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作业16 图形的轴对称
1．如图，已知，C是内部的一点，且，点D、E分别是上的动点，若周长的最小值等于3，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，以为底边在外作等腰三角形，过点作的平分线，分别交于点．若，，，是直线上的一个动点，则周长的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．如图，在中，，，平分交于，于，交的延长线于，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤为定值，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，在中，，，，的平分线交于点E，且．将沿折叠使点C与点E恰好重合，①；②点E到AC的距离为8；③；④，以上结论正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
（多选题）
5．已知：如图，中，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过点E作，F为垂足．下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于，点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ．
7．如图，平分，为上的一点，的两边分别与，相交于点、．
(1)如图1，若，，过点作于点，作于点，请判断与的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若，，判断线段、、的数量关系，并说明理由．
8．若两角之差的绝对值为，则称这两个角是一组“奇妙角”．即若，则与是一组“奇妙角”（）．

(1)如图1，在长方形中，点在边上，点在边上，沿着将四边形对折，点落在点处，点落在点处，若，判断与是否是一组“奇妙角”，并说明理由；
(2)如图2，点为长方形的边上一点，点，点分别是射线，射线上一点，连接，沿着分别对折三角形和三角形，点落在点处，点落在点处．
①如图3，当点三点共线时，与是一组“奇妙角”，求的度数；
②当点，，三点不共线时，与是一组“奇妙角”，，且，求的度数．
9．如图，等腰三角形中，，平分．点E为上的动点，点M为上的动点，连接，将沿翻折．
(1)图1沿折叠，点A与点C重合，连接，若，①求证；②的度数为_________度；
(2)如图2，若点M和点B重合，连接，将沿折叠得到，且，设与相交于点F．求度数．
10．如图，在中，，将沿着斜边翻折，得到分别是射线和射线上的点，且．
【初步探索】
（1）如图1，点分别在线段和线段上，试探究线段之间的数量关系．
小明同学探究此问题的思路：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，即可得到之间的数量关系．请依照小明的思路，把过程补充完整．
【探索延伸】
（2）如图2，点分别在线段的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请探究线段之间新的数量关系，并说明理由．
【灵活运用】
（3）在Rt中，若，请直接写出的周长．
11．如图，在中，，将沿着斜边翻折，得到分别是射线和射线上的点，且．
【初步探索】
（1）如图1，点分别在线段和线段上，试探究线段之间的数量关系．
小明同学探究此问题的思路：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，即可得到之间的数量关系．请依照小明的思路，把过程补充完整．
【探索延伸】
（2）如图2，点分别在线段的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请探究线段之间新的数量关系，并说明理由．
【灵活运用】
（3）在Rt中，若，请直接写出的周长．
12．在中，，，点为的中点．
(1)若，两边分别交于两点．
①如图1，当点分别在边和上时，求证：；
②如图2，当点分别在和的延长线上时，连接，若，则______．
(2)如图3，若，两边分别交边于，交的延长线于，连接，若，，试求的长．
13．定义：如果有三个角，满足，则称是和的“减余角”．
(1)已知，，若是和的“减余角”，则 ．
(2)现有一张正方形纸片，如图所示，点为线段上一点（不与重合）．连结，将纸片沿着对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为．
①若是和的“减余角”，求的度数．
②再将此正方形纸片沿着所在直线对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为，如图所示．是否存在，，中的一个角是其它两个角的“减余角”？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由．
14．已知：如图1，在中，，，，是角平分线，与相交于点，，，垂足分别为，．
【思考说理】
（1）求证：．
【反思提升】
（2）爱思考的小强尝试将【问题背景】中的条件“”去掉，其他条件不变，观察发现（1）中结论（即）仍成立．你认为小强的发现正确吗？如果不正确请举例说明，如果正确请仅就图2给出证明．
15．如图，在中，的平分线交于点，且，点是边上一动点，连接，将沿翻折得．
(1)求的度数；
(2)当点与点重合时，请仅用圆规在图2中确定点的位置（保留作图痕迹），并证明；
(3)连接，当是等腰三角形时，求的度数．
16．【综合实践】——折纸中的数学

某兴趣小组在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过以下的折纸方式找符合要求的直线．如图，在一张正方形纸片的两边上分别有，两点，连接，是正方形纸片上一点，用折纸的方法过点作的平行线的基本步骤如下．
第一步：如图，过点进行第一次折叠，使点的对应点落在上，折痕与互相垂直，垂足为，打开纸张铺平．
第二步：如图，过点进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图）．
（）根据上述步骤可知，与的位置关系是__________．
【联系拓广】
（2）①如图，设直线与正方形上、下两边分别交于点，，试探究与的数量关系，并说明理由；
②若，求的度数．
【类别迁移】
（3）如图，在长方形纸片中，，将纸片沿折叠，使落在处，再将纸片沿折叠，使落在处，且点，，，在同一直线上，求证：．
17．学习理解：
（1）如图1，，，点D为的中点，则的取值范围为________；
活学活用：
（2）如图2，，，，点F为的中点．
求证：；
思维拓展：
（3）如图3，在中，，和的角平分线与相交于点F，连接，，，则________．
18．张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸：
①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平．
②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．
③可得到．老师请同学们讨论说明理由．
三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证．
(1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率．
(2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由．
19．【问题背景】
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形．
【问题解决】
（1）如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是________；
如图，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为________．
【方法应用】
（2）如图，在中，，，．求的面积．
【拓展迁移】
（3）如图，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积．
20．【尝试探究】如图1，已知在正方形中，点、分别在边、上运动．
(1)当点、分别为、中点时，求证：；
(2)当点、分别在边、上运动，时，探究、和的数量关系，加以说明；
(3)如图，当点、分别在射线、上运动，时，
①试问中的结论还成立吗？请加以说明；
②直接写出、和之间的数量关系；
【模型建立】如图3，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明；
【拓展应用】如图4，已知是边长为的等边三角形三边相等，三个内角均为，，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，求的周长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《暑假作业16 图形的轴对称压轴题专-【暑假分层作业】2025年七年级数学暑假培优练（北师大版2024）》参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查轴对称最短路径问题，涉及垂直平分线的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等，设点C关于的对称点为M，关于的对称点为N，当点D、E在上时，的周长为，此时周长最小，由可得为等边三角形，进而可得．
【详解】解：作点C关于的对称点为M，关于的对称点为N，连接，
由轴对称的性质可得，，
，
当点D、E在上时，等号成立，如图：
由轴对称的性质可得垂直平分线段，垂直平分线段，
，，，，
，，
为等边三角形，
，
．
故选D．
2．B
【分析】本题主要考查了最短距离问题、三线合一、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
根据点A与点C关于对称可得，当点P与点E重合时，，此时的周长最小，据此即可求得周长的最小值．
【详解】解：∵是以为底边的等腰三角形，平分，
∴垂直平分，
∴点A与点C关于对称，
∴，
如图所示，当点P与点E重合时，，
此时的周长最小，
∵，，，
∴周长的最小值为：，
故选：B．
3．D
【分析】过作于，作，交于，过作于，根据角平分线性质求出，，根据勾股定理求出，，根据等腰三角形的性质和判定求出，即可求出①；根据三角形外角性质求出，证，推出，即可求出②④；由得到，然后根据即可得到，进而可判断③；证得，得到，，即可求出⑤，即可求解．
【详解】解：如图，过作于，作，交于，过作于，
，平分，
，
，，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故②正确，④正确；
∵
∴
∵
∴
∴，故③错误，
，
，
，
平分，，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
即，故⑤正确．
正确的结论有4个．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的特，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
4．A
【分析】根据等腰三角形的性质可判断①；根据角平分线的性质可判断②；由折叠的性质及和角关系、三角形内角和可判断③；由，得，即可判断④．
【详解】解：∵，，，
∴；
故①正确；
如图，过点E作，垂足分别为F，H，
∵平分，
∴；
∵，，
∴平分，
∴,
即点E到AC的距离为8；
故②正确；
由折叠知，；
∵，
同理，，
∴
；
故③正确；
∵，
即，
∴，
∴；
故④正确；
综上，正确的有4个；
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质，折叠的性质，三角形内角和，高相等的两个三角形面积的比等于底边的比，掌握以上知识是解题的关键．
5．ACD
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，
根据角平分线定义得，进而可依据“边角边”判定和全等；由此可对选项A进行判断；过点E作交延长线于点G，先证和，再根据全等三角形的性质得，再证明和，然后根据全等三角形的性质得，则，由此可对选项B进行判断；根据得，根据得，再根据得，由此可对选项D进行判断；根据得，则，再根据和全等得，由此可对选项C进行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】解：∵为的角平分线，
∴，
在和中，
∴，
故选项A正确，符合题意；
过点E作交延长线于点G，如图所示：
∵E是的角平分线上的点，且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
故选项B不正确，不符合题意；
∵，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
即，
故选项D正确，符合题意；
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
故选项C正确，符合题意.
故选：ACD．
6．
【分析】本题主要考查了垂线段最短，等腰三角形的性质等，确定点的位置是解题的关键．
先根据对称性判断点的位置，再根据等腰三角形的性质得，进而根据三角形的面积求出，即可求出答案．
【详解】解：连接与的交点为，则此时点为使周长最小时的位置．
∵是的垂直平分线，
∴点与点关于对称，
．
∵点是底边上的中点，且是等腰三角形，，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴的周长．
故答案为：．
7．(1)，见解析
(2)，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据角平分线的性质可得，再根据，，可得，进一步可得，可证，根据全等三角形的性质即可证明；
（2）过点P作于点E，过点P作于点F，根据角平分线的性质可得，，可证，可得，再根据含角的直角三角形的性质可得，，进一步可证．
【详解】（1）解：，理由如下：
平分，，，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：理由如下：
过点作于点，过点作于点，如图所示．
平分，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
．
，平分，
，
，
，，
，
．
8．(1)是，理由见解析
(2)①或；②或
【分析】本题考查的是折叠的性质及角的和差计算、一元一次方程的应用，
（1）先求出，由折叠，则即可得出结论；
（2）①设，得出，根据定义得出或，列方程解决即可；
②设，得出，分两种情况：当与无重叠时，或当与有重叠时分别列方程解决．
【详解】（1）解： 与是一组“奇妙角”，理由如下：
，
，由折叠可知：，

与是一组“奇妙角”；
（2）解：①设，
由对折可得：，
，
，
与是一组“奇妙角”，
或，
或，
或，即或，
②设，
由对折可得：
与是一组“奇妙角”，且
，
当与无重叠时，如图：
，
，
，
，
，
当与有重叠时，如图：
，
，
，
，
综上所述，或．
9．(1)①证明见解析；②
(2)
【分析】（1）①证明，可得，可得，，结合三角形的内角和可得，可得；②由对折可得：，，可得，结合等腰三角形的性质可得．
（2）如图，连接，先证明是等边三角形，得出，再利用三角形的外角的性质得出即可；
【详解】（1）证明：①如图，
∵，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
②由对折可得：，，而，
∴，
∵，
∴．
（2）如图，连接，
∵，平分，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
由翻折的性质可知：，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴的度数为；
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质，内角和定理的应用等知识，掌握轴对称的性质是解本题的关键．
10．（1）见解析 （2）不成立，，理由见解析 （3）或
【分析】本题考查了翻折的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的周长公式等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）如图，延长至点，使得，连接，证明得，，证明即可得；
（2）如图，在上截取，连接，证明得，，证明即可得；
（3）分两种情况：如图，当点在线段上时；如图，当点在线段的延长线上时，求解即可．
【详解】解：（1）如图，延长至点，使得，连接，
将沿着斜边翻折，得到，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）（1）中的结论不成立，，理由：
如图，在上截取，连接，
将沿着斜边翻折，得到，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
在和中，
，
，
；
（3）分两种情况：
如图，当点在线段上时，
的周长；
如图，当点在线段的延长线上时，
的周长，
综上所述，的周长为或．
11．（1）见解析 （2）不成立，，理由见解析 （3）或
【分析】本题考查了翻折的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的周长公式等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）如图，延长至点，使得，连接，证明得，，证明即可得；
（2）如图，在上截取，连接，证明得，，证明即可得；
（3）分两种情况：如图，当点在线段上时；如图，当点在线段的延长线上时，求解即可．
【详解】解：（1）如图，延长至点，使得，连接，
将沿着斜边翻折，得到，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）（1）中的结论不成立，，理由：
如图，在上截取，连接，
将沿着斜边翻折，得到，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
在和中，
，
，
；
（3）分两种情况：
如图，当点在线段上时，
的周长；
如图，当点在线段的延长线上时，
的周长，
综上所述，的周长为或．
12．(1)①见解析；②18
(2)2
【分析】（1）①连接，证明即可；②连接，，得出，利用三角形面积公式进行计算即可；
（2）连接，过点作，交的延长线于点，证明，得出，，证明，得出，即可得出答案．
【详解】（1）证明：①如图，连接，
∵，，点为的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，连接，
∵，，点为的中点，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
（2）解：如图，连接，过点作，交的延长线于点，
∵，，点为的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，作出辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
13．(1)；
(2)；存在．当时，为和的“减余角”； 当时，为和的“减余角”．
【分析】（）根据“减余角”的定义即可求解；
（）根据“减余角”的定义即可求解；
存在．分三种情况根据“减余角”的定义解答即可求解；
本题考查了新定义角度的运算，折叠的性质，理解“减余角”的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：由折叠可得，，
设，则，
∵是和的“减余角”，
∴，
解得，
∴的度数为；
存在．
由折叠可得，，，
设，，则，
当为和的“减余角”时，
由题意可得，，
解得，
∴，
∴当时，为和的“减余角”；
当为和的“减余角”时，
由题意可得，，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴当时，为和的“减余角”；
当为和的“减余角”时，
由题意可得，，
故此种情况不存在；
综上，当时，为和的“减余角”； 当时，为和的“减余角”．
14．（1）证明见详解；（2）正确，证明见详解；
【分析】（1）由角平分线的性质、三角形内角和定理证即可求解；
（2）在AB上截取CP=CD，分别证、即可求证；
【详解】证明：（1）∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴点F是的内心，
∵，，
∴，
∵，，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
（2）如图，在AB上截取CP=CD，
在和中，
∵
∴
∴，∠CFD=∠CFP，
∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠CAD=∠BAD，∠ACE=∠BCE，
∵∠B=60°，
∴∠ACB+∠BAC=120°，
∴∠CAD+∠ACE=60°，
∴∠AFC=120°，
∵∠CFD=∠AFE=180°-∠AFC=60°，
∵∠CFD=∠CFP，
∴∠AFP=∠CFP=∠CFD=∠AFE=60°，
在和中，
∵
∴
∴FP=EF
∴FD=EF．
【点睛】本题主要考查三角形的全等证明及性质，角平分线的性质，掌握相关知识并正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
15．(1)
(2)作图见解析，证明见解析
(3)或或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，等边三角形的性质与判定；
（1）设，根据等边对等角，三角形内角和定理以及角平分线的定义，三角形外角的性质，用两种方式表示出，进而列出方程，解方程即可求解；
（2）根据题意以为圆心的长为半径作弧交于点，根据折叠得出，进而根据等角对等边得出，即可得证；
（3）分三种情况分别画出图形，根据折叠的性质以及等腰三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：设，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
解得：，即，
∴
（2）解：如图所示，以为圆心的长为半径作弧交于点，
∵折叠，
∴，
又∵平分，
∴在上，
∵，则
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
（3）解：∵折叠，
∴，
∵，
∴
当时，
∴
∴是等边三角形，
∴
∵
∴，即
∴；
∴
当时，如图所示，
∵，
∴垂直平分
∴，则
∵
∴，即
∴；
∴
当时，由（2）可得在上，
∴
综上所述，当是等腰三角形时， 的度数为或或．
16．（1）；（2）①，理由见解析；②；（3）见解析．
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的判定及性质是解题的关键，
（1）根据平行线的判定判断即可；
（2）①连接．由正方形可知，，进而得．由，得，从而可得．②如图，过点作，得．证，得，从而求得，即可得解；
（3）由，得．由折叠性质得，，从而，根据平行线的判定即可得证．
【详解】解：（1）．理由如下：
由折叠可得，，
∴，
∴，
∴；
（2）①．
理由如下：
如图，连接．

由正方形可知，，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
②如图，过点作，
∴．
∵纸片是正方形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．

（3）证明：∵，
∴．
∵纸片沿折叠，使落在处，再将纸片沿折叠，使落在处，
∴，，
∴，
∴．
17．（1）；（2）见解析；（3）13
【分析】（1）延长至点E，使，连接，证明，得出的取值范围为，从而得到；
（2）如图2，延长至点G，使，连接，证明，，通过三角形面积转化得到结论；
（3）先证明，如图3，在上截取，，连接，通过三角形全等和三角形面积转化，得出的面积．
【详解】解：（1）如图1，延长至点E，使，连接，
∵点D为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）证明：如图2，延长至点G，使，连接，
∵，
∴，
∴，
∵点F为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵分别平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图3，在上截取，，连接，
在和中，
，
∴，
同理可得：，
∴，，，，
过点N作于点P，过点E作于点Q，
则，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵
，
∴，
故答案为：13．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
18．(1)
(2)选择小彤的方法说明，理由见详解
【分析】（1）用表示三种解题方法，根据题意作出树状图，结合树状图即可获得答案；
（2）连接，由折叠的性质可得，，，，，由垂直平分线的性质可得，即可证明为等边三角形，得到，由矩形的性质可得，可求出，即可证明结论．
【详解】（1）解：用表示三种解题方法，根据题意，作出树状图如下，
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小峰选择同一种方法的结果有3种，
∴小明和小峰选择同一种方法的概率为；
（2）选择小彤的方法说明，理由如下：
连接，如下图，
由折叠的性质可得，，，，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了列举法求概率、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的性质等知识，解题关键是结合折叠的性质和垂直平分线的性质证明为等边三角形．
19．（1）；；（2）；（3）或
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握分类讨论的思想是解答本题的关键．
（1）根据，得到，结合，得到，，从而得到，即可得到，即可得到答案；
同理证明即可得到答案；
（2）作，交于点，证明即可得到答案；
（3）分，两种情况讨论，根据等腰直角三角形结合（1）的结论求解即可得到答案．
【详解】解：（1），，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
故答案为：；
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
故答案为：；
（2）在中，，，，如图，作，交于点，
，，，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图，作高线，过点作于，
，，，
，，
由（1）得：，
，
；
以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图，作高线，过点作于，
，，，
，，
由（1）得：，
，
；
综上所述，的面积为或．
20．【尝试探究】（1）见解析；（2），见解析；（3）①结论不成立，见解析；②，见解析；【模型建立】成立，见解析；【拓展应用】
【分析】[尝试探究]（1）根据正方形的性质得，利用证明，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）把绕点顺时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案；
（3）①把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案；
②根据全等三角形的性质即可得出、和之间的数量关系；
[模型建立]同理作辅助线，将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合，证明，同理可以得出；
[拓展应用]把绕点顺时针旋转至，可使与重合，证出，进而得到，即可得的周长．
【详解】[尝试探究]（1）证明：四边形是正方形，
，，
点、分别为、中点，
，，
，
，
；
（2）解：．
证明：如图，把绕点顺时针旋转至，可使与重合，
，
，点、、共线，
，，
，即．
在和中，
，
，
，
；
（3）解：①（2）中的结论不成立．
证明：如图所示．
，
把绕点逆时针旋转至，可使与重合，
，
点、、在一条直线上．
，，．
又，
．
，
．
．
在和中，
，
．
．
，
，
∴（2）中的结论不成立，、和的数量关系为；
②，
证明：如图所示．
由①知，，
∴，
∴，
∴；
[模型建立]
成立，如图，．
证明：将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合，
由旋转得：，，，
，
同理得：点，，在同一条直线上，
，
，
，
，
，，
，
，
，
∴（2）中的结论还成立，；
[拓展应用]
解：是边长为的等边三角形，
，，
，
，
，，
把绕点顺时针旋转至，可使与重合，
由旋转得：，，，
，
同理得：点，，在同一条直线上，
，
，
，
，
，，
，
，
，
的周长．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质等知识，解此题的关键是根据旋转的性质正确作出辅助线得出全等三角形．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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