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完成时间： 月 日 天气：
作业07 概率初步
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型一：事件的分类】
1．下列事件中，为必然事件的是（ ）
A．购买一张彩票，中奖 B．打开电视，正在播放广告
C．抛掷一枚硬币，正面向上 D．地球围绕太阳公转
2．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．抛一枚硬币，正面朝上 B．明天天晴
C．若是实数， 则 D．任意画一个三角形，其内角和是
3．在下列事件中，随机事件是（ ）
A．任意两个负数的乘积为正数 B．任意画一个多边形，其外角和是
C．367人中至少有2人的生日相同 D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
4．“成语”是中华优秀传统文化的重要组成部分．下列“成语”描述的属于随机事件的是（ ）
A．旭日东升 B．画饼充饥 C．打草惊蛇 D．竹篮打水
5．在“石头、剪刀、布”游戏中，对方出“剪刀”是 事件．（填“随机”“必然”或“不可能”）
【题型二：判断可能性的大小】
6．下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（ ）
A．守株待兔 B．大海捞针 C．返老还童 D．生老病死
7．从一副扑克牌中任意抽取1张，①这张牌是“Q”；②这张牌是“大王”；③这张牌是“红心”．将这些事件的序号按照发生的可能性从小到大的顺序排列： ．
8．如图所示的是一个可以自由转动的转盘，每个扇形的大小相同，颜色分为红、绿、黄三种．指针的位置固定，转动的转盘停止后，指针指向 色区域的可能性最大．
9．用一副扑克牌中的张牌设计一个翻牌游戏，要求同时满足下列三个条件，请写出你所用的张牌．
（1）要求翻出“红桃”与“方块”的可能性相同；
（2）要求翻出“梅花”的可能性比翻出“方块”的可能性小；
（3）要求翻出黑颜色牌的可能性比翻出红颜色牌的可能性大．
10．（1）图①是一个飞镖靶，其中最里面的圆内部是分区，中间的圆环是分区，最外面的圆环是分区（由小到大三个圆半径的比是）．向飞镖靶掷出一枚飞镖，在不脱靶的前提下，得几分的可能性最大？得几分的可能性最小？为什么？
（2）请设计一个不同于图①的飞镖靶，靶上有个得分区域，分别是分、分、分．要求任意掷出一枚飞镖，在不脱靶的前提下，得分的可能性最小，得分的可能性最大（要求设计两种方案，画在图②和图③上）．
【题型三：求事件的频率】
11．在英文句子“”中，字母“”出现的频率为 ．
12．2023年6月28日，十四届全国人大常委会第三次会议决定：将8月15日设立为全国生态日．第一个生态日的活动主题是“绿水青山就是金山银山”．在划线部分的这句话中，“山”出现的频率是 ．
13．有甲、乙两只不透明的布袋，甲袋中有个红球、个白球和个黑球，乙袋中有个红球，个白球和个黑球，这些球除颜色外全相同．
(1)如果你想取出个红球，选哪个袋子成功的机会大？请说明理由；
(2)“从乙袋中取出个红球后，乙袋中的红球个数仍比甲袋中红球个数多，所以此时若想取出个红球，选乙袋成功的机会大”，你认为此说法正确吗？为什么？
14．汉字是人们记事和沟通的重要工具，而书法是发挥汉字实用价值和艺术意趣最有效、最理想的形式，书法作为中国传统文化的重要组成部分，承载着丰富的历史文化信息，被誉为“无言的诗”．某数学兴趣小组从有意向学习书法的学生中，随机抽取了部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告：
调查主题 xx中学学生对书法类型的喜爱情况
调查方式 抽样调查
调查对象 xx中学有意向学习书法的学生
调查方案 从全校有意向的学生中按各年级人数比例分别随机抽取合适人选
调查数据的收集、整理与描述 对书法类型的喜爱情况调查问卷 您最喜爱的书法类型是（只选一项，在其后的括号内打“√”） A．篆书（ ）B．隶书（ ）C．行书（ ）D．楷书（ ）E．草书（ ）
所有问卷全部收回、并将调查结果绘制成如下两副统计图
调查结论 …
问题解决：请根据调查报告完成任务．
(1)本次调查的总人数为__________，B类型的频率是__________．
(2)若该校共有800名有意向学习书法的学生，估计有意向学习“行书”的学生人数．
(3)请对该校有意向学习书法的学生对书法类型的喜爱情况作出评价，并提出一条合理化建议．
15．在课堂上，老师将除颜色外都相同的1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋中并搅匀，让全班同学依次进行摸球试验，每次随机摸出一个球，记下颜色再放回搅匀，下表是试验得到的一组数据．
摸球的次数n 100 150 200 500 800
摸到黑球的次数m 26 37 49 124 200
摸到黑球的频率 0.26 0.247 0.245 0.248 a
(1)表中a的值等于________；
(2)估算口袋中白球的个数；
【题型四：频率与概率的关系】
16．如图，用计算机模拟随机投掷一枚啤酒瓶盖的实验结果．下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（ ）
A．当投掷次数是1000时，“凸面向上”的次数为443
B．当投掷第1000次时，“凸面向上”的概率是0.443
C．随着实验次数的增加，“凸面向上”的频率趋近于0.440，故可以估计其概率是0.440
D．若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“凸面向上”的频率一定是0.443
17．在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动．在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其 的估计值．
18．王强和李刚在学习概率时，做掷骰子（质地均匀的正方体形状）试验，他们共掷了60次，出现朝上点数的次数如下表：
朝上点数 1 2 3 4 5 6
出现次数 8 11 6 9 16 10
(1)计算出现朝上点数为3的频率及出现朝上点数为5的频率．
(2)根据以上试验，王强说：“根据试验结果，一次试验中出现朝上点数为5的概率最大．”李刚说：“如果掷600次，那么出现朝上点数为6的次数正好是100次．”这两名学生的说法是否正确？为什么？
19．你同意以下的说法吗？请说明理由．
(1)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”的试验中，小丽做了20次试验，发现硬币落地后共有1次正面朝上，小丽说：“我可以确定硬币落地后正面朝上的概率是．”
(2)小亮在连续5次抛掷一枚质地均匀的硬币时发现硬币落地后都是正面朝上，由此他说：“虽然抛掷一枚质地均匀硬币正面朝上的概率是0.5，但是由于前5次都是正面朝上，所以第6次抛掷这枚硬币正面朝上的概率应该小于0.5．”
20．你同意下列说法吗？请说明理由．
(1)“从袋中任意摸出1个球是红球的概率是”，这句话的意思就是从袋中取出1个球肯定是红球，因为概率已经很大了．
(2)“从袋中任意摸出1个球是红球的概率是”，这句话的意思就是从袋中一定取不出红球．
(3)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验时，小明说：“我做了50次试验，正面朝上的频率是，所以抛掷该硬币正面朝上的频率在这个常数附近摆动．”
【题型五：概率公式求概率】
21．随着科技的飞速发展，人工智能应运而生，多种软件崭露头角，某班级为更好地了解软件，计划举办手抄报展览，确定了“”“豆包”“”三个主题，若小红随机选择其中一个主题，则她恰好选中“DeepSeek”的概率是（ ）
A． B． C． D．
22．一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜色不同外没有任何区别，现从中任意摸出一个球，恰好是黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
23．随着社会的发展，人们购物支付方式逐渐多元化，支付方式有：A微信，B支付宝，C信用卡，且三种付款方式的可能性相同，小珍购物随机选择一种付款方式，恰好选择用微信支付的概率为 ．
24．从一副52张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，那么抽到K的概率是 ．
25．一个不透明袋子中装有10个球，其中有3个红球、4个绿球、3个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ．
26．吉安作为庐陵文化的发源地，历史上书院众多．为了更好的了解庐陵文化，小明周末计划从 白鹭洲书院、阳明书院、皇寮书院、匡山书院、登东书院、光禄书院和朗山书院7个书院中随机选择一个进行实地参观，他选择去白鹭洲书院的概率为 ．
27．一个不透明的袋子里装有12个球，其中有5个黑球和7个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球，则它是黑球的概率为 ．
【题型六：频率与概率的综合】
28．如图是小明用计算机模拟随机投掷一枚图钉的试验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率稳定在某个数附近，可以估计“钉尖向上”的概率是（ ）
A． B． C． D．
29．某学校七年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据：
转动转盘的次数
落在“书画”区域的次数
落在“书画”区域的频率
(1)完成上述表格：_____；______；
(2)请估计当次数很大时，频率将会接近______（精确到），假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是_______（精确到）；
(3)在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度
30．一只不透明的袋中装有3个大小相同的球，其中2个为白色，1个为红色，每次从袋中摸出1个球，然后放回搅匀后再摸.在摸球试验中得到下表中的部分数据：
摸球次数 40 80 120 160 200 280 360 400
出现红球的频数 14 23 38 68 84 112 126 135
出现红球的频率 0.29 0.32 0.35 0.34 0.35 0.35 0.34
出现白球的频数 57 82 132 190 234 265
出现白球的频率 0.71 0.68 0.66 0.65 0.65 0.66
(1)请将表格填写完整.
(2)在图中绘制出现红球的频率的折线图.
(3)观察图表，出现红球的概率估计值为_______，出现白球的概率估计值为_______.
(4)如果重复试验400次，再将出现红球的频率绘制成折线统计图，两幅图会完全相同吗？为什么？两幅图有类似的地方吗？如果有，那么有哪些地方类似？
31．盒子里装有红球和白球共20个，它们除颜色外其他都相同，每次从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回盒中摇匀再摸球，在活动中得到如表中部分数据．
摸球次数 出现红球的频数 出现红球的频率 摸球次数 出现红球的频数 出现红球的频率
100 32 400 130 a
200 62 500 150 b
300 90 600 183
(1)请将表中数据补充完整，______；______；
(2)画出“出现红球”的频率折线统计图；
(3)估计摸到红球的概率为______（精确到）．
(4)估计盒子里有红球______个和白球______个．
32．某市林业局为了解某种花卉的移植成活率，对本市这种花卉的移植情况进行了调查统计，并绘制了统计图（如图）．请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：
(1)这种花卉成活的频率稳定在_________附近，估计成活概率为_________（精确到）．
(2)已知该林业局已经移植这种花卉20000棵，问：
①这批花卉成活的棵数约为多少？
②如果根据市政规划，这种花卉需要成活90000棵才能满足需求，那么估计还需要移植多少棵？
【题型七：列举法求概率】
33．如图，是化学元素周期表中原子序数为1~5的元素，从中随机选取两种元素，则这两种元素恰好都是金属元素的概率为（ ）（注：锂和铍为金属元素）
A． B． C． D．
34．A，B，C，D四名小朋友围坐在一张圆桌旁玩游戏，A先坐在如图所示的座位上，其他三人随机坐在其余的三个空位置上，则C不坐在B的对面的概率为（ ）
A． B． C． D．
35．开封是一座历史悠久的古城，以其深厚的文化底蕴和令人垂涎的美食吸引着无数游客前来探访．为了进一步提升游客体验，某旅行社推出了免费品尝美食活动，每位游客可以从如图所示的四种美食中任选两种进行品尝，那么游客小华选到开封灌汤包和汴京烤鸭的概率为 ．
36．某马场有三匹马，按身体强壮程度分为上马，中马，下马，这三匹马随机住在三个不同的马厩，甲到该马场去租马，先到第一个马厩观察后不租，再到第二个马厩，若比第一个马厩的马强壮，就直接租第二个马厩的马，若比第一个马厩的马瘦弱，就租第三个马厩的马，按这种方式，甲租到上马的概率为（ ）
A． B． C． D．
37．如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，灯泡能发光的概率为 ．
【题型八：几何概率】
38．如图，转盘中六个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
39．如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），飞镖击中阴影部分的概率是 ．
40．二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 ．
41．在如图所示的图形中随机撒一把豆子，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在区域C中”记作事件W，估计事件W的概率 ．
42．（1）如图1是一个可以自由转动的转盘，转盘被分为红色区域和蓝色区域两部分，其中红色区域对应的圆心角度数为，转动转盘，当转盘停止时，求指针落在蓝色区域的概率；
（2）请在图2中设计一个转盘：自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针落在红色区域的概率为，落在白色区域的概率为，落在黄色区域的概率为．
【题型九：应用概率求解】
43．一个不透明的箱子中放有红、黄、黑三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同．三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出1个小球，摸出后放回，摸出黑色小球的人赢（可以所有人都赢）．这个游戏是（ ）
A．对所有人都公平 B．先摸者赢的可能性大
C．后摸者赢的可能性大 D．无法判断是否公平
44．一只不透明的袋子中装有2个白球和5个红球，每个球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球．
(1)求摸到白球的概率；
(2)要使摸到白球的概率为，需要往这个袋子里加入多少个白球？
45．一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共20个，它们除颜色外都相同，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是，其中黄球比白球多6个．
(1)袋中红球有_______个．
(2)求从袋中摸出一个球是白球的概率．
46．五一期间，某商场举办了一个“幸运抽奖”活动，抽奖箱里共有16个小球，其中有8个黄球、6个黑球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，小明和小红参与了这个活动：
(1)从中任意摸出一球，若摸到黄球小明获得奖励，若摸到黑球小红获得奖励，这个活动对双方公平吗？请说明你的理由；
(2)现在要从箱中取出若干个黄球，再放入相同数量的黑球，使得这个活动对双方公平，则要取出多少个黄球？
47．综合与实践
某商场制成了一个如图1所示的转盘(十二等份)游戏，取名为“开心大转盘”．游戏规定：参与者自由转动转盘，若指针指向字母“A”，则打九折；若指针指向字母“B”，则打八折；若指针指向字母“C”，则不打折．
(1)(不打折)_________
(2)小明分两次来商场分别购买了价值200元的商品，两次都参加了该活动，且一共付了360元，请你分析小明这两次获得优惠的情况．
(3)商场为了吸引顾客，请你帮忙重新设计转盘，利用如图2所示的转盘，使得打九折的概率是；打八折的概率是；不打折的概率是．(在十二等份扇形中标明字母A，B，C)；
【题型十：游戏公平性问题】
48．如图，两个带指针的转盘A，B分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是2，5，9，转盘B上的数字分别是3，6，8（两个转盘除表面数字不同之外，其他完全相同）．小美拨动A转盘上的指针，小丽拨动B转盘上的指针，使之旋转，指针停止后所指数字较大的一方获胜（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次），则 （填“小美”或“小丽”）获胜的可能性大．
B A 2 5 9
3 2，3 5，3 9，3
6 2，6 5，6 9，6
8 2，8 5，8 9，8
49．如图，一个均匀的转盘被平均分成8等份，分别标有“1，2，3，4，5，6，7，8”这8个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：甲、乙两个人参与游戏，甲转动转盘，乙猜数，若猜的数与转盘转出的数相符，则乙获胜；若结果不相符，则甲获胜．（若指针恰好指在分割线上，那么重转一次）
(1)如果乙猜是“数4”，则乙获胜的概率为______；
(2)如果乙猜是“3的倍数”，则甲获胜的概率是______；
(3)如果乙猜是“偶数”，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
50．有5张不透明的卡片，正面的数字分别为0，1，2，3，3，背面图案完全一样，洗匀后，背面朝上放在桌面上．
(1)随机抽取一张卡片，求抽到卡片上的数字为3的概率；
(2)小明和小丽用这5张卡片做游戏，小明随机抽取一张卡片，若卡片上的数字为偶数，则小明赢；若卡片上的数字为奇数，则小丽赢．这个游戏公平吗？请说明理由；
(3)请你利用这5张卡片为小明和小丽设计一个公平的新游戏，不改变卡片的数量和内容，直接写出游戏规则．
51．有五张不透明的卡片，正面的数字为1，2，3，4，4，背面图案完全一样．洗匀后，背面朝上放在桌面上．请你完成下列各题．
(1)随机抽取一张卡片，P（抽到卡片上的数字为4）=_______；
(2)随机抽取一张卡片，P（抽到卡片上的数字不超过3）=_______；
(3)小明和小亮用这五张卡片来玩游戏，小明随机抽取一张卡片，若卡片上的数字为偶数，则小明赢；若卡片上的数字为奇数，则小亮赢．这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请修改游戏规则（不改变卡片的数值和内容）使游戏公平．
52．做随机抛掷一枚质地不均匀的纪念币试验，得到的结果如表所示：
抛掷次数m 1000 2000 3000 4000 5000
“正面向上”的次数n 512 1034 1558 2083 2598
“正面向上”的频率（）
①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是；
③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中合理推断的序号是
A．②③ B．①③ C．①② D．①②③
53．一个不透明的袋子中，装有除颜色外完全相同的2个红球和5个白球．从袋子中随机摸球，甲认为：若摸出1个球，则摸出白球的可能性大；乙认为：若摸出3个球，则至少有1个白球．以下判断正确的是（　　）
A．甲乙都正确 B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确 D．甲乙都错误
54．某旅游景区，假日期间实施购票有奖，凡购买一张门票，可以转动转盘一次，指针指向哪个获奖区域，就得到对应的奖品，如图-1所示．售票员用电脑制作出获得优胜奖频率的折线统计图，如图-2所示．根据以上信息，图-1中的度数为（　　）
A． B． C． D．
55．小蒙设计一个抽奖游戏：如图，宝箱由个方格组成，方格中随机放置着个奖品，每个方格最多能放一个奖品．

(1)如果随机打开一个方格，获得奖品的概率是___________．
(2)为了增加趣味性，小蒙优化了这个游戏．小雨参加游戏，第一次没有获得奖品，但是呈现了数字，如图．小蒙解释，这说明与这个方格相邻的个方格（即区域）中有两个放置了奖品，进行第二次抽奖，小雨将有两种选择，打开区域中的小方格，或者打开区域外的小方格．为了尽可能获得奖品，你建议小雨如何选择？请说明理由．
56．某批彩色弹力球的质量检验结果如下表：
抽取的彩色弹力球数
优等品频数
优等品频率
(1)这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是______；（精确到）
(2)从这批彩色弹力球中选择个黄球、个黑球、个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率；
(3)现从第（2）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求取出了多少个黑球？
57．篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据：
投篮的次数 10 50 200 300 400 500
命中的次数 7 40 81 163 249 326
命中的频率 0.70 0.80 0.81 0.82 0.82 0.83
(1)填空：______，______，______；
(2)测试中，该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是_____（精确到0.1）；
(3)根据估计的概率，该运动员投篮150次，请通过计算估计他命中的次数．
58．为了解同学们的兴趣爱好，学校随机抽取了部分同学最喜欢的讲座类别进行调查（被调查的每名学生只选择其中一种），并对调查结果进行收集、整理、描述、分析，下面给出部分信息：
最喜欢的讲座类别频数（人数）统计表
类别 频数（人数）
科技 a
人文 40
艺术 20
体育 40
其它 b
请根据图表中提供的信息回答下列问题：
(1) ， ，在扇形统计图中，“体育”所在扇形的圆心角度数为 ；
(2)若该校共有名学生，请估计喜欢的讲座类别为艺术和体育的共有多少名；
(3)下一期的讲座主题为人工智能，每个班有个去现场的名额， 老师准备随机选取去现场的学生．已知学生小明的班上共有学生名，求小明能被选中去现场参加下一期讲座的概率．
59．【问题情境】
数学活动课上，老师带领同学们开展了一次“测还花生仁长轴长度”的实践活动．
【实践发现】
同学们从市场上销售的两个品种的花生仁中各随机抽取粒，测量它们的长轴长度（如图①，并将测荲结果绘制成如下统计图（如图②．（单位：）
【实践探究】
分析数据如下：
平均数 中位数 众数 方差
品种花生仁的长轴长度
品种花生仁的长轴长度
【问题解决】
（1）上述表格中：______，______；
（2）现有一粒花生仁的长轴长度为，那么这粒花生仁是______品种的可能性较大；（填“”或“”）
（3）学校食堂准备从两个品种的花生仁中选购一批做配菜食材，根据菜品质量要求，花生仁的大小（长轴长度）要均匀，请问食堂应该选购哪个品种的花生仁？并说明理由．
60．有两个事件，事件A：在汽步枪比赛中，某运动员打出10环；事件：一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的6个小球（4个黑球，2个白球），从中随机摸出的3个球中有黑球．下列判断正确的是（ ）
A．事件A是随机事件，事件是必然事件 B．事件A、事件都是必然事件
C．事件A是必然事件，事件是随机事件 D．事件A、事件都是随机事件
61．小明和哥哥都很想去看成都蓉城足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定谁去观看比赛．游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去（如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动）．
(1)求小明去观看足球比赛的概率；
(2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由：若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则．
(3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得哥哥去的概率为，并简要说明游戏规则．
62．某校举办了“数学节”活动，其中有一项活动是“数学游戏挑战赛”，参赛学生要按顺序依次参加“九连环、七巧板、五子棋、二十四点、魔方、华容道、数独”七个项目（每个项目只能挑战一次）．按照完成情况每个项目都分为参与奖、优秀奖、卓越奖，并奖励相应的积分．七个项目不同奖项对应的奖励积分如下表所示：
项目奖项 九连环 七巧板 五子棋 二十四点 魔方 华容道 数独
参与奖 2 7 5 7 4 7 4
优秀奖 5 10 9 9 7 8 7
卓越奖 9 12 13 15 12 10 9
小明同学参加了此次“数学游戏挑战赛”活动，若知道小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖，在“魔方”项目中获得了优秀奖，且在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖，则可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为 ，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为
63．概率与统计在我们日常生活中应用非常广泛：
(1)请将下列事件发生的概率标在图1中（用字母表示）：
①记为点：随机地从，，，，这十个数中选取两个数，和为；
②记为点：将个人分成两组，一定有个人分在一组；
③记为点：从装有个红球、个白球的不透明口袋中任取一个球，恰好是白球（这些球除颜色外完全相同）；
④记为点：如图所示的正方形纸片上做随机扎针实验，则针头恰好扎在阴影区域内．
(2)一个不透明的口袋中装有个白球和个红球，每个球除颜色外都相同．从口袋中取走个红球后，再放入个白球，并充分摇匀，如果随机摸出白球的概率是，的值是多少？
64．某射击队的甲、乙两名运动员在同一条件下进行射击，结果如下表：
射击总次数n 10 100 200 500 1000
击中靶心次数m 甲 9 94 168 424 851
乙 8 b 176 454 898
击中靶心频率 甲 0.9 0.94 0.84 0.848 0.851
乙 a 0.91 0.88 0.908 0.898
(1)表中 ， ；
(2)在此条件下，可以估计甲运动员击中靶心的概率为 ，乙运动员击中靶心的概率为 （精确到0.01）；
(3)若从甲、乙两名运动员中选择一名成绩较优秀的运动员参加射击比赛，你认为选哪一位运2动员更合适？请说明理由．
65．阅读下列材料，回答问题：
任务1：估计不规则封闭图形的面积
如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为1米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆落在该封闭图形内，含边界）：
有效丢掷绿豆总次数m 50 150 300 600
绿豆落在正方形内（含正方形的边）的次数n 10 35 78 151
（1）当有效丢掷绿豆总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能是______；
A．150 B．230 C．251 D．510
（2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为______（精确到）；
（3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积；
任务2：估计圆周率的大小
（4）关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，小华借鉴任务1的探究思路，设计一个估算圆周率的实验，如图，地面上有一个边长为3米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆．在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录数据，小华将有效丢掷绿豆总次数计为a，绿豆落在圆内（含圆的边）的次数记为b．当a很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在，则______（用字母a，b表示）
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《暑假作业07 概率初步（10大巩固提升题型+能力培优练+创新题型练）-【暑假分层作业】2025年七年级数学暑假培优练（北师大版2024）》参考答案：
1．D
【分析】本题考查了必然事件，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】解：、购买一张彩票，中奖是随机事件，此选项不符合题意；
、打开电视，正在播放广告是随机事件，此选项不符合题意；
、抛掷一枚硬币，正面向上是随机事件，此选项不符合题意；
、地球围绕太阳公转是必然事件，此选项符合题意；
故选：．
2．D
【分析】本题考查了随机事件和必然事件的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据随机事件和必然事件的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、抛一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故A选项不符合题意；
B、明天天晴，是随机事件，故B选项不符合题意；
C、若是实数， 则，是随机事件，故C选项不符合题意；
D、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，故D选项符合题意；
故选：D．
3．D
【分析】本题主要考查了随机事件的识别，在一定条件下，可能发生，也有可能不发生的事件叫做随机事件，据此求解即可．
【详解】解：A、任意两个负数的乘积为正数，这不是随机事件，不符合题意；
B、任意画一个多边形，其外角和是，这不是随机事件，不符合题意；
C、367人中至少有2人的生日相同，这不是随机事件，不符合题意；
D、经过有交通信号灯的路口，可能遇到红灯，也可能不遇到红灯，故遇到红灯是随机事件，符合题意；
故选：D．
4．C
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件等概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念逐项判断即可．
【详解】解：A、旭日东升属于必然事件，故本选项不符合题意；
B、画饼充饥属于不可能事件，故本选项不符合题意；
C、打草惊蛇属于随机事件，故本选项符合题意；
D、竹篮打水属于不可能事件，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．随机
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：由题可知，在“石头、剪刀、布”游戏中，对方出“剪刀”是随机事件．
故答案为：随机．
6．D
【分析】本题考查了可能性大小的判断，一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间，熟练掌握在一定情况下有可能发生，有可能不发生的事件是随机事件是解题的关键．
【详解】解∶A．守株待兔是极小概率事件，不符合题意；
B．大海捞针是不可能事件，不符合题意；
C．返老还童是不可能事件，不符合题意；
D．生老病死是必然事件，符合题意；
故选：D．
7．②①③
【分析】此题主要考查了随机事件发生的可能性的大小问题，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出一副扑克牌中含“A”、“红桃”、“大王”、“红色的牌”的张数各是多少．
首先分别求出一副扑克牌中含“A”、“红桃”、“大王”、“红色的牌”的张数各是多少，然后根据每张牌被抽到的机会相等，只要比较出哪个事件的可能结果最多，即可判断出这些事件发生的可能性的大小，并将这些事件按发生的可能性从小到大顺序排列即可．
【详解】解：一副扑克牌中含“Q”4张，“红心”13张，“大王”1张，
∵，
∴将这些事件按发生的可能性从小到大顺序排列：②①③．
故答案为：②①③．
8．红
【分析】本题考查了可能性大小的知识，解题的关键是看清那种颜色的最多．哪一种颜色多，指针指向那种颜色的可能性就最大．
【详解】解：因为转盘分成6个大小相同的扇形，绿色的有1块，红色的有3块，黄色的有2块，
所以转动一次转盘后，指针指向红颜色的可能性最大，
故答案为：红．
9．张牌是“黑桃”张，“梅花”张，“方块”张，“红桃”张
【分析】本题考查等可能事件发生的概率，理解可能性的大小是正确解答的关键．根据各种花色的扑克牌被翻到的可能性的大小，推断出各种花色的扑克牌的张数，再根据总张数为张，每一种都是整数，进而得出答案．
【详解】解：一共有张扑克牌，满足（1），说明“红桃”和“方块”的张数相同；满足（2）说明“方块”的张数比“梅花”的张数多； 满足（3）说明黑颜色的牌（黑桃、梅花）的张数比红颜色牌（红桃、方块）的张数要多，
因此黑颜色的牌要多于张，最少为张，
因此，张牌是“黑桃”张，“梅花”张，“方块”张，“红桃”张
10．（1）得分的可能性最大，得分的可能性最小．因为分所在的圆环面积最大，分所在的圆面积最小．（2）见解析
【分析】本题考查了可能性的大小，解题的关键是数形结合．
（1）设三个圆的半径分别为、、，分别求出三个分区的面积，再比较面积的大小，即可求解；
（2）只要保证分的区域面积最小，分的区域面积最大即可．
【详解】解：（1）得分的可能性最大，得分的可能性最小，理由如下：
由小到大三个圆半径的比是，
设三个圆的半径分别为、、，
分区的面积为，
分区的面积为：，
分区的面积为：，
，
得分的可能性最大，得分的可能性最小；
（2）如图即为所求．
11．
【分析】本题考查了频率，根据频率公式计算即可求解，掌握频率计算公式是解题的关键．
【详解】解：英文句子“”中，共有个字母，其中字母“”出现的次数为次，
∴字母“”出现的频率为，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了频率额计算，掌握频率计算方法是关键．
根据频率公式计算即可求解．
【详解】解：“绿水青山就是金山银山”共有10个字，其中“山”出现了3次，
∴“山”出现的频率是，
故答案为： ．
13．(1)选乙袋成功的机会大，理由见解析
(2)选甲袋成功的机会大，理由见解析
【分析】本题考查了频率计算公式，熟练掌握频率计算公式，并准确进行实数的大小比较是解答本题的关键．
（1）分别计算甲、乙两袋中摸出红球的频率，比较大小后判断即可；
（2）分别计算甲、乙两袋中摸出红球的频率，比较大小后判断即可．
【详解】（1）解：选乙袋成功的机会大，理由如下：
在甲袋中取出个红球的频率是，
在乙袋中取出个红球的频率是，
因为，
所以选乙袋成功的机会大；
（2）解：此说法不正确，理由如下：
因为从乙袋中取出个红球后，从乙袋中取出个红球的频率是，
因为，
所以此时若想取出个红球，选甲袋成功的机会大．
14．(1)200，
(2)248名
(3)适当多开设“行书”“楷书”的书法课程数量，减少“篆书”“草书”的书法课程数量（答案不唯一，合理即可）
【分析】本题考查数据的收集与处理，涉及扇形统计图和条形统计图的关联、样本估计总体等知识，能从统计图中获取有用信息是解答的关键．
（1）根据喜爱D书法类型的人数和百分比即可求出本次调查的总人数和B类型的频率；
（2）根据样本估计总体计算求解即可；
（3）由统计图可得出结论，答案不唯一．
【详解】（1）解：本次调查的总人数为（人）；
B类型的频率是；
（2）解：（名），
答：估计有意向学习行书的学生人数为248名；
（3）解：由统计图可知，有意向学习书法的学生中，喜爱字体类型为“行书”“楷书”的人数较多，喜爱字体类型为“篆书”“草书”的人数较少 ，
建议：适当多开设“行书”“楷书”的书法课程数量，减少“篆书”“草书”的书法课程数量．
15．(1)
(2)3
【分析】本题考查利用频率估算概率，由表格数据得出摸到黑球的概率是0.25，再根据概率公式列出方程是解题的关键．
（1）根据频率的计算公式代数求解即可；
（2）观察表中数据，可知通过无数次试验，黑球的频率将稳定在0.25，即摸到黑球的概率为0.25，据此可求出白球的个数．
【详解】（1）根据题意得，；
（2）根据题意得，黑球的频率将稳定在0.25，
∴估计摸到黑球的概率为0.25，
∴求的总个数为（个）
∴白球的个数为（个）．
16．AC
【分析】本题考查利用频率估计概率，根据图形和各选项的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：A、当投掷次数是1000时，“凸面向上”的频数是0.443，则“凸面向上”的次数是正好是443，故正确，符合题意；
B、当投掷第1000次时，“凸面向上”的频数是0.443，故错误，不符合题意；
C、随着实验次数的增加，“凸面向上”的频率趋近于0.440，故可以估计其概率是0.440，正确，符合题意；
D、若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“凸面向上”的频率不一定是0.443，故错误，不符合题意．
故选：AC．
17．概率
【分析】本题考查了频率与概率，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动．在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值．
故答案为：概率．
18．(1)出现向上点数为3的频率是，出现向上点数为5的频率
(2)都不正确，理由见解析
【分析】本题考查了频率（频数）和概率．
（1）求一个点数朝上的频率，就是用出现的次数除以抛的总次数即可；
（2）根据概率的概念和概率公式，可知各类数出现的概率一样大，都为．由于频数的随机性，试验次数扩大10倍时，频数不一定正好扩大为原来频数的10倍，可得结论．
【详解】（1）解：出现向上点数为3的频率：，
出现向上点数为5的频率：，
即出现向上点数为3的频率是，出现向上点数为5的频率；
（2）解：王强和李刚的说法都不正确，理由如下：
他们混淆了频率与概率的概念．概率是确定的常数，频率（频数）是不确定的、随机的．只有当试验次数足够大时，频率才稳定于概率这一数值．在该试验中，各类数出现的概率一样大，都为．由于频数的随机性，试验次数扩大10倍时，频数不一定正好扩大为原来频数的10倍
19．(1)不同意，见解析
(2)不同意，见解析
【分析】本题考查的是频率和概率的意义，熟知概率的定义是解答此题的关键．
（1）根据“频率”和“概率”的定义即可判断；
（2）根据“频率”和“概率”的定义即可判断．
【详解】（1）解：不同意，小丽混淆了“频率”和“概率”．做了20次试验，发现硬币落地后共有11次正面朝上，只能确定在这20次试验中，正面朝上的频率是．
（2）解：不同意，对于一个随机事件，它发生的概率是由它自身决定的，是独立的，并不受其他事件的干扰，也就是说，第6次抛掷这枚硬币的概率不会受到前5次抛掷结果的影响．
20．(1)不同意，理由见解析
(2)不同意，理由见解析
(3)不同意，理由见解析
【分析】本题考查了概率、用频率估计概率，熟练掌握概率的意义和用频率估计概率是解题的关键．根据概率的意义和用频率估计概率即可判断．
【详解】（1）解：不同意，这句话只能说明从袋中取出1个红球的可能性很大，但它还是一个随机事件；
（2）解：不同意，这句话只能说明从袋中取出1个红球的可能性极小，但它还是一个随机事件；
（3）解：不同意，小明试验的次数太少了．
21．B
【分析】本题考查了用概率公式求概率，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．直接由概率公式求解即可．
【详解】解：小红从三个主题中随机选择其中一个主题，则她恰好选中“豆包”的概率是，
故选B，
22．D
【分析】本题考查了求概率的方法，熟知概率公式是解题关键．
根据题意可得共有18个小球，即可得出任意摸出一个小球，共有18种等可能结果，其中恰好是黑球的有3种结果，即可求出概率．
【详解】解：由题意得，袋中装有红球6个，白球9个，黑球3个，任意摸出一个球，恰好是黑球的概率是．
故选：D．
23．
【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
利用概率公式直接写出答案即可．
【详解】解：∵共“微信”、“支付宝”、“信用卡”三种支付方式，
∴恰好选择“微信”支付方式的概率为．
故答案为：．
24．
【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键.一副52张（没有大小王）的扑克牌中A有4张，利用概率计算公式能求出抽到的这张牌是A的概率．
【详解】解：一副52张(没有大小王)的扑克牌中任意抽取一张，基本事件总数，
一副52张(没有大小王)的扑克牌中有4四张A，抽到的这张牌是A的基本事件个数，
∴抽到的这张牌是A的概率p===
故答案为
25．##0.3
【分析】本题主要考查了简单的概率计算、概率公式等知识点，掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数是解题的关键．
根据概率公式求解，用红球的个数除以球的总个数即可解答．
【详解】解：∵一个不透明袋子中装有10个球，其中有3个红球，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是，
故答案为：．
26．
【分析】本题考查求概率，直接利用概率公式进行求解即可．
【详解】解：随机选择一个进行实地参观共有7种等可能的结果，其中选择去白鹭洲书院的结果只有1种，
∴.
故答案为：．
27．
【分析】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
根据题意可知：用黑球的个数除以总的球的个数，即可得到从袋中随机取出一个球，则它是黑球的概率．
【详解】解：由题意可得，
从袋中随机取出一个球，则它是黑球的概率为，
故答案为：．
28．B
【分析】本题考查了利用频率估计概率，理解大量反复试验下频率稳定值即概率是解题的关键．结合给出的图形以及在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，解答即可．
【详解】解：由图象可知随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是．
故选B．
29．(1)，
(2)，
(3)
【分析】本题考查利用频率估计概率、扇形统计图、可能性大小，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答本题．
（1）根据频率频数总数，求解即可；
（2）根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“书画作品”的概率；
（3）用乘以获得“手工”奖品的概率即可．
【详解】（1）解：，，
故答案为：，；
（2）当次数很大时，频率将会接近，获得“书画”奖品的概率约是，
故答案为：，；
（3）标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是．
30．(1)见解析
(2)见解析
(3)，
(4)见解析
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.
（1）根据频率频数总数求解即可；
（2）根据表中红球的频率值，描点、连线即可；
（3）根据频率的稳定数值即可得出答案；
（4）利用大量重复试验时，频率的稳定数值估计概率求解即可.
【详解】（1）解：补全表格如下：
摸球次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
出现红球的频数 14 23 38 56 68 84 90 112 126 135
出现红球的频率 0.35 0.29 0.32 0.35 0.34 0.35 0.32 0.35 0.35 0.34
出现白球的频数 26 57 82 104 132 156 190 208 234 265
出现白球的频率 0.65 0.71 0.68 0.65 0.66 0.65 0.68 0.65 0.65 0.66
（2）解：在图中画出出现红球的频率的折线统计图如下：
（3）解：观察图表，出现红球的概率估计值为，出现白球的概率估计值为，
故答案为：，；
（4）解：如果重复试验400次，再将出现红球的频率绘成折线统计图，两幅图不会完全相同，因为每次的试验都是随机的，不能确保两次试验完全一致；
两幅图有类似的地方，随着试验次数的增加，红球频率最终稳定数值基本相同.
31．(1)；
(2)见解析
(3)
(4)6；14
【分析】本题考查了频数与频率、折线统计图及用频率估计概率，
（1）利用频率频数摸球次数计算数据即可；
（2）根据表格提供的数据作出折线统计图即可；
（3）通过观察统计图找到其频率逐渐稳定到哪个常数附近即可；
（4）根据摸到红球的概率，估计红球的个数，再求出白球的个数即可．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：频率折线统计图，如图所示：
（3）解：观察折线统计图可以发现：随着摸球次数的增多，出现红球的频率在上下浮动，因此摸到红球的概率为；
（4）解：估计盒子里有红球（个），
白球有：（个）．
32．(1)0.9，0.9
(2)①18000棵 ②80000棵
【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解概率的意义是解答本题的关键．
（1）根据统计图可得频率，根据频率与概率的关系可得概率；
（2）①用20000乘以成活的概率即可；
②用移植的总棵数减去已经移植的棵数．
【详解】（1）解：由图可知，这种花卉成活的频率稳定在附近，估计成活概率为．
故答案为：；
（2）解：①（棵），
答：这种花卉成活率约18000棵．
②（棵），
答：估计还要移植80000棵．
33．C
【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键；因此此题可根据列举法进行求解概率．
【详解】解：由题意得：
从这5种元素中任取两种元素的可能性有：（氢，氦），（氢，锂），（氢，铍），（氢，硼），（氦，锂），（氦，铍），（氦，硼），（锂，铍），（锂，硼），（铍，硼），其中两种元素都为金属元素的只有一种，故抽取到两种元素都为金属元素的概率为；
故选C．
34．D
【分析】本题考查列举法求概率，列举出所有可能出现的结果，确定满足条件的结果数，利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：根据题意可知，从A开始，逆时针排列所有可能的结果如下：，，，，，，其中C不坐在B的对面的结果有4种，分别为，，，，
∴C不坐在B的对面的概率为．
故选D
35．
【分析】该题考查了列举法求概率，先列举出所有可能情况，再由概率公式求解即可．
【详解】解：从四种美食中任选两种的所有可能情况有：（开封灌汤包，桶子鸡）、（开封灌汤包，花生糕）、（开封灌汤包，汴京烤鸭）、（桶子鸡，花生糕）、（桶子鸡，汴京烤鸭）、（花生糕，汴京烤鸭），共6种，
其中选到开封灌汤包和汴京烤鸭的情况只有1种，所以概率为．
故答案为：．
36．A
【分析】本题考查了列举法求概率．列举出所有三种马排列情况，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：设上马为，中马为，下马为，
三种马排列情况共有，，，，，，
符合要求的有，，，
所以租到是A类即租到上马的概率为．
故选：A．
37．
【分析】该题考查了概率的计算，能够正确的写出所有的可能情况，清楚概率的计算方法是解答该题的关键．
根据概率计算方法解答即可；
【详解】解：当闭合开关，时，灯泡发光；当闭合开关，时，灯泡发光；当闭合开关，时，灯泡发光；总共有三种可能情况，2种情况灯泡发光，故灯泡能发光的概率为；
故答案为
38．D
【分析】本题主要考查了求概率，
先确定一共有6个等面积的扇形，阴影部分有3个扇形，再根据概率公式计算得出答案．
【详解】解：一共有6个扇形，阴影部分有3个扇形，
所以指针落在阴影区域的概率是．
故选：D．
39．
【分析】本题主要考查了几何概率的求法，飞镖击中阴影部分的概率等于阴影部分面积与正方形总面积之比，掌握几何概率的求法是解题的关键．
【详解】解：，，
∴飞镖击中阴影部分的概率是，
故答案为：．
40．70
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，几何概率，解题的关键是掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率值．
根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为0.7，即黑色阴影的面积占整个面积的0.7，据此求解即可．
【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.7左右，
∴点落在黑色阴影的概率为0.7，
∴黑色阴影的面积占整个面积的0.7，
∵二维码打印在面积为的正方形纸片上，
∴黑色阴影的面积为，
故答案为：70．
41．
【分析】本题考查几何概率，掌握概率公式是解题关键．分别求出区域C和最大的圆的面积，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：由图可知区域C的面积为，
最大的圆的面积为，
∴“豆子落在C中” 的概率．
故答案为：．
42．（1）（2）见解析
【分析】本题考查了几何概率．
（1）用蓝色区域的圆心角度数除以即可；
（2）分别求出各区域的圆心角即可．
【详解】（1）（指针落在蓝色区域）．
（2），
，
，
如图，
43．A
【分析】此题考查游戏公平性，解题关键在于利用概率进行分析．
三个人摸到每种球的概率均相等，所以游戏公平．
【详解】解：∵一个箱子中放有红、黄、黑三种小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，
∴三个人摸到每种球的概率均相等，
∴这个游戏是公平的．
故选：A．
44．(1)
(2)往袋子里加入8个白球
【分析】本题考查求概率，已知概率求数量，熟练掌握概率公式是解题的关键：
（1）直接利用概率公式进行计算即可；
（2）设需要往这个袋子里加入个白球，根据白球的数量等于总量乘以概率，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：；
故摸到白球的概率为；
（2）解：设需要往这个袋子里加入个白球，由题意，得：
，
解得：；
答：需要往这个袋子里加入8个白球．
45．(1)
(2)
【分析】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）设袋中红球的个数是个，根据概率公式列出算式，然后求解即可；
（2）设袋中有白球个，则袋中有黄球个，求出白球的个数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）解：设袋中红球的个数是个，根据题意得：
，
解得：，
则袋中红球的个数有6个；
（2）解：设袋中有白球个，则袋中有黄球个，根据题意得：
，
解得：，
则白球有4个，
从袋中摸出一个球是白球的概率是．
46．(1)不公平，理由见解析
(2)取出个黄球
【分析】本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
（1）利用概率公式分别求出小明和小红获胜的概率，进而得出答案；
（2）直接利用当黑球与黄球个数相等时，游戏公平，求出答案．
【详解】（1）解：不公平．
∵抽奖箱里共有16个小球，其中有8个黄球、6个黑球和2个红球，摸到黄球小明获得奖励，摸到黑球小红获得奖励，
∴小明获胜的概率为：，小红获胜的概率为：；
，
∴活动对双方不公平；
（2）由题意可得：设取出了x个黄球，则
，
解得：.
答：取出个黄球．
47．(1)
(2)①两次都打九折；②一次不打折，一次打八折
(3)见解析
【分析】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．
（1）由题意知，共有种等可能的结果，其中指针指向字母“”结果有种，利用概率公式可得答案．
（2）根据，可得出答案．
（3）结合概率公式可得转盘中字母“”有6个，字母“”有1个，字母“”有5个，由此画图即可．
【详解】（1）解：由题意知，共有种等可能的结果，其中指针指向字母“”结果有种，
∴(不打析)，
故答案为：．
（2）解：，
小明这两次获得优惠的情况为：①两次都打九折；②一次不打折，一次打八折．
（3）解：∵打九折的概率是；打八折的概率是；不打折的概率是；
∴转盘中字母“”有个，字母“”有个，字母“”有个．
如图2所示．
48．小丽
【分析】考查了判断游戏公平性．解题关键抓住判断游戏公平性要先计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
先用列表法求得各自获胜的概率，再进行比较进行判断即可．
【详解】解：列表得：
B A 2 5 9
3 2，3 5，3 9，3
6 2，6 5，6 9，6
8 2，8 5，8 9，8
共有 9 种可能，其中小美获胜的次数为4，小丽获胜的次数为5，
∴，
，
∴小丽的获胜可能性较大．
故答案为：小丽．
49．(1)
(2)
(3)这个游戏对双方公平，理由见解析
【分析】本题主要考查游戏的公平性，熟练掌握概率公式是解题的关键．
（1）由这8个数中，有1个数字4，据此可得答案；
（2）根据概率公式先求得乙获胜的概率，继而可得甲获胜的概率；
（3）在这8个数中，偶数有4个，根据概率公式求解可得甲、乙获胜的概率即可得．
【详解】（1）如果乙猜是“数4”，则乙获胜的概率为，
故答案为：；
（2）如果乙猜是“3的倍数”，则乙获胜的概率是，
则甲获胜的概率为，
故答案为：；
（3）在这8个数中，偶数有4个，
则乙获胜的概率为，甲获胜的概率为，
∴这个游戏对双方公平．
50．(1)
(2)不公平，理由见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了游戏公平性以及概率公式，熟练掌握概率公式，理解游戏规则是解题的关键．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）分别求出小明赢和小丽赢的概率，再比较即可得出结论；
（3）修改游戏规则后，使两人赢的概率相等即可．
【详解】（1）解：（抽到卡片上的数字为3）．
（2）解：这个游戏不公平．
理由：，
，
因为，
所以这个游戏不公平．
（3）解：小明随机抽取一张卡片，抽到偶数小明赢，抽到数字3小丽赢．（答案不唯一）
51．(1)
(2)
(3)不公平，见解析
【分析】本题主要考查了概率的计算，概率的应用，根据概率判断游戏的公平性是解题的关键．
（1）根据概率公式计算即可；
（2）根据概率公式计算即可；
（3）先计算出抽到偶数的概率和抽到奇数的概率，比较大小，判断游戏是否公平，不公平，我们需要修改游戏规则，使获胜的概率相等即可．
【详解】（1）解：卡片上的数字为4的有2张，共有5张卡片，
随机抽取一张卡片，P（抽到卡片上的数字为4）；
（2）解：卡片上的数字不超过3的有3张，共有5张卡片，
随机抽取一张卡片，P（抽到卡片上的数字不超过3）；
（3）解：抽到卡片上的数字为偶数的概率为，抽到卡片上的数字为奇数的概率为，
，
这个游戏不公平．
修改游戏规则为：小明随机抽取一张卡片，若卡片上的数字为4，则小明赢；若卡片上的数字为奇数，则小亮赢，
，
，
游戏公平（答案不唯一）．
52．A
【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，但是并不是频率值就一定等于概率值，据此求解即可．
【详解】解：由于频率不等于概率，故当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是，“正面向上”的概率不一定是，故①错误；
大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，故随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是，故②正确；
若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．故③正确；
故选：A．
53．A
【分析】本题考查的是可能性的大小，熟记概率公式是解题的关键．
根据可能性大小的定义解答即可．
【详解】解：∵有2个红球和5个白球，
∴若摸出1个球，则摸出白球的可能性大，故甲正确；若摸出3个球，则至少有1个白球，故乙正确．
故选：A．
54．C
【分析】本题考查用频率估算概率，涉及几何概率模型等知识，先由获得优胜奖频率的折线统计图，如图-2所示，估算出获得优胜奖的概率是，再由几何概率模型求概率的方法即可得到答案，熟记概率基础知识是解决问题的关键．
【详解】解：由获得优胜奖频率的折线统计图，如图-2所示：
获得优胜奖的频率稳定在附近，即获得优胜奖的概率是，
如图-1所示：
，
故选：C．
55．(1)
(2)选择打开区域A中的小方格，理由见解析
【分析】（1）根据宝箱由个方格组成，方格中随机放置着个奖品，列式计算概率即可；
（2）根据方格相邻的个方格（即区域）中有两个放置了奖品，计算打开区域中的小方格获奖的概率；根据区域中有两个放置了奖品，计算出区域外的小方格放置了个奖品，再计算出区域外的小方格的总数，即可计算打开区域外的小方格获奖的概率．比较二者概率大小，选择概率大的即可．
【详解】（1），方格中随机放置着个奖品，
，
故答案为：
（2）（打开区域中的小方格），
（打开区域外的小方格），
，
∴打开区域中的小方格获得奖品的概率更大，故选择打开区域中的小方格．
【点睛】本题考查了概率的计算、判断概率大小作选择，理解掌握概率的计算是解题的关键．
56．(1)
(2)
(3)4个
【分析】本题考查频数分布表、用频率估计概率，根据概率公式求概率，一元一次方程的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用表格用频率估计概率即可解答；
（2）根据概率公式计算即可；
（3）设取出个黑球，则放入个黄球，构建方程即可解决问题；
【详解】（1）解：随着抽取彩色弹力球数量的增加，抽到优等品的频率在附近，
所以估计这批彩色弹力球“优等品”的概率是，
故答案为：；
（2）解：从袋子中摸出一个球，所有可能的结果有种，
因为除了颜色外都相同，
所以每种结果出现的可能性相等，其中摸到黄球的结果有种，
从袋子中摸出一个球是黄球的概率；
（3）解：设取出个黑球，则放入个黄球，由题意得：
，
解得．
答：取出了个黑球．
57．(1)；；
(2)
(3)估计他命中的次数为次．
【分析】本题考查利用频率估计概率，掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键：
（1）根据频数，总数和频率之间的关系，进行计算即可；
（2）根据频率估算概率即可；
（3）根据概率进行判断即可．
【详解】（1）解：，，；
故答案为：；；；
（2）解：由表格可知，该运动员任意投出一球，能投中的概率是；
故答案为：；
（3）解：由（2）可知，该运动员投中的概率为，
，
估计他命中的次数为次．
58．(1)，，
(2)估计喜欢的讲座类别为艺术和体育的学生共有名
(3)
【分析】本题考出了求扇形统计图圆心角度数、统计表、由样本估计总体、概率公式求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）先根据“人文”组的人数和所占比例求出抽取的学生总人数，从而即可求出、的值，用乘以“体育”组所占的比例即可得解；
（2）用总人数乘以样本中艺术和体育人数和所占的比例即可得解；
（3）根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由统计图表可得，抽取的学生人数为人，
∴，，
在扇形统计图中，“体育”所在扇形的圆心角度数为，
故答案为：，，；
（2）解：，
答：估计喜欢的讲座类别为艺术和体育的学生共有名；
（3）解：小明能被选中去现场参加下一期讲座的概率为．
59．（1），；（2）；（3）食堂应该选购A品种的花生仁；
【分析】本题考查求中位数，众数，方差，利用中位数，众数方差作，求概率：
（1）根据最中间的数是中位数，出现次数最多的数是众数直接求解即可得到答案；
（2）根据长轴长度为的概率判断即可得到答案；
（3）根据方差比较即可得到答案；
【详解】解：（1）由折线图可得，
，B中出现的次数最多，故，
故答案为：，；
（2）由折线图得，
，，
∴，
∴这粒花生仁是品种的可能性较大，
故答案为：B；
（3）由折线图得，
，
∵，
∴食堂应该选购A品种的花生仁．
60．A
【分析】本题主要考查了随机事件、必然事件的定义等只是点，正确掌握相关定义是解题关键．
根据随机事件、必然事件的定义逐个判断即可．
【详解】解：事件A：在汽步枪比赛中，某运动员打出10环是随机事件；事件：一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的6个小球（4个黑球，2个白球），从中随机摸出的3个球中有黑球是必然事件．即A选项符合题意．
故选A．
61．(1)
(2)游戏公平，理由见解析
(3)见解析
【分析】本题考查几何概率模型求概率，读懂题意，搞懂相关事件所占的几何比例是解决问题的关键．
（1）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明去观看足球比赛的概率即可得到答案；
（2）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明或哥哥去观看成都蓉城足球比赛的概率，比较大小即可得到答案；
（3）根据哥哥去的概率为，设计转盘即可．
【详解】（1）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，
（小明去观看足球比赛）；
（2）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，
（小明去观看足球比赛）；
（哥哥去观看足球比赛）；
（小明去观看足球比赛）（哥哥去观看足球比赛），
游戏公平．
（3）解：将转盘平均分为8个区域，其中红色占3份；白色占1份，蓝色和黄色占4份，如果指针转动转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，哥哥去．
62． 16 58
【分析】此题考查了事件的可能性，首先求出魔方获得优秀奖的积分为7分，然后分两种情况讨论：华容道和数独都获得优秀奖和华容道获得参与奖，数独获得卓越奖，即可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高得分，然后按照获得卓越奖的项目分4种情况讨论求解即可．
【详解】解：∵小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖，
∴小明在“九连环”项目中可能获得参与奖或优秀奖
∵小明在“魔方”项目中获得了优秀奖，
∴魔方获得优秀奖的积分为7分
∵在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖
∴当华容道和数独都获得优秀奖时，得分为（分），
当华容道获得参与奖，数独获得卓越奖时，得分为（分），
∴可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为16分；
∵在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖，
∴①当只七巧板获得卓越奖时，九连环获得参与奖，其他项目获得优秀奖，
∴总积分为（分）；
②当七巧板，二十四点获得卓越奖，
∴九连环，五子棋获得参与奖，
∴总积分为（分）；
③当五子棋获得卓越奖，二十四点获得优秀奖，
∴九连环获得优秀奖，七巧板获得参与奖，
∴总积分为（分）；
④当二十四点获得卓越奖，九连环，七巧板获得优秀奖，
∴五子棋获得参与奖，
∴总积分为（分）；
综上所述，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为58分．
故答案为：16，58．
63．(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查的是随机事件概率的求法，熟练掌握随机事件概率的求法是解题的关键；
如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
（1）①先判断此事件为不可能事件，再根据不可能事件的概率为求解；
②先判断此事件为必然事件，再根据必然事件的概率为求解；
③先判断此事件为随机事件，再根据随机事件的概率公式求出概率值；
④先判断此事件为随机事件，再根据随机事件的概率公式求出概率值．然后依次标在图中即可．
（2）根据题意，设口袋中有个白球和个红球，根据概率公式求解即可；
【详解】（1）解：①先判断此事件为不可能事件，再根据不可能事件的概率为求解；
②先判断此事件为必然事件，再根据必然事件的概率为求解；
③先判断此事件为随机事件，再根据随机事件的概率公式求出概率值为；
④先判断此事件为随机事件，再根据随机事件的概率公式求出概率值为．然后依次标在图中即可．
如图所示：
（2）解：由题意，口袋中有个白球和个红球，共有个球，能说明共个球即可
从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，
解得．
64．(1)0.8，91
(2)0.85，0.90
(3)乙运动员更合适，见解析
【分析】本题考查了利用频率估计概率，正确地理解题意是解题的关键．
（1）根据题意列式计算即可；
（2）估计表中的频率估计概率即可；
（3）根据俩个人击中靶心概率大小即可得到结论．
【详解】（1）解：，，
故答案为：0.8，91；
（2）解：甲运动员击中靶心的概率为0.85；乙运动员击中靶心的概率为0.90，
故答案为：0.85，0.90；
（3）解：乙运动员更合适，
理由：，
∴乙运动员更合适．
65．（1）C；（2）；（3）估计该不规则封闭图形的面积约是平方米；（4）．
【分析】本题考查了利用频率求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
（1）观察数据，根据大量试验时，频率可估计概率找到稳定值进行估计即可；
（2）大量试验时，频率可估计概率；
（3）利用概率，用正方形面积：封闭图形的面积概率建立方程求解；
（4）如图，地面上有一个边长为3米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆，在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆(可把绿豆近似看成点)，大量重复实验记录数据，根据频率可估计概率即可求解．
【详解】解：（1）观察表格得：随着投掷次数的增大，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的频率值稳定在，
∴如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为，
当掷绿豆所落的总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数最可能为，只有比较接近，
故选：C；
（2）由（1）可知如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为，
故答案为：；
（3）设封闭图形的面积为，
根据题意得：，
解得：，
即：估计整个不规则封闭图形的面积约是平方米；
（4）如图，地面上有一个边长为米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆，
在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录如下：
有效丢掷绿豆总次数
绿豆落在圆内（含圆的边）的次数
当很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在，
∴如果掷一次绿豆，那么绿豆落在圆内（含圆的边上）的概率约为，则，
．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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