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作业14 相交线与平行线压轴题专练
（24-25七年级下·重庆·期中）
1．如图，与交于点，点在直线上，，，．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
（24-25七年级上·四川眉山·期末）
2．已知直线，点在直线之间，连接．下面结论正确的个数为（ ）
①如图1，若，，则；
②如图2，点在之间，当，，则；
③如图2，点在之间，当，，则；
④如图3，的角平分线交于，且，点在直线之间，连接，，，，则和的关系为（用含的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）．
A．1 B．2 C．3 D．4
（24-25七年级上·山东枣庄·期末）
3．如图，在同一平面内，，，点E为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（填序号）
（24-25七年级上·四川成都·期末）
4．如图，射线在内部，射线在射线左侧，．
(1)当时，试比较与的大小，并说明理由；
(2)在（）的条件下，若，射线，分别平分与，求的度数；
(3)若，，都在内部，过点作射线，使，试探究与的数量关系．
（24-25七年级上·广东广州·期末）
5．以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即．
(1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则_____；
(2)如图2，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置，使在内部，求与的数量关系；
(3)直角三角板从边在射线上时，开始绕点顺时针以3度/秒的速度转动一周，同时射线绕点以1度/秒的速度先顺时针旋转到与射线重合，再绕点以相同速度逆时针旋转，随直角三角板的停止而停止．记旋转时间为秒，射线、形成的夹角（小于180度的角）为，射线、形成的夹角为，当时，求的值．
（24-25七年级上·广东珠海·期末）
6．【问题背景】
在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、），在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答：
【构造联系】
（1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________．
【深入探究】
（2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，；在中，，，．
①当平分时，求的度数．
②把绕着点转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数．
【拓展探索】
（3）爱动脑筋的小林改变和各个角的度数，其中，按如图4所示摆放并分别作的角平分线和的角平分线，把绕点旋转一周，请直接写出与、的数量关系．
（24-25七年级上·江西新余·期末）
7．如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为垂角，例如：，，，则和互为垂角（本题中所有角都是指大于且小于的角）．
(1)如图1，为直线上一点，，直接写出图中所有互为垂角的角；
(2)如果一个角的垂角等于其补角的，求这个角的度数；
(3)如图2，为直线上一点，，将整个图形绕点逆时针旋转，直线旋转到，旋转到，作射线，使，求：当为何值时，与互为垂角．
（24-25七年级上·吉林长春·期末）
8．点O为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．
(1)若射线平分，如图1，若，求的度数．
请把下列解题过程补充完整：
，（已知），
____________．
平分（已知），
____________（角平分线定义）．
（已知），
____________．
(2)在（1）的前提下，若，求的度数（用含的代数式表示）．
(3)如图2，反向延长，得到直线，若，平分，现将三角板以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒，当平分时，请直接写出t的值．
（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）
9．综合与实践
如图，O为直线上的一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．
(1)如图1，将三角板的一边与射线重合，此时______．
(2)如图2，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，使得是平分线，求的度数．
(3)如图3，将三角板持续绕点O逆时针旋转至内部，使得，求的度数．
（24-25七年级上·北京怀柔·期末）
10．已知：如图1，在直线上取一点O，以点O为端点作射线，，分别作平分，平分，令，．
(1)如图2，若与重合，其中，，则________；
(2)如图3，B，C为直线同侧的点，，是钝角，
①依题意，在图3中画出射线及的平分线；
②求的度数（用含α的式子表示）；
(3)当，都是锐角时，直接写出的角度（若不是确定角度则用含α，β的代数式表示）．
（24-25七年级上·湖南长沙·期末）
11．已知在同一平面内，，平分，平分．
(1)如图1，当射线和射线重合时，
①__________，②__________，③图1中的余角是__________；
(2)如图2，当射线在内部时，与互补，求的度数；
(3)已知射线和在的外部，若，请写出与的数量关系，并说明理由．
（24-25七年级上·北京房山·期末）
12．已知，从的顶点出发，在的内部作一条射线，若射线将分得的两个角中有一个角与相加和为，则称射线是的“角余分线”．
例如：如图，，射线在的内部，，，所以射线是的“角余分线”．
(1)若，射线在的内部，且，则射线________（填“是”或“不是”）的“角余分线”；
(2)若射线是的“角余分线”，且射线平分，则________；
(3)已知，射线在的内部，射线是的角平分线，射线是的“角余分线”，若射线是的“角余分线”，请直接写出的度数．
（24-25七年级上·北京海淀·期末）
13．设，，分别是、的角平分线，记．如果，互补，或者，互补，则称，是一对“分补角”．
(1)如图，，在内，．分别作，的角平分线，则______，，______一对“分补角”（填“是”或“不是”）；
(2)若，，且，是一对“分补角”，求的值；
(3)如图，．若和是一对“分补角”，直接写出的所有可能值．
（22-23七年级下·浙江湖州·期末）
14．已知：点在直线上，点都在直线上（点在点的左侧），连接，，平分，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点为线段上一动点，连接，且始终满足．
①当时，在直线上取点，连接，使得，求此时的度数；
②在点的运动过程中，与的度数之比是否为定值，若是，求出这个值；若不是，说明理由．
（23-24七年级上·山东济南·期末）
15．【阅读探究】
（1）如图1，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数．
解：过点作，
所以______，
因为，
所以，
所以______，
因为，
所以．
（2）从上面的推理过程中，我们发现平行线可将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系为________．
【方法应用】
（3）如图2，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数．
【应用拓展】
（4）如图3，分别是上的点，点在两平行线之间，作和的平分线，交于点（交点在两平行线之间），若，则的度数为________（用含的式子表示）．
（21-22七年级下·河北衡水·期末）
16．【发现】如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．
(1)当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC+∠ACE＝90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
(2)【探究】如图2，AB∥CD，M是AE上一点，∠AEC＝90°保持不变，移动顶点E，使CE平分∠MCD，∠BAE与∠MCD存在怎样的数量关系？并说明理由，
(3)【拓展】如图3，AB∥CD，P为线段AC上一定点，Q为直线CD上一动点，且点Q不与点C重合．直接写出∠CPQ+∠CQP与∠BAC的数量关系．
（24-25七年级上·福建泉州·期末）
17．已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，．
(1)如图1，若，直接写出的度数；
(2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；（结果可用含的式子表示）
(3)如图3，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数．
（24-25七年级下·福建福州·期中）
18．已知点均为定点，直线，点为射线上一个动点（点不与点A重合），连接．
(1)如图1，当点在线段上时，若，求的度数．
(2)点为直线下方的动点，连接，使得平分，
①如图2，当点在线段上时，连接，若平分，探究与之间的数量关系，并证明；
②如图3，当点在直线的下方运动时（点在射线上），射线平分，点在直线的下方，且满足射线，若，请直接写出的度数．
（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）
19．问题情境：如图1，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究．
(1)观察猜想：小明猜想，他过点作，如图2，请帮他完成证明过程．
(2)深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到，，之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明．
(3)问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，，，，，，，并连接，，，，，．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图4）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，，，则________°．
（23-24七年级上·四川宜宾·期末）
20．已知直线，在三角形纸板中，．
(1)将三角形按如图1放置，点和点分别在直线上，若，则__________；
(2)将三角形按图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，．试求之间的数量关系；
(3)在图2中，若，将三角形绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为秒．当三角形的一条直角边分别与平行时，求出相应的值（直接写出答案）．
（24-25七年级上·江苏连云港·期末）
21．【习题再现】（1）苏科版初中数学教材七上第194第10题：如图1，，点在，之间．写出，，之间的数量关系，并说明理由；
【迁移思考】（2）小明在完成第10题的探究后，对该页的第5题又作了探究与变式思考：
①如图2，在长方体盒底部有一面平面镜，点处有一个光源，光线的入射角等于反射角，法线与平面镜垂直，即，垂足为，入射光线经过镜面发射后，恰好经过点．小明认为，图中，请帮小明说明理由；
②如图3，在长方体盒子里放置4块平面镜，其中，若光线从上的处射出，在平面镜上经点反射后，到达上的点，其传播路径为请判断与的数量关系，并说明理由．
（24-25八年级上·河南郑州·期末）
22．综合与实践
学习完《平行线的证明》，我们积累了一定的研究经验，李凯和张芳将一副透明三角板中的两个直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起，其中，，．
(1)操作判断
若，则________；若，则________；
(2)性质探究
由（1）猜想与的数量关系，并证明你的猜想；
(3)拓展应用
当，且点在直线的上方时，这两个三角尺存在一组边互相平行，请直接写出所有可能的度数（不必说明理由）．
（24-25七年级上·福建泉州·期末）
23．已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，．
(1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数．
(3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数．
（22-23七年级下·广东深圳·期中）
24．【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题：
（1）如图1所示，已知，点E为，之间一点，连接，，得到．请猜想与，之间的数量关系，并证明；
（2）如图2所示，已知，点E为，之间一点，和的平分线相交于点F，若，求的度数；
【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点E的位置移到上方，点F在延长线上，且平分与的平分线相交于点G，请直接写出与之间的数量关系 ；
【变式挑战】小颖在本次探究的最后将条件去掉，提出了以下问题：
已知与不平行，如图4，点M在上，点N在上，连接，且同时平分和，请直接写出，，之间的数量关系 ．
（24-25七年级下·全国·期末）
25．如图，某段铁路两旁安置了，两盏可旋转探照灯．已知，，为上两点，连接， ，平分交于点，为上一点，连接．
(1)__________；
(2)如图，为上一点，连接．当，时，试说明：；
(3)探照灯，射出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线从出发以每秒 的速度逆时针转动，探照灯射出的光线从出发以每秒 的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相平行或垂直时，请直接写出此时的值．
（21-22七年级下·北京·期中）
26．如图，已知，E、F分别在、上，点G在、之间，连接、．
(1)当，平分，平分时：
①如图1，若，则的度数为 ；
②如图2，在的下方有一点Q，平分，平分，求的度数；
(2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系．
（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）
27．【问题情境】在数学课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动．
已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是与之间任意一点，连按、．直线，直线l分别交、于M、N两点．
【探索发现】（1）如图1，求证：；
【深入探究】（2）如图2，求证：；
【拓广探索】（3）如图3，平分，平分，过点F作的垂线交于点H，连接，，，求的度数．
（23-24六年级下·山东济南·期末）
28．如图，已知．
(1)感知与探究：
如图1，已知请求出的度数；
(2)问题迁移：
如图2，、分别是的角平分线，的反向延长线与相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由；
(3)联想拓展：
在（2）的条件下，若，则的度数是_____________．
（23-24七年级下·湖北武汉·期末）
29．已知分别在上．
(1)如图（1），求证：；
(2)如图（2），若F在之间，平分，若，求与的数量关系；
(3)如图（3），射线从开始，绕M点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕N点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于P，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间t秒的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《暑假作业14 相交线与平行线压轴题专练-【暑假分层作业】2025年七年级数学暑假培优练（北师大版2024）》参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，过点作，，分别表示出、，即可分析出答案．
【详解】解：
①正确；
过点作，，
，
，
设，，则，
，
②正确；
，
，
而
③错误；
，
∴④正确．
综上所述，正确答案为①②④．
故选：C．
2．D
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质．①过点P作，则，根据平行线的性质即可求解；②过点P作，过点Q作，则，，结合，即可得到结论；③过点P作，过点Q作，则，，结合，即可得到结论；④过点P作，则，可得，过点N作，可得，即，结合，，可得，进而可得结论．
【详解】解：①过点P作，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；①正确；
②点P作，过点Q作，则，，
∴，
∴，即，
同理：，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，②正确；
③过点P作，过点Q作，则，，
∴，
∴，即，
同理：，
∵，
∴，
∴，
∴，即，③正确；
④过点P作，则，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴
过点N作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，④正确．
综上，正确的有4个，
故选：D．
3．①②④
【分析】题考查了余角和补角、角度的计算、余角的性质以及角平分线的定义等知识，熟练掌握，准确识图，是解题的关键．
由，根据等角的余角相等得到，结合即可判断①正确；由，结合即可判断②正确；由，而不能判断，即可判断③不正确；由E、O、F三点共线得，而，从而可判断④正确．
【详解】解：∵，
∴，
而，
∴，
即，
∴①正确；
，
∴②正确；
，
而，
∴③不正确；
∵E、O、F三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴④正确．
∴正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
4．(1)，理由见解析；
(2)
(3)或
【分析】（）由已知可得，进而由余角性质得，即可判断求解；
（）由得，，进而由角平分线的定义得，，再根据角的和差关系即可求解；
（）由题意得， ，再分两种情况：①在左侧；②在右侧，分别画出图形解答即可求解；
本题考查了角的和差，角平分线的定义，余角性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵射线，分别平分与，
∴，，
∴；
（3）解：∵， ，
∴，
∴，
∴，
①如图，当在左侧时，
设，则，
∴，
∴， ，
∴；
②如图，当在右侧时，
设，则，
同理可得，，
∴；
综上，或 ．
5．(1)
(2)
(3)、或
【分析】本题考查几何图形中角度计算问题，与余角、补角有关的计算及一元一次方程的应用，分类讨论是解题关键．
（1）根据平角的定义，利用角的和差关系计算即可得答案；
（2）根据，，利用等量代换列式即可得答案；
（3）分当顺时针旋转时，当逆时针旋转，在上方时，当逆时针旋转，在下方时三种情况，分别用表示出和，根据列方程求解即可得答案．
【详解】（1）解：∵若直角三角板的一边放在射线上，，，
∴．
故答案为：
（2）解：如图所示，在内部，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，当顺时针旋转时，
∵的速度为3度/秒，的速度为1度/秒，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得：．
如图，当逆时针旋转，在上方时，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：．
如图，当逆时针旋转，在下方时，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：．
综上所述：、或.
6．（1）②③；④；（2）①；②；（3）或
【分析】（1）分别求出图1中各个图中、的关系，然后进行判断即可；
（2）①根据角平分线定义得出，然后再求出结果即可；
②根据角平分线定义得出，，根据，求出结果即可；
（3）分情况讨论：当在内部时，当在外部，且、在上方时，当在外部，且在上方，在下方时，当在外部，且在下方，在下方时，当在外部，且在下方，在上方时，分别画出图形，进行求解即可．
【详解】解：（1）图①中；
图②中；
图③中，
∴；
图④中；
∴与相等的摆法是②③；与互补的摆法是④；
（2）①∵平分，
∴，
∴；
②∵平分，
∴
，
∵平分，
∴
，
∴
；
（3）当在内部时，如图所示：
∵平分，
∴
，
∵平分，
∴
，
∴
，
即此时；
当在外部，且、在上方时，如图所示：
∵平分，
∴
，
∵平分，
∴
∴
，
即此时；
当在外部，且在上方，在下方时，如图所示：
∵平分，
∴
，
∵平分，
∴，
∴
，
即此时；
当在外部，且在下方，在下方时，如图所示：
∵平分，
∴，
∵平分，
∴
，
∴
，
即此时；
当在外部，且在下方，在上方时，如图所示：
∵平分，
∴
，
∵平分，
∴
，
∴
，
即此时；
综上分析可知：或．
【点睛】本题主要考查几何图形中角的计算，角平分线定义，三角板中角的计算，余角和补角的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线定义，注意进行分类讨论．
7．(1)与，与，与，与
(2)这个角的度数为或度
(3)时，与互为垂角
【分析】本题考查了角的相关定义（垂角，补角）以及角度计算，一元一次方程求解等知识点，解题的关键是准确理解垂角和补角的定义，并根据题目条件列出一元一次方程或等式来求解角度．
（1）根据垂角定义两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为垂角，即可求得；
（2）设这个角为度，其补角为度．因为不确定这个角与其垂角的大小关系，所以分两种情况讨论．当这个角小于它的垂角时，垂角为度，根据＂一个角的垂角等于其补角的＂，可列方程，求解得出．当这个角大于它的垂角时，垂角为度，列方程，求解得出；
（3）因为旋转情况不同，所以分两种情况．当时，用含的式子分别表示出和，再根据垂角定义列出方程求解．当时，同样表示出和，根据垂角定义列方程求解．
【详解】（1）互为垂角的角有4对：与，与，与，与；
（2）设这个角的度数为度，则其补角是度，
①当时，它的垂角是度，依题意有，
，
解得；
②当时，它的垂角是度，依题意有，
，
解得；
故这个角的度数为或度．
（3）当时和重合，不符合题意．故分两种情况：
①当时，，，
，
，
，
，
解得：或195
，
；
②当时，，
，，，
，
解得或115，
，
或115舍去．
综上所述，时，与互为垂角．
8．(1)（或），，，，，
(2)
(3)或
【分析】（1）由邻补角互补可得，由角平分线的定义可得，由和互余可得，由此即可求出的度数；
（2）按照（1）的推导方法进行推导即可：由邻补角互补可得，由角平分线的定义可得，由和互余可得，由此即可求出的度数；
（3）由角平分线的定义可得，当平分时，分两种情况讨论：①平分；②平分；分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：将解题过程补充完整如下：
，（已知），
，
平分（已知），
（角平分线定义），
（已知），
，
故答案为：（或），，，，，；
（2）解：，，
，
平分，
，
，
；
（3）解：，平分，
，
当平分时，分两种情况讨论：
①平分，
此时，，
由题意可得：，
解得：；
②平分，
此时，，
，
由题意可得：，
解得：；
综上，当平分时，或．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用（几何问题），几何图形中角度计算问题，角平分线的有关计算，求一个角的余角，利用邻补角互补求角度等知识点，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．
9．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据即得；
（2）由角平分线得，根据即得；
（3）根据，，得，根据得，由即得
【详解】（1）解：；
故答案为：；
（2）解：∵是的角平分线，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角的计算．熟练掌握平角性质，直角性质，角平分线定义，余角定义，补角定义，角的和差倍分关系，是解题的关键．
10．(1)
(2)见解析
(3)或或180°或
【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．熟练掌握角平分线定义，得出角之间的关系是解决问题的关键．
（1）根据图根据题意得到，则问题可解；
（2）①根据题意画图即可；
②由题意得到，进而得到，再由角平分线得到，根据图形表示即可；
（3）分当，在直线同侧时和，在直线异侧且不同的大小关系，分别计算即可．
【详解】（1）解：由题意，，，
∵平分，平分，
∴，
∴，
故答案为：
（2）①由题意，画图如下，
②∵，平分，
∴，
∴,
∵,平分，
∴,
∴
（3）如图，当，在直线同侧时，
由题意，，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴
当，在直线异侧，且时，如图，
同理可求，∴，
∴
；
当，在直线异侧，且时，如图，
同理可求，∴，
∴
；
当，在直线异侧，且时，共线，，为对顶角的角平分线，则
综上，的角度为或或或
11．(1)60，90，60
(2)
(3)或或或，理由见解析
【分析】本题考查了角平分线的计算，补角和余角的概念，利用分类讨论的思想是解题的关键．
（1）根据角平分线的概念和余角的概念，即可解答；
（2）根据角平分线的概念和补角的概念，即可解答；
（3）分为射线在内部和射线在内部两种情况，分类讨论即可解答．
【详解】（1）解：，，平分，平分，
，，
，的余角是，
故答案为：60，90，60；
（2）解：、分别平分、且、，
，，
与互补，即：，
，
，
，
，
，即.
（3）解：由（2）知：，
如图，，，则
，
射线在内部或内部
,
在与内部
a）射线在内部
i）如图①射线在内部，且射线在内部：
ii）如图②射线在内部，且射线在内部：
b）射线在内部
i）如图③射线在内部：
ii）如图④射线在内部，且射线在内部：
，
，
综上，可得或或或．
12．(1)是
(2)
(3)或或
【分析】本题考查了角平分线的定义，余角等，理解“分余线”的概念是解题的关键．
（1）根据“角余分线”的定义，即可求解；
（2）射线平分，设，则，根据“角余分线”的定义，得出，进而即可求解；
（3）设，则，根据射线是的“角余分线”，得出或，根据射线是的“角余分线”得出或，进而分别表示出，进而列出方程，解方程，并结合图形检验即可求解．
【详解】（1）解：∵，射线在的内部，且，
∴
∴
∴射线是的“角余分线”；
故答案为：是．
（2）解：∵射线平分，设
∴
又∵射线是的“角余分线”，
∴
∴
∴
故答案为：．
（3）解：∵射线是的角平分线，
∴，
设，
则
∵射线是的“角余分线”，
∴或
∴，即①；或即②；
∵射线是的角余分线，
∴或
∴③或，即④
当，时（即①③成立），如图所示
∴
解得：
∴；
当，时（即①④成立），如图所示，
∴
解得：
∴；
当，时（即②③成立），如图所示
∴
解得：
∴；
当，时（即②④成立），如图所示
∴
解得：
∴；
∵，
∴，则在的外部，不是的角余分线，不合题意，舍去
综上所述，或或
13．(1)，不是
(2)
(3)或或或
【分析】（）利用角平分线的定义可求出，再分别求出与即可判断，是否是“分补角”；
（）由题意可知不可能在内部，再画出图形，根据角平分线和“分补角”的定义解答即可求解；
（）分在内部和外部两种情况，分别画出图形，根据角平分线和“分补角”的定义解答即可求解；
本题考查了角平分线的定义，补角的定义，角的和差，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，不是一对“分补角”，
故答案为：，不是；
（2）解：∵，、是一对“分补角”，
∴不可能在内部，
如图，∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，是一对“分补角”，
∴，
即，
解得；
（3）解：当在内部时，如图，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
当时，，
∴；
当时，；
当在外部时，
①当为钝角时，如图，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②当为锐角时，如图，
设，则，
∴，，
∴，
∵，
∴；
综上，的可能值为或或或．
14．(1)见解析
(2)①或；②是定值，
【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据“内错角相等，两直线平行”可得结论；
（2）①由垂直的定义可知，即可得，设，则可表示和的度数，然后利用三角形的内角和解题即可解题；②设，则可求出的值，然后表示的度数解题即可．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：①如下图，当点可以在点的右侧，
∵，
∴，
又∵，
∴，
设，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
即，
解得，
∴；
当点可以在点的左侧，
同理，可得，
综上，的度数为或；
②，理由如下：
如图，设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线、平行线的判定与性质、三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
15．
（1），
（2）
（3）
（4）
【分析】本题考查平行公理的应用，涉及平行线的判定与性质，角平分线的性质，是重要考点，正确作出辅助线是解题关键．
（1）根据题干的推理信息可得答案；
（2）过点作，由平行线的性质得到，，继而证明；
（3）过点作，则，由平行线的性质得到，结合等式的性质解答即可；
（4）由角平分线的性质解得，，过点作，接着由平行线的性质得到，，再根据，整理解答即可．
【详解】解：（1）过点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
（2）过点作，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）过点作，如图2所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即
∵，，
∴．
（4）∵、分别是和的平分线，
∴，，
过点作，如图3所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∴．
16．(1)AB∥CD；AB∥CD；AB∥CD，理由见解析
(2)∠BAE+∠MCD＝90°，理由见解析
(3)∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°
【分析】（1）由角平分线的定义得∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，则∠BAC+∠ACD＝180°，可得结论AB∥CD；
（2）过点E作EF∥AB，利用平行线的性质可得答案；
（3）利用平行线的性质和三角形内角和定理可得答案．
【详解】（1）解：当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝∠ACE＝45°，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案为：AB∥CD；
当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝50°，∠ACE＝40°
∴∠BAC＝100°，∠ACD＝80°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案为：AB∥CD；
当∠EAC+∠ACE＝90°，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∠BAE+∠MCD＝90°，理由如下：
过点E作EF∥AB，如图所示，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，
∵∠AEC＝90°，
∴∠AEF+∠FEC＝∠BAE+∠ECD＝90°，
∵CE平分∠MCD，
∴∠ECD＝∠MCD，
∴∠BAE+∠MCD＝90°；
（3）解：分两种情况分类讨论，
第一种情况如图，当点Q在射线CD上运动时，∠BAC＝∠PQC+∠QPC，
理由：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴EP∥AB∥CD，
∴∠BAC＝∠EPC，∠PQC＝∠EPQ，
∵∠EPC＝∠EPQ+∠QPC
∴∠BAC＝∠PQC+∠QPC；
第二种情况如图，当点Q在射线CD的反向延长线上运动时（点C除外）∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
理由：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠PCQ，
∵∠PQC+∠QPC +∠PCQ＝180°，
∴∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
综上，∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键需要根据题意作出相关的辅助线，运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的位置关系，根据平行线的性质从而判断角之间的大小关系，同时注意运用分类讨论的思想方法．
17．(1)
(2)
(3)的度数为或
【分析】本题考查平行线的判定和性质，过拐点构造平行线是解题的关键：
（1）过点作，得到，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可；
（2）过点作，则：，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可；
（3）过点作，得到，利用平行线的性质结合角的和差和数量关系，分2种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
∵，
∴；
（2）过点作，
∵，
∴，
∴，
由（1）知：，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∵是的三等分线，分两种情况：
①当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，又由（1）知：，
∴，
∴，
∴；
②当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
综上：或．
18．(1)
(2)①，证明见解析；②或
【分析】（1）过点P作，则，两次利用两直线平行，内错角相等即可求解；
（2）①过点P作，过点M作，设，，可得，，然后根据角的和差关系即可求证；
②当点P在线段上时，过点P作，而，则，通过平行线的性质即可建立方程进行求解；当点P在线段延长线上时，过点P作，设，通过平行线的性质和角平分线的意义可建立方程进行求解．
【详解】（1）解：过点P作．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①，证明如下：
设，，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
过点P作，过点M作，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点P在线段上时，过点P作，而，则，
设，设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得；
当点P在线段延长线上时，
过点P作，则，设，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
综上：的度数为或．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确添加辅助线是解决本题的关键．
19．(1)见解析
(2)，见解析
(3)127
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键．
（1）如图2：过点作，易得，根据平行线的性质最后根据线段的和差以及等量代换即可证明结论；
（2）如图2：过点作，易得，根据平行线的性质，再根据线段的和差以及等量代换即可证明结论；
（3）如图3：过点C作，则，进而得到，再由（1）的结论解答即可．
【详解】（1）证明：如图2：过点作，
∵，
∴，
∴
∴．
（2）证明：如图2：过点作，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
（3）解：如图3：过点C作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴由（1）的结论可知，
故答案为：127．
20．(1)
(2)
(3)或或或
【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，过“拐点”构造平行线是解题关键．
（1）过F点作，根据、即可求解；
（2）过F点作，根据、即可求解；
（3）根据题意画出满足条件的几何图，分四种情况讨论，求出旋转的角度即可求解．
【详解】（1）解：过F点作，如图所示：
∵，，
∴，
∴，，
∴；
故答案为：；
（2）解：过F点作，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：；
（3）解：∵，，
∴，
时，如图所示：
此时：，
旋转角度，
∴；
时，如图所示：
此时：旋转角度，
∴；
时，如图所示：
此时：，
旋转角度，
∴；
时，如图所示：
此时：，
旋转角度为：，
∴；
综上所述：的值为：或或或．
21．（1），理由见解析
（2）①理由见解析；②，理由见解析
【分析】此题主要考查了平行的性质，垂线的概念．
（1）过点E作，则，由平分线的性质得，，则，据此即可得出，，之间的数量关系；
（2）①根据得，则，再根据光线的入射角等于反射角得，据此即可得出结论；
②由①的结论得，，则，再由（1）的结论得，，由此即可得出与的数量关系．
【详解】解：（1），，之间的数量关系是：，理由如下：
过点E作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）①理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵光线的入射角等于反射角，
∴，
∴；
②与的数量关系是：，理由如下：
由①的结论得：，，
∴，
∵，
由（1）的结论得：，，
∴．
22．(1)，
(2)，证明见解析
(3)，，，，
【分析】本题考查了叠放三角板中的角的计算．熟练掌握三角板性质，余角补角定义和性质，旋转性质，平行线性质，是解题的关键．
（1）先根据直角三角板的性质求出，进而可得、的度数；
（2）根据（1）中的结论可提出猜想，再由，论证即可；
（3）分当时，当时，当时，当时，当时，可得，，，及，画出图形进行解答即可．
【详解】（1）解： ∵，
∴，
若，
则；
若，
则．
故答案为：，．
（2）解：．理由：
∵，
∴．
（3）解：如图1：当时，，
∵，
∴；
如图2：当时，；
如图3：当时，，
∴；
如图4：当时，，
∴；
如图5所示：当时，
过点C作，
则，
∴，
∴，
∴．
综上，，，，及．
23．(1)，理由见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、对顶角相等、角平分线等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
（1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差、等量代换即可得；
（2）过点作，先根据（1）的结论可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质、平行公理推论可得，由此即可得；
（3）过点作，先参考（1）的方法可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，，然后根据代入计算即可得．
【详解】（1）解：，理由如下：
如图1，过点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：如图2，过点作，
由（1）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图3，过点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
，
∴，
由对顶角相等得：，
由（2）可知，
，
所以的度数为．
24．（1），证明见解析
（2）
类比迁移：
变式挑战：
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义．
（1）过E点作，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可；
（2）如图2，作，，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论；
类比迁移：如图3，过E作，过G作，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论；
变式挑战：延长，，交于点P，过M作射线，过E作，过P作，过N作，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】问题提出：
（1）猜想：，
证明：过E点作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）如图2，作，，
∵，
∴，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∵和的平分线相交于F，
∴，，
∴，
∴；
类比迁移：
．理由如下：
如图3，过E作，过G作，
∵，
∴，
∴，，，
∵平分与的平分线相交于点G，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：；
变式挑战：
，理由如下：
如图4，延长，，交于点P，
过M作射线，过E作，过P作，过N作，
∴，，，
∴，
同理得，
∴，
∵同时平分和，
∴，，
∴，
即．
故答案为：．
25．(1)；
(2)证明见解析；
(3)或或或或．
【分析】（）利用平行线的性质和角平分线的性质解答即可；
（）由可得，再利用平行线的性质可得，即可求证；
（）分五种情况画图，列出关于的式子即可解答即可求解；
本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的性质，一元一次方程的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，当时，则，如图，
∵，
∴，
∴，
由题意得，，，
∴，
∴；
当时，则，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
若转射线后回旋，
当时，则，如图，

∵，
．
，
．
．
当时，则，如图，
由题意得，， ，
∴，
∴
∴；
当时，，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上，的值为或或或或．
26．(1)①；②
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）①如图，分别过点G、P作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；②如图，过点Q作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；
（2）如图，过点O作，则，设，可得，进而说明，根据平行线的性质求得，进而根据，得到．
【详解】（1）解：①如图，分别过点G、P作，
，
，
∴
，
，
同理可得: ，
∵，
∴，
∵平分平分；
，
∴．
故答案为：．
②如图，过点Q作，
∵平分平分，
，，
设，
∵，，
，
∵，
，
，
，
，
由（1）可知，
∴．
（2）解：如图，在的上方有一点O，若平分，线段的延长线平分，
设H为线段的延长线上一点，则，，
设，,，
如图，过点O作，则，
，，
，
，
由（1）可知：，
∵，
∴，即，
∴，
∵，，
∴．
27．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，角平分线定义，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线的性质．
（1）根据平行线的性质得出，，然后证明结论即可；
（2）延长交于点 P，过点P作交于点 Q，根据平行线的性质得出，，证明，根据平行线的性质得出，即可证明结论；
（3）设，得出， 根据角平分线定义得出，过点作 ， 根据平行线的性质得出 ，过点作，根据平行线的性质得出，，求出，根据，求出结果即可．
【详解】（1）证明：直线，
，
∵，
，
∴；
（2）证明：延长交于点 P，过点P作交于点 Q，
，，
，
直线，
∴，
；
（3）解：设，
，
平分，
，
，
，
，
，
过点作，
，
，
平分，
，
过点作，
，
∵，，
∴，
∴，
，
，
∴．
28．(1)
(2)，
(3)
【分析】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质，熟记有关平行线的各种模型是解题关键
（1）过点C作，根据平行线的性质易得，以此即可求解．
（2）过点F作，过点C作，由平行线的性质得，由角平分线的性质得，，于是，再由角平分线的性质得，以此可得，结合①②即可得．
（3）利用（2）中的结论求解即可．
【详解】（1）如图，过点C作，
则，
∴，
∴，
∴．
（2）．理由如下：
如图，过点F作，过点C作，
则，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由①②可得，即．
（3）由（2）知，，
∵，
∴．
故答案为：．
29．(1)详见解析
(2)
(3)或10或14
【分析】（1）过E作，由平行线的性质可得出，，可得，即．
（2）设，则，设，则，由(1)可知，，可列出，将和，代入化简可得；
（3）将直线的点M平移与直线的N点重合，根据运动的角度差为，结合题意将角度转化为角度差，结合题意分别列出对应的角度和差关系求解即可；
【详解】（1）解：如图，过E作，
∴，①
又，
∴，
∴．②
①②得，，
∴．
（2）解：如图，
设，则，设，则，
由(1)可知
同理可得
又，
∴，
则，
由，得，
由，得,
将，代入，得．
（3）解：将直线的点M平移与直线的N点重合，如图，
根据题意得，，，则，
∵直线与直线相交所夹的锐角为，
∴，
∴，解得，
根据题意得，，
∵直线与直线相交所夹的锐角为，
∴，
∴，即，解得，
根据题意得，，
∵直线与直线相交所夹的锐角为，
∴，
∴，即，解得，
故满足题意得或10或14．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分的性质、角度和差倍积的关系以及运动的思想，解题的关键是利用已知的结论和使用动态的思想求解．
答案第1页，共2页
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