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期末综合试题 2024-2025学年下期
初中数学人教版八年级下册
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．在函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( )
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，6 D．1，，2
4．我市某中学举办了一次以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，最后确定7名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中李华已经知道自己的成绩，但能否进前四名，他还必须清楚这七名同学成绩的（ ）
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差
5．给出下列判断，正确的是（ ）
A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．对角线互相垂直平分的四边形为菱形
6．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地四尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？根据题意求出绳索长为（ ）尺．
A． B．10 C．16 D．12
7．某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如下表所示：
应聘者 学历 经验 工作态度
甲
乙
丙
如果将学历、经验和工作态度三项得分按的比例确定三人的最终得分，并以此为依据录用得分最高者，那么被录用的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定
8．下列四个选项中，不符合直线y＝3x﹣2的性质的选项是（　　）
A．经过第一、三、四象限 B．y随x的增大而增大
C．与x轴交于（﹣2，0） D．与y轴交于（0，﹣2）
9．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF经过点O，分别交AD，BC于E，F，已知 ABCD的面积是，则图中阴影部分的面积是　　

A．12 B．10 C． D．
10．如图1，在菱形中，，动点P从点A出发，沿折线匀速运动，运动到点D停止．设点P的运动路程为的面积为与x的函数图象如图2所示，则的长为（ ）
A．4 B． C．6 D．
二、填空题
11．如图，已知：平行四边形中，于，，，的平分线交于，连接．则的度数等于 ．
12．已知，则 ．
13．已知正方形的边长为5，点P在正方形内，，且，，则_______．
14．设一次函数，为常数，当时，该一次函数的最大值是5，则k的值为 ．
15．如图，在中，点D，E，F分别为的中点，若，，，则的周长为 ．
16．已知：如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，需添加一个条件是： .(只需填一个你认为正确的条件即可)

三、解答题
17．（1）计算：
（2）解方程：
（3）先化简，再求值： 其中．
18．在4月24日“中国航天日”来临之际，某校开展以“航天点亮梦想”为主题的知识竞赛．七、八年级根据初赛成绩各选出6名选手组成七年级代表队和八年级代表队参加学校决赛，两队各选出的6名选手的决赛成绩如下所示：
七年级：65，80，80，90，95，100
八年级：75，80，85，85，90，95
平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分2）
七年级 a 85 b
八年级 85 c 85
(1)以上成绩统计分析表如表所示：则表中 ， ， ．
(2)结合表中的各个统计量进行分析，你觉得哪个队的决赛成绩较好？
19．如图,在平行四边形中,对角线相交于点,于点.
(1)用尺规作于点 (要求保留作图痕迹,不要求写作法与证明)；
(2)求证: .
20．奶奶从家里出发，外出散步，看到有人在跳广场舞就跟着跳了一会儿后，继续散步了一段时间，然后回家．下图描述了奶奶在散步过程中离家的距离y（米）与散步所用时间x（分）之间的函数关系．根据图象回答下列问题：
(1)奶奶跳广场舞用了多长时间？
(2)第30分钟到第40分钟，奶奶走了多少米？
(3)返回时，奶奶的平均速度是多少？
21．如图，点 E 是平行四边形对角线上一点，点 F 在延长线上，且，与交于点G．
(1)求证：；
(2)连接，若，若 G 恰好是的中点，求证：四边形是菱形；
(3)在(2)的条件下，若四边形是正方形，且，则 ．
22．某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同．
(1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
(2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过48万元，则甲种农机具最多能购买多少件
23．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 和点
(1)求一次函数的表达式；
(2)结合图象，写出满足 的的取值范围；
(3)分别连接并延长与反比例函数交于两点，连接，请将图补充完整，判断四边形的形状并说明理由．
24．综合与实践
问题情境：
如图，四边形为正方形，点为对角线上的一动点，连接，过点作，交直线于点，以为邻边作矩形，连接
.
猜想证明：
（1）求证：四边形是正方形．
解决问题：
（2）求的度数．
（3）已知，请直接写出CG的长．
25．如图①所示，直线经过点，且与直线交于点．
(1)求直线的表达式，根据图像直接写出关于x的不等式的解集；
(2)在直线上找一点D，使的面积是的一半，求点D的坐标；
(3)如图②所示，P为x轴上A点右侧任意一点，以为边作等腰，其中，，直线交y轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D C D B B C D A
1．D
【分析】直接利用二次根式的加减法，乘除法运算法则分别化简，进而判断得出答案．
【详解】解：A、无法合并，故此选项不合题意；
B、，故此选项不合题意；
C、，故此选项不合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2．A
【分析】本题考查求函数的取值范围，通常我们关注 2 个点：分母不为 0 ，二次根式内的式子必须非负．
根据分母不为 0 ，且二次根式内式子非负计算可得．
【详解】解：∵函数要有意义，
则，
解得：，
故选：A．
3．D
【分析】根据三角形三边关系和勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】解：A、∵1＋2＝3，
∴不能构成三角形，不符合题意；
B、∵32＋22≠42，
∴不能构成直角三角形，不符合题意；
C、∵32＋42≠62，
∴不能构成直角三角形，不符合题意；
D、∵，
∴能构成直角三角形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4．C
【详解】解：由于总共有7个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前4名，故应知道中位数的多少．
故选C．
【点睛】本题考查统计量的选择．
5．D
【分析】本题主要考查了特殊四边形的判定方法，解题关键在于掌握各特殊四边形的判定方法．
依据平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定以及菱形的判定方法，即可得出结论．
【详解】解：A．一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；
B．对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项不正确，不符合题意；
C．对角线互相平分，垂直且相等的四边形是正方形，故该选项不正确，不符合题意；
D．对角线互相垂直平分的四边形必为菱形．根据菱形判定定理，对角线互相垂直平分的四边形满足菱形条件（四边相等），故该选项，符合题意；
故选：D．
6．B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设绳索长为尺，依题意得，求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：设绳索长为尺，依题意得：
，
解得：，
∴绳索长为尺，
故选：B．
7．B
【分析】此题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式，分别求出甲、乙、丙的最终得分，即可得出答案．
【详解】解：甲的最终得分为：
乙的最终得分为：
丙的最终得分为：
∴乙的最终得分高，乙将被录用．
故选：B
8．C
【分析】根据直线的图像性质即可解答.
【详解】解：令x＝0，则y＝－2，故直线与y轴的交点坐标为：﹙0，－2﹚；
令y＝0，则x＝，故直线与y轴的交点坐标为：(，0).
∵直线y＝3x－2中k＝3＞0，b＝－2＜0，
∴此函数的图象经过一、三、四象限．
k＝3＞0，y随x的增大而增大.
故A，B，D正确，答案选C.
【点睛】本题考查的是x、y轴上点的坐标特点及一次函数图象的性质，即一次函数y＝kx＋b（k≠0）中，当k＞0，b＜0时，函数图象经过一、三、四象限．
9．D
【分析】利用□ABCD的性质得到AD∥BC，OA=OC，且∠EAC=∠ACB（或∠AEO=∠CFO），又∠AOE=∠COF，然后利用全等三角形的判定方法即可证明△AOE≌△COF，再利用全等三角形的性质即可证明结论.
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠EAC=∠ACB（或∠AEO=∠CFO），
又∵∠AOE=∠COF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴S△AOE=S△COF,
∴阴影部分的面积= S△BOC=×S□ABCD =×20=5.
故选D
【点睛】此题把全等三角形放在平行四边形的背景中，利用平行四边形的性质来证明三角形全等，最后利用全等三角形的性质解决问题．
10．A
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．根据图1和图2判断为等边三角形，它的面积为解答即可．
【详解】解：连接，
在菱形中，，
∴为等边三角形，
设，由图2可知，的面积为，
∴的面积
解得：(负值已舍)
故选：A
11．
【分析】根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，求得，于是得到结论．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式，先把变形为，然后把代入求值即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：由，
∵，
∴原式
，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查正方形性质，勾股定理，根据题意作出合适的辅助线是解题的关键．首先在正方形中，连接，过点P作交于G点，过点P作交于H点，然后设，，根据勾股定理构建方程组，解方程组求得未知数的值，再根据勾股定理求出和的值，根据题意取舍即可．
【详解】解：如图，在正方形中，连接，过点P作交于G点，过点P作交于H点，
则，，
设，，
在和中，由勾股定理得：
，即，解得或
当时，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，，符合题意；
当时，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，，不符合题意；综上，．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查一次函数的性质，分和，两种情况，结合一次函数的增减性，进行求解即可．
【详解】解：当时，随的增大而增大，
∴当时，，解得：，
当时，随的增大而减小，
∴当时，，解得：（舍去）；
故答案为：．
15．12
【分析】根据三角形中位线定理得出 ， ， ，即可得出答案．
【详解】解：∵在中，D，E，F分别是，，的中点，
∴ ， ， ，
∵，，，
，
即的周长为12．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形周长公式，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
16．.(答案不唯一)
【分析】由AO=OC，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得添加BO=OD即可．
【详解】添加的BO=OD．
理由：∵在四边形ABCD中，BO=DO，AO=CO，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定．此题难度不大，注意掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键．
17．（1）；（2）；（3），2
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解分式方程，零指数幂，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算乘方，最后计算加减法即可得到答案；
（2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可；
（3）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：（1）
；
（2）
去分母得：，
去括号得：，
移项得：
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解；
（3）
，
当时，原式．
18．(1)85，80，85
(2)①从平均数和中位数看，七、八年级成绩均等；②从众数看，八年级比七年级好；③从方差看，七年级成员间成绩差距较大，八年级成员间成绩差距较小
【分析】（1）根据平均数的计算公式和众数、中位数的定义分别进行解答即可；
（2）从平均数、中位数、众数和方差的角度分析哪个队的决赛成绩较好．
【详解】（1）七年级6名选手决赛成绩的平均数a=（分）；
七年级6名选手决赛的成绩中，80分出现的次数最多，出现了2次，故众数b=80（分）；
八年级6名选手决赛的成绩按从小到大的顺序排列为：75，80，85，85，90，95，
所以，中位数为：c=(分)；
故答案为：85；80；85；
（2）①从平均数和中位数看，七、八年级成绩均等；
②从众数看，八年级比七年级好；
③从方差看，七年级成员间成绩差距较大，八年级成员间成绩差距较小.
所以，八年级代表队的决赛成绩较好．
【点睛】本题考查方差，中位数，众数，平均数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
19．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）以C为圆心，大于AE长为半径画弧，分别交BD于点M，N两点，再分别以M，N为圆心，以大于MN为半径画弧，交于点G，连接CG并延长，交BD于点F，即可得CF⊥BD于点F；
（2）由AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，可得∠AEO=∠CFO=90°，又由在平行四边形ABCD中，OA=OC，即可利用AAS，判定△AOE≌△COF，继而证得结论
【详解】解：（1）如图，为所求；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴
∵于点，于点，
∴
在和中，
∴≌（）
∴
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，以及基本作图：过直线外一点做已知直线的垂线段，掌握平行四边形的性质以及三角形全等的判定和过直线外一点做已知直线的垂线段，是解题的关键.
20．(1)10分钟
(2)300米
(3)60米/分
【分析】本题考查函数图象，解题的关键是读数图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
（1）到时间增加，而离家的距离没变，所以这段时间跳广场舞；
（2）根据函数图象解答即可；
（3）根据“速度=路程时间”可得答案．
【详解】（1）解：(分钟)．
答：奶奶跳广场舞用了10分钟；
（2）(米)．
答：30分钟到第40分钟，奶奶走了300米；
（3）(米/分)，
答：返回时，奶奶的平均速度是60米/分．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接交于点O，由平行四边形的性质得，再证是的中位线，即可得出结论；
（2）证，得，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论；
（3）由正方形的性质得，再求出，然后由勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：连接交于点O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴；
（2）由（1）得：，
∴，
∵G是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（3）∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得： ．
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键．
22．(1)购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需3万元，2万元
(2)甲种农机具最多能购买8件
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（）设乙种农机具一件需万元，则甲种农机具一件需万元，利用数量＝总价÷单价，结合用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出购买件乙种农机具所需费用，再将其代入中即可求出购买件甲种农机具所需费用；
（）设甲种农机具购买件，利用总价＝单价×数量，结合购买的总费用不超过48万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】（1）解：设乙种农机具一件需万元，则甲种农机具一件需万元
根据题意得： ；
解得： ；
经检验：是原方程的解，且符合题意；
∴一台甲种农机具需万元．
答：购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需3万元，2万元；
（2）解：设甲种农机具购买件，则乙种农机具购买件，
由题意得；
解得；
答：甲种农机具最多能购买8件．
23．(1)
(2)或 3
(3)图形见解析，是平行四边形，理由见解析
【分析】（）求出点、的坐标，再利用待定系数法解答即可；
（）根据图象解答即可；
（）根据题意补全图形，再根据反比例函数图象的对称性可得与互相平分，即可求解；
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定等，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：把坐标代入得，
，，
∴，
∴，，
把，代入得，
，
解得 ，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：由图象可知，当或时，，
∴满足 的的取值范围为 或 ；
（3）解：图形补充如下：
四边形 是平行四边形，理由如下：
∵两点关于点对称， 两点关于点对称，
∴与互相平分，
∴四边形是平行四边形 ．
24．（1）见解析（2）（3）
【分析】（1）连接辅助线，由，得到，即可求解，
（2）由，得到，即可求解，
（3）由正方形，正方形，得到，由，得到，依次求出，，，,的长，由，得到，即可求解，
本题考查正方形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，解题关键是：连接辅助线构造全等三角形．
【详解】解：（1）过作于点，过作于点，
正方形，
，
，且，
四边形为正方形，
四边形是矩形，
，
，
又，
在和中，，
，
，
矩形为正方形，
（2）矩形为正方形，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
（3）∵正方形，正方形，
∴，，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴,,
∵，
，
25．(1)；
(2)D的坐标为或
(3)不变，6
【分析】（1）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求直线的表达式；当两个函数图象在x轴上方，且直线AB在OC上方时，满足，结合点C坐标即可写出答案；
（2）由的面积是的一半，可知D到x轴的距离等于C到x轴的距离的一半，由此可解；
（3）过点M作轴，垂足为点N，先通过ASA证明，再根据全等三角形的性质和已知条件证明，推出是等腰直角三角形，进而得到，．
【详解】（1）解：∵直线经过点，
∴，
即：，C点坐标为；
∵直线经过点和，
∴，，
解得：，，
∴直线表达式为：；
由图象可知，直线和直线相交于点，
∴不等式的解集为：；
（2）解：如图所示，
∵C点坐标，
∴C到x轴的距离为2，
∴当D到x轴的距离等于1时，的面积是的一半，
∵D在直线上，设，
则：，
解得：或，
∴D的坐标为或；
（3）解：线段的长不变，理由如下：
如图所示，过点M作轴，垂足为点N，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴．
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴线段的长不发生变化．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，观察图象求不等式的解集，点到坐标轴的距离，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键，其中第（1）问求不等式的解集用到了数形结合的思想，是常考题型，需要重点练习．
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