程；
(2)通过通分转化为整式方程，去括号、移项、合并同类项，分式方程去分母后需验证解.
19．【答案】（1）解：100×=275人
答：估计活动结束后有275人能背诵7首及其以上.
（2）3；5.525
（3）解：活动后，从平均数分析，样本的人均诵背数量增加了1首多；众数从3到6，说明效果明显，中位数从4提升到了6，说明大部分人都在进步.活动取得了较好的效果.
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(2)由条形统计图可得会背3首的人数最多，
∴m=3
故答案为：3，5.525.
【分析】(1)用1000乘以能诵背7首(含7首)以上的占比即可；
(2)根据众数和平均数的定义求解；
(3)从平均数、中位数和众数的角度分析即可.
20．【答案】（1）证明：∵，D为BC中点
∴
∴
∴
∵DE为BC的中垂线
∴
∴
∴
（2）解：∵DE为BC的中垂线，
∴，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)由直角三角形斜边中线性质得到∠DAC=∠C，线段的垂直平分线得到BE=CE，则∠C=∠EBD，再由三角形的外角即可求证；
(2)先由勾股定理求得BE=CE=5，再证明△EDC~△BAC，即可求解.
21．【答案】（1）解：设OD=x，则OA=OB=x+4，
在Rt△OBD中，OB2=BD2+OD2，
∴(x+4)2=x2+82
∴x=6，
∴OB=10
（2）解：∵摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，于点D. 当摆球运动至点C时，于点E，
∴，
在中，
，
，
∴，，
∴，
∵，
∴.
【知识点】勾股定理；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)设OD=x，在Rt△OBD中，利用勾股定理列式计算即可求解；
(2)在Rt△BOD中，利用三角函数的定义求得OD≈0.69OB，OE≈0.88OC，根据ED=OE-OD，列式计算即可求解.
22．【答案】（1）证明：在△ABC中，AB=AC，又D为BC中点
∴AD⊥BD
∴∠ADB=90°
又∵E为AB中点
∴AE=BE…
∴DE=EF
∴四边形ADBF为平行四边形
又∠ADB=90°
∴□ADBF为矩形

（2）解：①四边形ADBF为矩形
∴AE=DE， ∠DAF=90°，DF=2DE
∴∠ADE=∠MAE=α
又∵∠AEM=β
∴∠DME=∠MAE+∠AEM=α+β
∴∠DEM=180°-∠DME-∠ADE=180°-2α-β
②∵β=90°-2α
∴∠DEM=180°-2α-β=90°
∴∠DEM=∠DAF
又∵∠MDE=∠FDA
∴△DEM∽△DAF
∴
∴DM·DA=DE·DF
即 DM·DA=DE·2DE
∴2DE2=DM·DA·
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)先根据已知得AF=BF，DE=EF，可证胆四边形ADBF为平行四边形，再根据等腰三角形的性质得AD⊥BD，即∠ADB=90°，即可得出结论；
(2)①根据矩形的性质得AE=DE，∠DAF=90°，DF=2DE，进而得∠ADE=∠MAE=α，∠DME=∠MAE+∠AEM=α+β，再根据三角形内角和定理可得∠DEM；
②由已知推出∠DEM=∠DAF，即可证明△DEM∽△DAF，得，变形即可得出结论.
23．【答案】（1）解：y=x2+4x+3= (x+2) 2-1
∴顶点坐标为（-2，-1)
（2）解：由题意得：，，
解得或；
或
（3）解： y=x2-2x+c，
当t≤3时，x=-1 时取到最大值。
把x=-1代入函数得：3+c=1，c=-2；
当t>3时，x=t时取到最大值。
把x=t代入函数得：t2-2t+c=1
c=t2+2+1=- (t-1) 2+2，
t>3 时，c<-2。
综上所述，c≤-2。
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的对称变换
【解析】【分析】(1)利用顶点坐标公式直接计算；
(2)通过判别式确定二次函数与x轴的交点个数，结合已知点坐标联立方程求解参数；
(3)根据对称轴确定参数关系，结合开口方向分析区间最值.
24．【答案】（1）解：∵D是斜边AB上的中点
∴CD=BD
∴∠DCE=∠B=50°
∵CE=CF
∴∠CFE=∠CEF=65°
∵四边形EFDG内接于圆
∴∠EGD=∠CFE=65°
（2）解：如图，过E作EH//CD交BD于点H。
∵，
∵AD=BD
∵EH∥CD
（3）证明：如图，过B作BM//CD，交AE延长线于点M，在BD上作BH=BM。
∵BM//CD，AD=DB
∴AF=FM
∵BM//CD
∴∠MBE=∠DCB=∠CBD
∠M=∠CFE=∠EGD
又∵BM=BH，BE=BE
∴△EMB≌△EHB(SAS)
∴EH=EM， ∠EHG=∠M=∠EGH
∴EH=EG
∴EG+EF=EM+EF=FM=AF
【知识点】圆内接四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】(1)首先根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知CD=BD，进一步解得∠CFE的值，然后根据圆内接四边形的性质求解即可；
(2)过E作EH//CD交BD于点H，由平行线分线段成比例定理可得及，结合AD=BD可知，然后根据平行线分线段成比例定理即可获得答案；
(3)过B作BM//CD，交AE延长线于点M，在BD上作BH=BM，根据平行线分线段成比例定理证明AF=FM，进而证明△EMB≌△EHB，得EH=EM，∠EHG=∠M=∠EGH，可知EH=EG，即可证明结论.
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