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龙岩市 2024～2025 学年第二学期期末高二教学质量检查
数学试题参考答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
题 1 2 3 4 5 6 7 8
选 D A C C C B C B
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．
题号 9 10 11
选项 ACD BC ABD
8．解：易知 在定义域内单调递增，若 ，则 ，
若 ，则 .故存在 使 成立，则 ，
即 在 上有解. 故 ，
设 ，则 ，
在 上 单增，在 上 单减，
故 又 ，故 .
11．对于 A. 设 为 的中点， ,
∥ ∥平面
三棱锥 的体积为定值
正确
对于 B. 过 在平面 内作 ,以 为原点,
以 为 、 、 建立空间直角坐标系，如图.
设 为 的中点， ,
, ,设
,
平面
,
解得
仅有一个点 ，使得 平面
B 正确
对于 C. ,
把平面 绕 旋转到与平面 共面，
当 三点共线时 的最小值
=
=1+2
的最小值为
不正确
对于 D. 点 P 满足 ，其中 ∈[0,1], ∈[0,1]，
在含边界的矩形 区域内
以 为原点,以 为 轴、 轴建立平面直角坐标系
设
的轨迹是以 为圆心，1 为半径的 圆弧
当 三点共线时， 最小
的最小值为
正确
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12． 13． 14．
14．解： ，
是单调递增函数，
则 有一个根，当 时，等式 ，不符合题意，
故 ，等式转化为 有两个根，即 和 有一个交点．
设 ，求得 ，
故当 时， 单调递减；
当 时， 单增。
故 的图象如下，由图可得， 的取值范围为 .
15．（13 分）
解：（1）因为 ，所以 .
又 ，所以 ..........3 分
所以 在 处的切线方程为：
即 ....................................6 分
（2）因为 .
由 或 ；由 .
所以函数 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为
..............................10 分
所以函数在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 是 的极大值点.
所以 的极大值为 .........................13 分
16.（15 分）
解：（1）零假设 ：患慢性气管炎与吸烟无关，
， ........................3 分
由 ，而 ，从而否定原假设，
即有 的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关. ..............7 分
（2）按分层抽样，不吸烟者 3 人，吸烟者 4 人， 的可能值为 0，1，2，3 .
...............................................9 分
， ， ， ，
..........................................................13 分
所以 . ................15 分
注：其它解法酌情给分。
17.（15 分）
解：（1）证明： 平面 ， 平面
.............................1 分
又 ..............................2 分
平面
平面 ..........................................4 分
平面
平面 平面 ...................................6 分
（2）过 在平面 内作 ,以 为原点,以 为 轴、 轴、 轴建立空间直角
坐标系，如图
，
= =6
, , ,
为 中点，
设
...............8 分
设平面 的法向量为
令 ，
即 ...........................9 分
由(1)知 平面
为平面 的一个法向量 ...................10 分
设平面 与平面 所成角为
......11 分
解得 或 .....................................12 分
由（1）知，当 为 中点即 时 ∥
平面
又 二面角 的余弦值为 ， 二面角 为锐角，
....................................13 分
.................................15 分
18.（17 分）
解：（1） .......................1 分
由 可得 ，由 可得 ， ...................2 分
所以，函数 的减区间为 ，增区间为 .............4 分
（2）设 ，
则
令 ，
由于 ，所以
从而 ，
即 ， 在 上单调递增 .................8 分
，即 .
且 在 上单调递增， ，即 .
..........................................10 分
（3）法一：设 ，
令 ,则
设 ，
，
所以 ，即存在 使 , ..........13 分
所以,对于任意的 及 ,直线 与曲线 有公共点.
令
以下证明，当 ，对任意 ，函数 在区间 上至多有一个零点．
易知 ．
①当 时， ，此时函数 在区间 内单调递减，所以，函数 在区
间 内至多有一个零点； ...............................14 分
②当 时，关于 x 的方程 ，即 有两个不同的实数根，分别记为
，不妨设 ，可得 ．
易知，函数 在区间 和 内单调递减，在区间 内单调递增．
所以函数 的极小值 ..................................15 分
．
而 ，又 ，所以 ．
所以 在区间 内至多有一个零点，得证． ..........17 分
法二：由已知得 ,设 ,
，则 ， ...................12 分
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
..................................14 分
当 时， ，即 ，即 在 上单调递减，
......................................15 分
当 时， ；
当 时，
当 时，直线 与曲线 有唯一公共点 ..17 分
注：其它解法酌情给分。
19.（17 分）
解：（1）假设一次交换后甲的黑球为 0 个，1 个、2 个的事件分别为 ，
再从甲口袋任取一个球为黑球的记为事件 . ..................1 分
则
.................................4 分
（2）法一：依题意可得 可能取值为 0，1，2 对应的概率分别为 ，
则 ，故
当 时，
..........................................................9 分
法二：设重复进行 n 次这样的操作，口袋中黑球个数的数学期望为
当 时
0 1 2
.......................................9 分
（3）依题意 ...................................10 分
..............................11 分
即证
.....................12 分
..........①
..........②
由①-②得
........................................13 分
.......................................15 分
令 则
综上 ，即 ............................17 分

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