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2025年广东省东莞市中考三模数学试题
1．（2025·东莞模拟）下列各数，是负整数的是（　　）
A．0 B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：根据题意，是负整数，
故选：D．
【分析】根据负整数的定义即可求出答案.
2．（2025·东莞模拟）2025蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，寓意着事事如意、生生不息的美好祝愿．下图为春晚主标识，通过双“巳”对称摆放形成如意的纹样，它采用的数学变换是（　　）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似
【答案】B
【知识点】生活中的旋转现象
【解析】【解答】解：由图可知：该图采用的数学变换是旋转；
故选：B．
【分析】根据旋转的性质即可求出答案.
3．（2025·东莞模拟）要使二次根式有意义，x的值可以取（　　）
A．1 B．7 C．14 D．80
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：要使二次根式有意义，
∴，
∴，
观察四个选项，选项A符合题意，
故选：A．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
4．（2025·东莞模拟）北京烤鸭不仅是一道美食，更是中华民族美食瑰宝中的璀璨明珠．为保证口感，北京烤鸭的标准鸭子重量一般不低于，不高于．下面用不等式表示这一范围正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列一元一次不等式组；不等式的概念
【解析】【解答】解：根据题意，得．
故选：B．
【分析】根据不低于表示为“”，不高于表示为“”，即可得出答案．
5．（2025·东莞模拟）化简的结果是（　　）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】分式的除法
【解析】【解答】解：，
故选：．
【分析】根据分式的除法即可求出答案.
6．（2025·东莞模拟）如图，已知菱形的边长为，连接，，分别是，的中点，连接，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵已知菱形的边长为，
∴，
∵，分别是，的中点，
∴
故选：B．
【分析】根据菱形的性质可得，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
7．（2025·东莞模拟）如图，是的直径，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵弧所对的圆周角是，所对的圆心角是，
∴，
故选：A ．
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
8．（2025·东莞模拟）如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，且加油站到公路的距离是，
∴加油站到公路和公路的距离是相等的，即它到公路的距离是．
故选：C．
【分析】根据角平分线的性质即可求出答案.
9．（2025·东莞模拟）生活中的反射现象，遵循物理学中光的反射定律．如图，入射光线经过平面镜上的点反射后，反射光线恰好与平行，已知，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【分析】根据等边对等角及角之间的关系可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
10．（2025·东莞模拟）某科技公司生产了贝拉、艾米、思睿、尊者四款机器人，图中的横、纵坐标分别为机器人的固定投入量和实际产出量．该公司准备将其中一款机器人批量生产并投入市场，需从这四款机器人中选一款生产效率最高的，则应选择（注：）（　　）
A．贝拉 B．艾米 C．思睿 D．尊者
【答案】C
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：如图，
由图可得连接原点和四个点中的直线中，经过思睿的直线最陡，
这四款机器人中选一款生产效率最高的是思睿，
故选：C．
【分析】根据图象判断贝拉、艾米、思睿、尊者四款机器人的横、纵坐标的比值大小即可求出答案.
11．（2025·东莞模拟）若点在x轴上，则　 　．
【答案】2
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在x轴上，
∴，
解得．
故答案为2．
【分析】根据x轴上点的坐标特征即可求出答案.
12．（2025·东莞模拟）树木不仅是森林的基本组成单元，更是地球生态系统的“稳定器”．当前，各国纷纷响应“全球种植万亿棵树”倡议，共同应对气候变化、助力生态系统修复．中国也在为“未来十年种植、保护和恢复亿棵树”的目标而不断努力．其中，数据“亿”用科学记数法可以表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿，
故答案为：．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．
13．（2025·东莞模拟）如图是一个直角三角尺，其中，，则　 　．
【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，再根据特殊角的三角函数值即可求出答案.
14．（2025·东莞模拟）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；补角
【解析】【解答】解：在中，，，
∴，
由折叠可知：，
当时，则
∴
故答案为：
【分析】根据三角形内角和定理可得，由折叠可知：，再根据三角形内角和定理可得，再根据补角即可求出答案.
15．（2025·东莞模拟）有两个正方形，，现将放在的内部如图①，将，并排放置后构造新的正方形如图②，若图①和图②中阴影部分的面积分别为和，则正方形，的面积之和为　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；正方形的性质
【解析】【解答】解：设正方形 A，B 的边长分别为，则
图①中阴影部分面积为
图②中阴影部分面积为
∴
∴
∴．
故答案为：
【分析】设正方形 A，B 的边长分别为，由几何图形得，，，联立化简即可求出答案.
16．（2025·东莞模拟）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
，
把，代入，
得．
【知识点】有理数的乘方法则；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】根据整式的加减化简，再将x=1，y=-1代入解析式即可求出答案.
17．（2025·东莞模拟）如图将绕点A逆时针旋转得到，点C和点E是对应点，若，，求BD的长．
【答案】由旋转的性质得：，，
∴．
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】由旋转的性质得，，在Rt△ABD中，利用勾股定理即可求解．
18．（2025·东莞模拟）某中学有名学生，为了解学生每周户外活动时间，教师随机调查名学生，结果如下：
学生每周户外活动时间
人数
（1）求的值；
（2）请根据调查结果，估计该校有多少名学生的每周户外活动时间为．
【答案】（1）解：依题意，
（2）解：样本中小时的学生共人，占样本比例：．
全校总人数为名，估计符合条件的学生数为：名．
【知识点】统计表；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）用减去，，的人数，即可求解；
（2）根据样本的频数估计总体，即可求解．
（1）解：依题意，
（2）解：样本中小时的学生共人，占样本比例：．
全校总人数为名，估计符合条件的学生数为：名．
19．（2025·东莞模拟）如图，在中，，，垂足为，是上一点，连接并延长至点，使，连接．求证：．
【答案】证明：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据等腰三角形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据直线平行判定定理及性质即可求出答案.
20．（2025·东莞模拟）近年来中国潮玩与动漫产业蓬勃发展，有分析人士预计2026年中国潮玩市场总价值将达到1101亿元．某小店老板非常看好这个用情绪价值撬动的千亿市场，购进了A型和B型两种潮玩玩具，每套A型玩具的进价比每套B型玩具的进价多2.5元，已知用200元购进A型玩具的套数与用150元购进B型玩具的套数是相同的．
（1）求A型、B型玩具的进价分别是多少元；
（2）老板以原进价再次购进这两种型号的玩具共100套，恰好用了950元，则购进A型玩具多少套？
【答案】（1）解：设A型玩具的进价是x元，则B型玩具的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴，
答：A型玩具的进价是10元，B型玩具的进价是7.5元；
（2）解：设购进A型玩具a套，则购进B型玩具套，
由题意得：，
解得：，
答：购进A型玩具80套．
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型玩具的进价是x元，则B型玩具的进价是元，根据用200元购进A型玩具的套数与用150元购进B型玩具的套数是相同的，列出分式方程，解方程即可求出答案.
（2）设购进A型玩具a套，则购进B型玩具套，根据恰好用了950元，列出一元一次方程，解方程即可求出答案.
（1）解：设A型玩具的进价是x元，则B型玩具的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴，
答：A型玩具的进价是10元，B型玩具的进价是7.5元；
（2）解：设购进A型玩具a套，则购进B型玩具套，
由题意得：，
解得：，
答：购进A型玩具80套．
21．（2025·东莞模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边轴，点的坐标为，点的坐标为，为边的中点，点在边上，且，反比例函数的图象经过点．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求点的坐标；
（3）将点向下平移，当点落在反比例函数的图象上时，求平移的距离．
【答案】（1）解：∵点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
∴
∴该反比例函数的解析式为；
（2）解：∵正方形的边轴，点的坐标为，
∴的纵坐标为，点的横坐标为
∵点的坐标为，为边的中点，
∴
∴正方形的边长为
∴，则
∵，
∴，则的横坐标为
∴；
（3）解：依题意，设向下平移个单位，则平移后的对应点为
∵在上，
∴
解得：，即平移的距离为个单位．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点E坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）根据平行于x轴的直线上点的坐标特征可得的纵坐标为，点的横坐标为，根据两点间距离可得EB=1，则正方形的边长为，即，再根据边之间的关系可得，即可求出答案.
（3）设向下平移个单位，则平移后的对应点为，将点坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（1）解：∵点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
∴
∴该反比例函数的解析式为；
（2）解：∵正方形的边轴，点的坐标为，
∴的纵坐标为，点的横坐标为
∵点的坐标为，为边的中点，
∴
∴正方形的边长为
∴，则
∵，
∴，则的横坐标为
∴；
（3）解：依题意，设向下平移个单位，则平移后的对应点为
∵在上，
∴
解得：，即平移的距离为个单位．
22．（2025·东莞模拟）如图，已知四边形，，，以点A为圆心，的长为半径画弧，与交于点E，与交于点F，且．
（1）若，
①求点F到直线的距离；
②求的长．
（2）如果，求．
【答案】（1）解；①如图所示，过点F作交延长线于H，
∵，，
∴，
∴，
∴点F到直线的距离为；
②如图所示，过点A作于G，则；
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．

【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【分析】（1）①过点F作交延长线于H，根据直线平行性质可得，再根据正弦定义及特殊角的三角函数值即可求出答案.
②过点A作于G，则，根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）连接，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形性质可得，再根据角之间的关系可得，根据等角对等边可得，根据余弦定义可得HF，再根据边之间的关系可得AH，再根据正切定义即可求出答案.
（1）解；①如图所示，过点F作交延长线于H，
∵，，
∴，
∴，
∴点F到直线的距离为；
②如图所示，过点A作于G，则；
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
23．（2025·东莞模拟）如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，连接并延长交抛物线的对称轴于点，点是抛物线上的一个动点，其横坐标满足，设直线．
（1）当点的坐标为时，
①求二次函数的解析式；
②当最大时，求的值；
③在②的条件下，连接交于点，求的值．
（2）当最大时，是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，
当时，，则
点的坐标为时，
∴，
解得：
∴二次函数的解析式为：；
②∵对称轴为直线，
当时，，
解得：
∴，
设直线的解析式为，代入，得，
解得；，
∴直线的解析式为，
∵是与的交点，
∴当时，，
∴，
点是抛物线上的一个动点，其横坐标满足，当与抛物线相切于对称轴右侧时，最大时，
由直线，代入得，
∴
∴直线
由抛物线解析式
联立消去得，
∴
∴
解得：（舍去）或
∴
即
③由②可得
由直线，，得出直线的解析式为
由，的坐标为，得出直线的解析式为，
联立
解得：
∴
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为
∴
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵二次函数的图象与轴交于点，
当时，，则
对称轴为直线，
当时，，
解得：
∴，
又，设直线的解析式为，代入，得，
解得；，
∴直线的解析式为，
∵是与的交点，
∴当时，
∴
当与抛物线相切于对称轴左侧时，最大时，
点是抛物线上的一个动点，其横坐标满足，
由直线，代入得，
∴
∴直线
由抛物线解析式
联立消去得，
∴
∴
解得：或（舍去）
∵
∴
即是定值
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）①根据y轴上点的坐标特征可得，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
②根据x轴上点的坐标特征可得，，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得直线的解析式为，将x=1代入解析式可得，点是抛物线上的一个动点，其横坐标满足，当与抛物线相切于对称轴右侧时，最大时，再根据待定系数法将点F代入直线FM，可得直线，联立抛物线解析式，解方程组即可求出答案.
③由②可得，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立两直线解析式，解方程组可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，再根据两点间距离可得AQ，NQ，再根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得，，，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得直线的解析式为，将x=1代入解析式可得，当与抛物线相切于对称轴左侧时，最大时，点是抛物线上的一个动点，其横坐标满足，求出直线直线，再联立抛物线解析式，可得，根据求根公式即可求出答案.
（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，
当时，，则
点的坐标为时，
∴，
解得：
∴二次函数的解析式为：；
②∵对称轴为直线，
当时，，
解得：
∴，
设直线的解析式为，代入，得，
解得；，
∴直线的解析式为，
∵是与的交点，
∴当时，，
∴，
点是抛物线上的一个动点，其横坐标满足，当与抛物线相切于对称轴右侧时，最大时，
由直线，代入得，
∴
∴直线
由抛物线解析式
联立消去得，
∴
∴
解得：（舍去）或
∴
即
③由②可得
由直线，，得出直线的解析式为
由，的坐标为，得出直线的解析式为，
联立
解得：
∴
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为
∴
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵二次函数的图象与轴交于点，
当时，，则
对称轴为直线，
当时，，
解得：
∴，
又，设直线的解析式为，代入，得，
解得；，
∴直线的解析式为，
∵是与的交点，
∴当时，
∴
当与抛物线相切于对称轴左侧时，最大时，
点是抛物线上的一个动点，其横坐标满足，
由直线，代入得，
∴
∴直线
由抛物线解析式
联立消去得，
∴
∴
解得：或（舍去）
∵
∴
即是定值
1 / 12025年广东省东莞市中考三模数学试题
1．（2025·东莞模拟）下列各数，是负整数的是（　　）
A．0 B． C．1 D．
2．（2025·东莞模拟）2025蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，寓意着事事如意、生生不息的美好祝愿．下图为春晚主标识，通过双“巳”对称摆放形成如意的纹样，它采用的数学变换是（　　）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似
3．（2025·东莞模拟）要使二次根式有意义，x的值可以取（　　）
A．1 B．7 C．14 D．80
4．（2025·东莞模拟）北京烤鸭不仅是一道美食，更是中华民族美食瑰宝中的璀璨明珠．为保证口感，北京烤鸭的标准鸭子重量一般不低于，不高于．下面用不等式表示这一范围正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·东莞模拟）化简的结果是（　　）
A．0 B．1 C． D．
6．（2025·东莞模拟）如图，已知菱形的边长为，连接，，分别是，的中点，连接，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2025·东莞模拟）如图，是的直径，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·东莞模拟）如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·东莞模拟）生活中的反射现象，遵循物理学中光的反射定律．如图，入射光线经过平面镜上的点反射后，反射光线恰好与平行，已知，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·东莞模拟）某科技公司生产了贝拉、艾米、思睿、尊者四款机器人，图中的横、纵坐标分别为机器人的固定投入量和实际产出量．该公司准备将其中一款机器人批量生产并投入市场，需从这四款机器人中选一款生产效率最高的，则应选择（注：）（　　）
A．贝拉 B．艾米 C．思睿 D．尊者
11．（2025·东莞模拟）若点在x轴上，则　 　．
12．（2025·东莞模拟）树木不仅是森林的基本组成单元，更是地球生态系统的“稳定器”．当前，各国纷纷响应“全球种植万亿棵树”倡议，共同应对气候变化、助力生态系统修复．中国也在为“未来十年种植、保护和恢复亿棵树”的目标而不断努力．其中，数据“亿”用科学记数法可以表示为　 　．
13．（2025·东莞模拟）如图是一个直角三角尺，其中，，则　 　．
14．（2025·东莞模拟）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，则　 　．
15．（2025·东莞模拟）有两个正方形，，现将放在的内部如图①，将，并排放置后构造新的正方形如图②，若图①和图②中阴影部分的面积分别为和，则正方形，的面积之和为　 　．
16．（2025·东莞模拟）先化简，再求值：，其中，．
17．（2025·东莞模拟）如图将绕点A逆时针旋转得到，点C和点E是对应点，若，，求BD的长．
18．（2025·东莞模拟）某中学有名学生，为了解学生每周户外活动时间，教师随机调查名学生，结果如下：
学生每周户外活动时间
人数
（1）求的值；
（2）请根据调查结果，估计该校有多少名学生的每周户外活动时间为．
19．（2025·东莞模拟）如图，在中，，，垂足为，是上一点，连接并延长至点，使，连接．求证：．
20．（2025·东莞模拟）近年来中国潮玩与动漫产业蓬勃发展，有分析人士预计2026年中国潮玩市场总价值将达到1101亿元．某小店老板非常看好这个用情绪价值撬动的千亿市场，购进了A型和B型两种潮玩玩具，每套A型玩具的进价比每套B型玩具的进价多2.5元，已知用200元购进A型玩具的套数与用150元购进B型玩具的套数是相同的．
（1）求A型、B型玩具的进价分别是多少元；
（2）老板以原进价再次购进这两种型号的玩具共100套，恰好用了950元，则购进A型玩具多少套？
21．（2025·东莞模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边轴，点的坐标为，点的坐标为，为边的中点，点在边上，且，反比例函数的图象经过点．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求点的坐标；
（3）将点向下平移，当点落在反比例函数的图象上时，求平移的距离．
22．（2025·东莞模拟）如图，已知四边形，，，以点A为圆心，的长为半径画弧，与交于点E，与交于点F，且．
（1）若，
①求点F到直线的距离；
②求的长．
（2）如果，求．
23．（2025·东莞模拟）如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，连接并延长交抛物线的对称轴于点，点是抛物线上的一个动点，其横坐标满足，设直线．
（1）当点的坐标为时，
①求二次函数的解析式；
②当最大时，求的值；
③在②的条件下，连接交于点，求的值．
（2）当最大时，是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：根据题意，是负整数，
故选：D．
【分析】根据负整数的定义即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】生活中的旋转现象
【解析】【解答】解：由图可知：该图采用的数学变换是旋转；
故选：B．
【分析】根据旋转的性质即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：要使二次根式有意义，
∴，
∴，
观察四个选项，选项A符合题意，
故选：A．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】列一元一次不等式组；不等式的概念
【解析】【解答】解：根据题意，得．
故选：B．
【分析】根据不低于表示为“”，不高于表示为“”，即可得出答案．
5．【答案】C
【知识点】分式的除法
【解析】【解答】解：，
故选：．
【分析】根据分式的除法即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵已知菱形的边长为，
∴，
∵，分别是，的中点，
∴
故选：B．
【分析】根据菱形的性质可得，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵弧所对的圆周角是，所对的圆心角是，
∴，
故选：A ．
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，且加油站到公路的距离是，
∴加油站到公路和公路的距离是相等的，即它到公路的距离是．
故选：C．
【分析】根据角平分线的性质即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【分析】根据等边对等角及角之间的关系可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：如图，
由图可得连接原点和四个点中的直线中，经过思睿的直线最陡，
这四款机器人中选一款生产效率最高的是思睿，
故选：C．
【分析】根据图象判断贝拉、艾米、思睿、尊者四款机器人的横、纵坐标的比值大小即可求出答案.
11．【答案】2
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在x轴上，
∴，
解得．
故答案为2．
【分析】根据x轴上点的坐标特征即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿，
故答案为：．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．
13．【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，再根据特殊角的三角函数值即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；补角
【解析】【解答】解：在中，，，
∴，
由折叠可知：，
当时，则
∴
故答案为：
【分析】根据三角形内角和定理可得，由折叠可知：，再根据三角形内角和定理可得，再根据补角即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；正方形的性质
【解析】【解答】解：设正方形 A，B 的边长分别为，则
图①中阴影部分面积为
图②中阴影部分面积为
∴
∴
∴．
故答案为：
【分析】设正方形 A，B 的边长分别为，由几何图形得，，，联立化简即可求出答案.
16．【答案】解：
，
把，代入，
得．
【知识点】有理数的乘方法则；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】根据整式的加减化简，再将x=1，y=-1代入解析式即可求出答案.
17．【答案】由旋转的性质得：，，
∴．
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】由旋转的性质得，，在Rt△ABD中，利用勾股定理即可求解．
18．【答案】（1）解：依题意，
（2）解：样本中小时的学生共人，占样本比例：．
全校总人数为名，估计符合条件的学生数为：名．
【知识点】统计表；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）用减去，，的人数，即可求解；
（2）根据样本的频数估计总体，即可求解．
（1）解：依题意，
（2）解：样本中小时的学生共人，占样本比例：．
全校总人数为名，估计符合条件的学生数为：名．
19．【答案】证明：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据等腰三角形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据直线平行判定定理及性质即可求出答案.
20．【答案】（1）解：设A型玩具的进价是x元，则B型玩具的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴，
答：A型玩具的进价是10元，B型玩具的进价是7.5元；
（2）解：设购进A型玩具a套，则购进B型玩具套，
由题意得：，
解得：，
答：购进A型玩具80套．
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型玩具的进价是x元，则B型玩具的进价是元，根据用200元购进A型玩具的套数与用150元购进B型玩具的套数是相同的，列出分式方程，解方程即可求出答案.
（2）设购进A型玩具a套，则购进B型玩具套，根据恰好用了950元，列出一元一次方程，解方程即可求出答案.
（1）解：设A型玩具的进价是x元，则B型玩具的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴，
答：A型玩具的进价是10元，B型玩具的进价是7.5元；
（2）解：设购进A型玩具a套，则购进B型玩具套，
由题意得：，
解得：，
答：购进A型玩具80套．
21．【答案】（1）解：∵点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
∴
∴该反比例函数的解析式为；
（2）解：∵正方形的边轴，点的坐标为，
∴的纵坐标为，点的横坐标为
∵点的坐标为，为边的中点，
∴
∴正方形的边长为
∴，则
∵，
∴，则的横坐标为
∴；
（3）解：依题意，设向下平移个单位，则平移后的对应点为
∵在上，
∴
解得：，即平移的距离为个单位．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点E坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）根据平行于x轴的直线上点的坐标特征可得的纵坐标为，点的横坐标为，根据两点间距离可得EB=1，则正方形的边长为，即，再根据边之间的关系可得，即可求出答案.
（3）设向下平移个单位，则平移后的对应点为，将点坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（1）解：∵点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
∴
∴该反比例函数的解析式为；
（2）解：∵正方形的边轴，点的坐标为，
∴的纵坐标为，点的横坐标为
∵点的坐标为，为边的中点，
∴
∴正方形的边长为
∴，则
∵，
∴，则的横坐标为
∴；
（3）解：依题意，设向下平移个单位，则平移后的对应点为
∵在上，
∴
解得：，即平移的距离为个单位．
22．【答案】（1）解；①如图所示，过点F作交延长线于H，
∵，，
∴，
∴，
∴点F到直线的距离为；
②如图所示，过点A作于G，则；
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．

【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【分析】（1）①过点F作交延长线于H，根据直线平行性质可得，再根据正弦定义及特殊角的三角函数值即可求出答案.
②过点A作于G，则，根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）连接，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形性质可得，再根据角之间的关系可得，根据等角对等边可得，根据余弦定义可得HF，再根据边之间的关系可得AH，再根据正切定义即可求出答案.
（1）解；①如图所示，过点F作交延长线于H，
∵，，
∴，
∴，
∴点F到直线的距离为；
②如图所示，过点A作于G，则；
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，
当时，，则
点的坐标为时，
∴，
解得：
∴二次函数的解析式为：；
②∵对称轴为直线，
当时，，
解得：
∴，
设直线的解析式为，代入，得，
解得；，
∴直线的解析式为，
∵是与的交点，
∴当时，，
∴，
点是抛物线上的一个动点，其横坐标满足，当与抛物线相切于对称轴右侧时，最大时，
由直线，代入得，
∴
∴直线
由抛物线解析式
联立消去得，
∴
∴
解得：（舍去）或
∴
即
③由②可得
由直线，，得出直线的解析式为
由，的坐标为，得出直线的解析式为，
联立
解得：
∴
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为
∴
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵二次函数的图象与轴交于点，
当时，，则
对称轴为直线，
当时，，
解得：
∴，
又，设直线的解析式为，代入，得，
解得；，
∴直线的解析式为，
∵是与的交点，
∴当时，
∴
当与抛物线相切于对称轴左侧时，最大时，
点是抛物线上的一个动点，其横坐标满足，
由直线，代入得，
∴
∴直线
由抛物线解析式
联立消去得，
∴
∴
解得：或（舍去）
∵
∴
即是定值
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）①根据y轴上点的坐标特征可得，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
②根据x轴上点的坐标特征可得，，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得直线的解析式为，将x=1代入解析式可得，点是抛物线上的一个动点，其横坐标满足，当与抛物线相切于对称轴右侧时，最大时，再根据待定系数法将点F代入直线FM，可得直线，联立抛物线解析式，解方程组即可求出答案.
③由②可得，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立两直线解析式，解方程组可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，再根据两点间距离可得AQ，NQ，再根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得，，，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得直线的解析式为，将x=1代入解析式可得，当与抛物线相切于对称轴左侧时，最大时，点是抛物线上的一个动点，其横坐标满足，求出直线直线，再联立抛物线解析式，可得，根据求根公式即可求出答案.
（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，
当时，，则
点的坐标为时，
∴，
解得：
∴二次函数的解析式为：；
②∵对称轴为直线，
当时，，
解得：
∴，
设直线的解析式为，代入，得，
解得；，
∴直线的解析式为，
∵是与的交点，
∴当时，，
∴，
点是抛物线上的一个动点，其横坐标满足，当与抛物线相切于对称轴右侧时，最大时，
由直线，代入得，
∴
∴直线
由抛物线解析式
联立消去得，
∴
∴
解得：（舍去）或
∴
即
③由②可得
由直线，，得出直线的解析式为
由，的坐标为，得出直线的解析式为，
联立
解得：
∴
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为
∴
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵二次函数的图象与轴交于点，
当时，，则
对称轴为直线，
当时，，
解得：
∴，
又，设直线的解析式为，代入，得，
解得；，
∴直线的解析式为，
∵是与的交点，
∴当时，
∴
当与抛物线相切于对称轴左侧时，最大时，
点是抛物线上的一个动点，其横坐标满足，
由直线，代入得，
∴
∴直线
由抛物线解析式
联立消去得，
∴
∴
解得：或（舍去）
∵
∴
即是定值
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