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江西师大附中高一年级数学期中试卷
命题：赣江院高一数学组 审题： 时间：2025.04
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。）
1．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
2．设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
3．给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④ 若，，则. 其中错误的说法有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（　　）
A．南偏西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．正西方向
6． 已知，则 的值为 （ ）
A． B． C．1 D．
7．设的内角的对边分别为，且，为的平分线且与BC交于点D，，则面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知 在上存在唯一实数使 又任意的，均有 成立，则实数ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。）
9．下列各式的值正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10． 在中，角的对边分别为，且，则以下四个命题中正确的是（ ）
A．满足条件的可能是直角三角形
B．面积的最大值为
C．若为锐角三角形，则
D．当时，的内切圆的半径为
11．扇形的中心角为，所在圆半径为，它按如图I、图II两种方式有内接矩形.已知图I：矩形的顶点在扇形的半径上，顶点在圆弧上，顶点在半径上，设.图II：点是圆弧的中点，矩形的顶点在圆弧上，且关于直线对称，顶点分别在半径上，设，则（ ）
A．图I矩形面积最大值是
B．图I矩形面积最大值是
C．图II矩形面积最大值是
D．图II矩形面积最大值是
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分。）
12． 已知与为非零向量，，若三点共线，则 ．
13．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”．“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐，其比值为，这一比值也可以表示为．若，则 ．
14．已知的内角对边分别为，边上的高为h，，则的取值范围是__________．
四、解答题(共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题13分）已知，，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
16．（本小题15分）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
（1）求B；
（2）若的面积为，求c．
17．（本小题15分）如图，在中，，，，为内一点，.
（1）若，求；
（2）若，求．
18．（本小题17分）已知函数在区间上的最大值为3.
（1）求；
（2）求在区间上的单调递增区间；
（3）将的图象上所有的点向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的图象，若且，求的值.
19．（本小题17分）对于分别定义在，上的函数，以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像．
（1）若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由；
（2）若，；，，且与具有关系，求的像；
（3）若，；，，且与具有关系，求实数的取值范围．高一年级数学期中素养测试卷参考答案2025.04.17
1．C【详解】依题意，，所以.
故选：C
2．B 【详解】因为，所以由正弦定理可得，
，所以，所以是直角三角形.
3．D【详解】①只有零向量的模是0，因此应有，不是0，错；
②模相等的向量方向不确定，不一定相同或相反，错；
③两向量平行，只要方向相同或相反或有一个为零向量，模不作要求，错；
④当时，不一定共线，错．故选：D．
4．A【详解】由，得，而，
所以.故选：A
5．B 【详解】如图，在中，，由正弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因为，所以解得，由正弦定理得，故或，因为，故为锐角，所以，此时灯塔位于游轮的南偏西方向.故选：B
6．C 【详解】因为，
所以，
，故.故选：C
7．B 【详解】，，即，
，，，为的平分线且与BC交于点，，
，即，又，解得，当且仅当时等号成立，的面积，的面积的最小值为.故选：B.
8．A 【详解】，其中，
因为任意的， 均有 成立，所以成立，
所以的最大值为，所以，因为，所以，
所以，因为，所以，
因为在上存在唯一实数使 ，所以，所以，
所以.故选：A.
9．BCD 【详解】对于A选项，，A错；
对于B选项，
，B对；
对于C选项，，故C正确；
对于D选项，因为，
所以，，
故
，D对.故选：BCD.
10．ABD 【详解】由，得，对选项A，取，则，，
故，是直角三角形，故A正确；对选项B，设，则，
，，
，
当时，S最大为，故B正确；
对选项C，为锐角三角形，则，即，解得，
且，即，解得，故，故C错误；
对选项D，当时，，，，
又，故，设内切圆的半径为r，则，
解得，故D正确.故选：ABD．
11．AC 【详解】如图I所示，在直角中，
由，扇形的中心角为，所在圆半径为，
可得，.
又，
所以
，当，即时，
矩形的面积最大，最大值为.
如图II所示，设直线分别交于点，
由，扇形的中心角为，所在圆半径为，
则，于是，
又，
所以
，
当时，即时，矩形的面积最大，最大值为.故选：AC.
12．【答案】 3 【详解】由题意知，三点共线，故,
且共线，故不妨设，则，所以，解得
13．【答案】【详解】因为，所以，
故
.故答案为：.
14．【答案】 【详解】在中，，
，
即；
又，，即，又；
故，
如图，在中，过作的垂线，且使，则，
，即，可得，
，即，.
15．(1)， (2)
【详解】（1）因为，，所以，………………………1分
又因，， ……………………………………………2分
故，………………………………………………3分
因为，…………………………………………………………………………5分
又因，则，……………………………………………………6分
则.………………………………………………7分
又因为；所以
…………………………8分
由（1）知：，…………………………………………………………9分
，…………………………………………………………………………10分
因为，所以 …………13分16．(1) (2)
【详解】（1）由余弦定理有，对比已知，
可得，…………………………………………………………2分
因为，所以，从而，…………………………4分
又因为，即，……………………………………………………………6分
注意到，所以. ……………………………………………………7分
（2）由（1）可得，，，从而，，…………………8分
而，…………………………………10分
由正弦定理有，从而，…………………………………………………12分
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，……………………………………………13分
由已知的面积为，可得，所以.………………………………15分
17．【解析】（1）由已知得，所以……………………2分
从而.………………………………………………………………3分
在中，由余弦定理得.…………6分
故. ……………………………………………………………………7分
（2）设，由已知得.………………………………9分
在中，由正弦定理得，……………………12分
化简得.………………………………………………14分
所以………………………………………………15分
18．(1)0 (2)与. (3)2
【详解】（1）.……………2分
当时，，…………………………………3分
且当时，取得最大值，即解得.……………………………4分
（2）由（1）知.
令，得，……………………………6分
当时，；当时，；当时，.……………………8分
又在区间上的单调递增区间为与.……………………9分
（3）将的图象上所有的点向下平移1个单位长度得到的图象，
再向右平移2个单位长度得到的图象，
即. ……………………………………………………………12分
令，得，
的图象在内的对称轴为直线.……………………………14分
因且则，……………………………………………15分
.……………………………………………17分
19．【详解】（1）与不具有关系，…………………………………………1分
理由如下：时，，，…………………2分
所以，则与不具有关系；………………………………3分
（2）由题意可知，……………………………………………………………………………5分
所以，…………………………………………6分
又，所以，解之得或或，
即的像为或或；………………………………………………………………8分
（3）对于，则，所以，即，……………………………………………………………………9分
因为与具有关系，所以要满足题意需，使得即可.………10分
令，令，则，设，①若，即时，，
则，…………………………………………………………12分
②若，即时，，
则，…………………………………………………………14分
③若，即时，，
则或，显然无解，……………………………………………15分
④若，即时，，
则或，显然无解，…………………………………………16分
综上所述：或，…………………………………………………………17分

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