资源简介

注意事项：
成都石室中学 2024-2025 学年度下期高 2026 届零诊模拟考试
数学试题
（满分 150 分，考试时间 120 分钟）
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
在 x2

2 4

的展开式中， x2 的系数等于（ ）
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
已知 an 是公差不为 0 的等差数列， a1 2 ，若a3 , a4 , a6 成等比数列，则a10 （ ）
20
18
C．16 D. 18
已知m, n 是两条不同的直线， , , 是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若m // n ， m // ，则n // B. 若m // n ， // ， m ，则n
C. 若 ， ，则 // D. 若 // ， m ， n ，则m // n
已知公比为正数的等比数列 an 前 n 项和为 Sn ，且 S2 1 ， S4 5 ，则 a1 （ ）
1
1 或
3
E
x2 y2
B. 1
F 1, 0
C. 1
3
x y 1 0
D. 1
3
E
A, B
已知椭圆 ：
4 3
1，点
，若直线
（ R ）与椭圆 交于
两点，则
△ABF 的周长为（ ）
8 B. 4
C. 4 D. 2
当 x 1是函数 f (x) x2 2ax a2 3a 3 ex 的极值点，则 a 的值为（ ）
3 B. 2
3 或 2
2 或 3
已知随机变量 , 满足2 4 ，且 B 6, 1 ，则下列说法正确的是（ ）
3
A. P 2 P 4
C. D 8
3

B. E 1
D. E 2 16
将1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 适当排列成 a1, a2 , , a7 ，满足 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 ，则满足要求的排列的个数为（ ）
A. 58 B. 71 C. 85 D. 96
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合要
求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
食物盲盒是当下店家掀起的“外卖热”，现有编号依次为1, 2,3 的三个食物格子，其中 1 号格子装有 2 个
汉堡和 3 个鸡腿，2 号格子装有 3 个汉堡和 2 个鸡腿，3 号格子中有 5 个汉堡.已知汉堡完全一样，鸡腿也完全一样.已知店员任意选择食物格子的概率是相同的，若店员在一份外卖中装入 2 个汉堡的记为事件 A，装入 2 个鸡腿记为事件 B，装入 1 个鸡腿，1 个汉堡记为事件 C，事件Di （ i 1, 2,3 ）表示食物取自i 号格子，下列选项正确的是（ ）
A. P A | D 1
P(B) 2
P(C) 3
P C | D 0
1 5 15 4 3
1
已知三次函数 f x x3 bx2 5(b 0) 有极小值点 x 2 ，则下列说法中正确的有（ ）
b 3
函数 f x 有三个零点
函数 f x 的对称中心为 1, 3 D. 过 1,1 可以作两条直线与 y f x 的图象相切
如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为
“三角垛”.“三角垛”最上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球，…，设第 n
层有 an 个球，从上往下 n 层球的总数为 Sn ，则（ ）
S4 20
an 1 an n
an
n n 1
2
an
ln n! n
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填在答题卡的横线上.
已知随机变量 X ~ N 2, 2 ，若 P( X 1) 0.8 ， P(2 X m) 0.3 ，则实数m ．
有 5 本不同的书，全部借给 3 人，每人至少 1 本，共有 种不同的借法.（用数字回答）
若ex x 1 2ax ln 2ax 1 恒成立，则实数a ．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分 13 分）
四棱锥 P ABCD 中， △ACD 与△ABC 为等腰直角三角形，
ADC 90 ， BAC 90 ，E 为 BC 的中点．
F 为 PD 的中点，G 为 PE 的中点，证明： FG // 平面 PAB；
若 PA 平面 ABCD， PA AC ，求 AB 与平面 PCD 所成角的正弦值．
16．（本小题满分 15 分）
记Sn 为数列 an 的前n 项和， a1 1， an 1 2Sn 1 .
求 an 的通项公式；
若bn an log3 an 1 ，求数列 bn 的前n 项和Tn .
2
17.（本小题满分 15 分）
已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个 1 号球，一个
2 号球和一个 3 号球；乙袋内装有两个 1 号球，一个 3 号球；丙袋内装有三个 1 号球，两个 2 号球和一
个 3 号球.
从甲袋中一次性摸出 2 个小球，记随机变量 X 为 1 号球的个数，求 X 的分布列和数学期望；
现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出 1 个球，若摸出的是 1 号球放入
甲袋，摸出的是 2 号球放入乙袋，摸出的是 3 号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出 1 个
球.求第二次摸到的是 3 号球的概率.
18.（本小题满分 17 分）
已知双曲线C : x2 y
3
1 ，F1,F2 分别是其左、右焦点，直线l 与双曲线C 的右支交于 A, B 两点.
当直线l 过点 F2 ，且 AB 6 时，求△ABF1 的周长；
已知点 N 2, 3 ，若直线 AN, BN 的斜率之和为0 ，且tan ANB 4 ，当 AN, BN 分别与 y 轴交于
3
点 R, S 时，求△RSN 的面积；
已知直线l 过点 F2 ， P 是双曲线C 上一点且位于第一象限，且满足OQ 2OP 的点Q 在线段 AB
上，若 AB 2QF2 ，求点 P 的坐标.
3
19.（本小题满分 17 分）
已知函数 f x x k lnx ， g x x asinx blnx ．
若k 1，求曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程；
当 x 1时， f x 2 x 1 恒成立，求实数 k 的取值范围；
设0 a 1， b 0 ，若存在 x1, x2 0, ，使得 g x1 g x2 x1 x2 ．证明：
．
4
注意事项：
成都石室中学 2024-2025 学年度下期高 2026 届零诊模拟考试
数学答案
（满分 150 分，考试时间 120 分钟）
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【答案】D
【解析】由题设，二项式展开式通项为T
r 2 4 r
2 r 2r Cr x8 3r ， r 0,1, , 4 ，
r 1
C4 (x
) ( )
x 4
令8 3r 2 r 2 ，则T 22 C2 x2 24x2 ，即 x2 的系数等于 24.
3 4
【答案】C
【解析】设等差数列 an 的公差为d, d 0 ，因为a3 , a4 , a6 成等比数列，且a1 2 ，
所以a2 a a ，即 2 3d 2 2 2d 2 5d ，解得d 2 或d 0 （舍去），所以a10 a1 9d 2 9 2 16 .
【答案】B
【解析】A.若 m // n ， m / / ，则 n / / 或n ，故 A 错误；
B. 若m // n ， / / ， m ，则 n ，故 B 正确；
C. 若 ， ，则 / / 或 与 相交，故 C 错误；
D. 若 / / ， m ， n ，则 m // n 或异面，故 D 错误.
【答案】C
【解析】设等比数列 an 的公比为 q 0 ，因为 S2 1， S4 5 ，且 q 1 ，
a 1 q2
1 1 1
1 q
所以
，解得 a1 3 ，所以 a 1 .
a 1 q4 1 3
1 q 5
2
【答案】A
【解析】椭圆 E： x
2
1的长半轴长 a 2 ，半焦距 c
1，
4 3
则点 F ( 1, 0) 为椭圆的左焦点，其右焦点为(1, 0) ，而直线 AB : x y 1 0 恒过定点(1, 0) ，所以△ABF 的周长为 4a 8 .
【答案】A
【解析】由 f x x2 2ax a2 3a 3 ex ，得 f ' x x2 2ax 2x a2 a 3 ex ，
∵ x 1 是函数 f x 的极值点，
∴ f 1 0 ， 6 a a2 0 ，解得 a 3 或a 2 ，
当a 2 时， f ' x x2 2x 1 ex 0 恒成立，即 f x 单增，无极值点，舍去；
当 a 3 时， f x x 1 x 9 ex 时，满足 x 1 为函数 f x 的极值点，∴ a 3 ．
【答案】D
【解析】因为随机变量 , ，满足 2 4 ，且 B 6, 1 ，所以
3
对于 A， P 4 C4
1 4 2 2

60 , P 2 C2
240
，所以 A 不正确；
6 3 3
729
6 3 3
729

对于 B， B 6, 1 ， E 6 1 2 ，
3 3

E E 4 2 4 2E 4 2 2 0 ，所以 B 不正确；
对于 C， B 6, 1 ， D 6 1 2 4 ，
3

3 3 3

D D 4 2 22 D 4 4 16 ，所以 C 不正确；
3 3
根据 D E( 2 ) [E ]2 ,由 E 2, D 4 ,则 4 E 2 22 ， E( 2 ) 16
3 3 3
【答案】B
【解析】根据题意， a3, a4, a6, a7 都比 a5 大，所以 a5 可能取1, 2 或3 ，
当 a 1时， a , a 有C2 种选法，剩余数字中 a 最大，
5 6 7 6 3
a , a 有C2 种选法，最后剩下一个就是 a ，共有C2C2 15 3 45 种，
1 2 3 4 6 3
当 a 2 时， a 1 ， a , a 有C2 种选法，剩余数字中 a 最大，
5 1 6 7 5 3
而 a ， a 有A2 种选法，共有C2A2 10 2 20 种，
2 4 2 5 2
当 a 3时， a 1， a 2 ， a , a 有C2 种选法，
5 1 2 6 7 4
剩余数字 a ， a 只有 1 种，共有C2 6 种，
3 4 4
则满足要求的排列的个数为 45 20 6 71种.
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
【答案】BD
【解析】对于 A, P A | D P( AD1 ) 1 ,故 A 错误，
P(D1 ) 10
1 C2 1 C2 1 0 2
对于 B, P(B) 3 2 ,故 B 正确，
3 C2 3 C2 3 C2 15
5 5 5
1 C1 C1 1 C1C1 1 0 2
对于 C,
P(C)
2 3
3 2
，故 C 错误，
3 C2 3 C2 3 C2 5
5 5 5
对于 D,由于 P CD3 0 ,故 P C | D3 0 ，D 正确
【答案】ACD
【解析】 f x 3x2 2bx ，
因为函数 f x x3 bx2 5(b 0) 有极小值点 x 2 ，所以 f 2 12 4b 0 ，解得b 3 ，
所以 f x x3 3x2 5 ， f x 3x2 6x ，
当 x 2 或 x 0 时， f (x) > 0 ，当0 x 2 时， f x 0 ，
所以函数 f x 在 , 0 , 2, 上单调递增，在 0, 2 上单调递减，所以 f x f 0 5, f x f 2 1，
又 f 2 15 ，所以函数 f x 仅有1个在区间 2, 0 上的零点，故 A 正确，故 B 错误；对于 C，由 f x x3 3x2 5 x2 x 3 5 ，
得 f 1 x f 1 x 1 x 2 1 x 3 5 1 x 2 1 x 3 5 6 ，所以函数 f x 的图象关于 1, 3 对称，故 C 正确；
对于D，设切点为 x , x3 3x2 5 ，则 f x 3x2 6x ，
故切线方程为 y x3 3x2 5 3x2 6x x x ，
又过点 1,1 ，所以1 x3 3x2 5 3x2 6x 1 x ，
整理得 x3 3x 2 0 ，即 x 1 2 x 2 0 ，
0 0 0 0
解得 x0 1 或 x0 2 ，所以过 1,1 可以作两条直线与 y f x 的图象相切，故 D 正确.
【答案】ACD
【解析】由题意得 a1 1,a2 a1 2,a3 a2 3, ,an an 1 n ，
以上格式累加，可得 a 1 2 3 n n(n 1) , n 2 ，a 1也适合，
n 2 1
故 a n(n 1) ，则a 4 5 10, S 1 3 6 10 20 ，
n 2 4 2 4
对于选项 D， n(n 1) ln n! n ，整理得到 n(n 1) ln n! ，即
2 2
n n
(k 1) ln k
k 1 k 1
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填在答题卡的横线上.
【答案】5
【解析】因为 P( X 1) 0.8 ，所以 P( X 1) 0.2 ，根据对称性可得 P( X 5) 0.2 ，又 P(2 X m) P( X 5) 0.5 ，所以 m 5 .
【答案】150
【解析】将 5 本不同的书分成满足题意的 3 组有 1，1，3 与 2，2，1 两种，
分成 1、1、3 时，有C3 A3 种分法，
5 3
C 2C 2
分成 2、2、1 时，有 5 3
2
A3 种分法，
所以共有C3
C2C2
A3 5 3
A3 150 种分法．
5 3 2 3
2
【答案】 1
2
【解析】因为ex x 1 2ax ln 2ax 1 恒成立，即ex x 2ax 1 ln 2ax 1 恒成立，即ex x eln 2ax 1 ln 2ax 1 恒成立，
设 f x ex x ，则 f x f ln 2ax 1 恒成立，
又 f x ex 1 0 ，则 f x 在R 上单调递增， 可得 x ln 2ax 1 恒成立，即ex 2ax 1恒成立，
令 g x ex x 1，则 g x ex 1，所以当 x 0 时 g x 0 ，当 x 0 时 g x 0 ，
所以 g x 在 0, 上单调递增，在 , 0 上单调递减，所以 g x g 0 0 ，即ex x 1 恒成立（当且仅当 x 0 时取等号），
所以2a 1 ，解得a 1
2
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【解析】（1）取 PA 的中点 N，PB 的中点 M，连接 FN、MN，
△ACD 与V ABC 为等腰直角三角形 ADC 90 ， BAC 90
不妨设 AD CD 2， AC AB 2
BC 4 ， E、F 分别为 BC、PD 的中点， FN 1 AD 1, BE 2 ，
2
GM 1，
Q DAC 45 ,
FN ∥GM ，
ACB 45 AD∥ BC ， 2 分
∴四边形 FGMN 为平行四边形，
FG ∥ MN ， FG 面 PAB， MN 面 PAB， FG ∥面 PAB； 5 分
（2） PA 面 ABCD， 以 A 为原点，AC、AB、AP 所在直线分别为 x、y、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 7 分
设 AD CD 2 ，则
A(0, 0, 0), B(0, 2 2, 0), C(2 2, 0, 0)D( 2, 2, 0), P(0, 0, 2 2)
AB (0, 2 2, 0),
DC ( 2, 2, 0),
→
CP ( 2 2, 0, 2 2)
设面 PCD 的一个法向量为n (x, y, z)
–––→ →
DC n 0 , 2x 2y 0
–––→ →
CP n 0
2 2 x 2 2 z 0
取 x 1, y 1, z 1, n (1, 1,1) 11 分
设 AB 与面 PCD 成的角为
uuur r ∣AB r
则sin | cos AB, n | uuur n
| AB n | 3
即 AB 与平面 PCD 成角的正弦值为 3 13 分
3
16．.【解析】（1）∵ a1 1， an 1 2Sn 1 ，①
∴当n 1 时， a2 2S1 1 2a1 1 3 ， 2 分
当n 2 时， an 2Sn 1 1 ，②
①-②，得an 1 an 2Sn 1 2Sn 1 1 2 Sn Sn 1 2an ，
∴ an 1 3an ， 又a2 3a1 ， 5 分
∴ a 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，∴ a 3n 1 7 分
n n
1 n n 1
（2）由（1）知， bn 3n log 3 n 3 ， 9 分
1
∴ Tn 1 30 2 3 3 32 n 3n ，③
∴ 3T 1 3 2 32 3 33 n 1 3n 1 n 3n ，④
n
1 n
③-④，得 2Tn 1 3 32 3n n 3
1 3n
1 2n 3n 1
2n 1 3n 1
n 3n ， ∴ T .……………………………15 分
1 3
2 2 n 4 4
【解析】（1）由题意可知：随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，则有：
C0C2 1
C1 C1 4 2
C2C0 1
P X 0 2 2 , P X 1 2 2 , P X 2 2 2 ， 6 分
C2 6 C2 6 3 C2 6
4 4 4
可得随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2
P 1 6 2 3 1 6
所以随机变量 X 的期望 E X 0 1 2 1 8 分
6 3 6
（2）记第一次从甲袋中随机摸出 1 个球，摸出的是 1、2、3 号球分别为事件 A1, A2 , A3 ，第二次摸到的是 3 号球为事件 B，
2 1 1 1 2
则 P A1
, P A2 P A3
, P B | A1
, P B | A2
, P B | A3 ， 12 分
4 4 4 4 7
所以
2 1 1 1 1 2 29
P B P A1 P B | A1 P A2 P B | A2 P A3 P B | A3 .………………
4 4 4 4 4 7 112
… 15 分
【解析】（1）根据双曲线定义得： AF1 AF2
2 ， BF1 BF2
2 ，
两式相加得 AF1 BF1 AF2 BF2 4 ，即 AF1 BF1 AB 4 ，
由已知 AB 6 得 AF1 BF1
10 ，
所以△ABF1 的周长为16 3 分
设直线 AN , BN 的倾斜角分别为 , ，
由 已 知
kAN kBN 0
得 π
， 不 妨 设
0 π π ， 则
2
ANB 2 ，
4 1 1
则tan ANB tan 2 可求得tan
3
或 （2 2
舍）， tan ， 5 分
2
所以直线 AN : y 3 1 (x 2) 解得 R(0, 4)，
2
直线 BN : y 3 1 (x 2) 解得 S (0, 2) ，
2
所以△RSN 的面积为
RS xN
2 2 2 8 分
2
设 P x0 , y0 ， x0 0, y0 0 ，由OQ 2OP 知Q 2x0 , 2 y0 ，
若直线l 斜率不存在，则l : x 2 ，此时 P 1, 0 , Q 2, 0 与点 F2 2, 0 重合，不符题意，舍去；设直线l 方程为： y k x 2 ，
与双曲线C : x2 y2 1 联立化简得 k 2 3 x2 4k 2 x 4k 2 3 0 ，
3
k 2 3 0, Δ 0 ，设交点 A x1, y1 , B x2 , y2 ，
2
由韦达定理： x1 x2 k 2 3 , x1x2
4k 2 3
k 2 3 , 10 分
由 AB 2QF2 得 x2 x1, y2 y1 2 2 2x0 , 2 y0 ，
从而 x x 2 2 2x ，即(x
x )2 16 x 1 2 ，
2 1 0
4k 2 2
1 2 0
4k 2 3 2
将韦达定理代入( k 2 3)
4
k 2 3
16(x0 1)
化简得9(k 2 1) 4(x 1)2 (k 2 3)2 （※）， 12 分
因为 k k
2 y0
y0
，即 y
k(x
1) ，
QF2
2x 2 x 1 0 0
由已知 P x0 , y0
0 0
在双曲线上，得3x 2 y 2 3 ，
2 3x 2 3 3(x 1)
从而3x 2 (k(x 1))2 3 得 k 0 0 15 分
0 0 (x
1)2
x 1
0 0
代入（※）式， 9(3x0 3 1) 4(x 1)2 (3x0 3 3)2 ，
x 1 0 x 1
0 0
化简得9 4x0 2 4(x
1)2 (
6 )2 ，即9 4x0 2 4 36 ，
x 1
0 x 1
x 1
0 0 0
解得 x 3 ，此时 y 15 ， k 满足题目要求.
0 2 0 2
点 P 的坐标为 3 15 ) 17 分
2 2
．【解析】（1）当 k 1 时， f x x 1 lnx ， f x lnx x 1
x
∴ f 1 2 ，又∴ f 1 0 ，∴切线方程为 y 2x 2 ； 3 分
（2）设m x f x 2 x 1 x k lnx 2x 2 ，
则m x lnx k 1， m x x k ，
x x2
当 k 1时， m x x 1 lnx 2x 2 ，
m x x 1 0 ， m x 在 1, 上单调递增，
x2
所以 m x m 1 0 所以 m x 在 1, 上单调递增，
所以 m x m 1 0 ，所以 k 1 符合题意； 5 分
当 k 1时，令m x 0 得 x k ，当 x 1, k 时， m x 0 ， m x 单调递减；当 x k, 时， m x 0 ， m x 单调递增；
所以 m x m k lnk 0 ，即 m x 0 在 1, 上恒成立，所以 m x m 1 0 ，所以 k 1符合题意； 8 分
当 k 1 时， m x 0 在 1, 上恒成立， m x 在 1, 上单调递增，又因为 m 1 k 1 0 ，
m x lnx k 1 lnx k 1 ， m e1 k 0 ，
所以存在 x0
1, e1 k ，使得 m x
0 ，当 x 1, x0
时， m x 0 ，即 m x 在 1, x0
上单调递减，
当 x 1, x0 时， m x m 1 0
综上所述，实数 k 的取值范围是 1, ． 11 分
（3）设 x1 x2 ，由 g x1 g x2 ，
可得 x1 asinx1 blnx1 x2 asinx2 blnx2 ，
则 x x a sinx sinx b lnx lnx bln x2 ，
2 1 2 1 2 1
1
又由 y x sinx ，可得 y 1 cosx 0 ，
∴函数 y x sinx 为单调递增函数，
∴ x2 sinx2 x1 sinx1 ，即sinx2 sinx1 x2 x1 ，
∴ bln x2 a 1 x x ， 13 分
2 1
1
由（2）知，当 x 1 时， lnx 2 x 1 ，∴ ln
x 1
2 ，
即 lnx 2ln
4 x 1 ，∴ ln x2 4 4
， 15 分
1 x1
代入可得： 4 b a 1 x x a 1 ，
b
4
a 1
2
x1
，∴
2 1
2 ，
又因为0 a 1时， 1 2 a 2 1 a 1 a 1 2 ，
所以
1
，所以

. 17 分

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