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重庆复旦中学教育集团2024-2025学年度下期期中考试
高2027届 数学答案
单选题
1-4 DDCB 5-8ADDA
多选题
9.AB 10.ACD 11.AD
填空题
13. 14. .
解答题
15.（1），，，
又与垂直，得，即；
（2），，
、、三点共线，，则，解得：．
16.（1）记小组A的数据依次为，小组B的数据依次为，，
由题意可得：每组的平均数分别为：，，
A组更像是由专业人士组成,
每组的方差分别为：,.
由于专业人士给分更符合专业规则，相似程度更高，，，
因而，
根据方差越大数据波动越大，因此A组更像是由专业人士组成的．
17.（1）因为，由正弦定理可得，
由余弦定理可得，且，所以.
（2）因为，即，可得，由（1）知，可得，且，可得，解得，
所以的周长为
18（1）①因为,所以 ，，因为，所以；
又因为，
则，.
②，证明如下：
因为，，则，
所以，，
且、均为非零向量，则，即；
（2）在中，，
设单位向量，则，（*）
又根据数量积的定义得，，
，，
代入（*）式得，，
所以．
19、（1）在平面四边形中，已知，，为等边三角形，记，
在中，由余弦定理，，
所以，则，所以，
又因为为等边三角形，
所以，且，
所以，
则的面积为；
（2）在中，由正弦定理可得，
即且，
由于，
故，
由于三角形中，，因此，得证，
（3）在平面四边形中，已知，，为等边三角形，，设，在中，由余弦定理，，
，
在中，由正弦定理，，即，所以，
结合
，
又因为，所以，
所以，
即的面积的取值范围为．重庆复旦中学教育集团2024-2025学年度下期期中考试
高2027届 数学试题
尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱。
本试卷分为I卷和Ⅱ卷，考试时间90分钟，满分100分。请将答案工整地书写在答题卡上
命题人：
I卷
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，其中是虚数单位，则（ ）
A．1 B． C． D．
2．已知向量，则（ ）
A． B．0 C．6 D．7
3．在中，已知，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
4．如图(1)所示，在直角坐标系中，已知，对于任意点M，它关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则向量用表示为（ ）.
A． B． C． D．
5. 众数 平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.根据某小区1000户居民的月均用水量数据（单位：），得到如图(2)所示的频率分布直方图，记该组数据的众数为，中位数为，平均数为，则（ ）
A． B． C． D．
6．在锐角中，角所对的边分别为.若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
7．若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则（ ）
A．5 B．8 C．7或8 D．5或8
已知中内角满足，则角( )
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选得部分分，有选错得0分．
9．已知复数，z在复平面内对应的点记为M，则下列结论正确的是（ ）
A．若z为纯虚数，则 B．若，则
C．若点M在第一象限，则 D．若为z的共轭复数且，则
10．重庆复旦中学化学选修课的“化学有机小组”对学校周边2000米范围内的19家奶茶店出售的各种标注为“半糖”的现制奶茶进行含糖量抽样调查，他们发现含糖量数据的中位数比平均数大很多，则下面叙述可能正确的是（ ）
A．这组数据中可能有异常值 B．这组数据是近似对称的
C．这组数据中可能有极端大的值 D．这组数据中的众数可能和中位数相同
11．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（ ）
A. B．
C．若P为EF的中点，则在上的投影向量为
D．的最大值为
II卷
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
设，为单位向量，且，则 ．
如图，在四边形ABCD中，，，，，．若P为线段AB上一动点，则的最小值为 ．
在等边三角形的边上各取一点，满足，，则三角形的面积的最大值是 .
四 解答题：本题共5小题，77分．解答时写出文字说明 证明过程或演算步骤．
已知，．
(1)当为何值时，与垂直？
(2)若，且、、三点共线，求的值．
在重庆复旦中学“复旦好声音”校园歌手决赛中，由9名专业人士和9名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分：
小组A：85 86 92 87 89 95 82 91 85
小组B：95 93 51 88 90 89 91 92 94
(1)分别求两组评委打分的平均分．
(2)判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成，根据所学的统计知识，说明理由。
在中，角的对边为，已知，且， .
(1)求角的大小：
(2)求的周长.
18．记的内角、、所对的边分别是、、，直线与的边、交于、两点．
(1)已知，，记，，
①用、表示、；
②若，，则、有什么关系？用向量方法证明你的结论；
(2)记，用向量方法证明：．
19.如图，在平面四边形ABCD中，已知，，为等边三角形，记，.
(1)若，求的面积；
(2)证明：；
(3)若，求的面积的取值范围.

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