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山东省烟台市2025年中考数学真题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分.每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的）
1．（2025·烟台）的倒数是（　　）
A．3 B． C．-3 D．
2．（2025·烟台）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝.下列航天图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·烟台）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·烟台）如图是社团小组运用3D打印技术制作的模型，它的左视图是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·烟台）如图是一款儿童小推车的示意图，若，∠1=30°，∠2=70°，则∠3的度数为（　　）
A．40° B．35° C．30° D．20°
6．（2025·烟台）求一组数据方差的算式为：.由算式提供的信息，下列说法错误的是（　　）
A．的值是5
B．该组数据的平均数是7
C．该组数据的众数是6
D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小
7．（2025·烟台）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元.这款风扇每台的标价为（　　）
A．350元 B．320元 C．270元 D．220元
8．（2025·烟台）如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（　　）
A．4 B． C．2 D．
9．（2025·烟台）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于（-2，0）和（-1，0）之间，顶点的坐标为.下列结论：①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则.其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．①③④
10．（2025·烟台）如图，在中，，，是角平分线.点从点出发，沿方向向点运动，连接，点在上，且.设，，若y关于x的函数图象过点，则该图象上最低点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．（2025·烟台）2025年2月2日是第29个“世界湿地日”，主题是“保护湿地共筑未来”.国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以上.将数据56350000用科学记数法表示为　 　.
12．（2025·烟台）实数的整数部分为　 　.
13．（2025·烟台）因式分解：　 　．
14．（2025·烟台）如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴影部分的面积为　 　.
15．（2025·烟台）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为（4，3）.以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为　 　.
16．（2025·烟台）如图，在菱形中，，对角线.点M从点A出发，沿方向以1cm/s的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿方向以的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，交于点P.在此过程中，点P的运动路径长为　 　m.
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）
17．（2025·烟台）先化简，再求值：，其中.
18．（2025·烟台）2025年4月19日，烟台市民文化艺术季启幕.某校带领甲、乙两个社团参观甲骨学发展史馆，领略殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力.活动结束后，两个社团进行了一次满分为10分的甲骨学发展史测试，并对所有学生的成绩进行了收集、整理、分析，信息如下：
①甲社团的成绩（单位：分）情况如下：
6，6，6，6，7，7，7，7，6，7，7，6，7，8，8，8，8，9，8，8，9，9，9，8，8，9，9，9，7，9，6，9，9，10，8，8，9，9，10，10.
②乙社团的平均成绩为（分）.
③将两个社团的成绩绘制成如下不完整的统计图：
根据以上信息，解决下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）成绩为8分的学生在　 　社团的排名更靠前（填“甲”或“乙”）；
（3）已知甲社团的满分学生中有两名女生，现从甲社团满分学生中随机抽取两人，参加甲骨学发展史宣讲活动.请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率.
19．（2025·烟台）如图，是矩形的对角线，请按以下要求解决问题：
（1）利用尺规作，使与关于直线成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若交于点，，，求的长.
20．（2025·烟台）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元.
（1）求甲、乙两种路灯的单价；
（2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少.
21．（2025·烟台）【综合与实践】
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务.为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动.
如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息：
位置信息 码头A在灯塔B北偏西14°方向
14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处
15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处
天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气.请注意防范.
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离；
（2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：，，，，，）.
22．（2025·烟台）如图，内接于，，点在线段的延长线上，且，连接.
（1）求证：是的切线；
（2）当，时，求的长及的半径.
23．（2025·烟台）【问题呈现】
如图1，已知是正方形外一点，且满足，探究，，三条线段的数量关系.
小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：如图2，构造与全等，从而得出与的数量关系；
思路二：如图3，构造与全等，从而得出与的数量关系.
（1）请参考小颖的思路，直接写出与的数量关系　 　；
（2）【类比探究】
如图4，若是正五边形外一点，且满足，，，求的长度（结果精确到0.1，参考数据：，，，）；
（3）【拓展延伸】
如图5，若是正十边形外一点，且满足，则，，三条线段的数量关系为　 　（结果用含有锐角三角函数的式子表示）.
24．（2025·烟台）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接.
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点D的横坐标为，
①用含有的代数式表示线段的长度；
②是否存在点D，使是等腰三角形 若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接，将线段绕点按顺时针方向旋转90°得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的倒数；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：
的倒数为
故答案为：B.
【分析】先化简的绝对值为3，再由一对倒数的积为1即可求解.
2．【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形；
B、是轴对称图形但不是中心对称图形；
C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形；
D、是中心对称图形；
故答案为：D.
【分析】把一个图形绕某点旋转后如果图形能够完全重合，这个图形叫中心对称图形，这个点叫它的对称中心.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不是同类项，不能合并；
B、，正确；
C、，结果错误；
D、，结果错误；
故答案为：B.
【分析】A、合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的指数都不变，不是同类项不能合并；
B、单项式乘以单项式，把系数的积作为积的系数，相同字母作同底数幂的乘法运算，对于只在一个因式中出现的字母连同它的指数一并作为积的因式；
C、单项式除以单项式，把系数的商作为商的系数，相同字母作同底数幂的除法运算，对于只在被除式中出现的字母连同它的指数一并作为商的因式；
D、积的乘方，先给每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
4．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、是物体右边观察得到的图形；
B、无论从那个方向观察也不可能得到这个图形；
C、是左视图；
D、是俯视图；
故答案为：C.
【分析】从物体左面观察得到的图形叫左视图，从物体上面观察得到的图形叫俯视图，从物体正面观察得到的图形叫主视图.
5．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】先由两直线平行内错角相等，可把转化到的位置上，再直接利用三角形的外角性质即可.
6．【答案】C
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；平均数及其计算；方差；众数
【解析】【解答】解：
、众数为6和8
、
即
故答案为：C.
【分析】由方差计算公式可得这组数据分别为6、8、8、6、7，即数据总个数为5，由平均数计算公式得，众数为6和8，由于平均值为7，则增加两个数据后，各数据与平均值差的完全平方和不变，但数据个数变大，则方差变小.
7．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设这款风扇的进价为x元，标价为y元，由题意列方程组得：
解方程组得：
故答案为：A.
【分析】设风扇的进价和标价分别为x元和y元，则根据相等关系“ 按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元.”列方程组并求解即可.
8．【答案】D
【知识点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：设点C(x，y)
四边形OABC是菱形
都在反比例函数的图象上
化简得：
菱形OABC中OC=OA=3
故答案为：D.
【分析】先设出点C坐标为C(x，y)，再利用菱形的性质结合中点坐标公式可得，再由双曲线上点的坐标特征得，从而求出；由于菱形的各边都相等，再由两点距离公式可得，即.
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：如图所示，设对称轴交轴于点C，连接PA、PB，则PA=PB、C(1，0).
观察图形知： 二次函数的对称轴为
抛物线的开口向下、与轴交于正半轴
，即
，故结论 ① 正确；
顶点的坐标为
的最大值为
对于任意实数都有：
即：，故结论 ② 错误；
抛物线与轴的一个交点位于（-2，0）和（-1，0）之间，且在对称轴左侧，随的增大而增大
当时，
，故结论 ③ 正确；
若，则、抛物线解析式为：
令，则
解得：
为等边三角形，故结论 ④ 正确.
故答案为：D.
【分析】 ①由抛物线的开口向下知、由对称轴为直线知，由抛物线交轴正半轴知，即；
②由于抛物线开口向下且对称轴为，则二次函数有最大值，即对任意实数都存在，整理得；
③由于抛物线与轴交点位于（-2，0）和（-1，0）之间且在对称轴的左侧，则由二次函数的增减性知当时，即，整理得；
④设对称轴交轴于点C，若，则抛物线的解析式为，可利用抛物线上点的坐标特征分别求出A、B两点的坐标，则AC可求，又PC已知，可解求得，由二次函数的对称性可知PA=PB，则为等边三角形.
10．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；角平分线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，分别过点D、C作AB的垂线段DG、CH.
设
平分
点在抛物线上
解得：
当时，有最小值，即抛物线的顶点坐标为
故答案为：B.
【分析】由于中，，则由等腰三角形三线合一可过点C作AB的垂线段CH，设AC=a，则BC=a，由勾股定理可得，则，再由角平分线上的点到角两边距离相等可过点D作AB的垂线段DG，则CD=DG=BG，由HL可判定，则AG=AC=a，则可得；由于已知，则由三角形的外角性质可得，因为是公共角相等，则，由相似的性质可得 ，即，由于，则借助勾股定理可得CE2，则可求得CF，进而可得DF，即，则y是关于x的二次函数，此时利用待定系数法代入的坐标可得，，由于二次系数是正数，则y有最小值，即当时，有最小值，即抛物线的顶点坐标为.
11．【答案】
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】用科学记数法常把一个绝对值较大的数字表示成的形式，其中取这个数字整数部分数位个数与1的差.
12．【答案】4
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：且
故答案为：4.
【分析】由于是18的算术平方根，因此应该介于16和25的算术平方根之间，即，故其整数部分为4.
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解．
14．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；扇形面积的计算；正多边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图所示，过点O作AB的垂线段OG，连接OA、OB、OE.
六边形ABCDEF是正六边形
是等边三角形
故答案为：.
【分析】由于正六边形的中心角是，因此是等边三角形，过点O作AB的垂线段OG，则解可得，则正六边形ABCD的面积为；观察图形得阴影部分面积等于扇形面积减去五边形ANOMF的面积，此时连接OA、OE，可利用ASA证明，则五边形ANOMF的面积可转化为四边形AOEF的面积，显然四边形AOEF的面积等于正六边形ABCDEF的面积的，即阴影部分面积可得.
15．【答案】或
【知识点】作图﹣位似变换；位似图形的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：
与位似且在点P同侧，且相似比为2
，即A1A=AP
为线段的中点，设、、
、
解得
同理A1为PA2的中点，即，解得，即
同理A2为PA3的中点，即，解得，即
故答案为：.
【分析】由于与位似且在点P同侧，且相似比等于2，则点A为线段PA1的中点，由中点坐标公式可得A1的坐标，同理，A1为PA2的中点，A2为PA3的中点，则依次可求出A2和A3的坐标.
16．【答案】
【知识点】菱形的性质；弧长的计算；定角定弦辅助圆模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：如图所示，连接BD交AC于点E，以AD为边向外作等边，再以O为圆心OA长为半径作.
四边形ABCD是菱形，
、、、
点P在上
当时，，即此时点N与点D重合
点P的运动轨迹为劣弧AD的长
故答案为：.
【分析】由于菱形的一条对角线平分一组对称，则，再连接BD，解可得、，则由两边对应成比例且夹角相等可证，由全等的性质得，由三角形的外角性质可得，即，此时以AD为边向外作等边三角形AOD，再以O为圆心OA长为半径作，则点P在上，此时可通过计算得当AM=2时点N与点D重合，即点P的运动轨迹为劣弧AD的长，此时直接利用弧长计算公式即可.
17．【答案】解：原式
原式
【知识点】有理数的乘方法则；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先利用分式的混合运算对分式进行化简，化简时先对括号内的异分母分式进行通分，再进行同分母分式的加法运算并对分子合并同类项，再把除式分子分母颠倒位置与前面的分式进行乘法运算，同时对分子分母分解因式，再约分化结果为最简二次分式或整式，最后再求出字母的值并代入到结果中进行计算即可.
18．【答案】（1）
（2）乙
（3）解：列表得：
　 男 女1 女2
男 / 一男一女 一男一女
女1 一男一女 / 两女
女2 一男一女 两女 /
答：
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：（2）甲社团的中位数=、乙社团的中位数=
成绩为“8分”的学生在乙社团中成绩更排名
【分析】
（1）观察甲社团的成绩可得成绩为“10分”的同学有2名，由乙社团的加权平均数计算公式知成绩为“7分”的同学有12名，再补全条形统计图即可；
（2）观察条形统计图可知甲乙两个社团的成绩已按照从小到大的顺序排列，甲社团中第20名和第21名均落在“8分”这一组，则甲的中位数为“8分”；乙社团中第20名为“7分”，第21名为“8分”，则乙的中位数为“7.5分”，则成绩为“8分”的学生在乙社团中排名更靠前；
（3）两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据.
19．【答案】（1）解：如图所示，即为所求作.
（2）解：如图所示，
由折叠的性质知：
四边形ABCD是矩形
、、
设，则
解得：
答：AF 的值为.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；作图﹣轴对称；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】(1)分别以B、D为圆心，BC和DC长为半径画弧，两弧在BD的左上侧交于点E，分别连接BE、DE即可；
(2)由折叠的性质结合矩形的对边平行可得，则，由于矩形的对边相等，可设AF=x，则BF=2-x，在中应用勾股定理即可得AF.
20．【答案】（1）解：设甲、乙两种路灯的单价分别为和元，由题意列方程组得
解方程组得：
答：甲、乙两种路灯的单价分别为元，元
（2）解：设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，由题意列不等式得：
解不等式得：
设购买总费用为，则
随的增大而减小
即当时，有最小值，最小值为
答：购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)设甲、乙两种路灯的单价分别为和元，由相等关系“ 购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元. ”列方程组并求解即可；
(2) 设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，由题意列不等式并求解先得出，再设总费用为，则，此时利用一次函数的增减性解答即可.
21．【答案】（1）解：如图所示，过点B作垂足为E，设BE=x.
在中，
同理：
解得：
答：渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里
（2）解：
中，
不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【分析】(1)如图，过点B作AC的垂线段BE，先利用路程公式求出CD，再设BE=x，分别解直角三角形BEC和直角三角形BED即可得到CE和DE，则由CD=CE-DE可建立关于x的一元一次方程并求解即可；
（2）先解直角三角形ABE求出AE的长，则利用（1）中DE=BE可得出AD的长，再利用起雾与当前的时间差求出行程，再与AD之间的距离比较即可.
22．【答案】（1）证明：如图所示，连接AO并延长交于点E、连接CE.
则
是半径
是的切线
（2）解：如图所示，设AE交BC于点F.
设，则，
则在中，，即：
解得：
即的半径为
答：；的半径为
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）证切线，连半径，证垂直.因此连接AO并延长交于点E、连接CE，则，因为已知，则等边对等角，再利用三角形的外角性质结合已知可得，再利用圆周角定理结合等量代换可得即可；
（2）设AE交BC于点F，则求出直径AE即可得出半径，此时利用等腰三角形的判定及性质可得AD=AC=8、DB=BA=5，由（1）知，又是公共角相等，则可证明，由相似比可求得CD的长，则BC可求；由于已证，则由等角的余角相等可证AB是斜边AF上的中线，则DF=2BA=10，由勾股定理可求得AF=6，再利用圆周角定理、对顶角相等结合等量代换得EF=EC，则再中应用勾股定理可求出EC即EF的长，则AE可得，即半径也可得.
23．【答案】（1）
（2）解：如图所示，延长PA3至Q，使A3Q=PA1，连接A2Q，过A2作，垂足为点O.
由（1）知：
答：PA2的长度约为37；
（3）
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—边角关系；手拉手全等模型；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】
（1）思路一：如图2所示，延长PA3至Q，使A3Q=A1P，连接A2Q.
四边形A1A2A3A4是正方形
、
、
，即
思路二：如图3所示，分别过点A2作PA1和PA3的垂线段A2M和A2N.
四边形A1A2A3A4是正方形
、
四边形A2MPN是矩形
四边形A2MPN是正方形
即
(3)解：如图所示，延长PA3至Q，使A3Q=PA1，连接A2Q，过A2作，垂足为点O.
由（1）知：
【分析】（1）思路一是延长PA3至Q，使A3Q=A1P，连接A2Q，由手拉手全等模型可证，从而利用全等的性质可证是等腰直角三角形，即把 与分别转化到这个等腰直角三角形的斜边与直角边上即可；思路二也利用手拉手模型可证，利用全等的性质可证四边形A2MPN是正方形，从而把与转化到这个正方形的边和对角线上，利用勾股定理或45度角的三角函数依然可证结论成立；
（2）由于正五边形的内角可直接求得，因此可利用思路一构造全等三角形，进而可得等腰三角形PA2Q，再利用等腰三角形三线合一作底边上的高，再解直角三角形即可；
（3）解法同（2）.
24．【答案】（1）解：
设抛物线解析式为
（2）解：①
，即
设直线BC的解析式为，则由题意知
解得
直线BC的解析式为：
设且点D在直线BC上方的抛物线上
轴于F交直线BC于E
②存在，或或，理由如下：
、、
当CD=CE时，，解得或（舍去），，即；
当CD=DE时，，解得，，即；
当CE=DE时，，解得或（舍去），，即；
综上所述，D点坐标为或或；
（3）
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；同侧一线三垂直全等模型；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】（3）
解：如图所示，分别过点E、G作轴的垂线，垂足分别为点M、N.
，即
AG2有小值，即当时，最小值为20
此时，
【分析】
（1）观察图象知，点A在原点左侧，点B在原点右侧，因为、，则可得抛物线与x轴的两个交点A、B两点坐标，则可设抛物线的解析式为交点式，即，再转化为一般式，则可求出a、b的值，则抛物线解析式可求；
（2） ① 由于点D在直线BC上方的抛物线上且交BC于点E，此时可利用二次函数图象上点的坐标特征求出点C的坐标，则可利用待定系数法得到直线BC的解析式，再设出点D的坐标，则点E的坐标可得，由于点D在点E的上方，则利用D、E两点纵坐标的差表示出线段DE的长；
②由于点C、D、E三点的坐标都已知或可以用含t的代数式表示，则两点距离公式可分别表示出CD、CE，再分类讨论，即CE=DE或CE=CD或CD=DE，分别解关于t的一元二次方程或一元一次方程即可求出t的值，再根据t的取值范围进行取舍即可；
（3）由于点E绕原点O顺时针旋转90度得到点G，则可分别过点E、G作y轴的垂线段EM和GN，从而构造一线三垂直全等模型证明，再利用全等的性质表示出点G的坐标，再利用两点距离可得AG2是关于t的二次函数，且二次项系数为正，则可利用二次函数的增减性求得AG2的最小值，则AG的最小值可得.
1 / 1山东省烟台市2025年中考数学真题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分.每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的）
1．（2025·烟台）的倒数是（　　）
A．3 B． C．-3 D．
【答案】B
【知识点】有理数的倒数；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：
的倒数为
故答案为：B.
【分析】先化简的绝对值为3，再由一对倒数的积为1即可求解.
2．（2025·烟台）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝.下列航天图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形；
B、是轴对称图形但不是中心对称图形；
C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形；
D、是中心对称图形；
故答案为：D.
【分析】把一个图形绕某点旋转后如果图形能够完全重合，这个图形叫中心对称图形，这个点叫它的对称中心.
3．（2025·烟台）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不是同类项，不能合并；
B、，正确；
C、，结果错误；
D、，结果错误；
故答案为：B.
【分析】A、合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的指数都不变，不是同类项不能合并；
B、单项式乘以单项式，把系数的积作为积的系数，相同字母作同底数幂的乘法运算，对于只在一个因式中出现的字母连同它的指数一并作为积的因式；
C、单项式除以单项式，把系数的商作为商的系数，相同字母作同底数幂的除法运算，对于只在被除式中出现的字母连同它的指数一并作为商的因式；
D、积的乘方，先给每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
4．（2025·烟台）如图是社团小组运用3D打印技术制作的模型，它的左视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、是物体右边观察得到的图形；
B、无论从那个方向观察也不可能得到这个图形；
C、是左视图；
D、是俯视图；
故答案为：C.
【分析】从物体左面观察得到的图形叫左视图，从物体上面观察得到的图形叫俯视图，从物体正面观察得到的图形叫主视图.
5．（2025·烟台）如图是一款儿童小推车的示意图，若，∠1=30°，∠2=70°，则∠3的度数为（　　）
A．40° B．35° C．30° D．20°
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】先由两直线平行内错角相等，可把转化到的位置上，再直接利用三角形的外角性质即可.
6．（2025·烟台）求一组数据方差的算式为：.由算式提供的信息，下列说法错误的是（　　）
A．的值是5
B．该组数据的平均数是7
C．该组数据的众数是6
D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小
【答案】C
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；平均数及其计算；方差；众数
【解析】【解答】解：
、众数为6和8
、
即
故答案为：C.
【分析】由方差计算公式可得这组数据分别为6、8、8、6、7，即数据总个数为5，由平均数计算公式得，众数为6和8，由于平均值为7，则增加两个数据后，各数据与平均值差的完全平方和不变，但数据个数变大，则方差变小.
7．（2025·烟台）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元.这款风扇每台的标价为（　　）
A．350元 B．320元 C．270元 D．220元
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设这款风扇的进价为x元，标价为y元，由题意列方程组得：
解方程组得：
故答案为：A.
【分析】设风扇的进价和标价分别为x元和y元，则根据相等关系“ 按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元.”列方程组并求解即可.
8．（2025·烟台）如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（　　）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：设点C(x，y)
四边形OABC是菱形
都在反比例函数的图象上
化简得：
菱形OABC中OC=OA=3
故答案为：D.
【分析】先设出点C坐标为C(x，y)，再利用菱形的性质结合中点坐标公式可得，再由双曲线上点的坐标特征得，从而求出；由于菱形的各边都相等，再由两点距离公式可得，即.
9．（2025·烟台）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于（-2，0）和（-1，0）之间，顶点的坐标为.下列结论：①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则.其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．①③④
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：如图所示，设对称轴交轴于点C，连接PA、PB，则PA=PB、C(1，0).
观察图形知： 二次函数的对称轴为
抛物线的开口向下、与轴交于正半轴
，即
，故结论 ① 正确；
顶点的坐标为
的最大值为
对于任意实数都有：
即：，故结论 ② 错误；
抛物线与轴的一个交点位于（-2，0）和（-1，0）之间，且在对称轴左侧，随的增大而增大
当时，
，故结论 ③ 正确；
若，则、抛物线解析式为：
令，则
解得：
为等边三角形，故结论 ④ 正确.
故答案为：D.
【分析】 ①由抛物线的开口向下知、由对称轴为直线知，由抛物线交轴正半轴知，即；
②由于抛物线开口向下且对称轴为，则二次函数有最大值，即对任意实数都存在，整理得；
③由于抛物线与轴交点位于（-2，0）和（-1，0）之间且在对称轴的左侧，则由二次函数的增减性知当时，即，整理得；
④设对称轴交轴于点C，若，则抛物线的解析式为，可利用抛物线上点的坐标特征分别求出A、B两点的坐标，则AC可求，又PC已知，可解求得，由二次函数的对称性可知PA=PB，则为等边三角形.
10．（2025·烟台）如图，在中，，，是角平分线.点从点出发，沿方向向点运动，连接，点在上，且.设，，若y关于x的函数图象过点，则该图象上最低点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；角平分线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，分别过点D、C作AB的垂线段DG、CH.
设
平分
点在抛物线上
解得：
当时，有最小值，即抛物线的顶点坐标为
故答案为：B.
【分析】由于中，，则由等腰三角形三线合一可过点C作AB的垂线段CH，设AC=a，则BC=a，由勾股定理可得，则，再由角平分线上的点到角两边距离相等可过点D作AB的垂线段DG，则CD=DG=BG，由HL可判定，则AG=AC=a，则可得；由于已知，则由三角形的外角性质可得，因为是公共角相等，则，由相似的性质可得 ，即，由于，则借助勾股定理可得CE2，则可求得CF，进而可得DF，即，则y是关于x的二次函数，此时利用待定系数法代入的坐标可得，，由于二次系数是正数，则y有最小值，即当时，有最小值，即抛物线的顶点坐标为.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．（2025·烟台）2025年2月2日是第29个“世界湿地日”，主题是“保护湿地共筑未来”.国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以上.将数据56350000用科学记数法表示为　 　.
【答案】
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】用科学记数法常把一个绝对值较大的数字表示成的形式，其中取这个数字整数部分数位个数与1的差.
12．（2025·烟台）实数的整数部分为　 　.
【答案】4
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：且
故答案为：4.
【分析】由于是18的算术平方根，因此应该介于16和25的算术平方根之间，即，故其整数部分为4.
13．（2025·烟台）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解．
14．（2025·烟台）如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴影部分的面积为　 　.
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；扇形面积的计算；正多边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图所示，过点O作AB的垂线段OG，连接OA、OB、OE.
六边形ABCDEF是正六边形
是等边三角形
故答案为：.
【分析】由于正六边形的中心角是，因此是等边三角形，过点O作AB的垂线段OG，则解可得，则正六边形ABCD的面积为；观察图形得阴影部分面积等于扇形面积减去五边形ANOMF的面积，此时连接OA、OE，可利用ASA证明，则五边形ANOMF的面积可转化为四边形AOEF的面积，显然四边形AOEF的面积等于正六边形ABCDEF的面积的，即阴影部分面积可得.
15．（2025·烟台）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为（4，3）.以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为　 　.
【答案】或
【知识点】作图﹣位似变换；位似图形的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：
与位似且在点P同侧，且相似比为2
，即A1A=AP
为线段的中点，设、、
、
解得
同理A1为PA2的中点，即，解得，即
同理A2为PA3的中点，即，解得，即
故答案为：.
【分析】由于与位似且在点P同侧，且相似比等于2，则点A为线段PA1的中点，由中点坐标公式可得A1的坐标，同理，A1为PA2的中点，A2为PA3的中点，则依次可求出A2和A3的坐标.
16．（2025·烟台）如图，在菱形中，，对角线.点M从点A出发，沿方向以1cm/s的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿方向以的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，交于点P.在此过程中，点P的运动路径长为　 　m.
【答案】
【知识点】菱形的性质；弧长的计算；定角定弦辅助圆模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：如图所示，连接BD交AC于点E，以AD为边向外作等边，再以O为圆心OA长为半径作.
四边形ABCD是菱形，
、、、
点P在上
当时，，即此时点N与点D重合
点P的运动轨迹为劣弧AD的长
故答案为：.
【分析】由于菱形的一条对角线平分一组对称，则，再连接BD，解可得、，则由两边对应成比例且夹角相等可证，由全等的性质得，由三角形的外角性质可得，即，此时以AD为边向外作等边三角形AOD，再以O为圆心OA长为半径作，则点P在上，此时可通过计算得当AM=2时点N与点D重合，即点P的运动轨迹为劣弧AD的长，此时直接利用弧长计算公式即可.
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）
17．（2025·烟台）先化简，再求值：，其中.
【答案】解：原式
原式
【知识点】有理数的乘方法则；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先利用分式的混合运算对分式进行化简，化简时先对括号内的异分母分式进行通分，再进行同分母分式的加法运算并对分子合并同类项，再把除式分子分母颠倒位置与前面的分式进行乘法运算，同时对分子分母分解因式，再约分化结果为最简二次分式或整式，最后再求出字母的值并代入到结果中进行计算即可.
18．（2025·烟台）2025年4月19日，烟台市民文化艺术季启幕.某校带领甲、乙两个社团参观甲骨学发展史馆，领略殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力.活动结束后，两个社团进行了一次满分为10分的甲骨学发展史测试，并对所有学生的成绩进行了收集、整理、分析，信息如下：
①甲社团的成绩（单位：分）情况如下：
6，6，6，6，7，7，7，7，6，7，7，6，7，8，8，8，8，9，8，8，9，9，9，8，8，9，9，9，7，9，6，9，9，10，8，8，9，9，10，10.
②乙社团的平均成绩为（分）.
③将两个社团的成绩绘制成如下不完整的统计图：
根据以上信息，解决下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）成绩为8分的学生在　 　社团的排名更靠前（填“甲”或“乙”）；
（3）已知甲社团的满分学生中有两名女生，现从甲社团满分学生中随机抽取两人，参加甲骨学发展史宣讲活动.请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率.
【答案】（1）
（2）乙
（3）解：列表得：
　 男 女1 女2
男 / 一男一女 一男一女
女1 一男一女 / 两女
女2 一男一女 两女 /
答：
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：（2）甲社团的中位数=、乙社团的中位数=
成绩为“8分”的学生在乙社团中成绩更排名
【分析】
（1）观察甲社团的成绩可得成绩为“10分”的同学有2名，由乙社团的加权平均数计算公式知成绩为“7分”的同学有12名，再补全条形统计图即可；
（2）观察条形统计图可知甲乙两个社团的成绩已按照从小到大的顺序排列，甲社团中第20名和第21名均落在“8分”这一组，则甲的中位数为“8分”；乙社团中第20名为“7分”，第21名为“8分”，则乙的中位数为“7.5分”，则成绩为“8分”的学生在乙社团中排名更靠前；
（3）两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据.
19．（2025·烟台）如图，是矩形的对角线，请按以下要求解决问题：
（1）利用尺规作，使与关于直线成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若交于点，，，求的长.
【答案】（1）解：如图所示，即为所求作.
（2）解：如图所示，
由折叠的性质知：
四边形ABCD是矩形
、、
设，则
解得：
答：AF 的值为.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；作图﹣轴对称；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】(1)分别以B、D为圆心，BC和DC长为半径画弧，两弧在BD的左上侧交于点E，分别连接BE、DE即可；
(2)由折叠的性质结合矩形的对边平行可得，则，由于矩形的对边相等，可设AF=x，则BF=2-x，在中应用勾股定理即可得AF.
20．（2025·烟台）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元.
（1）求甲、乙两种路灯的单价；
（2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少.
【答案】（1）解：设甲、乙两种路灯的单价分别为和元，由题意列方程组得
解方程组得：
答：甲、乙两种路灯的单价分别为元，元
（2）解：设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，由题意列不等式得：
解不等式得：
设购买总费用为，则
随的增大而减小
即当时，有最小值，最小值为
答：购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)设甲、乙两种路灯的单价分别为和元，由相等关系“ 购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元. ”列方程组并求解即可；
(2) 设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，由题意列不等式并求解先得出，再设总费用为，则，此时利用一次函数的增减性解答即可.
21．（2025·烟台）【综合与实践】
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务.为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动.
如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息：
位置信息 码头A在灯塔B北偏西14°方向
14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处
15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处
天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气.请注意防范.
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离；
（2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：，，，，，）.
【答案】（1）解：如图所示，过点B作垂足为E，设BE=x.
在中，
同理：
解得：
答：渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里
（2）解：
中，
不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【分析】(1)如图，过点B作AC的垂线段BE，先利用路程公式求出CD，再设BE=x，分别解直角三角形BEC和直角三角形BED即可得到CE和DE，则由CD=CE-DE可建立关于x的一元一次方程并求解即可；
（2）先解直角三角形ABE求出AE的长，则利用（1）中DE=BE可得出AD的长，再利用起雾与当前的时间差求出行程，再与AD之间的距离比较即可.
22．（2025·烟台）如图，内接于，，点在线段的延长线上，且，连接.
（1）求证：是的切线；
（2）当，时，求的长及的半径.
【答案】（1）证明：如图所示，连接AO并延长交于点E、连接CE.
则
是半径
是的切线
（2）解：如图所示，设AE交BC于点F.
设，则，
则在中，，即：
解得：
即的半径为
答：；的半径为
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）证切线，连半径，证垂直.因此连接AO并延长交于点E、连接CE，则，因为已知，则等边对等角，再利用三角形的外角性质结合已知可得，再利用圆周角定理结合等量代换可得即可；
（2）设AE交BC于点F，则求出直径AE即可得出半径，此时利用等腰三角形的判定及性质可得AD=AC=8、DB=BA=5，由（1）知，又是公共角相等，则可证明，由相似比可求得CD的长，则BC可求；由于已证，则由等角的余角相等可证AB是斜边AF上的中线，则DF=2BA=10，由勾股定理可求得AF=6，再利用圆周角定理、对顶角相等结合等量代换得EF=EC，则再中应用勾股定理可求出EC即EF的长，则AE可得，即半径也可得.
23．（2025·烟台）【问题呈现】
如图1，已知是正方形外一点，且满足，探究，，三条线段的数量关系.
小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：如图2，构造与全等，从而得出与的数量关系；
思路二：如图3，构造与全等，从而得出与的数量关系.
（1）请参考小颖的思路，直接写出与的数量关系　 　；
（2）【类比探究】
如图4，若是正五边形外一点，且满足，，，求的长度（结果精确到0.1，参考数据：，，，）；
（3）【拓展延伸】
如图5，若是正十边形外一点，且满足，则，，三条线段的数量关系为　 　（结果用含有锐角三角函数的式子表示）.
【答案】（1）
（2）解：如图所示，延长PA3至Q，使A3Q=PA1，连接A2Q，过A2作，垂足为点O.
由（1）知：
答：PA2的长度约为37；
（3）
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—边角关系；手拉手全等模型；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】
（1）思路一：如图2所示，延长PA3至Q，使A3Q=A1P，连接A2Q.
四边形A1A2A3A4是正方形
、
、
，即
思路二：如图3所示，分别过点A2作PA1和PA3的垂线段A2M和A2N.
四边形A1A2A3A4是正方形
、
四边形A2MPN是矩形
四边形A2MPN是正方形
即
(3)解：如图所示，延长PA3至Q，使A3Q=PA1，连接A2Q，过A2作，垂足为点O.
由（1）知：
【分析】（1）思路一是延长PA3至Q，使A3Q=A1P，连接A2Q，由手拉手全等模型可证，从而利用全等的性质可证是等腰直角三角形，即把 与分别转化到这个等腰直角三角形的斜边与直角边上即可；思路二也利用手拉手模型可证，利用全等的性质可证四边形A2MPN是正方形，从而把与转化到这个正方形的边和对角线上，利用勾股定理或45度角的三角函数依然可证结论成立；
（2）由于正五边形的内角可直接求得，因此可利用思路一构造全等三角形，进而可得等腰三角形PA2Q，再利用等腰三角形三线合一作底边上的高，再解直角三角形即可；
（3）解法同（2）.
24．（2025·烟台）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接.
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点D的横坐标为，
①用含有的代数式表示线段的长度；
②是否存在点D，使是等腰三角形 若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接，将线段绕点按顺时针方向旋转90°得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值.
【答案】（1）解：
设抛物线解析式为
（2）解：①
，即
设直线BC的解析式为，则由题意知
解得
直线BC的解析式为：
设且点D在直线BC上方的抛物线上
轴于F交直线BC于E
②存在，或或，理由如下：
、、
当CD=CE时，，解得或（舍去），，即；
当CD=DE时，，解得，，即；
当CE=DE时，，解得或（舍去），，即；
综上所述，D点坐标为或或；
（3）
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；同侧一线三垂直全等模型；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】（3）
解：如图所示，分别过点E、G作轴的垂线，垂足分别为点M、N.
，即
AG2有小值，即当时，最小值为20
此时，
【分析】
（1）观察图象知，点A在原点左侧，点B在原点右侧，因为、，则可得抛物线与x轴的两个交点A、B两点坐标，则可设抛物线的解析式为交点式，即，再转化为一般式，则可求出a、b的值，则抛物线解析式可求；
（2） ① 由于点D在直线BC上方的抛物线上且交BC于点E，此时可利用二次函数图象上点的坐标特征求出点C的坐标，则可利用待定系数法得到直线BC的解析式，再设出点D的坐标，则点E的坐标可得，由于点D在点E的上方，则利用D、E两点纵坐标的差表示出线段DE的长；
②由于点C、D、E三点的坐标都已知或可以用含t的代数式表示，则两点距离公式可分别表示出CD、CE，再分类讨论，即CE=DE或CE=CD或CD=DE，分别解关于t的一元二次方程或一元一次方程即可求出t的值，再根据t的取值范围进行取舍即可；
（3）由于点E绕原点O顺时针旋转90度得到点G，则可分别过点E、G作y轴的垂线段EM和GN，从而构造一线三垂直全等模型证明，再利用全等的性质表示出点G的坐标，再利用两点距离可得AG2是关于t的二次函数，且二次项系数为正，则可利用二次函数的增减性求得AG2的最小值，则AG的最小值可得.
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