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2025届重庆八中高三强化训练(一)
数学试题
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 若复数 满足 ,则
A. B. C. D.
3. 设 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知数列 为递增的等差数列,若 ,则 的公差为
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5. 记 设 ,则函数 的最小值是
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
6. 从 1 到 9 这九个自然数中选 5 个不同数字填入如图所示的方格中,每个方格填写 1 个数字, 且各个方格的数字各不相间, 若中间方格已填数字 6 , 要求每行从左至右及每列从上至下所填的数字都是从大到小排列的, 则不同的填法种数为
A. 72 B. 120 C. 144 D. 225
7. 已知 ,且 ,则 的最大值为
A. B. 1 C. D.
8. 已知函数 有且只有一个零点,则
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求。全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错得0分。
9. 统计显示,1999-2008 年,某国 GDP(国内生产总值)增长率与国际石油价格的线性相关系数为 0.86, 2009-2014 年该系数为 0.98 . 从总体上看, 则
A. 1999-2014 年,国际石油价格越低,该国的 GDP 增长率越高
B. 1999-2014 年,国际石油价格越高,该国的 GDP 增长率越高
C. 2009-2014 年,该国 GDP 增长率比 1999-2008 年更依赖国际石油价格
D. 2009-2014 年,该国 GDP 增长率比 1999-2008 年对国际石油价格依赖程度减缓
10. 设函数 ,则
A. 的图象关于直线 对称 B. 的图象关于点(1,1)对称
C. 的极大值为 2 D. 当 时,
11. 已知长方体 中,底面是边长为 2 的正方形,高为 1 . 点 满足 ( 四点不重合),则
A. 当 时,三棱锥 的体积为定值
B. 当 时, 的最小值是
C. 当 时,平面 平面
D. 当 时,直线 与平面 所成角的正切值有最大值
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 在平面直角坐标系中,向量 满足 ,则 _____.
13. 已知函数 满足 ,直线 和 为该函数图象的两条相邻对称轴,则 _____.
14. 已知椭圆 和双曲线 有公共焦点 , ( 为左焦点),椭圆 与双曲线 在第三象限交于点 ,直线 交 轴于点 , 且 平分 ,则双曲线 的离心率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13 分)
某高校在重庆市进行招生宣传工作, 招聘了若干学生志愿者, 分成理科和文科两个宣讲组. 理科组与文科组的人数之比为 ,其中理科组中男生占 ,文科组中男生占 .
(1)若一共有 64 名志愿者,从中随机选择 3 人前往渝东南片区某县进行招生宣讲,求理科组和文科组均有志愿者前往的概率;
(2)宣传组随机派遣一名志愿者到某中学对接宣讲工作,求这名志愿者恰好是男生的概率.
16.(15 分)
记 的内角 的对边分别为 . 已知 .
(1)证明: 的面积 ；
(2)若 ,求角 .
17.(15分)
四面体 中, 为锐角三角形,面 面 .
( 1 )求三棱锥 的外接球体积；
( 2 )求二面角 的正弦值的取值范围.
18.(17 分)
已知圆 ,圆 ,点 为圆 上动点, 为坐标原点,射线 与圆 的交点为 . 当点 不在坐标轴上时,过 和 分别作 轴与 轴垂线, 两垂线交点为 ；当点 在 轴上时,点 即为点 ；当点 在 轴上时,点 即为点 .
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)点 关于原点的对称点为 , 关于 轴的对称点为 ,求四边形 面积的取值范围;
(3)若直线 分别与圆 相切于 两点,经过点 的直线 与曲线 有且仅有一个公共点, 均不与坐标轴垂直. 与 分别相交于点 ,求 的最小值.
19.(17分)
(1) 当 时,证明: ;
(2)令 .
① 当 时, ,求实数 的取值范围；
② 若数列 满足 ,其中 ,
证明: ;

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