资源简介 注意事项:成都石室中学 2024-2025 学年度下期高 2026 届零诊模拟考试数学试题(满分 150 分,考试时间 120 分钟)答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.作答时,务必将答案写在答题卡上,写在试卷及草稿纸上无效.一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.在 x2 2 4 的展开式中, x2 的系数等于( )A. 6 B. 12 C. 18 D. 24已知 an 是公差不为 0 的等差数列, a1 2 ,若a3 , a4 , a6 成等比数列,则a10 ( ) 20 18C.16 D. 18已知m, n 是两条不同的直线, , , 是三个不同的平面,则下列结论正确的是( )A. 若m // n , m // ,则n // B. 若m // n , // , m ,则n C. 若 , ,则 // D. 若 // , m , n ,则m // n已知公比为正数的等比数列 an 前 n 项和为 Sn ,且 S2 1 , S4 5 ,则 a1 ( )1 1 或3Ex2 y2 B. 1F 1, 0 C. 13x y 1 0 D. 13EA, B已知椭圆 :4 31,点,若直线( R )与椭圆 交于两点,则△ABF 的周长为( )8 B. 4C. 4 D. 2当 x 1是函数 f (x) x2 2ax a2 3a 3 ex 的极值点,则 a 的值为( )3 B. 23 或 22 或 3已知随机变量 , 满足2 4 ,且 B 6, 1 ,则下列说法正确的是( ) 3 A. P 2 P 4 C. D 83 B. E 1D. E 2 16将1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 适当排列成 a1, a2 , , a7 ,满足 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 ,则满足要求的排列的个数为( )A. 58 B. 71 C. 85 D. 96二、选择题:本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.食物盲盒是当下店家掀起的“外卖热”,现有编号依次为1, 2,3 的三个食物格子,其中 1 号格子装有 2 个汉堡和 3 个鸡腿,2 号格子装有 3 个汉堡和 2 个鸡腿,3 号格子中有 5 个汉堡.已知汉堡完全一样,鸡腿也完全一样.已知店员任意选择食物格子的概率是相同的,若店员在一份外卖中装入 2 个汉堡的记为事件 A,装入 2 个鸡腿记为事件 B,装入 1 个鸡腿,1 个汉堡记为事件 C,事件Di ( i 1, 2,3 )表示食物取自i 号格子,下列选项正确的是( )A. P A | D 1P(B) 2P(C) 3P C | D 01 5 15 4 31已知三次函数 f x x3 bx2 5(b 0) 有极小值点 x 2 ,则下列说法中正确的有( )b 3函数 f x 有三个零点函数 f x 的对称中心为 1, 3 D. 过 1,1 可以作两条直线与 y f x 的图象相切如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有 1 个球,第二层有 3 个球,第三层有 6 个球,…,设第 n层有 an 个球,从上往下 n 层球的总数为 Sn ,则( )S4 20an 1 an nan n n 1 2an ln n! n三、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.把答案填在答题卡的横线上.已知随机变量 X ~ N 2, 2 ,若 P( X 1) 0.8 , P(2 X m) 0.3 ,则实数m .有 5 本不同的书,全部借给 3 人,每人至少 1 本,共有 种不同的借法.(用数字回答)若ex x 1 2ax ln 2ax 1 恒成立,则实数a .四、解答题:本大题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分 13 分)四棱锥 P ABCD 中, △ACD 与△ABC 为等腰直角三角形, ADC 90 , BAC 90 ,E 为 BC 的中点.F 为 PD 的中点,G 为 PE 的中点,证明: FG // 平面 PAB;若 PA 平面 ABCD, PA AC ,求 AB 与平面 PCD 所成角的正弦值.16.(本小题满分 15 分)记Sn 为数列 an 的前n 项和, a1 1, an 1 2Sn 1 .求 an 的通项公式;若bn an log3 an 1 ,求数列 bn 的前n 项和Tn .217.(本小题满分 15 分)已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球,其中甲袋内装有两个 1 号球,一个2 号球和一个 3 号球;乙袋内装有两个 1 号球,一个 3 号球;丙袋内装有三个 1 号球,两个 2 号球和一个 3 号球.从甲袋中一次性摸出 2 个小球,记随机变量 X 为 1 号球的个数,求 X 的分布列和数学期望;现按照如下规则摸球:连续摸球两次,第一次先从甲袋中随机摸出 1 个球,若摸出的是 1 号球放入甲袋,摸出的是 2 号球放入乙袋,摸出的是 3 号球放入丙袋;第二次从放入球的袋子中再随机摸出 1 个球.求第二次摸到的是 3 号球的概率.18.(本小题满分 17 分)已知双曲线C : x2 y3 1 ,F1,F2 分别是其左、右焦点,直线l 与双曲线C 的右支交于 A, B 两点.当直线l 过点 F2 ,且 AB 6 时,求△ABF1 的周长;已知点 N 2, 3 ,若直线 AN, BN 的斜率之和为0 ,且tan ANB 4 ,当 AN, BN 分别与 y 轴交于3点 R, S 时,求△RSN 的面积;已知直线l 过点 F2 , P 是双曲线C 上一点且位于第一象限,且满足OQ 2OP 的点Q 在线段 AB上,若 AB 2QF2 ,求点 P 的坐标.319.(本小题满分 17 分)已知函数 f x x k lnx , g x x asinx blnx .若k 1,求曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程;当 x 1时, f x 2 x 1 恒成立,求实数 k 的取值范围;设0 a 1, b 0 ,若存在 x1, x2 0, ,使得 g x1 g x2 x1 x2 .证明: .4注意事项:成都石室中学 2024-2025 学年度下期高 2026 届零诊模拟考试数学答案(满分 150 分,考试时间 120 分钟)答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.作答时,务必将答案写在答题卡上,写在试卷及草稿纸上无效.一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.【答案】D【解析】由题设,二项式展开式通项为T r 2 4 r2 r 2r Cr x8 3r , r 0,1, , 4 ,r 1C4 (x) ( )x 4令8 3r 2 r 2 ,则T 22 C2 x2 24x2 ,即 x2 的系数等于 24.3 4【答案】C【解析】设等差数列 an 的公差为d, d 0 ,因为a3 , a4 , a6 成等比数列,且a1 2 ,所以a2 a a ,即 2 3d 2 2 2d 2 5d ,解得d 2 或d 0 (舍去),所以a10 a1 9d 2 9 2 16 .【答案】B【解析】A.若 m // n , m / / ,则 n / / 或n ,故 A 错误;B. 若m // n , / / , m ,则 n ,故 B 正确;C. 若 , ,则 / / 或 与 相交,故 C 错误;D. 若 / / , m , n ,则 m // n 或异面,故 D 错误.【答案】C【解析】设等比数列 an 的公比为 q 0 ,因为 S2 1, S4 5 ,且 q 1 , a 1 q2 1 1 1 1 q所以,解得 a1 3 ,所以 a 1 . a 1 q4 1 3 1 q 5 2【答案】A【解析】椭圆 E: x2 1的长半轴长 a 2 ,半焦距 c 1,4 3则点 F ( 1, 0) 为椭圆的左焦点,其右焦点为(1, 0) ,而直线 AB : x y 1 0 恒过定点(1, 0) ,所以△ABF 的周长为 4a 8 .【答案】A【解析】由 f x x2 2ax a2 3a 3 ex ,得 f ' x x2 2ax 2x a2 a 3 ex ,∵ x 1 是函数 f x 的极值点,∴ f 1 0 , 6 a a2 0 ,解得 a 3 或a 2 ,当a 2 时, f ' x x2 2x 1 ex 0 恒成立,即 f x 单增,无极值点,舍去;当 a 3 时, f x x 1 x 9 ex 时,满足 x 1 为函数 f x 的极值点,∴ a 3 .【答案】D【解析】因为随机变量 , ,满足 2 4 ,且 B 6, 1 ,所以 3 对于 A, P 4 C4 1 4 2 2 60 , P 2 C2 240,所以 A 不正确;6 3 3 7296 3 3 729 对于 B, B 6, 1 , E 6 1 2 , 3 3 E E 4 2 4 2E 4 2 2 0 ,所以 B 不正确;对于 C, B 6, 1 , D 6 1 2 4 , 3 3 3 3 D D 4 2 22 D 4 4 16 ,所以 C 不正确;3 3根据 D E( 2 ) [E ]2 ,由 E 2, D 4 ,则 4 E 2 22 , E( 2 ) 163 3 3【答案】B【解析】根据题意, a3, a4, a6, a7 都比 a5 大,所以 a5 可能取1, 2 或3 ,当 a 1时, a , a 有C2 种选法,剩余数字中 a 最大,5 6 7 6 3a , a 有C2 种选法,最后剩下一个就是 a ,共有C2C2 15 3 45 种,1 2 3 4 6 3当 a 2 时, a 1 , a , a 有C2 种选法,剩余数字中 a 最大,5 1 6 7 5 3而 a , a 有A2 种选法,共有C2A2 10 2 20 种,2 4 2 5 2当 a 3时, a 1, a 2 , a , a 有C2 种选法,5 1 2 6 7 4剩余数字 a , a 只有 1 种,共有C2 6 种,3 4 4则满足要求的排列的个数为 45 20 6 71种.二、选择题:本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.【答案】BD【解析】对于 A, P A | D P( AD1 ) 1 ,故 A 错误,P(D1 ) 101 C2 1 C2 1 0 2对于 B, P(B) 3 2 ,故 B 正确,3 C2 3 C2 3 C2 155 5 51 C1 C1 1 C1C1 1 0 2对于 C,P(C) 2 3 3 2 ,故 C 错误,3 C2 3 C2 3 C2 55 5 5对于 D,由于 P CD3 0 ,故 P C | D3 0 ,D 正确【答案】ACD【解析】 f x 3x2 2bx ,因为函数 f x x3 bx2 5(b 0) 有极小值点 x 2 ,所以 f 2 12 4b 0 ,解得b 3 ,所以 f x x3 3x2 5 , f x 3x2 6x ,当 x 2 或 x 0 时, f (x) > 0 ,当0 x 2 时, f x 0 ,所以函数 f x 在 , 0 , 2, 上单调递增,在 0, 2 上单调递减,所以 f x f 0 5, f x f 2 1,又 f 2 15 ,所以函数 f x 仅有1个在区间 2, 0 上的零点,故 A 正确,故 B 错误;对于 C,由 f x x3 3x2 5 x2 x 3 5 ,得 f 1 x f 1 x 1 x 2 1 x 3 5 1 x 2 1 x 3 5 6 ,所以函数 f x 的图象关于 1, 3 对称,故 C 正确;对于D,设切点为 x , x3 3x2 5 ,则 f x 3x2 6x ,故切线方程为 y x3 3x2 5 3x2 6x x x ,又过点 1,1 ,所以1 x3 3x2 5 3x2 6x 1 x ,整理得 x3 3x 2 0 ,即 x 1 2 x 2 0 ,0 0 0 0解得 x0 1 或 x0 2 ,所以过 1,1 可以作两条直线与 y f x 的图象相切,故 D 正确.【答案】ACD【解析】由题意得 a1 1,a2 a1 2,a3 a2 3, ,an an 1 n ,以上格式累加,可得 a 1 2 3 n n(n 1) , n 2 ,a 1也适合,n 2 1故 a n(n 1) ,则a 4 5 10, S 1 3 6 10 20 ,n 2 4 2 4对于选项 D, n(n 1) ln n! n ,整理得到 n(n 1) ln n! ,即2 2n n (k 1) ln kk 1 k 1三、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.把答案填在答题卡的横线上.【答案】5【解析】因为 P( X 1) 0.8 ,所以 P( X 1) 0.2 ,根据对称性可得 P( X 5) 0.2 ,又 P(2 X m) P( X 5) 0.5 ,所以 m 5 .【答案】150【解析】将 5 本不同的书分成满足题意的 3 组有 1,1,3 与 2,2,1 两种,分成 1、1、3 时,有C3 A3 种分法,5 3C 2C 2分成 2、2、1 时,有 5 32A3 种分法,所以共有C3C2C2A3 5 3A3 150 种分法.5 3 2 32【答案】 12【解析】因为ex x 1 2ax ln 2ax 1 恒成立,即ex x 2ax 1 ln 2ax 1 恒成立,即ex x eln 2ax 1 ln 2ax 1 恒成立,设 f x ex x ,则 f x f ln 2ax 1 恒成立,又 f x ex 1 0 ,则 f x 在R 上单调递增, 可得 x ln 2ax 1 恒成立,即ex 2ax 1恒成立,令 g x ex x 1,则 g x ex 1,所以当 x 0 时 g x 0 ,当 x 0 时 g x 0 ,所以 g x 在 0, 上单调递增,在 , 0 上单调递减,所以 g x g 0 0 ,即ex x 1 恒成立(当且仅当 x 0 时取等号),所以2a 1 ,解得a 12四、解答题:本大题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【解析】(1)取 PA 的中点 N,PB 的中点 M,连接 FN、MN,△ACD 与V ABC 为等腰直角三角形 ADC 90 , BAC 90 不妨设 AD CD 2, AC AB 2 BC 4 , E、F 分别为 BC、PD 的中点, FN 1 AD 1, BE 2 ,2 GM 1,Q DAC 45 , FN ∥GM , ACB 45 AD∥ BC , 2 分∴四边形 FGMN 为平行四边形, FG ∥ MN , FG 面 PAB, MN 面 PAB, FG ∥面 PAB; 5 分(2) PA 面 ABCD, 以 A 为原点,AC、AB、AP 所在直线分别为 x、y、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 7 分设 AD CD 2 ,则A(0, 0, 0), B(0, 2 2, 0), C(2 2, 0, 0)D( 2, 2, 0), P(0, 0, 2 2) AB (0, 2 2, 0),DC ( 2, 2, 0),→CP ( 2 2, 0, 2 2)设面 PCD 的一个法向量为n (x, y, z) –––→ → DC n 0 , 2x 2y 0 –––→ → CP n 0 2 2 x 2 2 z 0取 x 1, y 1, z 1, n (1, 1,1) 11 分设 AB 与面 PCD 成的角为 uuur r ∣AB r则sin | cos AB, n | uuur n | AB n | 3即 AB 与平面 PCD 成角的正弦值为 3 13 分316..【解析】(1)∵ a1 1, an 1 2Sn 1 ,①∴当n 1 时, a2 2S1 1 2a1 1 3 , 2 分当n 2 时, an 2Sn 1 1 ,②①-②,得an 1 an 2Sn 1 2Sn 1 1 2 Sn Sn 1 2an ,∴ an 1 3an , 又a2 3a1 , 5 分∴ a 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,∴ a 3n 1 7 分n n 1 n n 1(2)由(1)知, bn 3n log 3 n 3 , 9 分 1∴ Tn 1 30 2 3 3 32 n 3n ,③∴ 3T 1 3 2 32 3 33 n 1 3n 1 n 3n ,④n 1 n③-④,得 2Tn 1 3 32 3n n 31 3n 1 2n 3n 1 2n 1 3n 1 n 3n , ∴ T .……………………………15 分1 32 2 n 4 4【解析】(1)由题意可知:随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,则有:C0C2 1C1 C1 4 2C2C0 1P X 0 2 2 , P X 1 2 2 , P X 2 2 2 , 6 分C2 6 C2 6 3 C2 64 4 4可得随机变量 X 的分布列为X 0 1 2P 1 6 2 3 1 6所以随机变量 X 的期望 E X 0 1 2 1 8 分6 3 6(2)记第一次从甲袋中随机摸出 1 个球,摸出的是 1、2、3 号球分别为事件 A1, A2 , A3 ,第二次摸到的是 3 号球为事件 B,2 1 1 1 2则 P A1 , P A2 P A3 , P B | A1 , P B | A2 , P B | A3 , 12 分4 4 4 4 7所以2 1 1 1 1 2 29P B P A1 P B | A1 P A2 P B | A2 P A3 P B | A3 .………………4 4 4 4 4 7 112… 15 分【解析】(1)根据双曲线定义得: AF1 AF2 2 , BF1 BF2 2 ,两式相加得 AF1 BF1 AF2 BF2 4 ,即 AF1 BF1 AB 4 ,由已知 AB 6 得 AF1 BF1 10 ,所以△ABF1 的周长为16 3 分设直线 AN , BN 的倾斜角分别为 , ,由 已 知kAN kBN 0得 π, 不 妨 设0 π π , 则2 ANB 2 ,4 1 1则tan ANB tan 2 可求得tan 3或 (2 2舍), tan , 5 分2所以直线 AN : y 3 1 (x 2) 解得 R(0, 4),2直线 BN : y 3 1 (x 2) 解得 S (0, 2) ,2所以△RSN 的面积为RS xN 2 2 2 8 分2设 P x0 , y0 , x0 0, y0 0 ,由OQ 2OP 知Q 2x0 , 2 y0 ,若直线l 斜率不存在,则l : x 2 ,此时 P 1, 0 , Q 2, 0 与点 F2 2, 0 重合,不符题意,舍去;设直线l 方程为: y k x 2 ,与双曲线C : x2 y2 1 联立化简得 k 2 3 x2 4k 2 x 4k 2 3 0 ,3k 2 3 0, Δ 0 ,设交点 A x1, y1 , B x2 , y2 ,2由韦达定理: x1 x2 k 2 3 , x1x2 4k 2 3k 2 3 , 10 分由 AB 2QF2 得 x2 x1, y2 y1 2 2 2x0 , 2 y0 ,从而 x x 2 2 2x ,即(x x )2 16 x 1 2 ,2 1 04k 2 21 2 04k 2 3 2将韦达定理代入( k 2 3) 4 k 2 3 16(x0 1)化简得9(k 2 1) 4(x 1)2 (k 2 3)2 (※), 12 分因为 k k 2 y0 y0,即 y k(x 1) ,QF22x 2 x 1 0 0由已知 P x0 , y00 0 在双曲线上,得3x 2 y 2 3 ,2 3x 2 3 3(x 1)从而3x 2 (k(x 1))2 3 得 k 0 0 15 分0 0 (x 1)2x 10 0代入(※)式, 9(3x0 3 1) 4(x 1)2 (3x0 3 3)2 ,x 1 0 x 10 0化简得9 4x0 2 4(x 1)2 (6 )2 ,即9 4x0 2 4 36 ,x 10 x 1x 10 0 0解得 x 3 ,此时 y 15 , k 满足题目要求.0 2 0 2点 P 的坐标为 3 15 ) 17 分2 2.【解析】(1)当 k 1 时, f x x 1 lnx , f x lnx x 1 x∴ f 1 2 ,又∴ f 1 0 ,∴切线方程为 y 2x 2 ; 3 分(2)设m x f x 2 x 1 x k lnx 2x 2 ,则m x lnx k 1, m x x k ,x x2当 k 1时, m x x 1 lnx 2x 2 ,m x x 1 0 , m x 在 1, 上单调递增,x2所以 m x m 1 0 所以 m x 在 1, 上单调递增,所以 m x m 1 0 ,所以 k 1 符合题意; 5 分当 k 1时,令m x 0 得 x k ,当 x 1, k 时, m x 0 , m x 单调递减;当 x k, 时, m x 0 , m x 单调递增;所以 m x m k lnk 0 ,即 m x 0 在 1, 上恒成立,所以 m x m 1 0 ,所以 k 1符合题意; 8 分当 k 1 时, m x 0 在 1, 上恒成立, m x 在 1, 上单调递增,又因为 m 1 k 1 0 ,m x lnx k 1 lnx k 1 , m e1 k 0 ,所以存在 x0 1, e1 k ,使得 m x 0 ,当 x 1, x0 时, m x 0 ,即 m x 在 1, x0 上单调递减,当 x 1, x0 时, m x m 1 0综上所述,实数 k 的取值范围是 1, . 11 分(3)设 x1 x2 ,由 g x1 g x2 ,可得 x1 asinx1 blnx1 x2 asinx2 blnx2 ,则 x x a sinx sinx b lnx lnx bln x2 ,2 1 2 1 2 11又由 y x sinx ,可得 y 1 cosx 0 ,∴函数 y x sinx 为单调递增函数,∴ x2 sinx2 x1 sinx1 ,即sinx2 sinx1 x2 x1 ,∴ bln x2 a 1 x x , 13 分2 11由(2)知,当 x 1 时, lnx 2 x 1 ,∴ lnx 12 ,即 lnx 2ln4 x 1 ,∴ ln x2 4 4 , 15 分 1 x1代入可得: 4 b a 1 x x a 1 , b 4a 12 x1,∴2 1 2 ,又因为0 a 1时, 1 2 a 2 1 a 1 a 1 2 ,所以 1 ,所以 . 17 分 展开更多...... 收起↑ 资源预览