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强化训练（二）数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求．
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足，且z在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知为等差数列，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．己知，则（ ）
A．6 B．4 C．2 D．1
5．如图：在平行四边形中，己知，直线交于O，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．记函数的最小正周期为T．若，且对恒成立，则最小值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
7．函数，若恒成立，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C． D．e
8．已知双曲线C的左、右焦点分别为，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目的要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知直线和两点．在直线l上有一点P，则下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为12 B．的最小值为6
C．的最小值为 D．的最大值为
10．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（ ）
A． B．
C．数列的前n项和的值可能为 D．
11．已知定义域为R的函数不是常值函数，当时，，而且对任意的有，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．在单调递减
D．若，则不等式的解集为
三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分．
12．的展开式中的系数为_______．
13．在等比数列中，，则_______．
14．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点距离之比是常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为3的正方体中，点P是正方体的表面（包括边界）上的动点．
（1）若动点P满足，则点P所形成的阿氏圆的半径为_______；
（2）若E是靠近D的三等分点，且满足，则三棱锥体积的最大值是_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径的长为两点在半圆弧上，且，设；
（1）当时，求四边形的面积．
（2）若要在景区内铺设一条由线段和组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值．
16．如图，在四棱锥中，平面平面，．
（1）证明：是等腰三角形．
（2）若平面平面，求点A到平面的距离．
17．已知是椭圆的左、右焦点，上顶点为，椭圆C上存在一点B满足．
（1）求椭圆C的离心率和标准方程；
（2）直线与椭圆C交于两个不同的点，若点关于直线对称，且为坐标原点，求m的值．
18．已知函数．
（1）当时，求证：在区间上单调递增．
（2）若函数在区间各恰有1个零点，求a的取值范围．
19．一种特殊的单细胞生物在一个生命周期后有的概率分裂为两个新细胞，的概率分裂为一个新细胞，随后自身消亡．新细胞按相同的方式分裂，并且每个细胞的分裂情况相互独立，如此繁衍下去．某实验人员开始观察一个该种单细胞生物经过个生命周期的分裂情况，将第个生命周期后的活细胞总数记为随机变量．
（1）若，
（i）求随机变量的分布列和期望；
（ii）求事件“”的概率；
（2）若，己知在的条件下，的期望称为条件期望，其定义为，试求使得条件期望时的最小正整数m，并求此时的期望．
强化训练（二）数学试题参考答案
1．D【详解】，则，故或，故A错误；，故B错误；或，故C错误；，故D正确．
2．A【详解】由复数的几何意义可知，到的距离等于到的距离，故在和的垂直平分线上，则．故选A．
3．C【详解】因为为等差数列，且，由等差数列的性质得，
所以，故．故选C．
4．A【详解】因为，所以，又，
所以，故选A．
5．D【详解】设，则，
又，所以，因为三点共线，所以，解得，所以．
6．B【详解】或
对恒成立，
①
②，故选B．
7．D【详解】由题设在上恒成立，
此时在上都单调递增，
所以只需在上的零点相同，即，
所以，令，则，
当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增，所以，故选：D
8．C【详解】根据题意，中，，于是，于是，在中，由余弦定理可得，，
所以，即，故选：C．
9．AC【详解】令是关于的对称点，则，
所以，即为与l的交点，如下图，则，当且仅当共线且P在线段上时取等号，
即的最小值为12；由图知（直线与直线l的交点离A点更近），即，当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为．故选：AC
10．ACD【详解】，A正确；
，B错误；
，所以
当，C正确；所以，D正确，故选：ACD．
11．AB【详解】对于A，令，则有或者，但是当时，，与不是常值函数矛盾，故，A选项正确；
对于B，，当，则，故，故，B选项正确；
对于C，任取，令，则，
于是，故在单调递增，C选项错误；
对于D，令可得：，于是函数是偶函数，又，于是原不等式可转化为，又由在单调递增可得：，解得：，D不正确，故选AB．
12．14【详解】展开式的通项是，
分别令得，
所以展开式中项为，所以展开式中的系数为14．故答案为：14．
13．【详解】设，则．
，所以．
14．；【详解】解：以D为坐标原点，为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，因为，所以，
整理得，故点P所形成的阿氏圆的半径为；
因为平面平面，所以，
所以，又，则，
因为E是靠近D的三等分点，所以，
由（1）可知，点P的轨迹为的一部分，
则当P在上时，三棱锥的体积最大，设此时P为，
所以，
则三棱锥体积的最大值是．
15．【详解】（1）连结，则
四边形的面积为
（2）法一：由题意，在中，，由正弦定理
同理在中，，由正弦定理
令
时，即的最大值为5
法二：由题意，在中，由余弦定理，
，在中，由余弦定理，
令
时，即的最大值为5
16．【详解】（1）证明：设O为的中点，连接，因为，，所以，
所以，即，又，平面，所以平面，因为平面，所以，
因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，在中，为的中点，
所以，即是等腰三角形；
（2）解：建立如图所示以O为坐标原点，所在直线为x轴，
过O与平行的直线为y轴，所在直线为z轴的空间直角坐标系，
设，则，，设平面的法向量为，
则有取，则，
设平面的法向量为，则有，取，则，
因为平面平面，所以，解得（舍去），
所以，所以，所以，
所以，所以是等腰直角三角形，取的中点E，连接，则，
又因为平面平面，平面平面，所以平面，
所以的长为点A到平面的距离，因为，所以点A到平面的距离为．
17．【详解】（1）依题意有：，由且可得：，代入椭圆方程得：，于是，又，于是
故椭圆C的方程为；
（2）关于直线对称，故直线与垂直，又，
当时，直线，椭圆上不存在两个不同的点关于直线对称，
则，由垂直关系，可设直线的方程为．
联立方程，消去y得，
设，则，
故，
，
故的中点坐标为，即．由于两点关于直线对称，把中点坐标代入得，即．由得，，则，即，
把代入，得，解得或（舍），当时，，满足，故．
18．【详解】（1），对，，所以，即在上单调递减，所以，即在上单调递增．（5分）
（2）当时，对，由（1）知，，即在上单调递增，此时，与题设矛盾．（7分）
当时，对，由（1）知，在上单调递减，又，
所以存在使，即在上单调递增，在上单调递减，所以．又，所以存在唯使．（10分）
对，所以在上单调递增，又，所以存在使，即在上单调递减，在上单调递增，所以．（14分）
由，所以在使，即在上单调递减，在上单调递增，所以．又，所以存在唯一使．符合题设．
综上，．（17分）
19．【详解】（1）（i）依题意，的所有可能取值为，
，
，
所以的分布列为：
1 2 3 4
P
的数学期望为
（ii）事件2，即细胞在n个生命周期中只有一次分裂为2个新细胞，且之前与之后的所有细胞都分裂为1个新细胞，
记事件表示“细胞只在第i个周期分裂为2个新细胞”，
则两两互斥，，
而，
因此，
所以事件“”的概率为．
（2）在的条件下，的可能取值为，
则，
，
因此
，
由，即m的最小值为，
，
由全概率公式得，
于是的期望
，则数列是以为首项，为公比的等比数列，又，所以，即．

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