资源简介

完成时间： 月 日 天气：
作业10 轴对称图形和等腰三角形的性质
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型一：对称轴数量的判定】
1．下列轴对称图形中，有两条对称轴的是（ ）．
A． B． C． D．
2．蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成，则正六边形的对称轴有（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
3．下列图形都是轴对称图形，其中恰有2条对称轴的图形是（ ）
A． B．
C． D．
4．在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中是轴对称图形并且对称轴条数最多的是（　　）
A．等角螺旋线 B．心形线
C．四叶玫瑰线 D．蝴蝶曲线
【题型二：轴对称图形的识别】
5．下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．2025年4月24日，我国神舟二十号载人飞船成功升空．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．中华人民共和国第十五届运动会将于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举办，广州市将承办开幕式．本次竞体比赛设34个大项401个小项，下列给出的运动图片是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
8．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，这是的正方形网格，选择一空白小正方形，其与阴影部分组成的图形是轴对称图形的情况有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
10．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【题型三：成轴对称图形的判定与性质】
11．观察下列4组图形，其中，关于直线l成轴对称的是（ ）．
A． B． C． D．
12．如图，和关于直线m对称，则下列结论：①直线m是线段的垂直平分线；②直线m被线段垂直平分；③.其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
13．如图，与关于直线对称，交于点O，下列结论：①；②；③；④中，错误的有（ ）
A．4个 B．1个 C．0个 D．2个
14．如图是一个风筝设计图，其主体部分关于所在的直线对称（四边形，），与相交于点，，且，则下列推断不正确的是（ ）

A． B．
C． D．是等边三角形
15．仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图案．
．
16．如图，直线是四边形的对称轴，点是直线上的点．下列结论：①；②；③；④，其中说法错误的是 ．
17．下列各图中的两个三角形成轴对称吗？如果成轴对称，请画出对称轴；如果不成轴对称，请说明理由．
18．如图，和关于直线m对称．
(1)结合图形指出对应点；
(2)连接，直线m与线段有什么关系？
(3)延长线段与，它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律？请叙述出来．
19．如图，正方形网格中，每个小网格的边长是1．
(1)画出格点关于直线l对称的；
(2)与的位置关系是_______________；与的数量关系是_______________．
【题型四：折叠问题】
20．如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下扔掉，剩下的图形展开后可得到（ ）
A． B．
C． D．
21．如图，根据下列图形折叠后的情况，可以判定是的角平分线的是（ ）
A． B．
C． D．
22．如图1，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在点H、G的位置，与交于点M，如图2，再将沿折叠，点H落在点N的位置．若，则 ．
23．如图，将长方形纸片沿向上折叠，使点B落在边上的点F处．若的周长为，的周长为，则长方形纸片的周长是 cm．
24．如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则
25．如图，在长方形中，，点E、F分别在上，将长方形沿折叠，使点C、D分别落在长方形外部的点处，则整个阴影部分图形的周长为 ．
26．如图，中，，，点D为边上一点，将沿折叠，点B恰好落在边的中点处，求的周长．
【题型五：等边对等角的应用】
27．如图，，点是上一点，，，则 ．
28．如图，在中，，D是边上的中点，，求和的度数．
29．如图，已知，，点D在的延长线上．
(1)请用尺规作图法，求作射线，使．（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)当时，证明射线平分．
30．如图，在四边形中，，点是线段上一点，连结．已知．求证：．
31．如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点D，分别以A，D为圆心，适当长度为半径作弧，两弧相交于点E，连接，作射线，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
32．如图，点在中边的延长线上，过点做，且，连接、．与相交于点，且．
(1)试说明：；
(2)若，，求的度数．
33．已知：在中，过A点作直线，过点作于点，过点作于点
(1)直线与线段的无交点时，如图1，线段之间的数量关系为________；
(2)直线与线段有交点（点除外），其余条件不变时，请你在备用图中画出图形，猜想线段之间的数量关系，并证明你的纯论．
【题型六：三线合一性质的应用】
34．如图，在中，于点，点，是上的两点，若，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B．6 C． D．15
35．如图，在等腰中，的度数是（ ）
A． B． C． D．
36．如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
37．如图，在中，，，于点E，若，且的周长为8，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
38．如图，四边形中，，，在线段上，且，，．求证：．
39．如图，在中，，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若在某一时刻能使与全等．则点的运动速度为（ ）
A． B． C．或 D．或
40．如图，在中，，，，，．点是边上一点，连接，将沿对折，点落在点处，与交于点．当时， （用含的代数式表示）．此时若的面积是2，则重叠部分的面积为 ．
41．如图，中，，D、E是边上的点，把沿对折得到，再把沿对折得到，若恰好落在上，且此时，则 ．
42．【动手操作】在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点P画直线的平行线的方法，折纸过程如下：①②③④．
【问题初探】
（1）通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是________；如图④，________，则与的位置关系为平行．
【问题二探】
（2）张华在（1）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，射灯P发出的射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，射灯Q发出的射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转．两灯不停旋转交叉照射，射灯P、射灯Q转动的速度分别是秒、秒，若射线转动20秒后，射线开始转动，在射线第一次到达之前．当射灯Q转动t秒时，射线转动到如图⑤的位置．
①________（用含t的式子表示）；
②记射线与射线的交点为点O，在图⑥中画出时的图形，并求出此时的大小；
【问题三探】
（3）在（2）的条件下，在射线第一次到达之前，射灯Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由．

43．已知，求作：的平分线，甲、乙、丙三位同学的方案如图所示，则正确的方案是（ ）
甲 ①利用直尺和三角板画； ②在上截取； ③作射线，即为所求． 乙 ①利用圆规截取，； ②连接，，相交于点； ③作射线，即为所求． 丙 ①在上取点，利用圆规截取； ②过，作； ③作射线，即为所求．
A．只有甲、乙正确 B．只有甲、丙正确
C．只有乙、丙正确 D．甲、乙、丙都正确
44．囍，是中国传统吉祥图案，婚礼中，剪出大红双喜字贴于洞房中堂，指婚姻中男女双方共同迎接喜庆的一天．如图囍的剪法图解③中，已经折过2次后的红纸左右宽，如果在最上层处扎一个小孔，则在取开展平的囍中会出现另外三个小孔，则点距离左侧边缘为（即），则 ．
45．如图，直线，点A在直线上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于B、C两点，以点C为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接，其中交于点E．若；则①；②；③；④；⑤沿折叠，与重合．其中正确的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
46．如图，有一长方形纸带，分别是边上一点，，将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2．
(1)当时，则______，______；
(2)两次折叠后，求的大小（用含的代数式表示）；
(3)当和的度数之和为时，求的值．
47．定点P在纸片内的位置如图所示：
【平行可折】按图1所示方法折叠，可以得到折痕与三角形底边平行．
①过点P折叠纸片，使得点B落在上的处，展平纸片，得到折痕． ②过点P再次折叠纸片，使得点N落在射线上． ③展平纸片，得到折痕．
（1）说明．
【平行可作】
（2）在图2中用直尺和圆规过点P作直线l，使（保留作图的痕迹，不写作法）
48．如图，在长方形中，，，点P以的速度从点A出发，沿运动，同时点Q以的速度从点A出发，沿运动，当P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为．
(1)当点P在运动的过程中，用含t的代数式表示和的长；
(2)①用含t的代数式表示的面积；
②当是以为底的等腰三角形时，求t的值及此时的面积；
(3)在整个运动过程中（点P与点B、C重合时除外），当点P到长方形的相邻两边的距离相等时，直接写出t的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《暑假作业10 轴对称图形和等腰三角形的性质（6大巩固提升题型+能力培优练+创新题型练）-【暑假分层作业】2025年七年级数学暑假培优练（北师大版2024）》参考答案：
1．A
【分析】此题主要考查了确定轴对称图形的对称轴，关键是掌握轴对称图形的概念．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、图形有两条对称轴，故此选项符合题意；
B、图形有一条对称轴，故此选项不符合题意；
C、图形有一条对称轴，故此选项不符合题意；
D、图形有六条对称轴，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．C
【分析】本题主要考查了轴对称图形的对称轴条数问题，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可．
【详解】解：如图，正六边形的对称轴有6条．
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了轴对称图形的对称轴，掌握轴对称图形定义，确定对称轴是关键．
轴对称图形是在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此确定对称轴即可求解．
【详解】解：A、，有3条对称轴，不符合题意；
B、，有4条对称轴，不符合题意；
C、，有2条对称轴，符合题意；
D、，有6条对称轴，不符合题意；
故选：C ．
4．C
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．根据轴对称图形的概念，对选项逐个判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，
B、是轴对称图形，有1条对称轴；
C、是轴对称图形，有4条对称轴；
D、是轴对称图形，有1条对称轴；
∴其中是轴对称图形并且对称轴条数最多的是C选项
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了轴对称图形：图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，根据轴对称图形的定义逐项进行判断即可．
【详解】解：A、选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意；
B、选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意；
C、 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意；
D、选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
6．B
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题关键是熟练掌握如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫对称轴．
根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意；
故选D．
8．C
【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
9．D
【分析】本题主要考查了轴对称图形的变换，正确把握轴对称图形的性质是解答本题的关键．
在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义求解即可．
【详解】如图所示，有四种情况使之成为轴对称图形∶
①②③④
故选：D．
10．D
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．据此即可求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
11．C
【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形，即可判断，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
【详解】解：、不关于直线l成轴对称，不符合题意；
、不关于直线l成轴对称，不符合题意；
、关于直线l成轴对称，符合题意；
、不关于直线l成轴对称，不符合题意；
故选：C．
12．C
【分析】本题主要考查轴对称的性质．根据轴对称的定义和性质解答：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）；轴对称图形的对应线段、对应角相等．
【详解】解：∵与关于直线l对称，
∴，所以，故③说法正确；
∴直线m是线段的垂直平分线，故①说法正确；
∴直线m也是线段的垂直平分线，不会被线段垂直平分，故②说法错误；
故选：C．
13．C
【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键．根据轴对称图形的性质可得，，垂直平分和，则结论①和④正确；再根据线段垂直平分线的性质、平行线的判定可得结论②和③正确．
【详解】解：∵与关于直线对称，交于点O，
∴根据轴对称图形的性质可得，，，垂直平分和，所以结论①和④正确；
∴，，所以结论②和③正确；
综上所述，错误的结论有0个，所以选项C正确，符合题意，
故选：C．
14．D
【分析】本题考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．由对称可得：，，，，进而得到是等腰三角形，即可判断．
【详解】解：其主体部分关于所在的直线对称（四边形，），
，，，，
是等腰三角形，
故A、B、C正确；D不正确；
故选：D．
15．
【分析】本题主要考查了轴对称图形，规律探索，根据给出的图形得出一般规律，是解题的关键．根据图形得出这六个图形是字母各自组成的轴对称图形，并且按照上下对称，左右对称循环出现，得出答案即可．
【详解】解：由题意得这六个图形是字母各自组成的轴对称图形，并且按照上下对称，左右对称循环出现，
∴第3个图形的图案为：
故答案为：．
16．②
【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，全等三角形的性质与判定，由轴对称的性质即可得①④正确，再证明可得③正确，由现有条件无法证明②，据此可得答案．
【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，点是直线上的点，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
根据现有条件无法证明，
∴正确的有①③④，错误的有②，
故答案为：②．
17．见解析
【分析】本题考查了成轴对称图形的识别，根据成轴对称图形的定义逐个分析即可，一个图形沿着一条直线对折后与另一个图形能够互相重合，那么这两个图形就叫做成轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：②③④均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的图形能够完全重合，所以不是成轴对称图形，
①能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的图形能够完全重合，所以是成轴对称图形．
如图，
18．(1)对应点：点A和点，点B和点，点C和点
(2)线段被直线m垂直平分
(3)线段与的延长线的交点在直线m上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上；规律：若两线段关于一条直线对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点一定在这条直线上
【分析】本题考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．
（1）根据轴对称的性质即可得出答案；
（2）根据轴对称的性质即可得出答案；
（3）根据轴对称的性质即可得出答案；
【详解】（1）解：对称点有和，和，和；
（2）解：根据对称的性质可得，线段被直线m垂直平分；
（3）解：线段与的延长线的交点在直线m上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上；
故可得规律：若两线段关于一条直线对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点一定在这条直线上
19．(1)见解析
(2)；
【分析】本题考查了轴对称作图，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质，画图即可；
（2）根据成轴对称的性质以及全等三角形的判定和性质，进行作答即可．
【详解】（1）解：即为所求；
（2）解：由图得：；
连接，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；．
20．D
【分析】本题考查图形的折叠，根据折叠的性质，逆推即可得出结果，判断即可．
【详解】解：由操作方式可知，剩下的图形展开后可得到：
故选D．
21．B
【分析】本题考查了三角形的角平分线和翻折的性质，解题的关键在于观察图形，根据是的角平分线，可推出是 的角平分线，再根据翻折可知道 与 是对称点，即可求出答案．
【详解】解：由图形可知，若是的角平分线，根据折叠关系可得 ，选项中符合这一条件只有B．
故选：B．
22．
【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质，由平行线的性质可得，，由折叠的性质可得，，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：，
∴，，
∴，
由折叠的性质可得：，，
∴，
∴，
故答案为：．
23．32
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
根据图形折叠的性质可知，，再由的周长，的周长，然后等量代换和即可得出结论．
【详解】解：∵由折叠而成，
∴，
∴，，
∵的周长为，的周长为，
∴，，
∴矩形的周长
．
故答案为：32．
24．
【分析】本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质．先根据翻折性质得出，再得到角的等量关系，求解．
【详解】解：沿翻折到的位置，
．
将沿翻折到的位置，
，
．
，
．
故答案为：．
25．
【分析】本题主要考查了折叠的性质，由折叠的性质可得，再由周长计算公式，以及线段的和差关系，可得阴影部分的周长，即可解题．
【详解】解：由折叠的性质可得，又，
∴阴影部分的周长
，
故答案为：．
26．14
【分析】本题主要考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形的周长公式计算即可得．
【详解】解：由折叠的性质得：，，
∵点为边的中点，
∴，
∵，
∴的周长为．
27．
【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，根据等边对等角，得到，平行线的性质，得到，进而得到，利用平角的定义进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
28．，
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，直角三角形的特征；由等腰三角形的性质，，由三角形内角和及直角三角形的特征，即可求解；能熟练利用等腰三角形的性质，三角形内角和，直角三角形的特征进行求解是解题的关键．
【详解】解：，D是边上的中点，
，，
，
；
故：，．
29．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图—复杂作图、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
（1）结合平行线的判定与性质，在的右侧作，则射线即为所求．
（2）由题意得，则可得．由平行线的性质可得，则，可知射线平分．
【详解】（1）解：如图，在的右侧作，
则射线即为所求．
（2）证明：，
，
，
．
，
，
，
射线平分．
30．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，先根据平行线性质得出，然后根据证明，得出，最后根据等边对等角即可得证．
【详解】证明：
（两直线平行，内错角相等）
在和中
，
．
31．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线作图、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．
（1）由作图可知，，平分，则，由，，即可得到结论；
（2）证明，，得到，则，即可得到答案．
【详解】（1）证明：由作图可知，，平分，
∴
∵，，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
32．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，证明是解答本题的关键．
（1）由平行线的性质得，，进而得出，然后根据可证；
（2）先求出，由得，进而可求出．
【详解】（1）∵，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
33．(1)
(2)或，见解析
【分析】（1）由于点E，于点D，得，因为，所以，而，即可根据“AAS”证明，得，，则，于是得到问题的答案；
（2）由于点E，于点D，得，而，可证明，因为，所以，则，，当，；当，．
此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，证明是解题的关键．
【详解】（1）解：∵于点E，于点D，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
（2）或，
证明：∵于点E，于点D，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
如图2，直线与线段有交点，且，
∵，且，
∴；
如图3，直线与线段有交点，且，
∵，且，
∴，
综上所述，或．
34．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键．
先利用等腰三角形的三线合一性质可得是的垂直平分线，从而可得，然后利用证明，从而可得图中阴影部分的面积的面积，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴的面积的面积，
∵，，
∴的面积，
∴图中阴影部分的面积的面积，
故选：C．
35．D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质成为解题的关键．
直接根据等腰三角形三线合一的性质求解即可．
【详解】解：∵在等腰中，，
∴．
故选D．
36．D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形中“三线合一”是解题关键．由三线合一知，由等腰三角形两底角相等即可求解．
【详解】解：∵，是的中点，，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
37．B
【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
根据已知可得，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质进行计算即可解答．
【详解】
解：∵，且的周长为8，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故选：B．
38．证明见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，在上截取，在上截取，证明，得出，，证明，由全等三角形的性质得出，进而即可得出结论，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】证明：在上截取，在上截取，
在和中，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
39．D
【分析】本题主要考查了等边对等角，全等三角形的性质，设点P、Q的运动时间为，分别表示出，再根据全等三角形对应边相等，分和两种情况讨论求解即可．
【详解】解：，点D为的中点，
，，
设点P、Q的运动时间为，
，
，
当时．则有：，，
，
解得：，
，
故点Q的运动速度为：；
当时，则，，
，
，
．
故点Q的运动速度为．
所以，点的运动速度为或，
故选：D．
40．
【分析】根据折叠得出，，根据平行线的性质得出，最后求出即可；延长交于点Q，证明，根据三角形面积求出，，证明，得出，最后根据三角形面积公式求出结果即可．
【详解】解：根据折叠可知：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
延长交于点Q，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了三角形面积的计算，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
41．##度
【分析】此题主要考查的是图形的折叠变换及三角形外角的性质，能够根据折叠的性质发现是解答此题的关键．
由折叠可得，，依据三角形的外角性质得，即可得到，进而得到．
【详解】解：由折叠可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
42．（1）垂直；；（2）①；②画图见解析，；（3）当为10秒或85秒或130秒时，两灯的光束互相平行
【分析】本题考查垂直判定，一元一次方程的实际应用，平行线判定及性质，折叠性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识点．
（1）根据折叠性质及平行线判定即可得到本题答案；
（2）①先求出灯转动20秒后度数为，继而得出本题答案；②算出当时，，，再根据，得出，即可求出．
（3）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分情况讨论即可得到本题答案．
【详解】解：（1）如图，
∵折叠，
∴直线折叠重合为两个角，平角为，
∴，即，
∴与直线的位置关系是：垂直，
如图：
∵如图④所示：，
，
由折叠可知：，
，
（内错角相等，两直线平行），
故答案为：垂直；；
（2）①∵灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，灯射线转动20秒后，灯射线开始转动，
∴灯转动20秒后度数为，
又∵当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置，
∴此时灯再次转动了，
，
故答案为：；
②如图为大致图形：
当时，，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）当为10秒或85秒或130秒时，两灯的光束互相平行，理由如下：
设灯转动秒，两灯的光束互相平行，
①当时，如图，
，
，
，
，
∴，
解得：；
②当时，如图，
，
，
，
，
∴，
∴，
解得：；
③当时，如图，
，
，
，
，
∴，
∴
∴，
解得：，
综上所述：当为10秒或85秒或130秒时，两灯的光束互相平行．
43．A
【分析】本题考查了尺规作角平分线，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是关键．
甲：根据平行线的性质得到，根据等边对等角得到，则，由此即可求解；乙：根据题意可证，得，证明，得，再证明，得，即可求解；丙：条件不足，不能证明，得不到是的平分线，即可求解．
【详解】解：甲：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线，故甲的方案正确；
乙：∵，，
∴，
∴，
∴，即，
又，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是的平分线，故乙的方案正确；
丙：∵，
∴，
∵，
∴，
不能证明，得不到是的平分线，故丙的方案不正确；
综上所述，只有甲、乙正确，
故选：A ．
44．
【分析】本题主要考查图形折叠的性质以及轴对称图形的性质．解题的关键在于理解两次对折后图形的对称关系，明确与的对称位置，从而利用纸张折后的宽度来计算的长度．本题围绕剪纸过程中图形的折叠与对称性质展开．则红纸经过两次对折后的宽度以及小孔到左侧边缘的距离，需要利用图形的对称关系求出的长度．
【详解】解：红纸经过两次向右对折，根据折叠的性质，折叠前后图形关于折痕对称．
∴经过两次对折后，纸张被平均分成了层，且这层是完全重合的．
∴与关于第二次对折的折痕对称．
∵折过次后的红纸左右宽，与关于第二次对折的折痕对称，
∴的长度刚好是折后红纸宽度的倍（从对称关系角度理解，到折痕的距离与到折痕的距离相等，二者距离之和就是纸张宽度的倍 ）．
则 ．
故答案为：
45．B
【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、轴对称，熟练掌握等腰三角形和全等三角形的性质是解题关键．根据平行线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，则①正确；证出，根据全等三角形的性质可得，则②正确；根据平行线的性质可得，由此可得，则③错误；根据角的和差可得，则④正确；根据可得⑤正确．
【详解】解：∵直线，，
∴，
由题意可知，，
∴，则①正确；
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，则②正确；
又∵直线，
∴，
∴，则③错误；
∵，，
∴，
∴，则④正确；
∵，
∴沿折叠，与重合，则⑤正确；
综上，正确的有4个，
故选：B．
46．(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查折叠中角度的计算，平行线的性质：
（1）根据折叠的性质，平行线的性质，求出的度数，对顶角即可得出的度数，再根据平行线的性质，求出即可；
（2）分和两种情况进行讨论求解即可；
（3）分和两种情况，利用（2）中的结论进行求解即可．
【详解】（1）解：当时，如图，
∵将长方形纸带沿折叠，
∴，
∴，
∴；
∴当时，
；
故答案为：；
（2）当时：
由（1）可知：，，
∴，
∵折叠，
∴，
∴；
当时，如图：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴；
综上：或；
（3）当时，，解得；
当时，，解得；
故：或．
47．（1）证明见解析；（2）作图见解析
【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，尺规作图-作角等，掌握折叠前后图形的对应角相等是解题的关键．
（1）根据折叠的性质和平行线的判定即可证明；
（2）根据作一个角等于已知角的作法作图即可；
【详解】解：（1）如图：
∵，，
∴，
同理可得，
∴．
（2）连接并延长，与交于点，作，则，即．
如图：
．
48．(1)，
(2)①；②，
(3)或2
【分析】本题主要考查了列代数式，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，注意分类讨论．
（1）根据点P运动的速度和时间即可表示出，然后根据即可表示出；
（2）①根据题意分三种情况：点P在上运动和点P在上运动，以及点在上，然后根据三角形面积公式求解即可；
②首先画出图形，然后根据题意得到，，然后根据题意列方程求出，然后根据三角形面积求出的面积为；
（3）根据题意分三种情况讨论：点P在上时，点P在上和点P在上，经分析排除点P在上和点P在上，然后列方程求解．
【详解】（1）解：∵点以的速度从点出发，沿运动，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①当点P在上运动时，如图：
∵，，
∴；
当点P在上运动时，如图：
∵，，
∴；
当点P在上运动时，如图：
此时，
∴
综上所述，；
②如图所示，过点P作交于点E，则，

∵是以为底的等腰三角形，
∴
∵，
∴，
可得四边形是长方形，
∴
∵，
∴
解得
∴
∴；
（3）解：当点P在上时，即，
∵点P到的距离，点P到的距离，点P到的距离，
∴点P到的距离点P到的距离，点P到的距离点P到的距离，
∴不符合题意；
当点P在上时，即，
∵点P到的距离，点P到的距离，点P到的距离
根据题意得，或
解得或；
当点P在上时，即，
∵，故点P到和的距离均小于点P到的距离为长，
∴不符合题意；
综上：点P到长方形的相邻两边的距离相等时，或2．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑