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2024-2025学年第二学期期中考试
高二数学参考答案及评分标准
一、单选题
1．下列函数的求导正确的是( )
A. B.
C. D.
【解析】解：对于，，故A错误，对于，，故B错误，
对于，，故C正确，对于，，故D错误．
故选：．
2．设函数的导函数为，且，则( )
A. B. C. D.
【解析】解：，，
故选：．
3．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，顾客丁用哪种结账方式都可以．若甲、乙、丙、丁购物后依次结账，则他们的结账方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
解：根据题意，依次分析四人的结账方式：
对于甲，只会用现金结账，有种方式，
对于乙，只会用现金和银联卡结账，有种方式，
对于丙，与甲、乙结账方式不同，若乙用现金，则丙有种方式，若乙用银行卡，则丙有种方式，
对于丁，用哪种结账方式都可以，有种方式，
则他们结账方式的组合有种，
故选A．
4．若 ，则( )
A. B. C. D.
解：，
令，即，得，
故选 A．
5．函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是( )
A. 函数，上单调递增
B. 函数在，上单调递减
C. 函数有最小值，但是无最大值
D. 函数存在两个极值点
解：根据的图象可知，
函数在和上，单调递增，选项正确．
函数在和上，单调递减，选项正确．
所以的极小值点为，，极大值点为，选项错误．
由上述分析可知，函数的最小值是和两者中较小的一个，没有最大值，选项正确．
故选：．
6．若随机变量的可能取值为，且（），则E(X)=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【详解】由题意得，解得，
故，
故选：B
7．已知事件，，且，，，则( )
A. B. C. D.
解： ， ， ，
， ．故选D
8．已知曲线与曲线只有一个公共点，则（ ）
A． B．e C．1 D．
【详解】方法一：由已知曲线与曲线只有一个公共点，
方程只有一个实数解，而，则只考虑，
即，令，则，
而在单调递增，且，
所以时，单调递减，
时，单调递增，
而时，；时，，
所以．
方法二：由已知曲线与曲线只有一个公共点，
则曲线与曲线只有一个公切点，设其坐标为，
根据函数的图像与函数的图像之间的关系，
所以有，
即，所以，
设，则在单调递减，而，
所以，所以．
方法三：由于函数的反函数为，两函数关于对称，
由于，令，则，即函数与函数相切于点，
同理，，令，即函数． 与函数也相切于点，
于是函数与函数相切于点，由选项可知，．
故选：C.
二、多选题
9．不透明的袋中装有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球、2个白球，从袋中一次性取出2个球，记事件A=“两球同色”，事件B=“两球异色”，事件C=“至少有一红球"，则（ ）
A． B．
C．事件A与事件B是对立事件 D．事件A与事件B是相互独立事件
【详解】对于A，随机试验从袋中一次性取出2个球的样本空间含个样本点，
随机事件包含的样本点的个数为，所以，A错误；
对于B，随机事件包含的样本点的个数为，所以，B正确，
对于C，事件与事件不可能同时发生，所以事件与事件为互斥事件，
又，即事件为必然事件，所以事件与事件是对立事件，C正确；
对于D，随机事件包含的样本点的个数为，所以，
随机事件为不可能事件，所以，所以，
所以事件与事件不是相互独立事件，D错误，
故选：BC.
10．已知函数，则（ ）
A．有一个零点
B．有两个极值点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
【详解】选项A:又单调递增，故有一个零点，故选项A正确，
选项B：则恒成立，故单调递增，故不存在两个极值点，故选项B错误.
选项C：故点是曲线的对称中心，故选项C正确，
选项D：令，即，
令，则令，
则
当则当切线斜率为切点为则切线方程为：与不相等，
当时同样切线方程不为，故选项D错误.
故选：AC.
11．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点．依据不动点理论，下列说法正确的是( )
A. 函数有个不动点
B. 函数有个不动点
C. 若定义在上的奇函数，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数
D. 若函数在区间上存在不动点，则实数满足
解：对于，令，则，当时，，当时，，所以，所以函数有个不动点，故A正确．
对于，令，则，所以在上单调递增，又，，所以存在，使成立，所以在上有且仅有一个零点，即有且仅有一个“不动点”，故选项B错误；
对于，因为是上的奇函数，则为定义在上的奇函数，所以是的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，其个数的和为偶数，所以一定有奇数个“不动点”，故C正确；
对于，因为函数在区间上存在不动点，则在上有解，则在上有解，令，则，再令，则，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以，，所以实数满足，故D正确．
故选：．
三、填空题
12．现有一个由甲、乙、丙、丁共人组成的参观团要参观广雅、省实和华附三所中学，要求每人只能参观一所学校，每所学校至少有一个人参观，则不同的参观方法有 种．
解：根据题意，分步进行分析：
将甲、乙、丙、丁四人分成组，有种分组方法，
将分好的三组安排到三个学校，有种情况，
则有种情况．
故答案为：
13．已知在，的展开式中，有且只有第项的二项式系数最大，则展开式中的系数为
【详解】依题意可知，
的展开式通项为，
令，则，故的系数为.
故答案为：.
14．记函数在区间上的最大值为，最小值为，则 .
【详解】设，则，
当，时，（不恒为零），所以是减函数，
所以.
设，则，
当时，，单调递增，所以.
故答案为：.
四、解答题
15（13分）．已知函数．
求函数的单调区间与极值；
求函数在区间上的最值．
解：．-----------1分
令，得或，令，得，-----------3分
所以的单调递增区间是，，单调递减区间是．-----------6分
所以的极大值是，的极小值是．-----------8分
因为，，-----------10分
由知，的极大值是，的极小值是，-----------11分
所以函数在区间上的最大值为，最小值为．-----------13分
16（15分）．一个袋中装有6个同样大小的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现从袋中随机取出3个小球，用X表示取出的3个小球中最大编号和最小编号的差．
(1)求；
(2)求随机变量X的分布列和数学期望．
【详解】（1）当时，这3个球的编号分别有两个为1和6，另一个为2或3或4或5，-----------4分
可得；-----------7分
（2）随机变量X的取值分别为2，3，4，5，-----------8分
有，-----------9分
，-----------10分
，-----------11分
随机变量X的分布列为：-----------13分
X 2 3 4 5
P
则．-----------15分
17（15分）．已知某地居民某种疾病的发病率为0.02，现想通过对血清甲胎蛋白进行检验，筛查出该种疾病携带者.
(1)若该检测方法可能出错，具体是：患病但检测显示正常的概率为0.01，未患病但检测显示患病的概率为0.05.
①求检测结果显示患有该疾病的概率；
②求检测显示患有该疾病的居民确实患病的概率.（保留四位有效数字）
(2)若该检测方法不可能出错，采用混合化验方法：随机地按人一组分组，然后将个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这人全部阴性；如果混合血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次（每一小组都要按要求独立完成），设总居民人数为M，求取何值时，总化验次数最少？
说明：函数先减后增.
参考数据：≈0.8858，≈0.8681，≈0.8508，≈0.8337
【详解】（1）设A表示患病，B表示检测结果显示患病，-----------1分
则，-----------6分
-----------8分
（2）设每小组检验次数为X，X的可能取值为1，-----------9分
，-----------10分
，-----------11分
则，-----------12分
总化验次数为，-----------14分
根据参考数据计算，时，化验次数最少. -----------15分
18（17分）．已知函数.
(1)若函数的极值点在内，求m的取值范围；
(2)若有两个零点，求m取值的范围.
【详解】（1）函数的定义域为-----------1分
则（），-----------3分
要使函数的极值点在内，则在上有解，-----------4分
即在上有解，-----------5分
则，解得，-----------7分
即m的取值范围为.-----------8分
（2）由（1）知，，
当时，，，则，-----------9分
此时函数在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意；-----------10分
当时，，令，得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，-----------11分
又时，，时，，-----------12分
要使有两个零点，则恒成立，-----------13分
设，则，所以函数在上单调递增，-----------15分
又，则，解得.-----------16分
综上所述，m取值的范围为.-----------17分
19（17分）．甲乙两人轮流投掷质地均匀的骰子，第一轮甲先后投掷两次，接着乙先后投掷两次，依此轮流每人连续投掷两次.
(1)甲先后投掷两次，在第一次掷出偶数点的条件下，求甲两次掷出的点数之和大于6的概率；
(2)若第一轮甲连续两次掷出的点数均为偶数，则甲获胜.同时比赛结束；否则，由另一人继续投掷，直到有人连续两次掷出的点数均为偶数，则此人获胜且比赛结束.求甲获胜的概率.（注：若，当时，看作0）
【详解】（1）设事件“甲第一次掷出偶数点”，事件“甲两次掷出的点数之和大于6”， ----------1分
样本空间，样本空间包含的样本点个数为，且每个样本点都是等可能的.
，，
，，
则，，-----------3分
所以，（或）-----------5分
即在甲第一次掷出偶数点的条件下，两次掷出的点数之和大于6的概率为.-----------6分
（2）若甲第一轮获胜，概率为；-----------7分
若甲第二轮获胜，即第一轮投掷后两人的两个点数均不都为偶数，第二轮甲投掷后的两个点数都为偶数，-----------8分
概率为；-----------9分
若甲第三轮获胜，即前两轮投掷后两人的两个点数均不都为偶数，第三轮甲投掷后的两个点数都为偶数，-----------10分
概率为；-----------11分
由以上可得，若甲第轮获胜，即前轮投掷后两人的两个点数均不都为偶数，-----------12分
第n轮甲投掷后的两个点数都为偶数.概率为；-----------13分
于是，，，，…，组成一个以为首项，为公比的等比数列. -----------14分
所以.-----------15分
则当时，，-----------16分
故甲获胜的概率为.-----------17分
试卷第6页，共10页2024-2025学年第二学期期中考试
高二数学试卷
（满分：150 分；考试时间：120 分钟）
班级 姓名 座号
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列函数的求导正确的是( )
A. B.
C. D.
2．设函数的导函数为，且，则( )
A. B. C. D.
3．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，顾客丁用哪种结账方式都可以．若甲、乙、丙、丁购物后依次结账，则他们的结账方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4．若 ，则( )
A. B. C. D.
5．函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是( )
A. 函数，上单调递增
B. 函数在，上单调递减
C. 函数有最小值，但是无最大值
D. 函数存在两个极值点
6．若随机变量的可能取值为，且（），则E(X)=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．已知事件，，且，，，则( )
A. B. C. D.
8．已知曲线与曲线只有一个公共点，则（ ）
A． B．e C．1 D．
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．不透明的袋中装有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球、2个白球，从袋中一次性取出2个球，记事件A=“两球同色”，事件B=“两球异色”，事件C=“至少有一红球"，则（ ）
A． B．
C．事件A与事件B是对立事件 D．事件A与事件B是相互独立事件
10．已知函数，则（ ）
A．有一个零点 B．有两个极值点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
11．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点．依据不动点理论，下列说法正确的是( )
A. 函数有个不动点 B. 函数有个不动点
C. 若定义在上的奇函数，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数
D. 若函数在区间上存在不动点，则实数满足
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．现有一个由甲、乙、丙、丁共人组成的参观团要参观立德、树人和求实三所中学，要求每人只能参观一所学校，每所学校至少有一个人参观，则不同的参观方法有 种．（用数字作答）.
13．已知在，的展开式中，有且只有第项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 .
14．记函数在区间上的最大值为，最小值为，则 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15（13分）．已知函数．
求函数的单调区间与极值；
求函数在区间上的最值．
16 (15分). 一个袋中装有6个同样大小的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现从袋中随机取出3个小球，用X表示取出的3个小球中最大编号和最小编号的差．
(1)求；
(2)求随机变量X的分布列和数学期望．
17（15分）．已知某地居民某种疾病的发病率为0.02，现想通过对血清甲胎蛋白进行检验，筛查出该种疾病携带者.
(1)若该检测方法可能出错，具体是：患病但检测显示正常的概率为0.01，未患病但检测显示患病的概率为0.05.
①求检测结果显示患有该疾病的概率；
②求检测显示患有该疾病的居民确实患病的概率.（保留四位有效数字）
(2)若该检测方法不可能出错，采用混合化验方法：随机地按人一组分组，然后将个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这人全部阴性；如果混合血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次（每一小组都要按要求独立完成），设总居民人数为M，求取何值时，总化验次数最少？
说明：函数先减后增.
参考数据：≈0.8858，≈0.8681，≈0.8508，≈0.8337
18（17分）．已知函数.
(1)若函数的极值点在内，求m的取值范围；
(2)若有两个零点，求m取值的范围.
19（17分）．甲乙两人轮流投掷质地均匀的骰子，第一轮甲先后投掷两次，接着乙先后投掷两次，依此轮流每人连续投掷两次.
(1)甲先后投掷两次，在第一次掷出偶数点的条件下，求甲两次掷出的点数之和大于6的概率；
(2)若第一轮甲连续两次掷出的点数均为偶数，则甲获胜.同时比赛结束；否则，由另一人继续投掷，直到有人连续两次掷出的点数均为偶数，则此人获胜且比赛结束.求甲获胜的概率.（注：若，当时，看作0）
高二数学试卷第4页，共4页

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