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北京市朝阳区2024-2025学年高三下学期质量检测二数学试题
1．（2025·朝阳模拟）已知集合，集合，则集合（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·朝阳模拟）若抛物线的焦点坐标为，则抛物线C的准线方程为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·朝阳模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·朝阳模拟）已知的展开式中，第4项和第6项的系数相等，则（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．（2025·朝阳模拟）已知函数，则对任意实数x，有（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·朝阳模拟）在矩形中，，点E为线段的中点，与交于点F．设，其中分别是与方向相同的单位向量，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·朝阳模拟）设，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2025·朝阳模拟）已知函数，曲线在点处的切线方程为，设函数，则（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
9．（2025·朝阳模拟）金刚石是由碳元素组成的单质，具有极高的硬度，在工业中有广泛的应用，如图1所示，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的4个顶点A，B，C，D处，中间的碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置（点E处），如图2所示，设，则E到平面的距离为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·朝阳模拟）设无穷数列的前n项和为，定义，则（　　）
A．当时，
B．当时，
C．当时，则
D．当时，
11．（2025·朝阳模拟）若复数z满足，则　 　．
12．（2025·朝阳模拟）已知等差数列满足，则　 　；设为的前项和，则使的的最小值为　 　．
13．（2025·朝阳模拟）在中，，且，则　 　；面积的最大值为　 　．
14．（2025·朝阳模拟）若直线与双曲线没有公共点，则双曲线C的离心率的一个取值为　 　．
15．（2025·朝阳模拟）设，过原点的直线（不与轴重合）与圆交于点P与直线交于点．过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，这两条直线交于点，称为的箕舌线函数，记作，给出下列四个结论：
①函数的图象关于y轴对称；
②若，则；
③设函数，则的最大值为；
④设函数，则的最小值为．
其中所有正确结论的序号是　 　．
16．（2025·朝阳模拟）已知函数．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）设函数，再从条件①、条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一，求在区间上的最大值和最小值．
条件①：在区间上单调递增；
条件②：的最大值为；
条件③：为偶函数．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17．（2025·朝阳模拟）如图，在三棱柱中，底面侧面，侧面是边长为4的菱形，．
（1）求证：侧面为矩形；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18．（2025·朝阳模拟）某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按，，…，分组整理得到如下频率分布直方图：
（1）从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率；
（2）从B地区评分为的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均值估计为，A，B两地区评分的平均值估计为，比较与的大小关系．（直接写出结论）
19．（2025·朝阳模拟）已知椭圆的焦距为2，且过点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线与椭圆E交于不同的两点A，B，直线与直线交于点N，若（O是坐标原点），求k的值．
20．（2025·朝阳模拟）已知函数．
（1）若，求函数在区间上的最大值；
（2）若在区间上存在单调递减区间，求的取值范围；
（3）若存在极值点，且，求的值．
21．（2025·朝阳模拟）已知是无穷正整数数列，且对任意的，其中表示有穷集合S的元素个数．
（1）若，求的所有可能取值；
（2）求证：数列中存在等于1的项；
（3）求证：存在，使得集合为无穷集合．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：对于集合，，
化简得，
所以，
所以，集合，
对于集合，，
根据指数函数的性质可得，
所以，集合，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用一元二次不等式求解方法和指数函数的单调性以及指数对应的特殊值，从而得出集合A和集合B，再利用并集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为抛物线的焦点坐标为，
所以抛物线方程为，
则准线方程为.
故答案为：D.
【分析】由抛物线的方程得出焦点坐标，再利用已知条件得出m的值，从而得出抛物线的标准方程，进而得出抛物线C的准线方程.
3．【答案】D
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为，
又因为在上为增函数，
所以，
综上所述，.
故答案为：D.
【分析】根据对数函数的单调性和幂函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小.
4．【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由，
根据题意，得，
由组合数的性质，得.
故答案为：B.
【分析】由，得，再利用组合数的性质得出n的值.
5．【答案】A
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；图形的对称性
【解析】【解答】解：因为，
作出函数图象如图，
由图象可知，函数图象关于点中心对称，故A正确；
因为图象不关于点对称，故B错误；
当时，，故C错误；
令，则，故D错误.
故答案为：A.
【分析】利用绝对值的定义得出分段函数解析式，从而作出分段函数的图象，再由分段函数的图象得出分段函数的图象的对称性，则判断出选项A和选项B；取特殊值判断出选项C和选项D，从而找出正确的选项.
6．【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：在矩形中，
因为点E为线段的中点，
所以，
则，
因为，分别是与方向相同的单位向量，
所以，
则，
又因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和平面向量基本定理，则用表示，再利用单位向量的定义，从而得出的值.
7．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，
得，解得或，
由，
得，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据二倍角的正弦公式和同角三角函数基本关系式，再结合已知条件得出的值，再利用二倍角的正弦公式和同角三角函数基本关系式，从而化弦为切，则得出的值，再根据充分条件和必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
8．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由函数，
可得，
则，
所以，曲线在点处的切线方程为：，
由，
因为，其中，
若时，，其中，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
所以，
所以，
由，且，
则不恒成立，
所以选项C正确、选项A不正确；
若时，，其中，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以，
所以不恒成立，
由，，此时，
所以不恒成立，
所以选项B、选项D均不正确.
故答案为：C.
【分析】利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，再根据点斜式方程得出曲线的切线方程为，再根据题意得到，从而得出，再利用导数判断出函数的单调性，从而得出函数的最值，从而逐项判断找出正确的选项.
9．【答案】C
【知识点】球内接多面体；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：沿四面体的两条侧棱和高，切出一块几何体如下图，
则O是顶点A在下底面的射影，E是正四面体外接球的球心，AO是正四面体的高，
OB是下底面的外接圆半径，是球的半径，
则，
解得，
在中，，
在中，，
则，
所以，
解得，
所以，
因为点到正四面体各面的距离相等，
所以点E到平面的距离为.
故答案为：C.
【分析】沿四面体的两条侧棱和高切出一块几何体如图，再利用三角函数的定义和勾股定理，从而计算出所需线段长度，再利用点到正四面体各面的距离相等，从而得出点E到平面的距离.
10．【答案】D
【知识点】数列的求和；反证法与放缩法
【解析】【解答】解：对于A：当时，，
故A不正确；
对于B：当时，在为奇数时为1，偶数时为0，
所以，故B不正确；
对于C：当时，，
又因为，
所以
，故C不正确；
对于D：当时，
则，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据各选项中不同的数列的通项公式，再结合求和公式和定义，从而求出与，再结合作商法和作差法以及比较法，从而逐项判断找出正确的选项.
11．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】根据复数的除法运算法则，从而可得复数，再利用复数求模公式得出复数z的模.
12．【答案】0；7
【知识点】一元二次不等式及其解法；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
由，
得到，
解得，
所以，
则，
因为，
得到或（舍），
又因为，
所以使的的最小值为.
故答案为：，.
【分析】设等差数列的公差为，根据已知条件得到，从而得到首项和公差的值，再利用等差数列的通项公式得出，从而求出的值，进而得出的值；再利用等差数列的前项和公式和一元二次不等式求解方法以及，从而得出使的的最小值.
13．【答案】；
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；同角三角函数间的基本关系；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在中，
由，
得，
又因为，
所以；
则的面积为，
当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为.
故答案为：；.
【分析】利用已知条件和同角三角函数基本关系式，从而的值求出的值；再利用三角形面积公式和基本不等式求最值的方法，从而求出面积的最大值.
14．【答案】3（答案不唯一）
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：双曲线的渐近线为，且焦点在轴上，
由题意知：，
因为，所以，
所以，双曲线C的离心率为，
所以，双曲线C离心率的一个取值可以为3.
故答案为：3(答案不唯一).
【分析】根据直线与双曲线没有公共点和，从而求出实数的取值范围，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式和双曲线的离心率公式，从而得出双曲线的离心率的取值范围，进而在该范围内取一个值即可.
15．【答案】①③
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为圆的圆心在轴上，
设圆与的另一个交点为，再设，
当点不与点重合时，直线的方程为，
联立，
解得，
所以点纵坐标为，此时点，
当点与点重合时，点的纵坐标也满足，
所以，
对任意的，，
所以的定义域为，
对于命题①，因为，
所以是偶函数，故①正确；
对于命题②，因为，
当时，，
则在区间上单调递增，
所以，当时，若，
则，故②错误；
对于命题③，，
因为，当时，，
当时，，
又因为，当且仅当时，即当时取等号，
所以，故③正确；
对于命题④，因为，
令，
则，
易知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
若，
则当时，，
则当时，的最小值为，所以④错误.
故答案为：①③.
【分析】设，联立直线方程和圆的方程，从而求出点的纵坐标，则可得出函数的解析式，再根据函数的奇偶性可判断出序号①；对求导，再利用导数的正负判断出函数的单调性，从而求出函数的单调区间，则可判断出序号②；分两种情况，再利用基本不等式求最值的方法，则可判断出序号③；根据已知条件得出，令，则，再利用函数的单调性求出函数的最小值，则判断出序号④，从而找出正确结论的序号.
16．【答案】（1）解：由题意得，
所以的最小正周期，
由，
得．
所以的单调递增区间为．
（2）解：选择条件①：
由题意得．
由（1）可知，的单调递增区间为，
由在区间上单调递增，
得
解得，
又因为，所以．
所以存在且唯一，
当时，，
所以，当时，即当时，取得最大值；
当时，即当时，取得最小值．
选择条件②：
由题意得，
则函数最大值为，
则只需，
因为，
所以的取值不唯一，
故不符合题意，即不能选择条件②.
选择条件③：
由题意得，
由为偶函数，可知，
解得．
又因为，所以，
则存在且唯一，
当时，，
所以，当时，即当时，取得最小值；
当时，即当时，取得最大值．
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式得出正弦型函数的最小正周期，再利用换元法和正弦函数的单调性，从而得出正弦型函数的单调递增区间.
（2）分别选择条件后，再根据条件分析的取值是否唯一，若唯一，再由正弦型函数的性质求出其最值即可，若不唯一，则放弃该条件的选择.
（1）由题意得，
所以的最小正周期，
由，
得．
所以的单调递增区间为．
（2）选择条件①：
由题意得．
由（1）可知的单调递增区间为．
由在区间上单调递增，得
解得．
又因为，所以．
从而存在且唯一，
当时，，
所以当，即时，取得最大值；
当，即时，取得最小值．
选择条件②：
由题意得，
函数最大值为，则只需，
由于，故的取值不唯一，故不符合题意，即不能选择条件②；
选择条件③：
由题意得．
由为偶函数可知，
解得．
又因为，所以．
从而存在且唯一．
当时，，
所以当，即时，取得最小值；
当，即时，取得最大值．
17．【答案】（1）证明：连接，
因为四边形为菱形，且，
所以为正三角形，则，
又因为，
所以，
设中点为D，连接，
则，
又因为，
所以，
又因为底面侧面，底面侧面，
侧面，
所以底面，
又因为平面．
所以．
又因为，
平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以
又因为侧面为平行四边形，
所以侧面为矩形．
（2）解：由（1）可知平面，
所以，
所以两两垂直，
如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则．
所以．
设平面的法向量为，
则
所以
令，则，
所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
因此，直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）设中点为D，连接，由菱形的结构特征和得出为正三角形，则，再利用勾股定理得出，设中点为D，连接，则，再利用得出，再根据面面垂直的性质定理得到底面，再由，得到平面，再利用线面垂直的定义证出，则由侧面为平行四边形证出侧面为矩形.
（2）由（1）可知平面，再利用线面垂直的定义得出，则两两垂直，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而得出直线与平面所成角的正弦值.
（1）连接，因为四边形为菱形，且，
所以为正三角形，从而．
因为，所以．
设中点为D，连接，则．
又，
所以．
因为底面侧面，
底面侧面，
侧面，所以底面，而平面．
所以．
又，平面，平面，
所以平面，而平面，
所以
又因为侧面为平行四边形，
所以侧面为矩形．
（2）（2）由（1）可知平面，所以．
所以两两垂直．
如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则．
所以．
设平面的法向量为，则
即
令，则．所以．
设直线与平面所成角为，
所以
因此，直线与平面所成角的正弦值为．
18．【答案】（1）解：设事件M：从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，
该用户评分不低于分，
由频率分布直方图可知，
A地区抽取的500名用户中评分不低于的人数为：，
所以．
（2）解：因为B地区评分为的样本用户共有：人，
其中评分不低于分的人数为5人，
由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，
则，
，
．
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
则X的数学期望.
（3）解：，理由如下：
根据频率分布直方图A地区评分的平均值为：
B地区评分的平均值为：
所以，A，B两地区评分的平均值.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中各小组的频率等于各小组的矩形的面积，再结合频数等于频率乘以样本容量的公式，从而得出A地区抽取的500名用户中评分不低于的人数，再利用古典概率公式得出该用户评分不低于60分的概率.
（2）利用频率分布直方图中各小组的频率等于各小组的矩形的面积，再结合频数等于频率乘以样本容量的公式，从而得出B地区评分为的样本用户人数，其中评分不低于分的人数为5人，再利用已知条件得出随机变量X的取值，再结合超几何分布计算出对应的概率，从而写出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（3）根据频率分布直方图求平均值公式，从而比较出与的大小关系．
（1）设事件M：从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，该用户评分不低于分．
由频率分布直方图可知，A地区抽取的500名用户中评分不低于的人数为，
所以．
（2）B地区评分为的样本用户共有人，
其中评分不低于分的人数为5人．
由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2．
，
，
．
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
则X的数学期望.
（3）．
根据频率分布直方图A地区评分的平均值为，
B地区评分的平均值为，
所以A，B两地区评分的平均值；
19．【答案】（1）解：由题意得
解得
所以，椭圆E的方程为．
（2）解：由，
得，
由，
得，
因为，所以．
设，
则，
不妨设点A在点B的上方，
因为，又因为，
此时，直线的倾斜角为，
直线的倾斜角为，
所以，
由题意可知，直线和的斜率都存在，分别设为和，
则．
因为，
所以，即．
由，
得，
所以，整理得，
又因为，
所以.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由椭圆的焦距公式、点代入法和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出a，b，c的值，进而得出几何椭圆E的方程.
（2）联立直线方程和椭圆方程，再由和可得的取值范围，设，由韦达定理得出，再由直线的倾斜角的概念可得直线的倾斜角和直线的倾斜角满足，从而得出直线和的斜率和满足，再代入的值，从而化简可得k的值.
（1）由题意得解得
所以椭圆E的方程为．
（2）由得．
由得．
又，所以．
设，则．
不妨设点A在点B的上方，
因为，又，
此时，直线的倾斜角为，
直线的倾斜角为，所以．
由题可知直线和的斜率都存在，分别设为和，则．
因为，
所以，即．
由得．
所以．整理得，
又，所以.
20．【答案】（1）解：若，
则，
所以，
当时，，
所以在单调递减，
所以，当时，取得最大值.
（2）解：因为的定义域为，
当时，易知在区间上单调递减，符合题意；
当时，，
设，
则，
当时，，
所以在区间上单调递减.
①若，即当时，当时，，
则，此时在区间上单调递增，不符合题意；
②若，即当时，，
所以，存在唯一的，使得，
当时，，则，此时在区间上单调递减，
符合题意，
综上所述，的取值范围为.
（3）解：由题意，可得，
则，
所以，
则（*），
设函数，
则，
当时，，
所以在区间上单调递增；
当时，，
所以在区间上单调递减，
所以，当时，取得最大值，
又因为，
所以，当且仅当时取等号，
又因为（*）等价于，
所以，
所以，
经检验，当时，存在极大值点且，符合题意，
所以．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求导，再利用导函数的正负判断函数在的单调性，从而求出函数在区间上的最大值.
（2）先求导，再结合导数的正负判断函数单调性的方法，按的不同取值范围分类讨论，从而求出实数a的取值范围.
（3）由函数的极值点的概念可得，消去得（*），令，再利用导数判断函数的单调性，从而可得，当且仅当时取等号，再利用（*）等价于，从而得出的值，再代入的值结合检验法，从而求出的值.
（1）若，则，，
当时，，所以在单调递减，
所以当时，取得最大值.
（2）的定义域为，
当时，易知在区间上单调递减，符合题意；
当时，，设，
则，当时，，所以在区间上单调递减，
①若，即时，当时，，即，
此时在区间上单调递增，不符合题意；
②若，即时，，
所以存在唯一的使得，
当时，，即，
此时在区间上单调递减，符合题意；
综上，的取值范围为.
（3）由题意可得即，
所以，即（*），
设函数，
，
当时，，所以在区间上单调递增，
当时，，所以在区间上单调递减，
所以当时，取得最大值，
又，所以，当且仅当时取等号，
又（*）等价于，所以，
所以．
经检验，当时，存在极大值点且，符合题意，
所以．
21．【答案】（1）解：因为，
所以中与相等的数有且仅有2个，
除去本身，中与相等的数有且只有1个，
∴或，
当时，；
当时，，
所以的所有可能取值为2和3．
（2）证明：假设中不存在等于1的项，
则，
因为，
所以，
当时，
由，则存在，使得，
所以，与假设矛盾；
当时，由，
则存在，使得，且中有且只有一项与相等.
①若中有两项为2，一项为3，
则，与假设矛盾；
②若中有两项为2，一项为，
则，与假设矛盾；
③若中有一项为2，两项为3，
则，与假设矛盾；
④若中有一项为2，两项为，
则，矛盾，
综上所述，假设不成立，所以中存在等于1的项．
（3）证明：假设均为有限集合，
当时，，
则当时，（*），
令，
下证当时，.
否则假设，
则，与（*）矛盾，
∴当时，，
∵已知数列是无穷正整数数列，
所以存在，使得集合为无穷集合，矛盾，
∴假设错误，
∴存在，使得集合为无穷集合．
【知识点】数列的应用；反证法的应用
【解析】【分析】（1）先根据已知条件确定的值，再利用的值得出的所有可能取值.
（2）利用反证法结合分类讨论的方法，从而证出数列中存在等于1的项.
（3）利用反证法结合最大值的方法，从而证出存在，使得集合为无穷集合．
（1）因为，则中与相等的数有且仅有2个，除去本身，中与相等的数有且只有1个，
∴或．
当时，；当时，．
所以的所有可能取值为2，3．
（2）假设中不存在等于1的项，则．
又，所以．
当时，由，则存在，使得．
所以，与假设矛盾．
当时，由，则存在，使得，且中有且只有一项与相等.
①若中有两项为2，一项为3，
则，与假设矛盾．
②若中有两项为2，一项为，
则，与假设矛盾．
③若中有一项为2，两项为3，
则，与假设矛盾．
④若中有一项为2，两项为，
则，矛盾．
综上，假设不成立，所以中存在等于1的项．
（3）假设均为有限集合，
当时，，
则当时，（*）
令，下证当时，.
否则假设，则，与（*）矛盾.
∴当时，，
∵已知数列是无穷正整数数列，
所以存在，使得集合为无穷集合，矛盾，
∴假设错误，∴存在，使得集合为无穷集合．
1 / 1北京市朝阳区2024-2025学年高三下学期质量检测二数学试题
1．（2025·朝阳模拟）已知集合，集合，则集合（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：对于集合，，
化简得，
所以，
所以，集合，
对于集合，，
根据指数函数的性质可得，
所以，集合，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用一元二次不等式求解方法和指数函数的单调性以及指数对应的特殊值，从而得出集合A和集合B，再利用并集的运算法则，从而得出集合.
2．（2025·朝阳模拟）若抛物线的焦点坐标为，则抛物线C的准线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为抛物线的焦点坐标为，
所以抛物线方程为，
则准线方程为.
故答案为：D.
【分析】由抛物线的方程得出焦点坐标，再利用已知条件得出m的值，从而得出抛物线的标准方程，进而得出抛物线C的准线方程.
3．（2025·朝阳模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为，
又因为在上为增函数，
所以，
综上所述，.
故答案为：D.
【分析】根据对数函数的单调性和幂函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小.
4．（2025·朝阳模拟）已知的展开式中，第4项和第6项的系数相等，则（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由，
根据题意，得，
由组合数的性质，得.
故答案为：B.
【分析】由，得，再利用组合数的性质得出n的值.
5．（2025·朝阳模拟）已知函数，则对任意实数x，有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；图形的对称性
【解析】【解答】解：因为，
作出函数图象如图，
由图象可知，函数图象关于点中心对称，故A正确；
因为图象不关于点对称，故B错误；
当时，，故C错误；
令，则，故D错误.
故答案为：A.
【分析】利用绝对值的定义得出分段函数解析式，从而作出分段函数的图象，再由分段函数的图象得出分段函数的图象的对称性，则判断出选项A和选项B；取特殊值判断出选项C和选项D，从而找出正确的选项.
6．（2025·朝阳模拟）在矩形中，，点E为线段的中点，与交于点F．设，其中分别是与方向相同的单位向量，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：在矩形中，
因为点E为线段的中点，
所以，
则，
因为，分别是与方向相同的单位向量，
所以，
则，
又因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和平面向量基本定理，则用表示，再利用单位向量的定义，从而得出的值.
7．（2025·朝阳模拟）设，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，
得，解得或，
由，
得，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据二倍角的正弦公式和同角三角函数基本关系式，再结合已知条件得出的值，再利用二倍角的正弦公式和同角三角函数基本关系式，从而化弦为切，则得出的值，再根据充分条件和必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
8．（2025·朝阳模拟）已知函数，曲线在点处的切线方程为，设函数，则（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由函数，
可得，
则，
所以，曲线在点处的切线方程为：，
由，
因为，其中，
若时，，其中，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
所以，
所以，
由，且，
则不恒成立，
所以选项C正确、选项A不正确；
若时，，其中，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以，
所以不恒成立，
由，，此时，
所以不恒成立，
所以选项B、选项D均不正确.
故答案为：C.
【分析】利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，再根据点斜式方程得出曲线的切线方程为，再根据题意得到，从而得出，再利用导数判断出函数的单调性，从而得出函数的最值，从而逐项判断找出正确的选项.
9．（2025·朝阳模拟）金刚石是由碳元素组成的单质，具有极高的硬度，在工业中有广泛的应用，如图1所示，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的4个顶点A，B，C，D处，中间的碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置（点E处），如图2所示，设，则E到平面的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】球内接多面体；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：沿四面体的两条侧棱和高，切出一块几何体如下图，
则O是顶点A在下底面的射影，E是正四面体外接球的球心，AO是正四面体的高，
OB是下底面的外接圆半径，是球的半径，
则，
解得，
在中，，
在中，，
则，
所以，
解得，
所以，
因为点到正四面体各面的距离相等，
所以点E到平面的距离为.
故答案为：C.
【分析】沿四面体的两条侧棱和高切出一块几何体如图，再利用三角函数的定义和勾股定理，从而计算出所需线段长度，再利用点到正四面体各面的距离相等，从而得出点E到平面的距离.
10．（2025·朝阳模拟）设无穷数列的前n项和为，定义，则（　　）
A．当时，
B．当时，
C．当时，则
D．当时，
【答案】D
【知识点】数列的求和；反证法与放缩法
【解析】【解答】解：对于A：当时，，
故A不正确；
对于B：当时，在为奇数时为1，偶数时为0，
所以，故B不正确；
对于C：当时，，
又因为，
所以
，故C不正确；
对于D：当时，
则，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据各选项中不同的数列的通项公式，再结合求和公式和定义，从而求出与，再结合作商法和作差法以及比较法，从而逐项判断找出正确的选项.
11．（2025·朝阳模拟）若复数z满足，则　 　．
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】根据复数的除法运算法则，从而可得复数，再利用复数求模公式得出复数z的模.
12．（2025·朝阳模拟）已知等差数列满足，则　 　；设为的前项和，则使的的最小值为　 　．
【答案】0；7
【知识点】一元二次不等式及其解法；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
由，
得到，
解得，
所以，
则，
因为，
得到或（舍），
又因为，
所以使的的最小值为.
故答案为：，.
【分析】设等差数列的公差为，根据已知条件得到，从而得到首项和公差的值，再利用等差数列的通项公式得出，从而求出的值，进而得出的值；再利用等差数列的前项和公式和一元二次不等式求解方法以及，从而得出使的的最小值.
13．（2025·朝阳模拟）在中，，且，则　 　；面积的最大值为　 　．
【答案】；
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；同角三角函数间的基本关系；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在中，
由，
得，
又因为，
所以；
则的面积为，
当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为.
故答案为：；.
【分析】利用已知条件和同角三角函数基本关系式，从而的值求出的值；再利用三角形面积公式和基本不等式求最值的方法，从而求出面积的最大值.
14．（2025·朝阳模拟）若直线与双曲线没有公共点，则双曲线C的离心率的一个取值为　 　．
【答案】3（答案不唯一）
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：双曲线的渐近线为，且焦点在轴上，
由题意知：，
因为，所以，
所以，双曲线C的离心率为，
所以，双曲线C离心率的一个取值可以为3.
故答案为：3(答案不唯一).
【分析】根据直线与双曲线没有公共点和，从而求出实数的取值范围，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式和双曲线的离心率公式，从而得出双曲线的离心率的取值范围，进而在该范围内取一个值即可.
15．（2025·朝阳模拟）设，过原点的直线（不与轴重合）与圆交于点P与直线交于点．过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，这两条直线交于点，称为的箕舌线函数，记作，给出下列四个结论：
①函数的图象关于y轴对称；
②若，则；
③设函数，则的最大值为；
④设函数，则的最小值为．
其中所有正确结论的序号是　 　．
【答案】①③
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为圆的圆心在轴上，
设圆与的另一个交点为，再设，
当点不与点重合时，直线的方程为，
联立，
解得，
所以点纵坐标为，此时点，
当点与点重合时，点的纵坐标也满足，
所以，
对任意的，，
所以的定义域为，
对于命题①，因为，
所以是偶函数，故①正确；
对于命题②，因为，
当时，，
则在区间上单调递增，
所以，当时，若，
则，故②错误；
对于命题③，，
因为，当时，，
当时，，
又因为，当且仅当时，即当时取等号，
所以，故③正确；
对于命题④，因为，
令，
则，
易知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
若，
则当时，，
则当时，的最小值为，所以④错误.
故答案为：①③.
【分析】设，联立直线方程和圆的方程，从而求出点的纵坐标，则可得出函数的解析式，再根据函数的奇偶性可判断出序号①；对求导，再利用导数的正负判断出函数的单调性，从而求出函数的单调区间，则可判断出序号②；分两种情况，再利用基本不等式求最值的方法，则可判断出序号③；根据已知条件得出，令，则，再利用函数的单调性求出函数的最小值，则判断出序号④，从而找出正确结论的序号.
16．（2025·朝阳模拟）已知函数．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）设函数，再从条件①、条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一，求在区间上的最大值和最小值．
条件①：在区间上单调递增；
条件②：的最大值为；
条件③：为偶函数．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）解：由题意得，
所以的最小正周期，
由，
得．
所以的单调递增区间为．
（2）解：选择条件①：
由题意得．
由（1）可知，的单调递增区间为，
由在区间上单调递增，
得
解得，
又因为，所以．
所以存在且唯一，
当时，，
所以，当时，即当时，取得最大值；
当时，即当时，取得最小值．
选择条件②：
由题意得，
则函数最大值为，
则只需，
因为，
所以的取值不唯一，
故不符合题意，即不能选择条件②.
选择条件③：
由题意得，
由为偶函数，可知，
解得．
又因为，所以，
则存在且唯一，
当时，，
所以，当时，即当时，取得最小值；
当时，即当时，取得最大值．
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式得出正弦型函数的最小正周期，再利用换元法和正弦函数的单调性，从而得出正弦型函数的单调递增区间.
（2）分别选择条件后，再根据条件分析的取值是否唯一，若唯一，再由正弦型函数的性质求出其最值即可，若不唯一，则放弃该条件的选择.
（1）由题意得，
所以的最小正周期，
由，
得．
所以的单调递增区间为．
（2）选择条件①：
由题意得．
由（1）可知的单调递增区间为．
由在区间上单调递增，得
解得．
又因为，所以．
从而存在且唯一，
当时，，
所以当，即时，取得最大值；
当，即时，取得最小值．
选择条件②：
由题意得，
函数最大值为，则只需，
由于，故的取值不唯一，故不符合题意，即不能选择条件②；
选择条件③：
由题意得．
由为偶函数可知，
解得．
又因为，所以．
从而存在且唯一．
当时，，
所以当，即时，取得最小值；
当，即时，取得最大值．
17．（2025·朝阳模拟）如图，在三棱柱中，底面侧面，侧面是边长为4的菱形，．
（1）求证：侧面为矩形；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：连接，
因为四边形为菱形，且，
所以为正三角形，则，
又因为，
所以，
设中点为D，连接，
则，
又因为，
所以，
又因为底面侧面，底面侧面，
侧面，
所以底面，
又因为平面．
所以．
又因为，
平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以
又因为侧面为平行四边形，
所以侧面为矩形．
（2）解：由（1）可知平面，
所以，
所以两两垂直，
如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则．
所以．
设平面的法向量为，
则
所以
令，则，
所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
因此，直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）设中点为D，连接，由菱形的结构特征和得出为正三角形，则，再利用勾股定理得出，设中点为D，连接，则，再利用得出，再根据面面垂直的性质定理得到底面，再由，得到平面，再利用线面垂直的定义证出，则由侧面为平行四边形证出侧面为矩形.
（2）由（1）可知平面，再利用线面垂直的定义得出，则两两垂直，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而得出直线与平面所成角的正弦值.
（1）连接，因为四边形为菱形，且，
所以为正三角形，从而．
因为，所以．
设中点为D，连接，则．
又，
所以．
因为底面侧面，
底面侧面，
侧面，所以底面，而平面．
所以．
又，平面，平面，
所以平面，而平面，
所以
又因为侧面为平行四边形，
所以侧面为矩形．
（2）（2）由（1）可知平面，所以．
所以两两垂直．
如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则．
所以．
设平面的法向量为，则
即
令，则．所以．
设直线与平面所成角为，
所以
因此，直线与平面所成角的正弦值为．
18．（2025·朝阳模拟）某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按，，…，分组整理得到如下频率分布直方图：
（1）从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率；
（2）从B地区评分为的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均值估计为，A，B两地区评分的平均值估计为，比较与的大小关系．（直接写出结论）
【答案】（1）解：设事件M：从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，
该用户评分不低于分，
由频率分布直方图可知，
A地区抽取的500名用户中评分不低于的人数为：，
所以．
（2）解：因为B地区评分为的样本用户共有：人，
其中评分不低于分的人数为5人，
由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，
则，
，
．
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
则X的数学期望.
（3）解：，理由如下：
根据频率分布直方图A地区评分的平均值为：
B地区评分的平均值为：
所以，A，B两地区评分的平均值.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中各小组的频率等于各小组的矩形的面积，再结合频数等于频率乘以样本容量的公式，从而得出A地区抽取的500名用户中评分不低于的人数，再利用古典概率公式得出该用户评分不低于60分的概率.
（2）利用频率分布直方图中各小组的频率等于各小组的矩形的面积，再结合频数等于频率乘以样本容量的公式，从而得出B地区评分为的样本用户人数，其中评分不低于分的人数为5人，再利用已知条件得出随机变量X的取值，再结合超几何分布计算出对应的概率，从而写出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（3）根据频率分布直方图求平均值公式，从而比较出与的大小关系．
（1）设事件M：从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，该用户评分不低于分．
由频率分布直方图可知，A地区抽取的500名用户中评分不低于的人数为，
所以．
（2）B地区评分为的样本用户共有人，
其中评分不低于分的人数为5人．
由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2．
，
，
．
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
则X的数学期望.
（3）．
根据频率分布直方图A地区评分的平均值为，
B地区评分的平均值为，
所以A，B两地区评分的平均值；
19．（2025·朝阳模拟）已知椭圆的焦距为2，且过点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线与椭圆E交于不同的两点A，B，直线与直线交于点N，若（O是坐标原点），求k的值．
【答案】（1）解：由题意得
解得
所以，椭圆E的方程为．
（2）解：由，
得，
由，
得，
因为，所以．
设，
则，
不妨设点A在点B的上方，
因为，又因为，
此时，直线的倾斜角为，
直线的倾斜角为，
所以，
由题意可知，直线和的斜率都存在，分别设为和，
则．
因为，
所以，即．
由，
得，
所以，整理得，
又因为，
所以.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由椭圆的焦距公式、点代入法和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出a，b，c的值，进而得出几何椭圆E的方程.
（2）联立直线方程和椭圆方程，再由和可得的取值范围，设，由韦达定理得出，再由直线的倾斜角的概念可得直线的倾斜角和直线的倾斜角满足，从而得出直线和的斜率和满足，再代入的值，从而化简可得k的值.
（1）由题意得解得
所以椭圆E的方程为．
（2）由得．
由得．
又，所以．
设，则．
不妨设点A在点B的上方，
因为，又，
此时，直线的倾斜角为，
直线的倾斜角为，所以．
由题可知直线和的斜率都存在，分别设为和，则．
因为，
所以，即．
由得．
所以．整理得，
又，所以.
20．（2025·朝阳模拟）已知函数．
（1）若，求函数在区间上的最大值；
（2）若在区间上存在单调递减区间，求的取值范围；
（3）若存在极值点，且，求的值．
【答案】（1）解：若，
则，
所以，
当时，，
所以在单调递减，
所以，当时，取得最大值.
（2）解：因为的定义域为，
当时，易知在区间上单调递减，符合题意；
当时，，
设，
则，
当时，，
所以在区间上单调递减.
①若，即当时，当时，，
则，此时在区间上单调递增，不符合题意；
②若，即当时，，
所以，存在唯一的，使得，
当时，，则，此时在区间上单调递减，
符合题意，
综上所述，的取值范围为.
（3）解：由题意，可得，
则，
所以，
则（*），
设函数，
则，
当时，，
所以在区间上单调递增；
当时，，
所以在区间上单调递减，
所以，当时，取得最大值，
又因为，
所以，当且仅当时取等号，
又因为（*）等价于，
所以，
所以，
经检验，当时，存在极大值点且，符合题意，
所以．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求导，再利用导函数的正负判断函数在的单调性，从而求出函数在区间上的最大值.
（2）先求导，再结合导数的正负判断函数单调性的方法，按的不同取值范围分类讨论，从而求出实数a的取值范围.
（3）由函数的极值点的概念可得，消去得（*），令，再利用导数判断函数的单调性，从而可得，当且仅当时取等号，再利用（*）等价于，从而得出的值，再代入的值结合检验法，从而求出的值.
（1）若，则，，
当时，，所以在单调递减，
所以当时，取得最大值.
（2）的定义域为，
当时，易知在区间上单调递减，符合题意；
当时，，设，
则，当时，，所以在区间上单调递减，
①若，即时，当时，，即，
此时在区间上单调递增，不符合题意；
②若，即时，，
所以存在唯一的使得，
当时，，即，
此时在区间上单调递减，符合题意；
综上，的取值范围为.
（3）由题意可得即，
所以，即（*），
设函数，
，
当时，，所以在区间上单调递增，
当时，，所以在区间上单调递减，
所以当时，取得最大值，
又，所以，当且仅当时取等号，
又（*）等价于，所以，
所以．
经检验，当时，存在极大值点且，符合题意，
所以．
21．（2025·朝阳模拟）已知是无穷正整数数列，且对任意的，其中表示有穷集合S的元素个数．
（1）若，求的所有可能取值；
（2）求证：数列中存在等于1的项；
（3）求证：存在，使得集合为无穷集合．
【答案】（1）解：因为，
所以中与相等的数有且仅有2个，
除去本身，中与相等的数有且只有1个，
∴或，
当时，；
当时，，
所以的所有可能取值为2和3．
（2）证明：假设中不存在等于1的项，
则，
因为，
所以，
当时，
由，则存在，使得，
所以，与假设矛盾；
当时，由，
则存在，使得，且中有且只有一项与相等.
①若中有两项为2，一项为3，
则，与假设矛盾；
②若中有两项为2，一项为，
则，与假设矛盾；
③若中有一项为2，两项为3，
则，与假设矛盾；
④若中有一项为2，两项为，
则，矛盾，
综上所述，假设不成立，所以中存在等于1的项．
（3）证明：假设均为有限集合，
当时，，
则当时，（*），
令，
下证当时，.
否则假设，
则，与（*）矛盾，
∴当时，，
∵已知数列是无穷正整数数列，
所以存在，使得集合为无穷集合，矛盾，
∴假设错误，
∴存在，使得集合为无穷集合．
【知识点】数列的应用；反证法的应用
【解析】【分析】（1）先根据已知条件确定的值，再利用的值得出的所有可能取值.
（2）利用反证法结合分类讨论的方法，从而证出数列中存在等于1的项.
（3）利用反证法结合最大值的方法，从而证出存在，使得集合为无穷集合．
（1）因为，则中与相等的数有且仅有2个，除去本身，中与相等的数有且只有1个，
∴或．
当时，；当时，．
所以的所有可能取值为2，3．
（2）假设中不存在等于1的项，则．
又，所以．
当时，由，则存在，使得．
所以，与假设矛盾．
当时，由，则存在，使得，且中有且只有一项与相等.
①若中有两项为2，一项为3，
则，与假设矛盾．
②若中有两项为2，一项为，
则，与假设矛盾．
③若中有一项为2，两项为3，
则，与假设矛盾．
④若中有一项为2，两项为，
则，矛盾．
综上，假设不成立，所以中存在等于1的项．
（3）假设均为有限集合，
当时，，
则当时，（*）
令，下证当时，.
否则假设，则，与（*）矛盾.
∴当时，，
∵已知数列是无穷正整数数列，
所以存在，使得集合为无穷集合，矛盾，
∴假设错误，∴存在，使得集合为无穷集合．
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