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作业08 认识三角形
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型一：三角形内角和的证明】
1．“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与三角形内角和为矛盾
②因此假设不成立，∴
③假设在中，
④由，得，即
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
3．阅读下列材料，回答问题
我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于，我们是通过度量或剪拼得出这一结论的．但是，这种“验证”不是“数学证明”；所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于．
探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．如图两种方法．
小明同学受到图1的启发，证明了三角形的内角和等于
证明过程如下：已知：如图3，．求证：
证明：如图3，过点A作
_________（_________________）
同理
（______________）
(1)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等，请你补全小明同学证明过程中所缺的内容；
(2)由图2启发，可以得到证明三角形的内角和等于的另一种证法，请你完成．
4．李老师在讲授“认识三角形”一课时，为验证“三角形内角和等于”这一定理，剪了一个三角形纸片，如图1，将∠1撕下，按图2方式进行摆放，然后学生经过分析得到了该定理．
学习过尺规作图之后，小华同学想要借助无刻度的直尺和圆规作图代替撕纸，来证明“三角形内角和等于”这一定理，过程如下：
已知： 如图，．
求证：．
证明：如图3，以为边，在其右侧用尺规作．
延长至点 E．
∵（ 已作）
∴ （ ）
∴ （ ）
又∵______（平角的定义）
∴（等量代换）
请你帮他完成作图（只保留作图痕迹，不写作法），并完善证明过程．
5．追本溯源
我们知道，三角形三个内角的和等于，利用该定理我们可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
推论证明
（1）已知：如图1，是的一个外角．
求证：．
知识应用
（2）如图2，在中，，点在边上，交于点．若，求的度数．
【题型二：直角三角形的内角】
6．如题图，，于点E，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，直线，线段和线段垂直于点Q，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．直角三角形中，，是斜边上的高，，请求出图中所有锐角的值，并找出其中所有相等的锐角。
9．如图，其中图1是瑞瑞在跑步机上健身，其示意图如图2所示．折线是固定支架，且，显示屏，，则 度．
10．在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的倍多，则较小锐角的度数为 ．
【题型三：与平行线有关的三角形内角和问题】
11．如图，中，分别是上的点，满足．
(1)，是否平行？说明理由．
(2)若平分，，求度数．
12．已知：如图，平分，平分交于点，交于点．
(1)请说明的理由；
(2)若，求的度数；
(3)若，求证：．
13．如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的度数．
14．在直角三角形中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，过点作平行，过点作交于点．下列结论：①平分；②；③；④．正确结论的序号有 ．
【题型四：三角形中角的折叠问题】
15．如图，将三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
16．如图，在中，，，，分别在，上，将沿折叠得到，且，则的度数为 ．
17．如图，在中，，，点在边上，将沿着翻折，点落在点处，若恰好与的一条边平行，若，则的度数为 °．（结果用含的代数式表示）
18．如图，将沿着翻折，若，求的度数．
19．把三角形纸片沿折叠．
(1)如图①，当点A落在四边形内部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论．
(2)如图②，当点A落在四边形外部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论．
【题型五：三角形的角平分线的性质应用】
20．如图，，则是的（ ）
A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是
21．在中，，是的高，是的角平分线，则 ．
22．如图，在中，，，为的外角，与的平分线交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
23．如图，在中，，垂足为D，点E在的延长线上，，垂足为F，与相交于点G，．求证：平分．
24．如图，与相交于点E， ，．
(1)若，求的度数；
(2)取线段的中点F，连结．若，．求证：平分．
【题型六：三角形的高的性质的应用】
25．用三角板画点到所在直线的垂线段，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
26．若一个三角形三条高所在直线的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
27．已知中，为边上的高，若，，，则的面积为 .
28．如图，已知，分别是中，边上的高，，，，则的长是 ．
29．如图，已知，根据下列要求画出图形并回答问题：
(1)作边上的高；
(2)过点画的垂线，垂足为；
(3)过点画的平行线，交于点；
(4)点到直线的距离是线段___________的长度．
【题型七：三角形中线的性质与应用】
30．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
31．如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
32．如图，在中，点D是的中点，连接，点E在上，且，于点F．若，，则的面积为（ ）
A．50 B．55 C．60 D．65
33．如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为16，则 ．
【题型八：三角形三边关系的应用】
34．已知三角形的三边长分别为，，，则不可能是（ ）
A．2 B．5 C．7 D．8
35．已知三角形的两边长满足，那么第三边的长不可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
36．一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4，则它的底边为（ ）
A．4 B．8 C．4或8 D．8或6
37．已知的三边长分别为．
(1)化简：；
(2)若，第三边的长为奇数，判断的形状．
38．若代数式的值与无关，且等腰三角形的两边长为、．
(1)求、的值；
(2)求该等腰三角形的周长．
39．如图，将长为的铁丝折成三段，已知第一段长为，第二段长为．若这三条线段恰好能围成一个三角形，则的值可以是（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
40．在中，，点，分别是，边两个动点．将沿折叠得到，点的对应点为点，的平分线交直线于点．若边与的一条边平行，，则的度数为 ．
41．如图，点分别在三角形的边上，且，．将三角形沿翻折，使得点落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则 ．
42．如图，在中，，点D，P分别在边，上，且，，，垂足分别为点E．F．若，，则的值 ．

43．如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点．
(1)若，，则______，______；
(2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由；
(3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______．
44．如图1，在中，三个内角的平分线交于点O，过点O作，交边于点D．
(1)①若，则_____；
②与之间的等量关系是_____．
(2)如图2，作外角的平分线交的延长线于点F．
①求证：；
②若，将绕点O顺时针旋转一定角度后得，所在直线与平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度α的值．
45．已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且．
(1)求的度数；
(2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒．
①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值；
②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的的值．
46．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如：，有，则是的“系数补角”．
【概念理解】
（1）若，的“系数补角”是　　　；的“系数补角”是　　　；
在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点，请解答下面（2）（3）题；
【初步认识】
（2）如图1，点是直线内一点，连接，，若是的“系数补角”，求的大小；
【问题解决】
（3）如图2，连接,若点为直线右边平面内一动点（点不在直线上），与两个角的平分线交于点，若，是的“系数补角”，请直接写出的度数（用含和的代数式表示）．
47．如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是( )
A．甲 B．乙 C．甲或乙 D．甲或乙均不可以
48．在中，，M，N分别是AC，BC边上的动点，将沿折叠得到，若与的边平行，则的度数为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
49．如图所示，一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
50．如图，，，，是上一点．若，，甲、乙两位同学分别给出了下面的结论，下列判断正确的是（ ）
甲：；
乙：．
A．只有甲的正确 B．只有乙的正确
C．两人的都正确 D．两人的都不正确
51．如图，，，分别是的边，，的中点，连接，，交于点，的面积为6，设的面积为，的面积为，则 ．
52．【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“幸福角”，其中一个角叫做另一个角的“幸福角”．
例如：，，，则和互为“幸福角”，即是的“幸福角”，也是的“幸福角”．
(1)已知和互为“幸福角”，且，若和互补，则_______；
(2)如图1所示，在中，，过点C作的平行线，的平分线分别交、于D、E两点．
①若，且和互为“幸福角”，则________；
②如图2所示，过点C作的垂线，垂足为F，相交于点N．若与互为“幸福角”，求的度数．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《暑假作业08 认识三角形（8大巩固提升题型+能力培优练+创新题型练）-【暑假分层作业】2025年七年级数学暑假培优练（北师大版2024）》参考答案：
1．B
【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决即可．
【详解】解：A．由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意
B．由于D，则，无法证得“三角形内角和是”，符合题意．
C．由，得，．由，得，，所以．由，得：，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意
D．由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意．
故选B．
2．D
【分析】本题考查反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．据此进行判断即可．也考查了等边对等角．
【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：
③假设在中，，
④由，得，即，
①∴，这与三角形内角和为矛盾，
②因此假设不成立，∴，
∴这四个步骤正确的顺序应是③④①②．
故选：D．
3．(1)；两直线平行，内错角相等；等量代换
(2)见解析
【分析】此题考查了三角形内角和定理的证明，熟练掌握平行线的性质，正确地作出辅助线，把三角形的三个内角转化一个平角是解决问题的关键．
（1）根据两直线平行，内错角相等得，，再根据平角定义得，然后根据等量代换可得出三角形内角和等于；
（2）过点作，延长到，根据平行线的性质得，，再根据平角的定义得，进而可得出三角形内角和等于．
【详解】（1）证明：已知：如图3，．
求证：．
证明：如图3，过点A作，
，
（两直线平行，内错角相等），
同理，
，
（等量代换）．
故答案为：；两直线平行，内错角相等；等量代换．
（2）证明：如图，过点作，延长到，
∴，，
∵，
∴．
4．作图见解析，；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角的证明，解题的关键是掌握平行线的判定定理和性质．
根据尺规作图—做一个角等于已知角的方法和步骤进行作图即可；根据内错角相等，两直线平行得出，进而得出，最后根据平角的定义得出，即可得出结论．
【详解】证明：如图3，以为边，在其右侧用尺规作．
延长至点 E．
∵（ 已作），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
又∵（平角的定义），
∴（等量代换），
故答案为：；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；．
5．（1）见解析（2）
【分析】本题考查三角形内角和定理、外角的性质、平行线的性质；
（1）利用三角形内角和为180度，平角为180度，等量代换即可证明；
（2）根据平行线的性质可得，再利用三角形外角的性质先求出，．
【详解】（1）证明：如图1中，∵，，
∴．
（2）如图2中，∵，
∴；
∵，
∴，
6．B
【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的两个锐角互余，根据两直线平行，内错角相等，则，运用直角三角形的两个锐角互余进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵于点E，
∴，
故选：B
7．A
【分析】本题考查的是平行线的性质，先根据线段和线段垂直于点Q得出，再由可得出的度数，由即可得出结论．
【详解】解：∵线段和线段垂直于点Q，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
8．；相等的锐角有：
【分析】本题主要考查直角三角形两锐角互余，直接根据直角三角形两锐角互余进行解答即可．
【详解】解：在中，，
∴，
∵，
∴；
在中，∵，即，
∴，
∵，
∴；
在中，∵，即，
∴，
∵，
∴；
∴相等的锐角有：．
9．155
【分析】本题主要查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余，平行线的性质是解题的关键．
延长交于点N，根据直角三角形两锐角互余可得，从而得到，再根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解∶如图，延长交于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：155
10．##15度
【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，关键步骤是正确设定变量并准确列方程，最终求出较小的锐角度数．本题设定未知数，根据直角三角形两锐角互余的性质，建立方程求解较小的锐角度数．
【详解】解：设较小的锐角为，则较大的锐角为，
根据直角三角形两锐角之和为，得：
，
解得：，
所以较小锐角的度数为．
故答案为：．
11．(1)平行
(2)
【分析】本题考查了三角形的内角和，平行线的判定等知识点．
（1）由三角形内角和为，结合已知可得，由同位角相等两直线平行即可得出结论；
（2）根据角平分线定义可得，结合可得．
【详解】（1）结论：平行，
∵，
，
∴，
∴．
（2）∵平分，
∴，
∵，
∴．
12．(1)见解析；
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理的运用，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义得到，等量代换得到，由内错角相等，两直线平行即可求解；
（2）根据角平分线的定义得到，由三角形内角和定理即可求解；
（3）根据两直线平行，同旁内角互补得到，结合角平分线的定义得到，，由此即可求解．
【详解】（1）解：平分，
．
，
，
：
（2）解：平分，，
，
，
；
（3）证明：由得，
，
平分平分，
，
，
．
13．(1)平行，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
（1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得；
（2）先求出，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，
由（1）已证：，
∴，
∵，
∴．
14．②③④
【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义及等角的余角相等．根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可判断③正确；由平行线的性质及角平分线的定义即可判断②正确；根据等角的余角相等即可判断④正确；根据已知条件无法判断①，所以错误，综上所述即可得出答案．
【详解】解：在直角三角形中，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴③正确；
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴②正确；
∵的度数不确定，
∴根据已知条件无法证明平分，
∴①不正确；
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵平分，
∴
∴，
即，
∴④正确；
综上，正确的结论为②③④，
故答案为：②③④．
15．A
【分析】本题考查利用翻折变换的性质和三角形内角和定理．
通过分析翻折后形成的角与原三角形内角的关系，计算出的度数．
【详解】由题知：
，
，
，
，
故选：A．
16．##74度
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，根据三角形内角和可以求出的度数，由折叠性质得出，，再根据平行线性质得到，然后通过平角定义可得，最后由平行线的性质得出，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
由折叠性质可知，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
17．或
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．分两种情况：当时，当时，分别画出图形，根据平行线的性质和折叠的性质，求出结果即可．
【详解】解：当时，如图所示：
根据折叠可知：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，如图所示：
根据折叠可知：，，
∵，
∴，
∴；
综上分析可知：或．
故答案为：或．
18．
【分析】本题考查与折叠有关的三角形的内角和定理，根据折叠的性质，平角的定义和三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】解：∵折叠，
∴，
∴；
19．(1)，证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键．
（1）根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
【详解】（1）解：，理由如下：
如图，
根据翻折以及平角的意义可得，，，
，
，
整理得，；
（2）解：，理由如下：
如图：
根据翻折以及平角的意义可得，，，
，
，
整理得，．
20．B
【分析】该题考查了三角形的角平分线，根据题意得出，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴是的角平分线．
故选：B．
21．##15度
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义．根据已知条件用表示出和，利用三角形的内角和求出，再求出，然后根据直角三角形两锐角互余求出，最后根据角平分线的定义求出即可．
【详解】解：∵，
设，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∵是的高，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴．
故答案为：．
22．A
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，由可得，即得，再根据角平分线的定义得，进而根据三角形的内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵与的平分线交于点，
∴，
∴，
故选：．
23．见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的判定，平行线的判定和性质，由垂直的定义得出，即可得出，由平行线的性质得出， ，再结合已知条件可得出，即可的证.
【详解】证明，（已知），
（垂直定义）．
（同位角相等，两直线平行）．
（两直线平行，同位角相等），（两直线平行，内错角相等）．
又（已知），
（等量代换），
即平分
24．(1)
(2)见解析
【分析】（1）由，得，根据两直线平行内错角相等，即可求解；
（2）由得，由，得，进而得，根据，，可得平分．
本题考查平行线的性质和判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即平分．
25．A
【分析】本题考查了画过一点画已知直线的垂线；画图时，三角板的直角一边与边重合，点A在直角的另一边上；按此画图步骤判断即可．
【详解】解：根据画垂线段的步骤知，选项A符合题意；
故选：A．
26．钝角
【分析】本题主要考查了三角形垂心，熟知锐角三角形，直角三角形，钝角三角形垂心所在的位置是解答本题的关键．
根据锐角三角形三条高交于三角形内部，直角三角形三条高交于直角顶点，钝角三角形三条高所在直线交于三角形外部进行求解即可．
【详解】解：若一个三角形三条高所在直线的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形，
故答案为：钝角．
27．28或8
【分析】本题考查了与三角形高有关的计算，属于基础题；分两种情况考虑：分高在三角形内与三角形外，根据题意求得，则由三角形面积公式计算即可．
【详解】解：当高在三角形内时，如图，
∵，，
∴，
∴；
当高在三角形外时，如图，
则，
∴；
综上，的面积为28或8．
故答案为：28或8．
28．
【分析】本题主要考查了与三角形高的有关计算，根据等面积法可得出，进而可求出．
【详解】解：∵
∴
∴，
故答案为：
29．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)
【分析】本题主要考查了画平行线，画垂线，画三角形的高，点到直线的距离等等，熟知相关知识是解题的关键．
（1）过点C作交延长线于D，则即为所求；
（2）根据垂线的画法画图即可；
（3）根据平行线的画法画图即可；
（4）可证明，再根据点到直线的距离的定义求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，过点C作交延长线于D，则即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，即为所求；
（4）解：∵，
∴，
∴点到直线的距离是线段的长度．
30．C
【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高线、中线、角平分线的定义，逐项分析即可即可判断．
【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线，
∴，，．
结合选项可知，A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意；
故选：C．
31．A
【分析】本题考查了三角形中线的有关计算，掌握三角形中线的定义是关键．
根据三角形的中线，周长的计算得到，，根据的周长为，的周长为，得到与的周长之差为，由此即可求解．
【详解】解：的周长为，
∴，
∵是边上的中线，
∴，则，
∴，
∵的周长为，的周长为，
∴，
∴与的周长之差为，
故选：A ．
32．C
【分析】本题考查三角形的面积及三角形的中线和高，掌握三角形面积计算公式、“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键．连接，利用三角形面积公式求出的面积，再根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”求出的面积即可．
【详解】解：如图，连接．
∵点D是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点D是的中点，
∴．
故选：C．
33．4
【分析】本题考查的是三角形的面积，熟知三角形底边的中线把三角形的面积分为相等的两部分是解答此题的关键．
根据点、、分别是、、的中点，得到，，，继而得到，，再根据三角形底边的中线把三角形的面积分为相等的两部分即可得出结论．
【详解】解：根据点、、分别是、、的中点，得到，，，
∴，
∴，
故答案为：4．
34．A
【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此求出第三边长的取值范围，即可得到答案．
【详解】∵三角形三边的长度分别为，，，
∴，
∴，
∴第三边长不可能是2．
故选：A．
35．A
【分析】本题考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，解题的关键是掌握三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．本题根据三角形的三边关系可得不等式，计算后即可判断．
【详解】解：，
，，
第三边长满足：，
得，
第三边不可能为，
故选：A．
36．A
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分两种情况讨论：若腰长为4时，若底边长为4时，分别求出对应的底边长和腰长，再利用三角形的三边关系检验即可．
【详解】解：一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4，
分两种情况讨论：
若腰长为4时，则底边长为，
此时，不能构成三角形，不符合题意；
若底边长为4时，则腰长为，
此时，能构成三角形，符合题意；
即它的底边为4，
故选：A．
37．(1)
(2)是等腰三角形
【分析】本题主要考查整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类，熟练掌握整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类是解题的关键；
（1）根据三角形的三边关系可得，然后可去绝对值，进而问题可求解；
（2）根据三角形的三边关系可得，则有，然后问题可求解．
【详解】（1）解：∵的三边长分别为，
∴，
∴
；
（2）解：∵，
∴根据三角形三边关系可得，
∵第三边的长为奇数，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
38．(1)
(2)7或8
【分析】本题考查了多项式乘以多项式的法则，解二元一次方程组，等腰三角形的定义，正确求得m、n是解答的关键．
（1）化简这个多项式，因为代数式的值与y无关，所以含y的项的系数等于0，列出方程组求出、的值；
（2）根据、，分两种情况求出该等腰三角形的周长．
【详解】（1）解：
，
∵代数式的值与无关，
∴，
解得：；
（2）解：当3是等腰三角形的腰时，三边为3，3，2，此时周长；
当2是等腰三角形的腰时，三边为2，2，3，周长．
∴该等腰三角形的周长为7或8．
39．B
【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握知识点是解题的关键．
逐项求出第三段长，再根据三角形的三边关系判断，即可解答．
【详解】解：A．当时，第三段长为，由，得
3，4，7不能组成三角形，故该选项错误；
B． 当时，第三段长为，由，得
4，4，6能组成三角形，故该选项正确；
C． 当时，第三段长为，由，得
3，4，7不能组成三角形，故该选项错误；
D． 当时，第三段长为，由，得
2，4，8不能组成三角形，故该选项错误；
故选B．
40．或或
【分析】本题考查了角平分线的有关计算、三角形内角和定理及平行线的性质．分三种情况，分别作出三种情况下相应图形，并结合平行线的性质求出即可．
【详解】解：∵，，
∴，
①如下图：
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴；
②如下图：
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴；
③如下图：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
故答案为：或或．
41．
【分析】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理的应用，设，再结合轴对称的性质与平行线的性质表示，，再结合三角形的内角和定理与平行线的性质可得答案．
【详解】解：设，
∵将沿翻折， 使得点B落在 处，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵沿翻折，使得点C 落在处．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
42．6
【分析】本题主要考查了三角形的面积．根据三角形面积公式得出，再根据，得出，即可得出．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
故答案为：6．
43．(1)115，25
(2)不会发生变化，理由见解析
(3)或或或
【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（3）设，则，再由不变，即可分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，分别列出关于的等式，解出即可．
【详解】（1）解：，，
．
平分，
．
，
，．
平分，
．
；
，
．
平分，平分，
，．
，
，即，
．
故答案为：115，25；
（2）解：不会发生变化，理由如下：
，
．
，
，．
平分，平分，
，．
．
，
，
，
．
当的度数发生变化时，、的度数不发生变化；
（3）解：设，
．
，
，，
平分，平分，
，，
．
．
平分，平分，
，，
，
，
中存在一个内角等于另一个内角的三倍，
①当时，，
解得：
②当时，，
解得：
③当时，，
解得：
④当时，，
解得：
综上可知，或或或．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．熟练运用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
44．(1)①110；②
(2)①见解析；②所有符合条件的旋转角度α的值是或
【分析】（1）①根据三角形内角和定理可得，再结合角平分线的定义可得，即可求解；②根据角平分线的定义可得，再由三角形内角和定理求解即可；
（2）①根据角平分线的定义可得，从而得到，再由，可得，即可求证；②由①得：，再结合，可得，，然后根据角平分线的定义可得，再由，可得，从而得到，再由旋转的性质可得，然后分两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：①在中，，
∴，
∵三个内角的平分线交于点O，
∴，
∴，
∴；
故答案为：110；
②在中，，
∵三个内角的平分线交于点O，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
（2）解：①∵，，
∵平分，平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
②由①得：，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将绕点O顺时针旋转一定角度后得，
∴，
如图，
∵，
∴，
∴，
即此时的旋转角为；
如图，
∵，
∴，
∴；
综上所述，所有符合条件的旋转角度的值为或．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，旋转变换等知识，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
45．(1)
(2)①或；②，，，
【分析】（1）根据题意可得，由平行线的性质可得，再结合角平分线的定义，角的和差关系，可得的度数．
（2）①根据题意分成在内部时，在外部时两种情况分别讨论，结合角平分线的定义，一元一次方程即可求解．
②当时，分成两种情况和当时，分成两种情况，共四种情况分别讨论，结合平行线的性质，邻补角，一元一次方程的应用，三角形内角和即可求解．
【详解】（1）解：∵，，三角板中含，
∴，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
．
（2）解：①若在内部时，则，
又∵，是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
；
若在外部时，则，
又∵，是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
，
综上，或．
②当时，第一种情况：延长交于点，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
解得：；
第二种情况：延长交于点，
∵，，，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴当时，或；
当时，第一种情况：延长交于点，
∵，，，，
∴，，
∵，
∴，
解得：；
第二种情况：延长交于点，
∵，，，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴当时，或；
∴当边与三角板的一条直角边平行时，的值为，，，．
【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角，角平分线的定义，一元一次方程的应用，三角形内角和的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
46．（1）;（2）（3）或或
【分析】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、平行线的性质等知识.
（1）根据“系数补角”的定义计算即可；
（2）求出，过点作，根据平行线的性质计算即可；
（3）分三种情况：当点在直线内部时，当点在直线下方时，当点在直线上方时；分别求解即可．
【详解】解：（1），
的“系数补角”；
的“系数补角”；
故答案为：；
（2）根据题意得，
，
如图，过点作，
，
，
，，
，
（3）如图，当点在直线内部时，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
，
是的“系数补角”，
，即，
；
如图，当点在直线下方时，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
是的“系数补角”，
，即，
；
如图，当点在直线上方时，
同理可得，
，
是的“系数补角”，
，即，
；
综上所述，的度数为或或．
47．B
【分析】本题主要考查三角形三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．通过分别假设剪开甲、乙小棒，分析所得到的线段长度与另一根小棒长度之间是否满足三边关系来确定正确答案．
【详解】解：假设剪开乙小棒，设乙小棒长度为，剪成两段长度分别为、，甲小棒长度为．
∵乙小棒的长度大于甲小棒，即
∴
∴剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形；
假设剪开甲小棒，
∵乙小棒的长度大于甲小棒，
∴同理可得，甲小棒减成的两根小棒的和小于乙小棒，故围不成三角形，不符合题意．
综上所述，剪开的小棒是乙．
故选：B．
48．B
【分析】本题考查了翻折的性质，三角形内角和定理，平行线的性质；分类讨论：①当时， ②当时；能根据与的不同的边平行进行分类讨论是解题的关键.
【详解】如图1中，①当

由折叠得，
②当时，如图2
，
由折叠得，
∴的度数为或；
故选：B．
49．C
【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理得到，求出，再根据平行线的性质得到结论即可．
【详解】解：如图，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，
，
，
摩擦力的方向与斜面平行，
，
．
故选：C．
50．A
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理．解题的关键是利用已知条件求出相关角的度数，并依据角的关系判断直线是否平行．
先根据与的数量关系及度数求出，再由得出判断甲的结论；然后在中用内角和定理求，进而得，通过比较与判断乙的结论．
【详解】∵，，
∴ ．
∵，
∴ ，所以甲的结论正确．
在中，已知，，
∴ ．
， ， ，
所以与不平行，乙的结论错误．
综上，只有甲的正确，
故选：A．
51．2
【分析】本题考查了三角形中线的性质，解题的关键是利用三角形中线性质找出各部分三角形面积之间的关系．
利用三角形中线平分面积性质，得出 ．根据中点及等底等高三角形面积相等，得到， ．分别表示出， ，将二者相加构建关于的等式并求解．
【详解】∵，分别是的边，的中点，的面积为6，
∴，．
∵是中点，是中点，的面积为，的面积为，
∴，
∴
．
∴，即，
解得．
故答案为：2．
52．(1)
(2)① ；②或
【分析】（1）根据题意得①，②，加减消元法求解即可；
（2）①设，求得，根据三角形内角和定理求得，根据和互为“幸福角”，再列式计算即可求解；
②设，利用平行线的性质和三角形的外角性质分别求得，，，再根据与互为“幸福角”，分两种情况列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵和互为“幸福角”，且，
∴①，
∵和互补，
∴②，
得，，
∴，
故答案为：；
（2）解：①设，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵和互为“幸福角”，且，
∴，即，
∴，
解得；
②设，同理，，
则，
∵，，
∴，
，
∵与互为“幸福角”，
分两种情况，
当，
∴，
解得，
∴；
当，
∴，
解得，
∴；
综上，的度数为或．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，一元一次方程的应用．熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
答案第1页，共2页
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