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高2025届学业质量调研抽测（第二次）
数学试题
（数学试题卷共6页，共19个小题，考试时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知全集，集合满足,则
A. B． C． D．
2.从小到大排列的一组数据：80，86，90，96，110，120，126,134，则这组数据的下四分位数为
A. B. C. D.
3．已知命题：， 命题：复数为纯虚数，则命题是的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．某学校举行运动会，该校高二年级2班有甲、乙、丙、丁四位同学将参加跳高、跳远、100米三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少有一个人参加，若甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则不同参赛方案总数为
A． B． C. D.
5.已知函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数，设，，，则，，的大小关系是
A. B.
C. D.
6.若函数在上有且仅有个零点和个极值点，则的取值范围是
A. B. C. D.
7．已知抛物线，为坐标原点，直线与抛物线相交于两点，且直线的斜率之积为，则点到直线的最大距离为
A. B. C. D.
8.设等差数列的前项和为，且，，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。
9．已知为内部的一点，满足, , ,则
A． B．
C. D.
10.如图，已知正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，点，分别为,的中点,则
A.
B.平面∥平面
C. 三棱锥的体积为
D. 四面体的外接球的表面积为
11．已知双曲线的左右顶点分别为，，双曲线的右焦点为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线交双曲线右支于点，交轴于点，且，.设直线的倾斜角分别为，则
A．点到双曲线的两条渐近线的距离之积为
B．设，则的最小值为
C. 为定值
D．当取最小值时，的面积为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中的常数项是 ．
13．过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的最大值为 .
14．已知函数 满足，且，，
则 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
在中，角所对的边分别，且．
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
16.（本小题满分15分）
某工厂采购了甲、乙两台新型机器，现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了个零件的直径进行了统计如下：
零件直径 （单位：厘米）
零件个数
（Ⅰ）经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间内的概率；
（Ⅱ）以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的倍，且甲机器生产的零件的次品率为，乙机器生产的零件的次品率为，现从这批零件中随机抽取一件，若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率.
参考数据：若随机变量，则,,.
17.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，E为侧棱的中点，为的中点，为线段上一点．
（Ⅰ）若点为线段的中点，求证：直线平面；
（Ⅱ）若，且点到平面的距离为，求直线与平面所
成角的正弦值.
18．（本小题满分17分）
已知函数.
（Ⅰ）设过点且与曲线过此点的切线垂直的直线叫做曲线在点处的法线.若曲线在点处的法线与直线平行，求实数的值；
（Ⅱ）当时，若对任意，不等式恒成立，
求的最小值；
（Ⅲ）若存在两个不同的极值点，且，求实数取值范围.
19.（本小题满分17分）
已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率为，点在椭圆上.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）过点且斜率存在的两条直线互相垂直，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点，直线交x轴于点，其中.
① 求;
② 设椭圆的上顶点为,记的面积为令，，
，求证：.高2025届学业质量调研抽测（第二次）
数学参考答案及评意见
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C C B A C A
【解析】
1. 已知全集，。
2. 已知这组数据有8个，即，要求下四分位数，则。那么下四分位数是第2项和第3项数据的平均值。这组数据中第2项是86，第3项是90，∴下四分位数为。
3. 已知复数为纯虚数，则可得。解得：。充分性：若命题成立，即，此时复数，是纯虚数，∴命题成立，即由可以推出，充分性成立。必要性：若命题成立，即复数为纯虚数，由前面计算可知，∴命题成立，即由可以推出，必要性成立。
4. 不考虑甲、乙两人是否参加同一项目时的所有参赛方案数为种。把甲、乙看作一个整体，与丙、丁全排列，安排到3个项目中，方法数有种。甲、乙两人不参加同一项目的参赛方案数为种。
5. 已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数。在上为减函数。。。幂函数，∵，∴在上单调递增。∵，∴，即。又∵，指数函数在上单调递增，且，∴，即。综上可得。∵在上为减函数，且，＞
6. 已知且，那么，∴。令，则。∵函数在上有且仅有1个零点，∴。解不等式可得：，即，两边同时除以，得到。解不等式可得：，即，两边同时除以，得到。令，其极值点满足，。∵函数在上有且仅有1个极值点，∴。解不等式可得：，即，两边同时除以，得到。解不等式可得：，即，两边同时除以，得到。结合前面零点和极值点的分析，取交集可得，即的取值范围是。
7. 设直线的方程为。将直线的方程代入抛物线中，可得，即，。已知为坐标原点，则直线的斜率，直线的斜率。∵，∴。又∵，，则，即。将代入上式，可得，解得。由可知直线的方程为，当时，，∴直线恒过定点。根据点到直线距离的性质，点到直线的距离，其中为点到定点的距离。根据两点间距离公式，若有两点，，则，可得，即点到直线的最大距离为4。
8. 已知①，当时，。设等差数列的公差为，则，那么②。当时，③。由①-③可得：，∵是等差数列，∴，则。又∵，当时满足上式。将代入②式可得：，即，化简得，即，解得。∴。2.求新数列的通项公式，令，即，可得。∵，为正整数，∴为偶数，设，则。此时，即，∴。则。
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
题号 9 10 11
答案 ACD BD BCD
【解析】
9. 已知，移项可得。，∵，，且，代入上式可得：，∴，A选项正确。由可得。，B选项错误。∵。∴。将，，且代入可得：，∴，C选项正确。∵，∴。，。则，D选项正确。
10.选项A：以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系。已知正四棱柱底面边长为2，侧棱长为4，则各点坐标为：，，，，，。，。，可知与不垂直，∴A错误。
选项B： ，，∴，即。。设平面法向量为，，可得。设平面法向量为，，可得。∴平面平面，B正确。
选项：点为的中点，。。点到平面的距离等于点到平面的距离。由于到的距离为底面边长，故到平面的距离为。。
选项D：补体，补为棱长为2的正方体，，则，，D正确。
11. 选项A：双曲线，其渐近线方程为，即。设，∵点在双曲线上，∴。根据点到直线的距离公式，则点到两条渐近线的距离之积为..将变形为，代入上式可得距离之积为，∴选项A错误。
选项B：由双曲线方程可知，右焦点，设双曲线的左焦点为。
根据双曲线的定义，，则。当，，三点共线时，取得最小值，即。∴的最小值为，选项B正确。
选项C：设。∵，则。可得，，即，。设直线的方程为，代入双曲线方程，得，整理得。由韦达定理可得。又∵，，则(定值)，选项C正确。
选项D：已知，，则，。∴。∵，即，代入上式可得。令，又，代入得，∵有解，∴，解得，当且仅当时取等，此时，则，选项D错误。
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
题号 12 13 14
答案 45 -10
【解析】
12. ，令，解得。将代入可得常数项为：。
13.已知曲线方程，等式两边同时平方可得，∵，∴该曲线表示以(1，0)为圆心，为半径的圆的上半部分。设过点的直线的方程为，即。当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离等于半径。圆心(1，0)到直线的距离为，解得：，∵直线与半圆的上半部分有公共点，∴取。当直线经过点时，斜率。，，∵，∴。∴直线的斜率的最大值为。
14.已知①，用代替可得：②，将①代入②可得：，再用代替可得：，∴函数的周期为6。由，，令可得：；令可得：；令可得：。∵，∴，即。那么。令可得：。∴一个周期内。∵余3。∴。
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(I).
…………………………………………………………2分
，
…………………5分
………………………………………………………………………6分
(II)由正弦定理得：
，……………………………10分
为锐角三角形，，且
.…………………………………………………………………12分
，即面积的取值范围.………………………………13分
16.解：(1)零件的直径服从正态分布.则
.……………………………………………………………4分
(II)由题意知，这批零件直径在的概率为的取值为0，1，2，3，4.
则，，
，，
即的分布列为：
0 1 2 3 4
…………………………………………………………………………………………9分
.………………………………10分
(III)设“抽取的零件为甲机器生产”记为事件，“抽取的零件为乙机器生产”记为事件，
“抽取的零件为次品”记为事件.
则，
………………………13分
这个零件是甲机器生产的概率为.…………………………………………………………15分
17.证明：(I)当点为线段的中点时，取的中点，连接，
，且，
又为的中点，底面是矩形，
，且，
，且，
四边形为平行四边形..……………………………5分
又平面平面平面.…………6分
(II)在平面内作，则.
平面平面.侧面是边长为2的正三角形，为的中点.
平面.7分
如图所示，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立空间直角坐标系.
设，则，，，，.
.
设平面的法向量为.
由得，取.
点到平面的距离为，解得.…………10分
设平面的法向量为.
由得
取.得平面的一个法向量为.………………………………13分
设直线与平面的夹角为.
则，
直线与平面所成角的正弦值为.………………………………………………15分
18解：(I)由得
……………………………………………………2分
。曲线在点(0，-1)处的法线的斜率为.
由题意知：.…………………………………………………………5分
(II)当时，，
对任意.恒成立，即
恒成立.………………………………………………7分
设，则.又在上单调递增，
，即，…………………………………………………………8分
令，
当时，单调递增，时，单调递减，的最大值为，
的最小值为.………………………………………………………………………………11分
(III)由得
令，则有两个大于-1的解，
则，
13分
，………14分
设
，易知单调递增，
单调递增，，……………………………………………16分
，即取值范围为.…………………………………………17分
19.解：(I)依愿意，设椭圆方程为.
则有，解得，…………………………………………………………4分
椭圆的方程为.………………………………………………………………5分
(II)①由题意知，直线的斜率均存在且不为0.
设的方程为，
由，得，………………………………7分
，
同理可得：，……………………………………………9分
三点共线，当轴时，则，
当与轴不垂直时，由得：
.……………………………………………………………………12分
②
由得：，且
.……………………………………………………15分
.……………………………………………………17分

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